人教版新课标A选修2-22.2直接证明与间接证明第1课时课时练习

自我小测

1．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.

证明过程如下：

∵a，b，c∈R，

∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.

又a，b，c不全相等，

∴以上三式至少有一个“＝”不成立．

∴将以上三式相加，得2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac)，

∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.此证法是(　　)

A．分析法

B．综合法

C．分析法与综合法并用

D．反证法

2．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是(　　)

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等边三角形

3．要使a2＋b2－a2b2－1≤0成立的充要条件是(　　)

A．|a|≥1且|b|≥1

B．|a|≥1且|b|≤1

C．(|a|－1)(|b|－1)≥0

D．(|a|－1)(|b|－1)≤0

4．使不等式＋＞1＋ 成立的正整数a的最大值是(　　)

A．13        B．12        C．11        D．10

5．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：

①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.

其中正确的命题的个数是(　　)

A．2        B．3        C．4        D．5

6．平面内有四边形ABCD和点O，，则四边形ABCD为________．

7．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.

8．要证－＞成立，则a，b应满足的条件是________．

9．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：＋＝.

10．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；

(2)求证：CF⊥平面BDE.

参考答案

1．解析：由因导果，故为综合法．

答案：B

2．解析：由sin Asin B＜cos Acos B得cos Acos B－sin Asin B＞0，即cos(A＋B)＞0，－cos C＞0，cos C＜0，从而角C必为钝角，△ABC一定为钝角三角形．

答案：C

3．解析：a2＋b2－a2b2－1≤0⇔a2(1－b2)＋(b2－1)≤0⇔(b2－1)(1－a2)≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0⇔(|a|－1)(|b|－1)≥0.

答案：C

4．解析：由＜＋－1得a＜(＋－1)2.

而(＋－1)2＝3＋8＋1＋2－2－2

＝12＋4－2－4

≈12.68.

因此使不等式成立的正整数a的最大值为12.

答案：B

5．解析：若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；

若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；

若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行、相交或异面，③不正确；

若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．

答案：A

6．解析：因为，

所以，

所以，故四边形ABCD为平行四边形．

答案：平行四边形

7．解析：由条件知lg xy＝lg(x－2y)2，

∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，

即2－5＋4＝0，

∴＝4或＝1.

又x＞2y，故＝4，

∴＝＝4.

答案：4

8．解析：要证－＜，

只需证(－)3＜()3，

即a－b－3＋3＜a－b，

即3－3＞0，

即(－)＞0.

故所需条件为

或

即ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b.

答案：ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b

9．证明：要证＋＝，

只需证＋＝3.

即证＋＝1，

即c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

只需证c2＋a2＝ac＋b2.

∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，

∴B＝60°.

由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°，

即b2＝c2＋a2－ac，

∴c2＋a2＝ac＋b2.命题得证．

10．证明：(1)设AC，BD的交点为G，

连接EG，因为EF∥AG，且EF＝1，

AG＝AC＝1，

所以四边形AGEF为平行四边形，

所以AF∥EG.

因为EG⊂平面BDE，AF平面BDE，

所以AF∥平面BDE.

(2)连接FG.

因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，

所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．

又因为平面ACEF⊥平面ABCD，

且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

所以BD⊥平面ACEF，

所以CF⊥BD．

又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.