高中人教版新课标A曲线的参数方程教学演示课件ppt

这是一份高中人教版新课标A曲线的参数方程教学演示课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了点的坐标间的关系，消去参数，xft，ygt，取值范围，失误案例等内容，欢迎下载使用。

【自主预习】1.普通方程相对于参数方程而言,直接给出_________________的方程叫做普通方程.
2.曲线的普通方程和参数方程的互相转化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过_________而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如_______,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系_______,那么 就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的_________保持一致.
【即时小测】1.圆x2+(y+1)2=2的参数方程为　(　　)A. (θ为参数)B. (θ为参数)C. (θ为参数)D. (θ为参数)
【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半径为 ,所以它的参数方程为 (θ为参数).
2.参数方程 (t为参数)化为普通方程为________.【解析】消去参数方程 中的参数t,得到普通方程为y2=4x.答案:y2=4x
【知识探究】探究点　参数方程和普通方程的互化1.同一曲线的参数方程是否唯一?提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要注意等价性.
2.将曲线的参数方程和普通方程互相转化需要注意什么?提示:尽管同一曲线的参数方程不唯一,但是一定要注意方程与曲线的等价性.
【归纳总结】1.曲线的参数方程与普通方程互化的作用(1)将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等.
(2)将曲线的普通方程化为参数方程,可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究与曲线有关的最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便.
2.参数方程化为普通方程的三种常用方法:(1)代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数.(2)三角函数法:利用三角恒等式消去参数.(3)整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去.
特别提醒:化参数方程为普通方程F(x,y)=0:在消参过程中注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x,y的取值范围.
类型一　参数方程化为普通方程【典例】将下列参数方程化为普通方程,并判断曲线的形状.(1) (2)
【解题探究】典例(1)(2)中如何分别消去参数?提示:(1)利用三角函数基本关系式消去参数.(2)两式相加消去参数或代入法消去参数.
【解析】(1)由 所以(x-1)2+y=cs2θ+sin2θ=1,即y=-(x-1)2+1(0≤y≤1),表示抛物线弧段,如图.
(2)方法一:注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办法.
所以所求的方程为x+y=1(x≠-1,y≠2).方程表示直线(去掉一点(-1,2)).
方法二:只要把t用x或y表示,再代入另一表达式即可.由 所以x+xt=1-t,所以(x+1)t=1-x,即 代入 所以x+y=1(x≠-1,y≠2).方程表示直线(去掉一点(-1,2)).
【方法技巧】消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法:如果参数方程中参数的符号相等或相反,常常利用两式相减或相加的方法消去参数.
(2)代入消参数法:利用方程思想,解出参数的值,代入另一个方程消去参数的方法,称为代入消参法,这是非常重要的消参方法.(3)三角函数式消参数法:利用三角函数基本关系式sin2θ+cs2θ=1消去参数θ.
【变式训练】1.将参数方程 化为普通方程为________.
【解析】将参数方程 两式相加,得x+y=2,其中x=1+t2≥1.答案:x+y=2(x≥1)
2.将参数方程 (a,b为大于零的常数,t为参数)化为普通方程,并判断曲线的形状.
【解析】因为 所以t>0时,x∈[a,+∞),t<0时,x∈(-∞,-a].由 两边平方可得 由 两边平方可得
并化简,得 所以普通方程为 所以方程表示焦点在x轴上的双曲线.
类型二　普通方程化为参数方程【典例】(1)把方程xy=1化为以t为参数的参数方程是　(　　)A. B. C. D.
(2)根据下列条件求 的参数方程:①设y=sinθ,θ为参数;②设x=2t,t为参数.
【解题探究】1.题(1)中x,y的范围是什么?提示:x,y均为不等于0的实数.2.普通方程化参数方程时需注意什么?提示:普通方程化参数方程时要注意参数的范围.
【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的范围不符合要求.(2)①把y=sinθ代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2θ)=4cs2θ,
即x=±2|csθ|,由于θ具有任意性,sinθ与csθ的符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号,所以取x=2csθ.因此, 的参数方程是
②把x=2t代入方程,得到 于是y2=1-t2,即 .因此,方程 的参数方程是
【方法技巧】求曲线的参数方程的方法(1)如果已知曲线的普通方程,根据所选参数可利用代入法确定其参数方程.(2)求动点的轨迹的参数方程时,应先根据题意选择适当的参数,利用已知条件求参数方程.
【变式训练】1.圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为______.
【解析】圆x2+y2+4x-6y=0变为(x+2)2+(y-3)2=13,即 令 则 令 得
故圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为 答案:
2.把下面曲线的普通方程化为参数方程. 设x=acs2φ,φ为参数.
