数学选修1-2第一章 统计案例综合与测试课后练习题

 www.ks5u.com阶段质量检测（一）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫做(　　)

A．函数关系　　　　　 B．线性关系

C．相关关系   D．回归关系

解析：选C　由相关关系的概念可知，C正确．

2．在一线性回归模型中，计算其相关指数R2＝0.96，下面哪种说法不够妥当(　　)

A．该线性回归方程的拟合效果较好

B．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%

C．随机误差对预报变量的影响约占4%

D．有96%的样本点在回归直线上

解析：选D　由相关指数R2表示的意义可知A、B、C三种说法都很妥当，相关指数R2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上，故选D.

3．(湖北高考改编)根据如下样本数据得到的回归方程为＝x＋，则(　　)

A.>0，<0  B.>0，>0

C.<0，<0  D.<0，>0

解析：选A　作出散点图如下：

观察图象可知，回归直线＝x＋的斜率<0，当x＝0时，＝>0，故>0，<0.

 4.下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋，则＝(　　)

A．10.5   B．5.15

C．5.2   D．5.25

解析：选D　样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得＝5.25.

5．下面的等高条形图可以说明的问题是(　　)

A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的

B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同

C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方

D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握

解析：选D　由等高条形图可知选项D正确．

6．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为＝7.19x＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是(　　)

A．身高一定为145.83 cm

B．身高大于145.83 cm

C．身高小于145.83 cm

D．身高在145.83 cm左右

解析：选D　用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．

7．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大(　　)

A.与   B.与

C.与   D.与

解析：选A　当ad与bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时与相差越大．

8．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是(　　)

A．相关系数r变大

B．残差平方和变大

C．相关指数R2变大

D．解释变量x与预报变量y的相关性变强

解析：选B　由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．

9．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为＝－3＋x，若i＝17，i＝4，则的值为(　　)

A．2   B．1

C．－2   D．－1

解析：选A　依题意知，＝＝1.7，＝＝0.4，而直线＝－3＋x一定经过点(，)，所以－3＋×1.7＝0.4，解得＝2.

10．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c等于(　　)

A．3   B．4

C．5   D．6

解析：选A　列2×2列联表如下：

故K2的观测值

k＝≥5.024.

把选项A、B、C、D代入验证可知选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．给出下列关系：

①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；

②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；

③苹果的产量与气候之间的关系；

④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；

⑤学生与他(她)的学号之间的关系．

其中有相关关系的是________(填序号)．

解析：利用相关关系的概念判断．①是不确定关系．②曲线上的点与该点坐标是一种对应关系，即每一个点对应一个坐标，是确定关系．⑤学生与其学号也是确定的对应关系．

答案：①③④

12．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．

解析：设回归直线的方程为＝x＋.

回归直线的斜率的估计值是1.23，即＝1.23.

又回归直线过样本点的中心(4,5)，

所以5＝1.23×4＋，解得＝0.08，

故回归直线的方程为＝1.23x＋0.08.

答案：＝1.23x＋0.08

13．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表．由表中数据得线性回归方程＝x＋，其中＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．

解析：由题意可知

＝×(18＋13＋10－1)＝10，

＝×(24＋34＋38＋64)＝40，

＝－2.

又回归直线＝－2x＋过点(10,40)，

故＝60，

所以当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.

答案：68

14．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得k≈3.918，经查对临界值表P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学做出了以下的判断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：这种血清预防感冒的有效率为95%；s：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列命题中，正确的是________(填序号)．

①p∧(綈q)；　　　　　②(綈p)∧q；

③(綈p∧綈q)∧(r∨s);  ④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．

解析：查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；95%仅是指“血清能起到预防感冒的作用”的可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，故p真，其余都假．结合复合命题的真假可知，选①④.

