高中数学人教版新课标A选修2-11.1命题及其关系一课一练

  www.ks5u.com1.1.2　四种命题

【课时目标】　1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．

1．四种命题的概念：

(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

2．四种命题的命题结构：

用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：

原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．

逆命题：________________________.即“若q，则p”．

否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．

逆否命题：__________________.即“若綈q，则綈p”．

一、选择题

1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)

A．1      B．2     C．3     D．4

2．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是(　　)

A．若A∪B≠A，则A⊇B

B．若A∩B≠A，则AB

C．若AB，则A∩B≠A

D．若A⊇B，则A∩B≠A

3．对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是(　　)

A．它的逆命题是真命题

B．它的否命题是真命题

C．它的逆否命题是假命题

D．它的否命题是假命题

4．有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．

其中的真命题是(　　)

A．①②                B．②③

C．①③                D．③④

5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)

A．4        B．3        C．2        D．0

6．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　)

A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

二、填空题

7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．

8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是____________________________；逆命题是_______；否命题是________________________．

9．有下列四个命题：

①“全等三角形的面积相等”的否命题；

②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；

③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；

④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．

其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．

三、解答题

10．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．

11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)正数的平方根不等于0；

(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；

(3)对顶角相等．

12．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

【能力提升】

13．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)

A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

14．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．

1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．

2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．

1.1.2　四种命题

知识梳理

1．(1)结论和条件　(2)条件的否定和结论的否定　(3)结论的否定和条件的否定

2．若q成立，则p成立　若綈p成立，则綈q成立　若綈q成立，则綈p成立

作业设计

1．B　[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6a>－3，

故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]

2．C　[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]

3．D　4.C

5．C　[原命题和它的逆否命题为真命题．]

6．A　[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]

7．若x≤y，则x3≤y3－1

8．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数

能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数

各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除

9．②③

10．解　逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题

否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题

逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．

11．解　(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．

逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．

否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．

逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．

(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．

逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．

否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．

逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．

(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．

逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．

否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．

逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．

12．解　(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．

否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．

(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．

逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．

13．B　[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]

14．解　逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．

否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.

逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．

原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．