高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算随堂练习题

2.2.2　向量减法运算及其几何意义

课时目标　1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．

向量的减法

(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．

(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝________.如图所示．

(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：－＝________.

一、选择题

1. 在如图四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A．a－b＋c

B．b－(a＋c)

C．a＋b＋c

D．b－a＋c

2．化简－＋＋的结果等于(　　)

A.        B.        C.        D.

3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)

A.＝＋          B.＝－

C.＝－＋        D.＝－－

4．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有(　　)

A. ＝0               B. ＝0或＝0

C．ABCD是矩形         D．ABCD是菱形

5．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　)

A．[3,8]         B．(3,8)

C．[3,13]        D．(3,13)

6．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)

A．1        B．2        C.        D.

二、填空题

7. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.

8．化简(－)－(－)的结果是________．

9. 如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则＝____________(用a，b，c表示)．

10．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝________.

三、解答题

11. 如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.

12. 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量并分别求出其长度，

(1)a＋b＋c；　(2)a－b＋c.

能力提升

13．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？

14．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.

1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．

2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

3．以向量＝a、＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．

2．2.2　向量减法运算及其几何意义

答案

知识梳理

(1)相反向量　(2)　(3)始点　终点　

作业设计

1．A　2.B　3.B

4．C　[＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，

∴ABCD是矩形．]

5．C　[∵||＝|－|且

|||－|||≤|－|≤|A|＋||.

∴3≤|－|≤13.

∴3≤||≤13.]

6．D　[

如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则－＝＋

＝＋＝.

在△ABD中，AB＝BD＝1，

∠ABD＝120°，易求AD＝，

∴|－|＝.]

7.

8．0

解析　方法一　(－)－(－)

＝－－＋

＝＋＋＋

＝(＋)＋(＋)

＝＋＝0.

方法二　(－)－(－)

＝－－＋

＝(－)＋(－)

＝＋＝0.

9．a－b＋c

解析　＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.

10．4

解析　如图所示．

设O＝a，O＝b，则|B|＝|a－b|.

以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，

则|O|＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.

故|O|2＋|O|2＝|B|2，

所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，

从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，

根据矩形的对角线相等有|O|＝|B|＝4，

即|a＋b|＝4.

11．证明　方法一　∵b＋c＝＋＝＋＝，

＋a＝＋＝，

∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.

方法二　∵c－a＝－＝－＝，

＝＋＝－b，

∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.

12．解　(1)由已知得a＋b＝＋＝，

又＝c，∴延长AC到E，

使||＝||.

则a＋b＋c＝，且||＝2.

∴|a＋b＋c|＝2.

(2)作＝，连接CF，

则＋＝，

而＝－＝a－＝a－b，

∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.

∴|a－b＋c|＝2.

13．解　由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，

＝－＝a－b.

则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；

当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；

当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．

14．证明　作直径BD，连接DA、DC，则＝－，

DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.

∴CH∥DA，AH∥DC，

故四边形AHCD是平行四边形．

∴＝，

又＝－＝＋，

∴＝＋＝＋＝＋＋.