答案：①④

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)某地区在调查一种传染病与饮用水的关系时得到如下数据：饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．画出列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为这种疾病与饮用水有关．

解：依题意得2×2列联表：

此时，由题中数据可得K2的观测值

k＝≈5.785，

由于5.785>2.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为这种传染病与饮用不干净水有关系．

16．(本小题满分12分)某同学6次考试的数学、语文成绩在班中的排名x，y如下表：

对上述数据用线性回归方程＝x＋来拟合y与x之间的关系．

解：由于＝4，＝7.5，

(xi－)(yi－)＝50，

(xi－)2＝28，

那么＝＝≈1.786，

＝－＝7.5－1.786×4＝0.356.

此时可得＝1.786x＋0.356.

17．(本小题满分12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：

其中a,15－a均为大于5的整数，则a取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系？

解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而

k＝

＝

＝.

由k≥2.706得a≥7.19或a≤2.04.

又a＞5且15－a＞5，a∈Z，即a＝8或9，

故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系．

18．(本小题满分14分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：

(1)作出散点图，并判断y与x是否线性相关，若线性相关，求线性回归方程；

(2)求相关指数R2，并说明其含义；

(3)给出37岁时人的脂肪含量的预测值．

解：(1)散点图如图所示．由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．

设线性回归方程为＝x＋，

则由计算器算得≈0.576，≈－0.448，

所以线性回归方程为＝0.576x－0.448.

(2)残差平方和： ＝ (yi－i)2≈37.20，

总偏差平方和： (yi－)2≈644.99，

R2＝1－≈0.942，

表明年龄解释了94.2%的脂肪含量变化．

(3)当x＝37时，＝0.576×37－0.448≈20.9，故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是(　　)

A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上

B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上

C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上

D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上

解析：选B　在散点图中，预报变量在y轴上，解释变量在x轴上．

2．在回归分析中，残差图中的纵坐标为(　　)

A．残差    B．样本编号  　　C.       D.(n)

解析：选A　残差是真实值与预报值的差，残差分析就是对这些残差画出残差图进行分析，在残差图中，横坐标代表编号，纵坐标代表残差．

3．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是(　　)

A.线性函数模型   B．二次函数模型

C．指数函数模型   D．对数函数模型

解析：选A　画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．

4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为(　　)

A.25%   B．95%

C．5%   D．97.5%

解析：选D　∵k＞5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1－0.025＝97.5%的把握认为“X和Y有关系”，故选D.

5.如图所示，图中有5组数据，去掉________(填字母代号)组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大　　(　　)

A．E   B．C

C．D   D．A

解析：选A　∵A，B，C，D四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，E点离得远，∴去掉E点剩下的4组数据的线性相关性最大．故答案为A.

6．在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为(　　)

A.＝2x＋1  B.＝x＋2

C.＝x＋1  D.＝x－1

解析：选C　∵＝＝2.5，＝＝3.5，∴这组数据的样本中心点是(2.5,3.5)，把样本中心点代入四个选项中，只有＝x＋1成立，故选C.

7．为判定喜欢黑色的人是否易患抑郁症，对91名大学生进行调查，得到如下2×2列联表：

附表：

则下列说法正确的是(　　)

A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系

B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系

C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为喜欢黑色与患抑郁症有关系

D．不能认为喜欢黑色与患抑郁症有关系

解析：选D　经计算K2≈9.8×10－5≤3.841，故没有理由认为喜欢黑色与患抑郁症有关．

8．为了评价某个电视栏目改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算得K2≈0.99.根据这一数据分析，下列说法正确的是　　(　　)

A．有99%的人认为该栏目优秀

B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革无关

C．有99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系

D．没有充分理由认为该栏目是否优秀与改革有关系

解析：选D　只有K2>6.635才能有99%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系，而即使K2>6.635也只是对“该栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论．故选D.

9．若残差平方和是325，总偏差平方和是923，则随机误差对预报变量变化的贡献率为(　　)

A．64.8%   B．60%

C．35.2%   D．40%

解析：选C　相关指数R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量变化的贡献率为

×100%＝×100%≈35.2%.

