甘肃省白银市会宁县第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题 Word版含解析

会宁一中2020届高三级第四次月考

数学（理科）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于

A. -2 B. 2 C.  D. -1

【答案】C

【解析】

是纯虚数,所以，选C.

2.已知集合,,则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据交集的定义，解方程组得出集合的结果．

【详解】解：集合，，

则集合，，．

故选：．

【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．

3.“”是“直线与圆相切”的　　

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直线和圆相切的等价条件求出k的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】若直线与圆相切，

则圆心到直线的距离，

即，得，得，

，

即“”是“直线与圆相切”的充要条件，

故选C．

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．

4.等差数列中，，，则数列的前项和取得最大值时的值为（   ）

A. 504 B. 505 C. 506 D. 507

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据已知求得数列的公差，再利用等差数列正负交界法求数列的前项和取得最大值时的值.

【详解】∵数列为等差数列，，∴数列的公差，

∴，令，得.

又，∴取最大值时的值为505.

故选B

【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算和等差数列的通项的求法，考查等差数列前n项和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

5.如图，我们从这个商标中抽象出一个函数图象，其对应的函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

分析】

直接利用排除法和函数的单调性，对称性及函数的定义域的应用求出结果．

【详解】解：根据函数的图象，对于选项和：当时，，所以与图象相矛盾，故均舍去．

对于选项当时，函数与函数在时为函数的图象的渐近线相矛盾故舍去．

故选项正确.

故选：．

【点睛】本题考查的知识要点：函数的图象的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

6.已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是(   )

A. a B.  C.  D. c

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，构造函数h（x）＝xf（x），则a＝h（20.6），b＝h（ln2），c＝（）•f（）＝h（﹣3），分析可得h（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上为减函数，进而分析可得h（x）在（0，+∞）上为减函数，分析有0＜ln2＜1＜20.6，结合函数的单调性分析可得答案．

【详解】解：根据题意，令h（x）＝xf（x），

h（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝﹣xf（x）＝﹣h（x），则h（x）为奇函数；

当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＝f（x）+xf'（x）＜0，则h（x）在（﹣∞，0）上为减函数，

又由函数h（x）为奇函数，则h（x）在（0，+∞）上为减函数，

所以h（x）在R上为减函数，

a＝（20.6）•f（20.6）＝h（20.6），b＝（ln2）•f（ln2）＝h（ln2），c＝（）•f（）＝h（）＝h（﹣3），

因为0＜ln2＜1＜20.6，

则有；

故选C．

【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数h（x）＝xf（x），并分析h（x）的奇偶性与单调性．

7.设，分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题:

①三棱锥的体积为定值;

②异面直线与所成的角为;

③平面;

④直线与平面所成的角为.

其中正确命题为（    ）

A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④

【答案】A

【解析】

【分析】

①根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥的体积为定值；

②根据，转化为与所成的角；

③利用反正法判与平面不垂直；

④平面即为平面,故直线与平面所成的角是为．

【详解】解：如图所示，三棱锥的体积为为定值，①正确；

，是异面直线与所成的角为，②正确；

若平面，则，而故,而与所成角为，③错误；

平面即为平面,故直线与平面所成的角是为，④错误．

综上，正确的命题序号是①②．

故选：．

【点睛】本题考查了空间中的线线，线面的位置关系和体积应用问题，是基础题．

8.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则

A.  B.

C. −  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．

【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，
∴，
故选A．

【点睛】本题主要考查直线倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．

9.若函数在上的值域为，则的最小值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

要使的值域为，得到的范围要求，则要在其范围内，然后得到的范围，找到最小值.

【详解】

而值域为，发现

，

整理得，

则最小值为，选A项.

【点睛】本题考查正弦型函数图像与性质，数形结合数学思想，属于中档题.

10.若把函数的图象沿轴向左平移个单位,沿轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标保持不变),得到函数的图象,则的一个对称中心为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的对称中心．

【详解】解：将的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标保持不变），得到的图象，

再将函数的图象向上平移一个单位得到．再将函数的图象向右平移个单位，得到，

令，解得，

当时，．

所以一个对称中心为，

故选：．

【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

11.已知不等式表示的平面区域为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为.

A. 1 B. -1 C. -4 D. -5

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知不等式组画出可行域，可通过直线平移求得直线的纵截距最大时，最小，代入点坐标求得，则，即可得到结果．

【详解】由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示：

可求得，，

当直线经过点时，直线的纵截距最大，z最小

，．

故选．

【点睛】本题考查线性规划求解的最值的问题，属于基础题．

12.设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．

【详解】解：，

（3），

（3），

定义在的函数，

，

令，

不等式（3），

即为（3），

，

，

，

，

，

，

单调递增，

又因为由上可知（3），

，，

．

故选：．

【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分.

13.若直线：()与直线：的距离为，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

观察式子可知，两直线平行，再采用平行直线距离公式求解即可.

【详解】直线：()与直线：平行，直线：可化为，利用两直线平行的距离公式：，可求得或，因为

故答案为

【点睛】本题考查两平行直线的距离求法，解题时需注意在一般式中，的系数需化成一致，以免造成误解.

14.在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.

【答案】.

【解析】

【分析】

设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.

【详解】设点，则.又，

当时，，

点A在曲线上的切线为，

即，

代入点，得，

即，

考查函数，当时，，当时，，

且，当时，单调递增，

注意到，故存在唯一的实数根，此时，

故点的坐标为.

