高中数学人教版新课标A选修2-21.4生活中的优化问题举例教案及反思

教学环节

教学活动

设计意图

(1)复习引入：

1、  建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键

2、  要注意不能漏掉函数的定义域

为课题作铺垫.

(2)典型例题讲解

例1、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为

(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m

则 3.2 – 2x > 0 ,  x>0 , 得 0<x<1.6.

设容器体积为y m3,则 y = x (x+0.5) (3.2 – 2x)

= - 2x3+2.2x2+1.6x (0<x<1.6)

y' = - 6x2+4.4x+1.6,

令y' = 0 得 x = 1 或 x = - 4/15 (舍去），

∴当0<x<1时，y'>0 , 当1<x<1.6时，y'<0 ,

∴在 x = 1处，y有最大值，此时高为1.2m,

最大容积为1.8m3。

选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解。

(4)加强巩固1

例2、有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？（注：不计河宽）

解：设，（0<<）,

.

设总的水管费用为().依题意,有

()=）+.

()==.

令()=0,得.根据问题的实际意义,当时,函数取得最小值,此时, ,,,即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省。

使学生能熟练步骤.

(5) 加强巩固2

例3、已知某厂生产件产品的成本为C=（元），问：

（1）          要使平均成本最低，应生产多少件产品？

（2）          若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

解：（1）设平均成本为y元，则

.

.

令,得,

当在附近左侧时, <0; 在=1000附近右侧时, >0,

故当=1000时, y取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产1000件产品.

(2)利润函数为,

.

令,解得.

当在附近左侧时, >0;在附近右侧时, <0.

故当时,L取得极大值.由于函数只有一个使的点,且函数在该点有极大值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产6000件产品.

提高提高问题的综合性，锻炼学生能力。

(6)课堂小结

1、  让学生自己总结生活中的最优化问题的设计背景主要有：立体几何、解析几何、三角函数等。

2、  自变量的引入不是固定的，要注意引入自变量的技巧。

(7)作业布置:教科书P104 A组4,5,6。

(8备用题目：

1、用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角剪去的正方形的边长为                                                        （ B  ）

  A         B        C        D

3、做一个容积为底面为正方形的无盖长方体水箱，它的高为4     时，最省料。

4、某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为280元，对于多于150的订购合同，每超过一件，则每件售价比原来减少1元，当公司的收益最大时订购件数为   215             。

5、某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？

解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大

其中

6、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10km,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使航行1km的费用总和最小?

解:设船速为(>0), 航行1km的费用总和为,设每小时燃料费为 则 

. （其中）； .

令,解得.

当

，即以每小时20公里的速度航行时，航行1km的费用总和最小。