【解析】把x=acs2φ代入普通方程 得 所以 所以y=a(1-|csφ|)2,所以普通方程 化为参数方程为
类型三　参数方程与普通方程互化的应用【典例】已知x,y满足x2+(y-1)2=1,求:(1)3x+4y的最大值和最小值.(2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值.
【解题探究】典例中方程表示的曲线形状是什么?曲线的参数方程是什么?提示:方程表示圆,参数方程为
【解析】由圆的普通方程x2+(y-1)2=1得圆的参数方程为 (1)3x+4y=3csθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),其中 且φ的终边过点(4,3).因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
(2)(x-3)2+(y+3)2=(csθ-3)2+(sinθ+4)2=26+8sinθ-6csθ=26+10sin(θ+φ).其中tanφ= ,且φ的终边过点(4,-3).因为-10≤10sin(θ+φ)≤10,所以16≤26+10sin(θ+φ)≤36,所以(x-3)2+(y+3)2的最大值为36,最小值为16.
【延伸探究】1.若本例条件不变,求 的取值范围.【解析】方法一:由于 (θ为参数)所以 所以sinθ-kcsθ=k-3,即
所以 依题意,得 所以 解得 所以 的取值范围是
方法二:由于 所以问题可以看作圆x2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)与定点A(-1,-2)的连线的斜率.设直线y+2=k(x+1)与圆相切,则圆心(0,1)到直线kx-y+k-2=0的距离为1,即 解得
若过A(-1,-2)的直线的斜率不存在时,显然与圆相切,结合图形,得 的取值范围是
2.若本例条件变为:已知P(x,y)是极坐标方程ρ= 2sinθ表示的曲线上的任意一点,如何求3x+4y的最大值和最小值?
【解析】极坐标方程ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ,直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,得圆的参数方程为 所以3x+4y=3csθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ)∈[-1,9],所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
【方法技巧】求有关最值或取值范围问题的技巧(1)求与圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围问题,常常利用圆的参数方程,将问题转化为三角函数的最大值、最小值或取值范围解决,这样可使问题变得简便.
(2)形如y=asinθ+bcsθ的三角函数,通常转化为y= 的形式求最大值、最小值.
【变式训练】1.圆x2+y2=1上任意一点的坐标为(x,y),则xy的最大值为________.
【解析】圆x2+y2=1的参数方程为 则 所以xy的最大值为 答案:
2.(2015·长沙高二检测)在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点M的极坐标为 曲线C的参数方程为 (α为参数)求点M到曲线C上的点的距离的最小值.
【解析】由点M的极坐标 得直角坐标为(4,4),由曲线C的参数方程 (α为参数)得普通方程为(x-1)2+y2=2,圆心坐标为C(1,0), =5.所以点M到曲线C上的点的距离的最小值为
3.(2016·成都高二检测)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0.以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为(1)求直线l的极坐标方程,曲线C的直角坐标方程.(2)若点P是曲线C上任意一点,P点的直角坐标为(x,y),求x+2y的最大值和最小值.
【解析】(1)直线l的方程x-y+4=0,因为x=ρcsθ,y=ρsinθ,所以l的极坐标方程为:ρcsθ-ρsinθ+4=0.又曲线C的极坐标方程:
所以ρ2-4ρcsθ-4ρsinθ+6=0,因为ρ2=x2+y2,x=ρcsθ,y=ρsinθ,曲线C的直角坐标方程:(x-2)2+(y-2)2=2.
(2)由(1)知曲线C参数方程为 (θ为参数),所以x+2y=(2+ csθ)+2(2+ sinθ)=6+ (csθ+2sinθ)=6+ sin(θ+φ).当sin(θ+φ)=-1时,x+2y有最小值为6- ,当sin(θ+φ)=1时,x+2y有最大值为6+ .
自我纠错　参数方程化为普通方程的综合问题【典例】已知直线l: (t为参数,α为l的倾斜角),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C为:ρ2-6ρcsθ+5=0.(1)若直线l与曲线C相切,求α的值.(2)设曲线C上任意一点的直角坐标为(x,y),求x+y的取值范围.
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是忽视了α的取值范围,α∈ [0,π)所以α有两个值 正确解答过程如下:
【解析】(1)曲线C:ρ2-6ρcsθ+5=0的直角坐标方程为x2+y2-6x+5=0,即(x-3)2+y2=4,所以曲线C为圆心为(3,0),半径为2的圆.直线l的方程为xsinα-ycsα+sinα=0,因为直线l与曲线C相切,
所以 即sinα= 因为α∈[0,π),所以
(2)设x=3+2csφ,y=2sinφ,则x+y=3+2csφ+2sinφ 所以x+y的取值范围是