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人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试单元测试精练
展开B 卷 数 学
班级:________ 姓名:________ 得分:________
创优单元测评
(第一章)
名校好题·能力卷]
(时间:120分钟 满分:150分)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数y=eq \f(\r(1-x),2x2-3x-2)的定义域为( )
A.(-∞,1] B.(-∞,2]
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(1,2)))∩eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),1))
2.已知a,b为两个不相等的实数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},映射f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x-1x≥2,,-x2+3xx<2,))则f(-1)+f(4)的值为( )
A.-7 B.3 C.-8 D.4
4.已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.1或-1或0
5.函数f(x)=eq \f(cx,2x+3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠-\f(3,2))),满足f(f(x))=x,则常数c等于( )
A.3 B.-3
C.3或-3 D.5或-3
6.若函数f(x)的定义域为R,且在(0,+∞)上是减函数,则下列不等式成立的是( )
A.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))>f(a2-a+1) B.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))
7.函数y=x|x|,x∈R,满足( )
A.既是奇函数又是减函数 B.既是偶函数又是增函数
C.既是奇函数又是增函数 D.既是偶函数又是减函数
8.若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上是减函数,又f(-3)=1,则不等式f(x)<1的解集为( )
A.{x|x>3或-3
B.最大值为7-2eq \r(7),无最小值
C.最大值为3,无最小值
D.既无最大值,又无最小值
10.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈0,+∞)(x1≠x2),有eq \f(fx2-fx1,x2-x1)<0,则( )
A.f(3)
则F(x)=f(x)·g(x)的图象可能是下图中的( )
12.设f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0)上为减函数.若x1<0,且x1+x2>0,则( )
A.f(x1)>f(x2)
B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)
13.已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2∈M,则满足条件的实数x组成的集合为________.
14.若函数f(x)=kx2+(k-1)x+2是偶函数,则f(x)的递减区间是________.
15.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),(x,y∈R),则下列各式恒成立的是________.
①f(0)=0;②f(3)=3f(1);③feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=eq \f(1,2)f(1);④f(-x)·f(x)<0.
16.若函数f(x)=x2-(2a-1)x+a+1是(1,2)上的单调函数,则实数a的取值范围为________.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
设集合A为方程-x2-2x+8=0的解集,集合B为不等式ax-1≤0的解集.
(1)当a=1时,求A∩B;
(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.
18.(本小题满分12分)
设全集为R,A={x|3
(2)C={x|a-4≤x≤a+4},且A∩C=A,求a的取值范围.
19.(本小题满分12分)
函数f(x)=eq \f(2x-1,x+1),x∈3,5].
(1)判断单调性并证明;
(2)求最大值和最小值.
20.(本小题满分12分)
已知二次函数f(x)=-x2+2ax-a在区间0,1]上有最大值2,求实数a的值.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)的值满足f(x)>0(当x≠0时),对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤eq \r(3,9),求a的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x2+eq \f(a,x)(x≠0).
(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(1)=2,试判断f(x)在2,+∞)上的单调性.
详解答案
创优单元测评
(第一章)
名校好题·能力卷]
1.D 解析:由题意知,eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-x≥0,,2x2-3x-2≠0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1,,x≠-\f(1,2)且x≠2.))故选D.
2.D 解析:∵集合M中的元素-1不能映射到N中为-2,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2-4a=-2,,b2-4b+1=-1.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2-4a+2=0,,b2-4b+2=0.))
∴a,b为方程x2-4x+2=0的两根,∴a+b=4.
3.B 解析:f(4)=2×4-1=7,f(-1)=-(-1)2+3×(-1)=-4,∴f(-1)+f(4)=3,故选B.
4.D 解析:∵A∪B=A,∴B⊆A,
∴B=∅或B={-1}或B={1}.则m=0或-1或1.
解题技巧:涉及到B⊆A的问题,一定要分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论,其中B=∅的情况易被忽略,应引起足够的重视.
5.B 解析:f(f(x))=eq \f(cfx,2fx+3)=x,f(x)=eq \f(3x,c-2x)=eq \f(cx,2x+3),得c=-3.
6.C 解析:∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,且a2-a+1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a-\f(1,2)))2+eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0,∴f(a2-a+1)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))).
解题技巧:根据函数的单调性,比较两个函数值的大小,转化为相应的两个自变量的大小比较.
7.C 解析:由f(-x)=-f(x)可知,y=x|x|为奇函数.当x>0时,y=x2为增函数,而奇函数在对称区间上单调性相同.
