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人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明教案配套课件ppt
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这是一份人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明教案配套课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了不成立，原命题成立，已知条件，失误案例等内容，欢迎下载使用。
【自主预习】反证法的定义及证题关键
【即时小测】1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是 ( )A.a
2.实数a,b,c不全为0等价于 ( )A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至多有一个为0C.a,b,c中至少有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0
【解析】选D.“不全为0”的对立面为“全为0”,故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”.
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是 ( )A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°
【解析】选B.“三个内角至少有一个不大于60°”的含义是有一个,两个或三个内角不大于60°,所以否定是“都大于60°”.
4.应用反证法推出矛盾的过程中,要把下列哪些作为条件使用________(填序号).①结论的否定即反设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原命题的结论.
【解析】根据反证法的定义知①②③均可作为条件使用.答案:①②③
5.设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1.求证:a2+b2+d2+c2+ab+cd≠1.
【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则a2+b2+c2+d2+ab+cd-ad+bc=0,即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0,所以a+b=0且c+d=0且a-d=0且b+c=0,所以a=b=c=d=0与ad-bc=1矛盾.所以假设不成立,原结论成立.
【知识探究】探究点 反证法1.反证法的“反设”是否命题吗?提示:不是,反证法的“反设”是对命题结论的否定.
2.反证法证题的核心是什么?提示:核心是推出矛盾.
【归纳总结】1.对反证法的三点说明(1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性.
(2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.
(3)并非所有问题都可采用反证法证明,只有当问题从正面求解不好处理时或较繁琐时,才考虑反证法.
2.反证法证题的本质、常用的反证方法(1)本质:用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确.否定结论时,对结论的反面要一一否定,不能遗漏.(2)常用的反证方法:否定一个反面的反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法.
易错警示:用反证法证题时,“否定结论”在推理论证中作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.
类型一 用反证法证明否(肯)定性命题【典例】1.(2016·武汉高二检测)用反证法证明命题“如果a>b,那么a3>b3”时,假设的内容是 ( )A.a3=b3 B.a3
【解题探究】1.典例1中结论“a3>b3”的反面是什么?提示:a3≤b3.
2.典例2中,①②③在反证法中各是什么?提示:①是推出矛盾;②作出结论;③是反设.
【解析】1.选C.假设的内容应为结论“a3>b3”的否定“a3≤b3”,故选C.2.根据反证法证题的三步骤:否定结论、导出矛盾、得出结论.知正确的顺序应为③①②.答案:③①②
【方法技巧】1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.
2.用反证法证明数学命题的步骤
特别提醒:(1)用反证法证题时,首先要搞清反证法证题的思路步骤,其次注意反证法是在条件较少,直接证明不易入手时常用的方法.(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题,结论的反面比较具体,适于应用反证法.(3)注意否定结论时,要准确无误.
【变式训练】(2016·沈阳高二检测)已知三个正数a,b,c成等比数列但不成等差数列.求证: 不成等差数列.
【证明】假设 成等差数列,则即a+c+2 =4b,又a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b=所以a+c+2 =4 ,即( )2=0,所以a=c,从而a=b=c,这与已知a,b,c不成等差数列矛盾.所以假设不正确.故 不成等差数列.
类型二 反证法证明“至多”“至少”问题【典例】(2016·威海高二检测)已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .
【解题探究】典例中“不能都大于”的含义是什么?提示:“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.
【证明】假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于 .因为a,b,c∈(0,1),所以1-a>0,1-b>0,1-c>0.所以 同理
三式相加得即 ,矛盾.所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .
【延伸探究】1.已知实数a,b,c∈[0,1],则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的最大值为 ( )A. B.1 C. D.2
【解析】选B.用构造函数法,选取a为变量,令f(a)=a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)是关于a的一次函数,令a=1,得f(1)=1-b+b-bc=1-bc≤1;令a=0得f(0)=b-bc+c=b+c-bc-1+1=-(1-b)(1-c)+1≤1,
由于一次函数最大值在端点0或1处取得,而f(0),f(1)均小于等于1,所以在[0,1]上,f(a)≤1,即a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)≤1.则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的最大值为1.取得最大值的条件是a,b,c中一个为0,一个为1,另一个可以取[0,1]内的任意一个数.
2.已知a,b,c∈(0,2),求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.
【证明】假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1.因为a,b,c∈(0,2),所以2-a>0,2-b>0,2-c>0.所以 同理
三式相加得 即3>3,矛盾.所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.
【方法技巧】证明时常见的“结论词”与“反设词”
【补偿训练】用反证法证明:关于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,当a≤- 或a≥-1时,至少有一个方程有实数根.
