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2019年浙江省宁波市小升初招生数学试卷
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这是一份2019年浙江省宁波市小升初招生数学试卷，共84页。试卷主要包含了填空题．，选择题．，计算题．，综合应用．等内容，欢迎下载使用。
2019年浙江省宁波市小升初招生数学试卷
一、填空题．（第3、4、13、14、15、16题每题2分，其余每空1分，共30分）
1．（2分）（2019•宁波）一个整数亿位上是最小的质数，千万位上是最大的一位数，十万位上是最小的奇数，万位上是最小的合数，其余各位上的数字都是0．把这个数改写成用“万”做单位的数是 ，省略“亿”后面的尾数约是 ．
2．（3分）（2019•宁波）用1，3，5可以组成 个不同的三位数，它们都能被 整除，任选其中一个，把它分解质因数是
3．（2分）（2019•宁波）4.6米＝ 厘米 4500毫升＝ 立方分米
2小时50分＝ 小时 54公顷＝ 平方米
4．（2分）（2019•宁波） ÷10＝0.2＝ %＝8： ＝ 折．
5．（3分）（2019•宁波）甲：乙＝3：4，乙：丙＝5：6，甲：乙：丙＝ ： ： ．
6．（1分）（2019•宁波）一些最简真分数，它们分子分母的乘积都是420，把它们从小到大排列，第三个是 ．
7．（1分）（2019•宁波）比较大小：2÷3÷（4÷5）÷（6÷7） 2÷[3÷（4÷5÷6）÷7]（填“＞”“＜”或“＝”）
8．（1分）（2019•宁波）自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米．一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟浪费 升水．
9．（1分）（2019•宁波）计算1-12-14-18-116-132+164= ．
10．（1分）（2019•宁波）甲、乙两地相距60千米，李林8时从甲地出发去乙地，前一半时间平均每分钟行1千米，后一半时间平均每分钟行0.8千米，李林从甲地到乙地共用了 小时．
11．（1分）（2019•宁波）一个长方体箱子的长、宽、高分别是16分米、12分米、10分米，在这个箱子里最多能放棱长4分米的立方体 个．
12．（1分）（2019•宁波）小明步行去离家10千米远的叔叔家，每小时走3千米，可他走40分钟要休息10分钟，他9：00出发， 到叔叔家．
13．（2分）（2019•宁波）一个分数，分子加上2得35，分子减去2得13，这个分数是 ．
14．（2分）（2019•宁波）（121+122+123+⋯+140）×5的整数部分是 ．
15．（2分）（2019•宁波）某商品按定价的80%出售，仍旧可获得20%利润，定价时期望的利润是 ．
16．（2分）（2019•宁波）有一堆含水量为20%的稻谷，日晒一段时间以后，含水量降为111，现在这堆稻谷的重量是原来的 %．
17．（1分）（2019•宁波）一段圆柱形木料，如果截成两段，表面积增加6平方分米；如果沿直径切开，表面积增加8平方分米，这个圆柱的表面积是 平方分米．（π≈3）
18．（1分）（2019•宁波）从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（阴影部分），剩下的长方形土地面积是15.75平方米，划出去的长方形土地的面积是 ．
19．（1分）（2019•宁波）甲、乙、丙三位同学进行跑步比赛，跑完后他们每人说了一句话，甲说：我是第一，乙说：我是第二，丙说：我不是第一．可是其中一人说了假话，那么得第一名的是 ．
二、选择题．（共5分，每题1分）
20．（1分）（2019•宁波）有三个相同的骰子摆放如图，底面点数之和最小是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．无法判断
21．（1分）（2019•宁波）一个密封的不透明的袋子里装了两只红球、两只黄球和两只绿球，小华伸手任意抓一只球，抓到红球的机会是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．14
22．（1分）（2019•宁波）若a是非零自然数，下列算式中的计算结果最大的是（ ）
A．a×58 B．a÷58 C．a÷32 D．32÷a
23．（1分）（2019•宁波）用丝带捆扎一种礼品盒如下，结头处长25厘米，要捆扎这种礼品盒需准备（ ）分米的丝带比较合理．
A．10 B．21.5 C．23 D．30
24．（1分）（2019•宁波）如果18＜1□＜13，那么□里可以填的自然数有（ ）个．
A．4 B．3 C．5 D．无数
三、计算题．（共35分）
25．（8分）（2019•宁波）直接写出得数．
270÷18＝
23.9÷8≈
137-（23+37）＝
1920×21＝
2.2×9.9＝
：29=29
5﹣0.25+0.75＝
7×17÷7×17=
26．（12分）（2019•宁波）解比例、递等式计算．
13：10=0.75x 5400﹣2940÷28×27
74215×14-0.75×12 （611+137+89）÷（57+311+49）
110×12+112×14+114×16+116×18
27．（6分）（2019•宁波）列方程或综合算式计算．
（1）13的倒数比4的212倍少几？
（2） 一个数的30%与50的35相等，求这个数．（列方程解答）
28．（9分）（2019•宁波）画一个长3厘米，宽2厘米的长方形．
（1）在长方形中画一条线段，把它分成一个最大的等腰直角三角形和一个梯形．
（2）求出这个梯形的面积．
29．（2019•宁波）①计算图1阴影部分的周长．（π≈3）
②两个正方形相拼，求图2阴影部分的面积．