8.C 解析:由于f(x)是偶函数,∴f(3)=f(-3)=1,f(x)在(-∞,0)上是增函数,∴当x>0时,f(x)<1即为f(x)
10.A 解析:若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)
∴f(3)
在x=0的左侧附近,∵f(x)>0,g(x)<0,∴F(x)<0,
在x=0的右侧附近,∵f(x)<0,g(x)>0,∴F(x)<0.故选A.
12.C 解析:∵x1<0且x1+x2>0,∴-x2
∴f(-x2)>f(x1).
而f(x)又是偶函数,∴f(-x2)=f(x2).
∴f(x1)
14.(-∞,0] 解析:∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=kx2-(k-1)x+2=kx2+(k-1)x+2=f(x).
∴k=1.
∴f(x)=x2+2,其递减区间为(-∞,0].
15.①②③ 解析:令x=y=0得,f(0)=0;
令x=2,y=1得,f(3)=f(2)+f(1)=3f(1);
令x=y=eq \f(1,2)得,f(1)=2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))),∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=eq \f(1,2)f(1);
令y=-x得,f(0)=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x),
∴f(-x)·f(x)=-f(x)]2≤0.
16.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥\f(5,2)或a≤\f(3,2))))) 解析:函数f(x)的对称轴为x=eq \f(2a-1,2)=a-eq \f(1,2),
∵函数在(1,2)上单调,
∴a-eq \f(1,2)≥2或a-eq \f(1,2)≤1,
即a≥eq \f(5,2)或a≤eq \f(3,2).
解题技巧:注意分单调递增与单调递减两种情况讨论.
17.解:(1)由-x2-2x+8=0,解得A={-4,2}.
当a=1时,B=(-∞,1].
∴A∩B=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-4)).
(2)∵A⊆B,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-4a-1≤0,,2a-1≤0,))
∴-eq \f(1,4)≤a≤eq \f(1,2),
即实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,4),\f(1,2))).
18.解:(1)∁R(A∪B)={x|x≤3或x≥10},
(∁RA)∩B={x|7≤x<10}.
(2)由题意知,∵A⊆C,∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a+4≥7,,a-4≤3,))解得3≤a≤7,
即a的取值范围是3,7].
19.解:(1)f(x)在3,5]上为增函数.证明如下:
任取x1,x2∈3,5]且x1
∴ f(x1)-f(x2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(3,x1+1)))-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2-\f(3,x2+1)))
=eq \f(3,x2+1)-eq \f(3,x1+1)=eq \f(3x1-x2,x1+1x2+1),
∵ 3≤x1
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
(2)根据f(x)在3,5]上单调递增知,
f(x)]最大值=f(5)=eq \f(3,2),
f(x)]最小值=f(3)=eq \f(5,4).
解题技巧:(1)若函数在闭区间a,b]上是增函数,则f(x)在a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).
(2)若函数在闭区间a,b]上是减函数,则f(x)在a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b).
20.解:由f(x)=-(x-a)2+a2-a,得函数f(x)的对称轴为x=a.
①当a<0时,f(x)在0,1]上单调递减,∴f(0)=2,
即-a=2,∴a=-2.
②当a>1时,f(x)在0,1]上单调递增,∴f(1)=2,
即a=3.
③当0≤a≤1时,f(x)在0,a]上单调递增,在a,1]上单调递减,
∴f(a)=2,即a2-a=2,解得a=2或-1与0≤a≤1矛盾.
综上,a=-2或a=3.
21.解:(1)令x=y=-1,f(1)=1.
f(x)为偶函数.证明如下:
令y=-1,则f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,
∴f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数.
设0
∵0
∴f(x1)<f(x2),
故f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)∵f(27)=9,
又f(3×9)=f(3)×f(9)=f(3)·f(3)·f(3)=f(3)]3,
∴9=f(3)]3,∴f(3)=eq \r(3,9),
∵f(a+1)≤eq \r(3,9),∴f(a+1)≤f(3),
∵a≥0,∴a+1≤3,即a≤2,
综上知,a的取值范围是0,2].
22.解:(1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x).
∴函数f(x)是偶函数.
当a≠0时,f(x)=x2+eq \f(a,x)(x≠0),而f(-1)+f(1)=2≠0,
f(-1)-f(1)=-2a≠0,∴ f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).
∴ 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时f(x)=x2+eq \f(1,x).
任取x1,x2∈2,+∞),且x1
f(x1)
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