【证明】假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零得
解得-
【解析】因为三个方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a+12=0,x2+3x-a+ =0中至少有一个方程有实数根,所以假设这三个方程都没有实数根,则三个方程的判别式都是负数,
所以 所以
【解题探究】1.典例1中两直线的交点个数有几种情形?提示:0、1、无数个.
2.典例2中“有且只有”的含义是什么?提示:“有”表示存在,“只有”表示唯一.
【解析】1.两条直线的交点个数包括:没有交点,有且只有一个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为无交点和不只有一个交点.答案:无交点 不只有一个交点
2.因为2x=3,所以x=lg23,这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.假设方程2x=3有两个根为b1,b2(b1≠b2).则 =3, =3,两式相除得 =1.如果b1-b2>0,则 >1,这与 =1相矛盾;如果b1-b2<0,则 <1,这与 =1相矛盾;
如果b1-b2=0,则b1=b2,这与b1≠b2相矛盾.如果方程2x=3的根多于两个,同样可以推出矛盾.故2x=3有且只有一个根.
【方法技巧】证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证明往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证明,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便.
提醒:证明“有且只有”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.
【变式训练】若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且f(a)<0,f(b)>0,f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.【解题指南】先用零点存在性定理证明存在性,再用反证法证明唯一性.
【证明】由于f(x)在[a,b]上的图象连续,且f(a)<0,f(b)>0,即f(a)·f(b)<0,所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)=0.假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)=0,则n≠m.
若n>m,则f(n)>f(m),即0>0,矛盾;若n
【证明】由两条直线平行的定义和几何图形可知,过点A至少有一条直线与直线a平行.假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行,即b∩b′=A,b′∥a.因为b∥a,由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′=A矛盾,所以假设错误,原命题成立.
自我纠错 用反证法证明问题【典例】已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0.用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是对反证法的理解不正确.实际上反证法证明问题的步骤为假设结论不成立,经过推理得出矛盾,否定假设,肯定结论.本解法没有用到假设的结论,不是反证法.正确的解答过程如下:
【解析】假设方程x2-2x+5-p2=0有实根.则该方程的判别式Δ=4-4(5-p2)=4(p2-4)≥0,解得p≤-2或p≥2,若p≤-2,则p+2≤0,2p+1<0,(p+2)(2p+1)≥0,与(p+2)(2p+1)<0矛盾.若p≥2,则p+2>0,2p+1>0,
(p+2)(2p+1)>0,与(p+2)(2p+1)<0矛盾.所以假设不成立.故关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.
【自主预习】反证法的定义及证题关键
【即时小测】1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是 ( )A.a
2.实数a,b,c不全为0等价于 ( )A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至多有一个为0C.a,b,c中至少有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0
【解析】选D.“不全为0”的对立面为“全为0”,故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”.
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是 ( )A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°
【解析】选B.“三个内角至少有一个不大于60°”的含义是有一个,两个或三个内角不大于60°,所以否定是“都大于60°”.
4.应用反证法推出矛盾的过程中,要把下列哪些作为条件使用________(填序号).①结论的否定即反设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原命题的结论.
【解析】根据反证法的定义知①②③均可作为条件使用.答案:①②③
5.设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1.求证:a2+b2+d2+c2+ab+cd≠1.
【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则a2+b2+c2+d2+ab+cd-ad+bc=0,即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0,所以a+b=0且c+d=0且a-d=0且b+c=0,所以a=b=c=d=0与ad-bc=1矛盾.所以假设不成立,原结论成立.
【知识探究】探究点 反证法1.反证法的“反设”是否命题吗?提示:不是,反证法的“反设”是对命题结论的否定.
2.反证法证题的核心是什么?提示:核心是推出矛盾.
【归纳总结】1.对反证法的三点说明(1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性.
(2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.
(3)并非所有问题都可采用反证法证明,只有当问题从正面求解不好处理时或较繁琐时,才考虑反证法.
2.反证法证题的本质、常用的反证方法(1)本质:用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确.否定结论时,对结论的反面要一一否定,不能遗漏.(2)常用的反证方法:否定一个反面的反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法.
易错警示:用反证法证题时,“否定结论”在推理论证中作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.
类型一 用反证法证明否(肯)定性命题【典例】1.(2016·武汉高二检测)用反证法证明命题“如果a>b,那么a3>b3”时,假设的内容是 ( )A.a3=b3 B.a3
【解题探究】1.典例1中结论“a3>b3”的反面是什么?提示:a3≤b3.
2.典例2中,①②③在反证法中各是什么?提示:①是推出矛盾;②作出结论;③是反设.
【解析】1.选C.假设的内容应为结论“a3>b3”的否定“a3≤b3”,故选C.2.根据反证法证题的三步骤:否定结论、导出矛盾、得出结论.知正确的顺序应为③①②.答案:③①②
【方法技巧】1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.
