
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数学必修1第二章 基本初等函数(Ⅰ)综合与测试单元测试复习练习题
展开B 卷 数 学
班级:________ 姓名:________ 得分:________
第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二)
(对数与对数函数、幂函数)
名校好题·能力卷]
(时间:120分钟 满分:150分)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数y=lga(x+2)+1的图象过定点( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,1) D.(-1,1)
2.若2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>0,y>0)则eq \f(y,x)的值为( )
A.4 B.1或eq \f(1,4) C.1或4 D.eq \f(1,4)
3.下列函数中与函数y=x相等的函数是( )
A.y=(eq \r(x))2 B.y=eq \r(x2)
C.y=2lg2x D.y=lg22x
4.函数y=lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1+x)-1))的图象关于( )
A.原点对称 B.y轴对称
C.x轴对称 D.直线y=x对称
5.下列关系中正确的是( )
A.lg76
A.eq \f(1,8) B.4 C.2 D.eq \f(1,4)
7.函数y=ax2+bx与y=lgeq \f(b,a)x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
8.若函数y=(m2+2m-2)xm为幂函数且在第一象限为增函数,则m的值为( )
A.1 B.-3 C.-1 D.3
9.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(eq \r(a),a),则f(x)=( )
A.lg2x B.lg eq \s\d8(\f(1,2)) x C.eq \f(1,2x) D.x2
10.函数f(x)=lgeq \f(1,2)(x2-3x+2)的递减区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(3,2))) B.(1,2)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2),+∞)) D.(2,+∞)
11.函数f(x)=lg(kx2+4kx+3)的定义域为R,则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(3,4))) D.(-∞,0]∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4),+∞))
12.设a>0且a≠1,函数f(x)=lga|ax2-x|在3,4]上是增函数,则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6),\f(1,4)))∪(1,+∞) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8),\f(1,4)))∪(1,+∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8),\f(1,6)))∪(1,+∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,4)))∪(1,+∞)
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)
13.计算27 eq \s\up15(- eq \f (1,3)) +lg 0.01-ln eq \r(e)+3lg32=________.
14.函数f(x)=lg(x-1)+eq \r(5-x)的定义域为________.
15.已知函数f(x)=lg3(x2+ax+a+5),f(x)在区间(-∞,1)上是递减函数,则实数a的取值范围为________.
16.已知下列四个命题:①函数f(x)=2x满足:对任意x1,x2∈R且x1≠x2都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1+x2,2)))
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
(1)计算lg25+lg 2×lg 500-eq \f(1,2)lg eq \f(1,25)-lg29×lg32;
(2)已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示lg125.
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=lg(3x-3).
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设函数h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式h(x)>t无解,求实数t的取值范围.
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x eq \s\up15(-2m2+m+3) (m∈Z)为偶函数,且f(3)
(2)若g(x)=lgaf(x)-2x](a>0且a≠1),求g(x)在(2,3]上的值域.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=lgeq \f(kx-1,x-1)(k∈R).
(1)若y=f(x)是奇函数,求k的值,并求该函数的定义域;
(2)若函数y=f(x)在10,+∞)上是增函数,求k的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=lg3eq \f(1-x,1-mx)(m≠1)是奇函数.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)设g(x)=eq \f(1-x,1-mx),用函数单调性的定义证明:函数y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减;
(3)解不等式f(t+3)<0.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=lg4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)设g(x)=lg4(a·2x+a),若f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数a的取值范围.
详解答案
第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二)
(对数与对数函数、幂函数)
名校好题·能力卷]
1.D 解析:由对数函数恒过定点(1,0)知,函数y=lga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).
2.B 解析:由对数的性质及运算知,2lg(x-2y)=lg x+lg y化简为lg(x-2y)2=lg xy,即(x-2y)2=xy,解得x=y或x=4y.所以eq \f(y,x)的值为1或eq \f(1,4).故选B.
3.D 解析:函数y=x的定义域为R.A中,y=(eq \r(x))2定义域为0,+∞);B中,y=eq \r(x2)=|x|;C中,y=2lg2x=x,定义域为(0,+∞);D中,y=lg22x=x,定义域为R.所以与函数y=x相等的函数为y=lg22x.
