人教版新课标A选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式课前预习课件ppt

这是一份人教版新课标A选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式课前预习课件ppt，共47页。PPT课件主要包含了abc，a1a2an，失误案例等内容，欢迎下载使用。

【自主预习】1.三个正数的算术-几何平均不等式(定理3)如果a,b,c∈R+,那么 ≥_______,当且仅当______时,等号成立.
2.基本不等式的推广对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即 ___ ,当且仅当___________时,等号成立.
【即时小测】1.函数y=2x2+ (x∈R+)的最小值为　(　　)A.6　　　　　B.7　　　　　C.8　　　　　D.9【解析】选A.因为x∈R+,所以当且仅当x=1时等号成立.
2.若n>0,则 的最小值为　(　　)A.2B.4C.6D.8【解析】选C.因为 所以 当且仅当n=4时等号成立.
3.若a>b>0,则a+ 的最小值为_________.【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,所以 当且仅当(a-b)=b= 时等号成立.答案:3
【知识探究】 探究点　三个正数的算术-几何平均不等式1.不等式 成立时,a,b,c的范围是什么?提示:a>0,b>0,c>0.
2.应用三个正数的算术-几何平均不等式,求最值应注意什么?提示:三个正数的和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.求最值时应注意三个条件“一正、二定、三相等”同时具备.
【归纳总结】1.定理3的变形及结论(1)abc≤ .(2)a3+b3+c3≥3abc.(3) 上式中a,b,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.
2.利用定理3可确定代数式或函数的最值(1)若a,b,c∈R+,且积abc为定值s时,由a+b+c≥(定值),当且仅当a=b=c时,和a+b+c有最小值3 .(2)若a,b,c∈R+,且和a+b+c为定值p时,由abc≤(定值),当且仅当a=b=c时,积abc有最大值 p3.
类型一　利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x 的最大值.2.求函数y=x+ (x>1)的最小值.
【解题探究】1.典例1中如何构造式子,使其和为定值?提示:可将式子(1-3x)2·x化为 (1-3x)(1-3x)·6x的形式.2.典例2中如何构造式子,使其积为定值?提示:可将式子x+ 化为 则其积 为常数.
【解析】1.因为00,所以y=(1-3x)2·x= (1-3x)·(1-3x)·6x 当且仅当1-3x=1-3x=6x,即x= 时等号成立,此时ymax= .
2.因为x>1,所以x-1>0,当且仅当 即x=3时等号成立,即ymin=4.
【延伸探究】1.若将典例1中的条件变为“y=x(1-x2)(02.若将典例1条件变为“x,y∈R+且x2y=4”,如何求x+y的最小值?【解析】因为x,y∈R+且x2y=4,所以x+y= 当且仅当 =y时等号成立,又x2y=4,所以当x=2,y=1时,x+y取最小值3.
【方法技巧】用平均不等式求最值的注意点(1)应用平均不等式,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”同时具备时,方可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等.
(2)当不具备使用平均不等式的条件时,求函数的最值可考虑利用函数的单调性.
【变式训练】1.如图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为2,高为1,将此钢板切割成等腰梯形的形状,记CD=2x,梯形面积为S,则S的最大值是_________.
【解析】建立如图所示的坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则B(1,-1),代入抛物线方程可得2p=1,所以抛物线方程为x2=-y,因为CD=2x,所以D(x,-x2),
所以梯形的高为1-x2,梯形的面积为S=(x+1)(1-x2),x∈(0,1),S=(x+1)(1-x2)= (x+1)2(2-2x)≤ 当且仅当x+1=2-2x,即x= 时,S的最大值是 .答案:
2.已知x>0,求y= +3x的最小值.【解析】因为x>0,所以y= 当且仅当 即x=2时等号成立.故y= +3x的最小值为9.
类型二　利用三个正数的算术-几何平均不等式证明不等式【典例】设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+【解题探究】典例可分几次使用不等式?提示:分两次使用不等式.
【证明】因为a,b,c为正实数,所以a3+b3+c3≥=3abc>0,当且仅当a=b=c时,等号成立.又3abc+当且仅当3abc= 时,等号成立.所以a3+b3+c3+
【方法技巧】证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件,看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明.(2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.
【变式训练】1.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+ ≥2y+3.
【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,所以2x+ -2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ 等号成立的条件是 =x-y,即x-y=1.所以2x+ ≥2y+3.
2.(2016·哈尔滨高二检测)已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,求证:
【证明】因为a>b>c>d,所以a-b>0,b-c>0,c-d>0,a-d>0,所以 = [(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥ 当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,即
【补偿训练】设a,b,c∈R+,求证: 【证明】因为 当且仅当c= 时取等号,所以原不等式成立.
拓展类型　平均不等式在解应用题中的应用【典例】如图所示,在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.
由物理学知道,桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比.即E=k .这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮?
【解析】因为r= ,所以E= 所以E2= ·sin2θ·cs4θ= ·(2sin2θ)·cs2θ·cs2θ
当且仅当2sin2θ=cs2θ时取等号,即tan2θ= ,tanθ= ,所以h=2tanθ= ,即h= 米时,E最大,此时桌子边缘处最亮.故当灯的高度为 米时,才能使桌子边缘处最亮.
【方法技巧】用不等式解决应用问题的方法解应用问题的关键是读懂题意,建立适当的函数关系式,把所求问题转化为求函数的最值问题,并将函数式配凑成可以利用平均不等式的形式.
【变式训练】1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是_________.
【解析】设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x,y,z,三角形的面积为S.则S= (3x+4y+5z),又因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S= ×3×4=6,所以3x+4y+5z=2×6=12,
所以 ≤3x+4y+5z=12,所以(xyz)max= .当且仅当3x=4y=5z,即x= ,y=1,z= 时等号成立.答案:
2.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3(1)求a的值.(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11,所以a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3) =2+10(x-3)(x-6)2,3当且仅当2x-6=6-x,即x=4时等号成立.当x=4时,f(x)取最大值,且最大值等于42.答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
自我纠错　三个正数的算术-几何平均不等式在求最值中的应用【典例】已知0≤x≤1,求y=x4(1-x2)的最大值.
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是错误理解了应用三个正数的算术-几何平均不等式求最值的条件和原则,忽视了等号成立的条件.正确解答过程如下:
【解析】y=x4(1-x2)= x2·x2·(2-2x2)当且仅当x2=2-2x2,即x= 时,y=x4(1-x2)取得最大值