人教版新课标A必修5第三章 不等式3.4 基本不等式教学设计

3.4.1 基本不等式

一、教材分析

“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。   

二、学情分析

学生们通过本章前两节的学习对不等式有了初步了解，学会运用不等式。但接触的不等式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式对学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍，特别是在基本不等式的几何意义理解上会存在困难。

三、教学目标

1、知识与技能：

（1）学会推导基本不等式；

（2）理解基本不等式的几何意义；

（3）掌握基本不等式成立、取等条件。

2、过程与方法：

（1）探索了解基本不等式的证明过程。

（2）体会基本不等式的证明方法。

3、情感态度价值观：

（1）通过探索基本不等式的证明过程，培养学生的探索、研究精神。

（2）通过对基本不等式成立条件的分析，培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

四、教学重难点

教学重点：从不同角度证明基本不等式；

教学难点：从数形结合的思想理解不等式的含义，挖掘基本不等式的内涵及几何意义。

五、教学过程

（一）认识基本不等式

师：在前面我们已经对不等式进行了多方面的学习，昨天老师交给了部分同学一些任务，让他们从这几个图中找出其中存在的不等关系，下面我们来请他们上来汇报一下探究成果。

学生1：

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标颜色的明暗使它看上去像一个风车。

    实际上，它是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计而成的。大家可以对比欣赏一下。

    那么，这个会标与我们今天所要学习的基本不等式有何关系呢？

    首先把这个会标抽象成一个数学图形，观察这个图形，

:这四个直角三角形的面积相等，为全等三角形；

大正方的面积大于四个直角三角形面积之和。

设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．[来源:学科网ZXXK]

4个直角三角形的面积之和，

正方形的面积．

由图可知，即．

当小正方形缩成了一个点时，大正方形的面积正好等于这四个直角三角形面积之和。实际上这个过程也就是这四个直角三角形变成了等腰直角三角形，也就是a等于b。所以也可以说，当a=b时，等号成立。

师：结合以上分析我们可以得到（再次强调，等号何时成立）.

此时a，b的取值范围是怎样的呢？——

学生2：

如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．

根据射影定理可得：

由于Rt中直角边斜边，

于是有

当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．

故而再次证明：

当时，（当且仅当时，等号成立）

学生3:

师：好，我们发现，三位同学共同得到了这样两条不等式，

，

并且这两条不等关系存在着密切的联系：可以用代替a， 代替b，得到。那么我们把叫做重要不等式，叫做基本不等式。

（二）细节剖析

师：接下来我们来从细节上看看。刚刚我们从几个几何图形中抽离出的两条不等式，对于中间的a，b的取值范围是怎样的呢？——

那么，当a、b为任意实数时，上式还成立吗？如果是，你能给出它的证明吗？大家可以相互讨论

（作差法）：

，当时取等号．

但是基本不等式是否和重要不等式一样，也是对任意实数a、b都成立呢？

   强调推导的前提是a>0,b>0。

  这就是两条不等式存在的前提条件，那么接下来看看等号成立需要满足什么条件？

   当时取等号。

还有其他情况使得等号成立吗？——没有。

因此，准确的说，应该是，当a=b，而且只有当a=b时，等号成立。

即：当且仅当a=b时，等号成立。

英语里面对“当且仅当”这个词是这样翻译的：if and only if，大家要仔细体会这里“当且仅当”的含义。

所以我们看基本不等式，要从几个方面去认识它：成立的前提，等号成立条件，以及这条式子本身。

基本不等式:

若，则（当且仅当时，等号成立）

若，则（当且仅当时，等号成立）

深化认识：

称为的几何平均数；称为的算术平均数

基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

另外，我们会发现：

（1）其实就是等比数列的等比中项，是等差数列的等差中项。

可见，数列和不等式是有着密不可分的关系。

（2）双钩函数，现在我们可以用基本不等式来解释为什么时取到最小值.

（三）用代数法证明

若，则．

回头看这个过程，我们由几何图形发现了基本不等式，又由重要不等式推导出基本不等式。那么，你能否利用不等式的性质直接证明基本不等式呢？

证明：由于，于是

要证明  ，

只要证明  ， [来源:学_科_网]

即证  ，

即  ，该式显然成立，所以，当时取等号．

例1.设

证明：（1）；

（2）

变式：若，且恒成立，求n的最大值.[来源:Z+xx+k.Com][来源:Zxxk.Com]

例2.若，且，求的取值范围.

变式：若，且，求的取值范围.

（三）归纳小结

基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）

若，则（当且仅当时，等号成立）

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      学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060