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高中人教版新课标A第二讲 讲明不等式的基本方法三 反证法与放缩法教学ppt课件
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这是一份高中人教版新课标A第二讲 讲明不等式的基本方法三 反证法与放缩法教学ppt课件，共50页。PPT课件主要包含了要证的命题不成立，命题的条件，原命题成立，失误案例等内容，欢迎下载使用。
【自主预习】1.反证法(1)方法:先假设_________________,以此为出发点,结合已知条件,应用_______________________等,进行正确的推理,得到和___________(或已证明的定理、性
公理、定义、定理、性质
质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明___________,我们把它称为反证法.(2)适用范围:对于那些直接证明比较困难的否定性命题,唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问题,常常用反证法证明.
2.放缩法(1)方法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值_____或_____,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.(2)关键:放大(缩小)要适当.
【即时小测】1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可把下列哪些作为条件使用 ( )(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等.(4)原结论.A.(1)(2) B.(2)(3)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(4)
【解析】选C.根据反证法的定义可知,用反证法证明过程中,可应用(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等推出矛盾.
2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB> ∠APC,求证:∠BAP<∠CAP用反证法证明时的假设为__________________.
【解析】反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.
【知识探究】 探究点 反证法与放缩法1.用反证法证明时,导出矛盾有哪几种可能?提示:①与原命题的条件矛盾;②与假设矛盾;③与定义、公理、定理、性质矛盾;④与客观事实矛盾.
2.用反证法证明命题“若p则q”时, ¬q假,q即为真吗?提示:是的.在证明数学问题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者中居其一, ¬q是q的反面,若¬q为假,则q必为真.
【归纳总结】1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设
2.放缩法证明不等式的理论依据(1)不等式的传递性.(2)等量加不等量为不等量.(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.
3.放缩法证明不等式常用的技巧(1)增项或减项.(2)在分式中增大或减小分子或分母.(3)应用重要不等式放缩,如a2+b2≥2ab, (4)利用函数的单调性等.
类型一 利用反证法证明否定性命题【典例】设0
【方法技巧】1.用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立.(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
2.否定性不等式的证法及关注点当待证不等式的结论为否定性命题时,常采用反证法来证明,对结论的否定要全面不能遗漏,最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.
【变式训练】1.(2016·泰安高二检测)用反证法证明命题“如果a>b,那么 ”时,假设的内容是( )
【解析】选C.结论 的否定是 或 成立.
2.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列.求证: 不成等差数列.【证明】假设 成等差数列,则 即a+c+ =4b,又三个正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b= .
所以a+c+2 =4 ,即a+c-2 =0,所以( )2=0,所以 ,即a=c.从而a=b=c,这与已知中a,b,c不成等差数列矛盾,所以原假设错误,故 不成等差数列.
类型二 利用反证法证明“至少”“至多”型问题【典例】已知f(x)=x2+px+q,求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .
【解题探究】典例(2)中待证结论的反设是什么?提示:反设是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 .
【证明】(1)由于f(x)=x2+px+q,所以f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ,则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,(*)
又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2与(*)矛盾,假设不成立.故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .
【延伸探究】1.若本例条件变为“a3+b3=2”,求证:a+b≤2.【证明】假设a+b>2,而a2-ab+b2= 但取等号的条件为a=b=0,显然不可能,所以a2-ab+b2>0.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),
而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.所以1+ab>a2+b2≥2ab.从而ab<1.所以a2+b2<1+ab<2.所以(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.而由假设a+b>2,得(a+b)2>4,出现矛盾,故假设不成立,原结论成立,即a+b≤2.
2.将典例中的条件改为“设二次函数f(x)=x2+px+1”,求证:|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.【证明】假设|f(1)|,|f(-1)|都小于2,则有|f(1)|+|f(-1)|<4,(*)又|f(1)|+|f(-1)|≥f(1)+f(-1)=(1+p+1)+[(-1)2+(-1)p+1]=4.
所以|f(1)|+|f(-1)|≥4与(*)矛盾,假设不成立.故|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.
【方法技巧】“至多”“至少”型问题的证明方法(1)在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.
(2)在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.
【变式训练】若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c中至少有一个大于零.
【证明】假设a,b,c都不大于零,则a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0.而a+b+c= =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,所以a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于零.
类型三 利用放缩法证明不等式【典例】求证: (n∈N+且n≥2).【解题探究】典例中如何将 中的分母适当放大或缩小转化为求和的形式?提示: (n∈N+且n≥2).
【证明】因为k(k+1)>k2>k(k-1),所以 即 (k∈N+且k≥2).分别令k=2,3,…,n得
将这些不等式相加得
所以 即(n∈N+且n≥2)成立.