10．下面是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出(　　)

A．性别与喜欢理科无关

B．女生中喜欢理科的百分比为80%

C．男生比女生喜欢理科的可能性大些

D．男生不喜欢理科的百分比为60%

解析：选C　由等高条形图可知，女生中喜欢理科的百分比约为1－0.8＝0.2＝20%，

男生中喜欢理科的百分比约为1－0.4＝0.6＝60%，

因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

解析：以x＋1代x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，

与＝0.254x＋0.321相减可得，

年饮食支出平均增加0.254万元．

答案：0.254

12．在线性回归方程y＝a＋bx中，b为回归系数，下列关于b的说法中正确的是________(填序号)．

①b为回归直线的斜率；

②b>0，表示随x增加，y值增加，b<0，表示随x增加，y值减少；

③b是唯一确定的值；

④回归系数b的统计意义是当x每增加(或减少)一个单位，y平均改变b个单位．

解析：b是由总体的一个样本，利用一定的方法得到的，选择不同的样本或不同的计算方法得到的b是不同的，故③错．

答案：①②④

13．独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关．下列说法中正确的是________(填序号)．

①在100个男性中约有90个人爱喝酒；

②如果某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%；

③认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性为10%；

④有90%的把握认为10个男性中有9个人爱喝酒．

解析：根据独立性检验的概念可知③正确，其他说法均错误．

答案：③

14．下列说法：

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；

②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；

③线性回归方程＝x＋必过(，)；

④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．

其中错误的个数是________．

本题可以参考独立性检验临界值表：

解析：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，因为D(X＋b)＝D(X)，其稳定性不变，所以方差恒不变；②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，而不是增加5个单位；③线性回归方程＝x＋必过(，)；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079,13.079>10.828，且P(K2>10.828)＝0.001，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系．因此，①③④正确，②错误，故只有1个错误的说法．

答案：1

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15. (本小题满分12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系？

解：(1)2×2列联表为：

(2)由列联表中的数据，计算K2的观测值

k＝≈6.201.

因为6.201>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与休闲方式有关系．

16．(本小题满分12分)某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之间有如下的对应数据：

(1)根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；

(2)据此估计广告费用为10万元时所得的销售收入．(x＝145，xiyi＝1 270)

解：(1)＝＝5，

＝＝44，

＝＝＝8.5，

＝－＝44－8.5×5＝1.5，

∴回归直线方程为＝8.5x＋1.5.

(2)当x＝10时，预报y的值为＝8.5×10＋1.5＝86.5(万元)．所以所得的销售收入约为86.5万元．

17．(本小题满分12分)某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：时)．

(1)应收集多少位女生的样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

附：  K2＝

解：(1)300×＝90，

所以应收集90位女生的样本数据．

(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.

(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：

每周平均体育运动时间与性别的列联表

结合列联表可算得K2的观测值

k＝＝≈4.762>3.841.

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

18．(本小题满分14分)以下资料是一位销售经理收集到的年销售额y(千元)和销售经验x(年)的关系：

(1)根据这些数据画出散点图并作直线＝78＋4.2x，计算 (yi－i)2；

(2)依据这些数据求回归直线方程并据此计算

 (yi－i)2；

(3)比较(1)(2)中的残差平方和 (yi－i)2的大小．

解：(1)散点图与直线＝78＋4.2x的图形如图，

对x＝1,3，…，13，有

i＝82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6，

 (yi－i)2＝179.28.

(2)＝xi＝7，

xiyi＝8 128，

x＝632，

＝yi＝108，

∴＝4，＝－＝108－4×7＝80，

故＝80＋4x，对x＝1,3，…，13，有

i＝84,92,96,96,104,112,120,120,124,132，

 (yi－i)2＝170.

(3)比较可知，(2)中求出的 (yi－i)2较小．