4.A 解析:函数y=lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1+x)-1))的定义域为(-1,1).
又设f(x)=y=lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1+x)-1))=lgeq \f(1-x,1+x),
所以f(-x)=lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1+x,1-x)))=-lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1-x,1+x)))=-f(x),
所以函数为奇函数,故关于原点对称.
5.C 解析:由对数函数图象和性质,得0
6.A 解析:∵eq \f(1,27)>0∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))=lg3eq \f(1,27)=-3,∵-3<0,f(-3)=2-3=eq \f(1,8).故选A.
7.D 解析:A中,由y=ax2+bx的图象知,a>0,eq \f(b,a)<0,由y=lg eq \s\d8(eq \f(b,a)) x知,eq \f(b,a)>0,所以A错;
B中,由y=ax2+bx的图象知,a<0,eq \f(b,a)<0,由y=lg eq \s\d8(eq \f(b,a)) x知,eq \f(b,a)>0,所以B错;
C中,由y=ax2+bx的图象知,a<0,-eq \f(b,a)<-1,∴eq \f(b,a)>1,由y=lg eq \s\d8(eq \f(b,a)) x知0
9.B 解析:因为函数y=f(x)图象经过点(eq \r(a),a),所以函数y=ax(a>0且a≠1)过点(a,eq \r(a)),所以eq \r(a)=aa即a=eq \f(1,2),故f(x)=lgeq \f(1,2)x.
10.D 解析:令t=x2-3x+2,则当t=x2-3x+2>0时,解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞).且t=x2-3x+2在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增;
又y=lg eq \s\d8(\f(1,2)) t在其定义域上为单调递减的,所以由复合函数的单调性知,f(x)=lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x2-3x+2)单调递减区间是(2,+∞).
11.B 解析:因为函数f(x)=lg(kx2+4kx+3)的定义域为R,所以kx2+4kx+3>0,x∈R恒成立.①当k=0时,3>0恒成立,所以k=0适合题意.②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0,,Δ<0,))即0
12.A 解析:令u(x)=|ax2-x|,则y=lgau,所以u(x)的图象如图所示.
当a>1时,由复合函数的单调性可知,区间3,4]落在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2a)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a),+∞))上,所以4≤eq \f(1,2a)或eq \f(1,a)<3,故有a>1;
当04,解得eq \f(1,6)≤a
14.(1,5] 解析:要使函数f(x)=lg(x-1)+eq \r(5-x)有意义,只需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-1>0,,5-x≥0))即可.解得1
解题技巧:本题主要考查了复合函数的单调性,解决本题的关键是在保证真数g(x)>0的条件下,求出g(x)的单调增区间.
16.①③④ 解析:①∵指数函数的图象为凹函数,∴①正确;
②函数f(x)=lg2(x+eq \r(1+x2))定义域为R,且f(x)+f(-x)=lg2(x+eq \r(1+x2))+lg2(-x+eq \r(1+x2))=lg21=0,∴f(x)=-f(-x),∴f(x)为奇函数.
g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且g(x)=1+eq \f(2,2x-1)=eq \f(2x+1,2x-1),g(-x)=eq \f(2-x+1,2-x-1)=eq \f(1+2x,1-2x)=-g(x),∴g(x)是奇函数.②错误;
③∵f(x-1)=-f(x+1),∴f(7)=f(6+1)=-f(6-1)=-f(5),f(5)=f(4+1)=-f(4-1)=-f(3),f(3)=-f(1),
∴f(7)=-f(1),③正确;
④|lgax|=k(a>0且a≠1)的两根,则lgax1=-lgax2,∴lgax1+lgax2=0,∴x1·x2=1.∴④正确.
17.解:(1)原式=lg25+lg 5·lg 2+2lg 2+lg 5-lg39
=lg 5(lg 5+lg 2)+2lg 2+lg 5-2
=2(lg 5+lg 2)-2
=0.