【方法技巧】放缩法证明不等式的技巧 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即A
【变式训练】已知S= (n是大于2的自然数),则有( )A.S<1 B.2
【补偿训练】已知an=4n-2n,Tn= 求证:T1+T2+T3+…+Tn<
【证明】因为a1+a2+…+an=41+42+43+…+4n-(21+22+…+2n)= (4n-1)+2(1-2n),所以Tn=
从而T1+T2+T3+…+Tn=
自我纠错 用放缩法证明不等式【典例】设n为大于1的自然数,求证
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是证明过程放缩思路错误.正确解答过程如下:
【自主预习】1.反证法(1)方法:先假设_________________,以此为出发点,结合已知条件,应用_______________________等,进行正确的推理,得到和___________(或已证明的定理、性
公理、定义、定理、性质
质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明___________,我们把它称为反证法.(2)适用范围:对于那些直接证明比较困难的否定性命题,唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问题,常常用反证法证明.
2.放缩法(1)方法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值_____或_____,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.(2)关键:放大(缩小)要适当.
【即时小测】1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可把下列哪些作为条件使用 ( )(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等.(4)原结论.A.(1)(2) B.(2)(3)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(4)
【解析】选C.根据反证法的定义可知,用反证法证明过程中,可应用(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等推出矛盾.
2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB> ∠APC,求证:∠BAP<∠CAP用反证法证明时的假设为__________________.
【解析】反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.答案:∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.
【知识探究】 探究点 反证法与放缩法1.用反证法证明时,导出矛盾有哪几种可能?提示:①与原命题的条件矛盾;②与假设矛盾;③与定义、公理、定理、性质矛盾;④与客观事实矛盾.
2.用反证法证明命题“若p则q”时, ¬q假,q即为真吗?提示:是的.在证明数学问题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者中居其一, ¬q是q的反面,若¬q为假,则q必为真.
【归纳总结】1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设
2.放缩法证明不等式的理论依据(1)不等式的传递性.(2)等量加不等量为不等量.(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.
3.放缩法证明不等式常用的技巧(1)增项或减项.(2)在分式中增大或减小分子或分母.(3)应用重要不等式放缩,如a2+b2≥2ab, (4)利用函数的单调性等.
类型一 利用反证法证明否定性命题【典例】设0
【方法技巧】1.用反证法证明的一般步骤(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立.(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
2.否定性不等式的证法及关注点当待证不等式的结论为否定性命题时,常采用反证法来证明,对结论的否定要全面不能遗漏,最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.
【变式训练】1.(2016·泰安高二检测)用反证法证明命题“如果a>b,那么 ”时,假设的内容是( )
【解析】选C.结论 的否定是 或 成立.
2.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列.求证: 不成等差数列.【证明】假设 成等差数列,则 即a+c+ =4b,又三个正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b= .
所以a+c+2 =4 ,即a+c-2 =0,所以( )2=0,所以 ,即a=c.从而a=b=c,这与已知中a,b,c不成等差数列矛盾,所以原假设错误,故 不成等差数列.
类型二 利用反证法证明“至少”“至多”型问题【典例】已知f(x)=x2+px+q,求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .
【解题探究】典例(2)中待证结论的反设是什么?提示:反设是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 .
【证明】(1)由于f(x)=x2+px+q,所以f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ,则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,(*)
又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥2与(*)矛盾,假设不成立.故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .
【延伸探究】1.若本例条件变为“a3+b3=2”,求证:a+b≤2.【证明】假设a+b>2,而a2-ab+b2= 但取等号的条件为a=b=0,显然不可能,所以a2-ab+b2>0.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),
而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.所以1+ab>a2+b2≥2ab.从而ab<1.所以a2+b2<1+ab<2.所以(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.而由假设a+b>2,得(a+b)2>4,出现矛盾,故假设不成立,原结论成立,即a+b≤2.
2.将典例中的条件改为“设二次函数f(x)=x2+px+1”,求证:|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.【证明】假设|f(1)|,|f(-1)|都小于2,则有|f(1)|+|f(-1)|<4,(*)又|f(1)|+|f(-1)|≥f(1)+f(-1)=(1+p+1)+[(-1)2+(-1)p+1]=4.
所以|f(1)|+|f(-1)|≥4与(*)矛盾,假设不成立.故|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.
【方法技巧】“至多”“至少”型问题的证明方法(1)在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.
(2)在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.
【变式训练】若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c中至少有一个大于零.
【证明】假设a,b,c都不大于零,则a≤0,b≤0,c≤0,所以a+b+c≤0.而a+b+c= =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,所以a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于零.
类型三 利用放缩法证明不等式【典例】求证: (n∈N+且n≥2).【解题探究】典例中如何将 中的分母适当放大或缩小转化为求和的形式?提示: (n∈N+且n≥2).
【证明】因为k(k+1)>k2>k(k-1),所以 即 (k∈N+且k≥2).分别令k=2,3,…,n得
将这些不等式相加得
所以 即(n∈N+且n≥2)成立.
【方法技巧】放缩法证明不等式的技巧 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即A
【变式训练】已知S= (n是大于2的自然数),则有( )A.S<1 B.2
【补偿训练】已知an=4n-2n,Tn= 求证:T1+T2+T3+…+Tn<
【证明】因为a1+a2+…+an=41+42+43+…+4n-(21+22+…+2n)= (4n-1)+2(1-2n),所以Tn=
从而T1+T2+T3+…+Tn=
自我纠错 用放缩法证明不等式【典例】设n为大于1的自然数,求证
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是证明过程放缩思路错误.正确解答过程如下:
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