学案 专题辅导-三角形重心 垂心 形内点的共性

  三角形重心 垂心 形内点的共性

    读者都知道，三角形中三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的，即：如果G是△ABC三条中线AD、BE、CF的交点，那么

    如图1，从而可得：

    这个结果说明三组线段的比的和为1，非常奇妙的是三角形的垂心也有类似的性质请看：

    设H是△ABC三条高线AD、BE、CF的交点，因为

    所以

    更为奇妙的是三角形内的任意一点也有这样的性质：

    设Q是△ABC内任意一点，连结AQ、BQ、CQ并分别延长交对边于D、E、F

    过Q作QP∥AB，QH∥AC分别交BC于P、H，则：

    又由于△DPQ∽△DBA及△QPH∽△ABC

    可得：

    所以

    读者看到这里，是不是感到：数学，真奇妙！