(2)lg125=eq \f(lg 5,lg 12)=eq \f(lg \f(10,2),lg 3×4)=eq \f(lg 10-lg 2,lg 3+lg 4)=eq \f(1-lg 2,lg 3+2lg 2),
lg 2=a,lg 3=b,lg125=eq \f(1-lg 2,lg 3+2lg 2)=eq \f(1-a,b+2a).
18.解:(1)由3x-3>0解得x>1,所以函数f(x)的定义域为(1,+∞).
因为(3x-3)∈(0,+∞),所以函数f(x)的值域为R.
(2)因为h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x-3,3x+3)))
=lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(6,3x+3)))的定义域为(1,+∞),且在(1,+∞)上是增函数,所以函数的值域为(-∞,0).
所以若不等式h(x)>t无解,则t的取值范围为0,+∞).
19.解:(1)因为f(3)
当m=0时,f(x)=x3它不是偶函数.
当m=1时,f(x)=x2是偶函数.
所以m=1,f(x)=x2.
(2)由(1)知g(x)=lga(x2-2x),
设t=x2-2x,x∈(2,3],则t∈(0,3],
此时g(x)在(2,3]上的值域就是函数y=lgat在t∈(0,3]上的值域.
当a>1时,y=lgat在区间(0,3]上是增函数,所以y∈(-∞,lga3];
当0所以当a>1时,函数g(x)的值域为(-∞,lga3];当020.解:(1)因为f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即lgeq \f(-kx-1,-x-1)=-lgeq \f(kx-1,x-1),
∴eq \f(-kx-1,-x-1)=eq \f(x-1,kx-1),1-k2x2=1-x2,
∴k2=1,k=±1,
而k=1不合题意舍去,
∴k=-1.
由eq \f(-x-1,x-1)>0,得函数y=f(x)的定义域为(-1,1).
(2)∵f(x)在10,+∞)上是增函数,∴eq \f(10k-1,10-1)>0,∴k>eq \f(1,10).
又f(x)=lgeq \f(kx-1,x-1)=lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k+\f(k-1,x-1))),
故对任意的x1,x2,当10≤x1
综上可知k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10),1)).
解题技巧:本题主要考查了对数型函数的性质,解决本题的关键是充分利用好奇偶性和单调性.
21.(1)解:由题意得f(-x)+f(x)=0对定义域中的x都成立,
所以lg3eq \f(1+x,1+mx)+lg3eq \f(1-x,1-mx)=0,即eq \f(1+x,1+mx)·eq \f(1-x,1-mx)=1,
所以1-x2=1-m2x2对定义域中的x都成立,
所以m2=1,又m≠1,所以m=-1,
所以f(x)=lg3eq \f(1-x,1+x).
(2)证明:由(1)知,g(x)=eq \f(1-x,1+x),
设x1,x2∈(-1,1),且x1
因为g(x1)-g(x2)=eq \f(2x2-x1,1+x11+x2)>0,所以g(x1)>g(x2),
所以函数y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减.
(3)解:函数y=f(x)的定义域为(-1,1),
设x1,x2∈(-1,1),且x1
所以lg3g(x1)>lg3g(x2),即f(x1)>f(x2),
所以y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减.
因为f(t+3)<0=f(0),所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-1
解得-3
∴lg4(4x+1)+kx=lg4(4-x+1)-kx,
化简得lg4eq \f(4x+1,4-x+1)=-2kx,
即x=-2kx对一切x∈R恒成立,∴k=-eq \f(1,2).
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,
即方程lg4(4x+1)-eq \f(1,2)x=lg4(a·2x+a)有且只有一个实根,
化简得方程2x+eq \f(1,2x)=a·2x+a有且只有一个实根,且a·2x+a>0成立,则a>0.
令t=2x>0,则(a-1)t2+at-1=0有且只有一个正根.
设g(t)=(a-1)t2+at-1,注意到g(0)=-1<0,所以
①当a=1时,有t=1,符合题意;
②当00,,Δ=0,))此时有a=-2+2eq \r(2)或a=-2-2eq \r(2)(舍去);
③当a>1时,又g(0)=-1,方程恒有一个正根与一个负根,符合题意.
综上可知,a的取值范围是{-2+2eq \r(2)}∪1,+∞).
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