2.用反证法证明数学命题的步骤
特别提醒:(1)用反证法证题时,首先要搞清反证法证题的思路步骤,其次注意反证法是在条件较少,直接证明不易入手时常用的方法.(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题,结论的反面比较具体,适于应用反证法.(3)注意否定结论时,要准确无误.
【变式训练】(2016·沈阳高二检测)已知三个正数a,b,c成等比数列但不成等差数列.求证: 不成等差数列.
【证明】假设 成等差数列,则即a+c+2 =4b,又a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b=所以a+c+2 =4 ,即( )2=0,所以a=c,从而a=b=c,这与已知a,b,c不成等差数列矛盾.所以假设不正确.故 不成等差数列.
类型二 反证法证明“至多”“至少”问题【典例】(2016·威海高二检测)已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .
【解题探究】典例中“不能都大于”的含义是什么?提示:“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.
【证明】假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于 .因为a,b,c∈(0,1),所以1-a>0,1-b>0,1-c>0.所以 同理
三式相加得即 ,矛盾.所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .
【延伸探究】1.已知实数a,b,c∈[0,1],则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的最大值为 ( )A. B.1 C. D.2
【解析】选B.用构造函数法,选取a为变量,令f(a)=a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)是关于a的一次函数,令a=1,得f(1)=1-b+b-bc=1-bc≤1;令a=0得f(0)=b-bc+c=b+c-bc-1+1=-(1-b)(1-c)+1≤1,
由于一次函数最大值在端点0或1处取得,而f(0),f(1)均小于等于1,所以在[0,1]上,f(a)≤1,即a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)≤1.则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的最大值为1.取得最大值的条件是a,b,c中一个为0,一个为1,另一个可以取[0,1]内的任意一个数.
2.已知a,b,c∈(0,2),求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.
【证明】假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1.因为a,b,c∈(0,2),所以2-a>0,2-b>0,2-c>0.所以 同理
三式相加得 即3>3,矛盾.所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.
【方法技巧】证明时常见的“结论词”与“反设词”
【补偿训练】用反证法证明:关于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,当a≤- 或a≥-1时,至少有一个方程有实数根.
【证明】假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零得
解得-
【解析】因为三个方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a+12=0,x2+3x-a+ =0中至少有一个方程有实数根,所以假设这三个方程都没有实数根,则三个方程的判别式都是负数,
所以 所以
【解题探究】1.典例1中两直线的交点个数有几种情形?提示:0、1、无数个.
2.典例2中“有且只有”的含义是什么?提示:“有”表示存在,“只有”表示唯一.
【解析】1.两条直线的交点个数包括:没有交点,有且只有一个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为无交点和不只有一个交点.答案:无交点 不只有一个交点
2.因为2x=3,所以x=lg23,这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.假设方程2x=3有两个根为b1,b2(b1≠b2).则 =3, =3,两式相除得 =1.如果b1-b2>0,则 >1,这与 =1相矛盾;如果b1-b2<0,则 <1,这与 =1相矛盾;
如果b1-b2=0,则b1=b2,这与b1≠b2相矛盾.如果方程2x=3的根多于两个,同样可以推出矛盾.故2x=3有且只有一个根.
【方法技巧】证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证明往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证明,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便.
提醒:证明“有且只有”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.
【变式训练】若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且f(a)<0,f(b)>0,f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.【解题指南】先用零点存在性定理证明存在性,再用反证法证明唯一性.
【证明】由于f(x)在[a,b]上的图象连续,且f(a)<0,f(b)>0,即f(a)·f(b)<0,所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)=0.假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)=0,则n≠m.
若n>m,则f(n)>f(m),即0>0,矛盾;若n
【证明】由两条直线平行的定义和几何图形可知,过点A至少有一条直线与直线a平行.假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行,即b∩b′=A,b′∥a.因为b∥a,由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′=A矛盾,所以假设错误,原命题成立.
自我纠错 用反证法证明问题【典例】已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0.用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是对反证法的理解不正确.实际上反证法证明问题的步骤为假设结论不成立,经过推理得出矛盾,否定假设,肯定结论.本解法没有用到假设的结论,不是反证法.正确的解答过程如下:
【解析】假设方程x2-2x+5-p2=0有实根.则该方程的判别式Δ=4-4(5-p2)=4(p2-4)≥0,解得p≤-2或p≥2,若p≤-2,则p+2≤0,2p+1<0,(p+2)(2p+1)≥0,与(p+2)(2p+1)<0矛盾.若p≥2,则p+2>0,2p+1>0,
(p+2)(2p+1)>0,与(p+2)(2p+1)<0矛盾.所以假设不成立.故关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.
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