2021学年3.4 基本不等式教学设计

3.4基本不等式

一、三维目标：

1、知识与技能：

理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题

2、过程与方法：

能够理解并建立不等式的知识链

3、情感、态度与价值观：

通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识

4、本节重点：

应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程

5、本节难点：

应用基本不等式求最值

二、课程引入：

第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：

四个以a，b为直角边的直角△ABC，组成正方形ABCD

则

如图可知： 即

当且仅当小正方形EFGH面积为0时取等号，即时取得等号

三、新课讲授：

（一）基本不等式的推证：

1、重要不等式与基本不等式

由引入中提到的重要不等式，将其中的用代换，

得到基本不等式，当且仅当时，即时取得等号。

特别注意，重要不等式的适用范围是全体实数，

而基本不等式的使用需要

2、基本不等式的几种表述方式

平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理）

数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项

探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长

3、分析法推证基本不等式

要证，只需证明（2）。要证明（2）只需证明（3）。

要证明（3）只需证明（4）。（4）式显然成立，故得证。

（二）基本不等式的应用与提高：

1、你是设计师！

（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。有以下两种方案：

圆形花圃：造价12元/米     矩形花圃：造价10元/米

你觉得哪个方案更省钱呢？

分析及解答：因为初中学习过平面几何，同学们大都知道，同样长度的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大，由此可知，同样的面积肯定是为圆形用的材料省。但是本题涉及造价问题，两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少，但是每米的花费高，所以到底应该用哪个方案需要动手算一下才能知道。在这里让学生分成两派，可以自己选择一个认为比较省钱的方案去计算。

圆形花圃：

矩形花圃：设两边为x，y，，故当x=y时花费最少为400元

（2）现在只有36米的篱笆可用，怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大？

解：

（3）有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料。那么发挥你的聪明才智，用这36米的篱笆，怎么样设计才能围出面积最大的花圃？

2、看谁算得快！

3、大家来挑错！

分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。

本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。

提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。

本题的解答没有注意本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。

提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得。

（三）小结：

1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件，基本不等式需要正数，重要不等式可用于全体实数。

2、积定和最小、和定积最大。

3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正，二定，三相等”

四、作业：

1、书后练习题。

2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。

五、课后反思：

1、多媒体的运用。

在引入部分，关于数学家大会的图标，如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果，让学生更加直观的观察到变换过程的话，教学效果会更好。

2、

应该引导学生多种思路考虑问题

比如这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。

3、因为本节是新课讲授，学生新接触一个知识，还没有能够很好的融会贯通。因此上在这个阶段不应该做过难的题目。一些简单的，同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到更好的效果。本课中设计了一些基本可以口答的小题，让学生在很短的时间中完成。这不仅可以强化学生会本节主要内容的理解和运用，而且也对快速反应和解答题目进行了强化，提高学生解题效率。

4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对本节重点内容的理解，而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误，提高教学效率。同时也培养了学生质疑精神，寻求科学真理的热情。

 天津市二十中学

归娜