【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

15.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积.

【详解】由题得AC=5,

设球O1的半径为，由题得.

所以棱柱的侧棱为2.

由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为，

所以球的表面积为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16.已知函数，记为函数图像上的点到直线的距离的最大值，那么的最小值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

如解析中的图所示，我们研究平行直线系与函数图象的关系，其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线与之间，图象上的个别点在直线上．

设两条平行直线与之间的距离为．我们发现只有经过点，，与图象相切于点时，的最小值．求出即可

【详解】

我们研究平行直线系与函数图象的关系，

其中函数图象完全在某相邻的两条平行直线与之间，图象上的个别点在直线上．

设两条平行直线与之间的距离为．

我们发现只有经过点，，与图象相切于点时，

的最小值．

设，．

，，解得．

，直线的方程为：．

（点到直线距离）

的最小值．

的最小值为：．

【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线的斜率、平行线之间的距离、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想、推理能力与计算能力，属于难题

三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题.

（一）必考题：共60分

17.已知直线： ().

（1）证明：直线过定点；

（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．

【答案】（1）证明见解析（2），此时直线的方程为．

【解析】

【分析】

（1）将直线变形化简即可求得

（2）根据题意表示出，，结合三角形面积公式和均值不等式进行求解即可

【详解】解:(1)证明：∵直线的方程可化为，

令，解得：， 

∴无论取何值，直线总经过定点.

(2)解：由题意可知，再由的方程，得，．

依题意得：，解得．

∵，

当且仅当  ，即，取“＝”

∴，此时直线的方程为．

【点睛】本题考查直线过定点的判断问题，直线与坐标轴围成三角形面积结合不等式求最值的问题，同时考查了解析几何中基本的运算能力

18.的内角，，所对的边长分别为，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若角,点为边上靠近点的一个四等分点，且，求的面积.

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】

（1）将已知等式右边提取，利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，然后利用正弦定理化简，求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；

（2）结合（1）知三角形为等腰三角形，，在三角形中利用余弦定理求出，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积．

【详解】解：（1）

，又为三角形的内角，

；

（2）结合（1）知三角形为等腰三角形，，又因为点为边上靠近点的一个四等分点则，在三角形中利用余弦定理

，解得，

则．

【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．

19.如图，在三棱柱侧面．

(1)求证：平面平面；

(2)若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

(1)要证平面平面，转证平面AB，即证，；

(2) 以G为坐标原点，以的方向为x轴正方向，以的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.分别求出两个半平面的法向量，代入公式即可得到结果.

【详解】(1)如图，设，连接AG.

因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以G为的中点，

因为，

所以为等腰三角形，所以，

又因为AB⊥侧面，且平面，

所以

又因为，

所以平面AB，又因为平面，

所以平面平面；

（2）由（1）知平面AB，所以B

以G为坐标原点，以的方向为x轴正方向，以的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.

由B易知四边形为菱形，因为

所以，

则可得，

所以

设平面的法向量，

由得：，取z=1，所以，

由（1）知=为平面AB的法向量，

则

易知二面角的余弦值.

【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

20.已知数列满足，，

（1）证明：，；

（2）求和：

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】

（1）由递推式，取为，两式做差即可得证；

（2）由（1）得为公差为3，首项为的等差数列，再利用等差数列前项和公式求解即可.

【详解】解：（1）①

②

 ①－②得 ，

即命题得证；

（2）

由（1）得为公差为3的等差数列，又由，解得，

，

故.

【点睛】本题考查了利用数列递推式求解数列的性质，重点考查了等差数列前项和公式，属中档题.

21.已知函数.

（1）若函数在区间内有两个极值点，，求实数的取值范围；

（2）在（1）的基础上，求证：.

【答案】(1) (2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定的范围即可．

（2）利用（1）可判，要证只需证，利用极值点偏移证出，构造函数研究单调性即可.

【详解】（1）

作题，是在上的两个零点

令

，

①若，，在上递增，至多有个零点，不合题意

②若，，在上递减，至多有个零点，不合题意

③若，在递减，递增，

而，，

（2）由（1）知

，

要证

只需证

又因为

而在递减从而只需证，又

只需证，

令，

为递增

，即有

【点睛】本题考查了函数的单调性，极值点偏移问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.

22.已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标是.

（1）求直线的极坐标方程及点到直线的距离；

（2）若直线与曲线交于两点，求的面积.

【答案】（1）极坐标方程为.（2）

【解析】

【分析】

（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；

（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积.

【详解】（1）由消去，

得到，

则，

∴，

所以直线的极坐标方程为.

点到直线的距离为.

（2）由，

得，

所以，，

所以，

则的面积为.

【点睛】本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）当时，函数的最小值为，求实数的值.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

【分析】

（Ⅰ）a=-2时， ，f(x)的两个零点分别为-1和1，通过零点分段法分别讨论 ，去绝对值解不等式，最后取并集即可；

（Ⅱ）法一： 时， ，化简f(x)为分段函数，根据函数的单调性求出f(x)在 处取最小值3，进而求出a值．法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f(x)最小值，进而求a．

【详解】(Ⅰ) 时，不等式为

①当 时，不等式化为，，此时

②当 时，不等式化为，

③当 时，不等式化为，，此时

综上所述，不等式的解集为

（Ⅱ）法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，

所以f(x)min＝f（）＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4.

法二：

所以，又，所以.

【点睛】本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，体现了分类讨论的数学思想．