高中数学人教版新课标A选修4-4曲线的参数方程第1课时练习题

第二讲  参数方程

一、曲线的参数方程

第1课时  参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化

A级　基础巩固

一、选择题

1．方程(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的(　　)

A．(1，1)　　　　　 B.

C.   D.

解析：当θ＝时，x＝，y＝，所以点在方程(θ为参数)所表示的曲线上．

答案：C[来源:学,科,网]

2．下列方程可以作为x轴的参数方程的是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选项A表示x轴上以(1，0)为端点向右的射线；选项B表示的是y轴；选项C表示x轴上以(0，0)和(2，0)为端点的线段；只有选项D可以作为x轴的参数方程．

答案：D

3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为(　　)

A.(t为参数)   B.(t为参数)

C.(t为参数)   D.(t为参数)

解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．

由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：

(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.所以(t为参数)

答案：A

4．参数方程(θ为参数)化为普通方程是(　　)[来源:学科网ZXXK]

A．2x－y＋4＝0

B．2x＋y－4＝0

C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3]

D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]

解析：由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.

故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]．

答案：D

5．参数方程(0≤θ<2π)表示的是(　　)

A．双曲线的一支，这支过点

B．抛物线的一部分，这部分过点

C．双曲线的一支，这支过点

D．抛物线的一部分，这部分过点

解析：因为x＝，故x∈[0，]，

又y＝(1＋sin θ)，故y∈[0，1]．

因为x2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x2－1，

代入y＝(1＋sin θ)中得y＝x2，

即x2＝2y，(0≤x≤，0≤y≤1)表示抛物线的一部分，

又2×＝1，故过点.

答案：B

二、填空题

6．若x＝cos θ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为______________．

解析：把x＝cos θ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1，

得cos2θ＋(y＋1)2＝1，

于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，即y＝－1±sin θ.

由于参数θ的任意性，

可取y＝－1＋sin θ，

因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为[来源:学+科+网Z+X+X+K]

(θ为参数)．

答案：(θ为参数)

7．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________________．

解析：因为x＝2＋t，所以t＝x－2，代入y＝1＋t，

得y＝x－1，即x－y－1＝0.

答案：x－y－1＝0

8．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)．点M(5，4)在该曲线上，则常数a＝________．

解析：因为点M(5，4)在曲线C上，

所以解得所以a的值为1.

答案：1

三、解答题

9．指出下列参数方程表示什么曲线：

(1)(θ为参数，0<θ<)；

(2)(t为参数，π≤t≤2π)；

(3)(θ为参数，0≤θ<2π)．

解：(1)由(θ为参数)得x2＋y2＝9.

又由0<θ<，得0<x<3，0<y<3，

所以所求方程为x2＋y2＝9(0<x<3且0<y<3)．

这是一段圆弧(圆x2＋y2＝9位于第一象限的部分)．

(2)由(t为参数)得x2＋y2＝4.

由π≤t≤2π，得－2≤x≤2，－2≤y≤0.

所求圆方程为x2＋y2＝4(－2≤x≤2，－2≤y≤0)．

这是一段半圆弧(圆x2＋y2＝4位于y轴下方的部分，包括端点)．

(3)由参数方程(θ为参数)得(x－3)2＋(y－2)2＝152，由0≤θ<2π知这是一个整圆．

10．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．

(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；

(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．

解：(1)把点M1的坐标(0，1)代入参数方程得

解得t＝0，所以点M1在曲线C上．

把点M2的坐标(5，4)代入参数方程得

即无解，所以点M2不在曲线C上．

(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以

解得t＝2，a＝9.所以a＝9.

B级　能力提升

1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点(　　)

A．(2，3)   B．(1，5)

C.   D．(2，0)

解析：先将P(2cos θ，3sin θ)化为方程为＋＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．

答案：D

2．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是__________________．

解析：曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2－2x－4y＝0，把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，

即ρ＝2cos θ＋4sin θ.

答案：ρ＝2cos θ＋4sin θ

3．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．

解：(1)将消去参数t，

化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，[来源:学科网]

即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.[来源:学_科_网Z_X_X_K]

(2)由

解得或

所以C1与C2交点的极坐标分别为，.