四、综合应用．（第5题6分，其余每题4分，共30分）
30．（4分）（2019•宁波）某公园对团体游园购买门票的规定如下表：
购票人数
50人以下
51～100人
100人以上
每人门票价
12元
10元
8元
今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费1142元．如合在一起作为一个团体购票，总计只应付门票费864元．问：这两个旅游团各有多少人？
31． （4分）（2019•宁波）甲、乙两个食堂共有大米200千克，如果甲食堂用去原有大米的12，乙食堂用去11千克，这时两个食堂剩下的大米重量相等，乙食堂原有大米多少千克？
32．（4分）（2019•宁波）甲、乙、丙三个工程队完成某项工程的天数和日工资如下表：
工程队
单独完成工程所用天数
每日总工资（万元）
甲
10
18
乙
15
12
丙
20
8
请你选择两个工程队合做这项工程，如果工期很紧，想尽快完工，应选择哪两个队合做？几天可以完工？完工后两队各得多少工资？
33．（4分）（2019•宁波）某游泳馆有大小两个游泳池，小聪来到游泳馆游泳，这时游泳池中的游泳人数情况如图．根据当时的情况，管理员应将小聪安排在哪个游泳池中？说说你的理由．
34．（6分）（2019•宁波）这是关于一种弹簧秤的弹簧变化情况统计，请你完成表格．（假设弹簧可以无限延长）
称重（千克）
1
2
3
4
…
10
…
m
长度（厘米）
7.5
8
8.5
9
…
…
50
35． （4分）（2019•宁波）粗蜡烛和细蜡烛长短一样．粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时．同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍．问这两支蜡烛点了 时间？
36．（4分）（2019•宁波）有盐水若干升，加入一定量的水后，盐水浓度降到3%，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到2%，再加入同样多的水，此时浓度是多少？未加入水时盐水浓度是多少？
2019年浙江省宁波市小升初招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题．（第3、4、13、14、15、16题每题2分，其余每空1分，共30分）
1．（2分）（2019•宁波）一个整数亿位上是最小的质数，千万位上是最大的一位数，十万位上是最小的奇数，万位上是最小的合数，其余各位上的数字都是0．把这个数改写成用“万”做单位的数是 29014万 ，省略“亿”后面的尾数约是 3亿 ．
【考点】15：整数的读法和写法；16：整数的改写和近似数．菁优网版权所有
【专题】17：综合填空题；411：整数的认识．
【分析】最小的质数是2，最大的一位数是9，最小的奇数是1，最小的合数是4，根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字．
【解答】解：一个整数亿位上是最小的质数，千万位上是最大的一位数，十万位上是最小的奇数，万位上是最小的合数，其余各位上的数字都是0，写作：2 9014 0000；
2 9014 0000＝2 9014万；
2 9014 0000≈3亿．
故答案为：2 9014万，3亿．
【点评】本题主要考查整数的写法、改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位．
2．（3分）（2019•宁波）用1，3，5可以组成 6 个不同的三位数，它们都能被 3 整除，任选其中一个，把它分解质因数是 135＝3×3×3×5
【考点】1#：2、3、5的倍数特征；1Z：合数分解质因数；PB：排列组合．菁优网版权所有
【专题】413：数的整除．
【分析】把用3、1、5组成的三位数都写出来，进而求解．
每一位上数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；
分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式，由此定义即可进行分解．
【解答】解：用1、3、5组成的三位数有：135、153、315、351、531、513；共有6个．
由于1+3+5＝9，9是3的倍数，则这六个数都能被3整除；
135＝3×3×3×5．
故答案为：6，3，135＝3×3×3×5．
【点评】在列举这些三位数时，要按照一定的顺序写，不要重复写或者漏写．
3．（2分）（2019•宁波）4.6米＝ 460 厘米
4500毫升＝ 4.5 立方分米
2小时50分＝ 256 小时
54公顷＝ 540000 平方米
【考点】43：时、分、秒及其关系、单位换算与计算；4A：长度的单位换算；4C：面积单位间的进率及单位换算；4E：体积、容积进率及单位换算．菁优网版权所有
【专题】441：长度、面积、体积单位；442：质量、时间、人民币单位．
【分析】（1）高级单位米化低级单位厘米乘进率100．
（2）低级单位毫升化高级单位立方分米除以进率1000．
（3）把50分除以进率60化成56小时再加2小时．
（4）高级单位公顷化低级单位平方米乘进率10000．
【解答】解：（1）4.6米＝460厘米
（2）4500毫升＝4.5立方分米
（3）2小时50分＝256小时
（4）54公顷＝540000平方米．
故答案为：460，4.5，256，540000．
【点评】单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率；由高级单位化低级单位乘进率，由低级单位化高级单位除以进率．
4．（2分）（2019•宁波） 2 ÷10＝0.2＝ 20 %＝8： 40 ＝ 二 折．
【考点】63：比与分数、除法的关系．菁优网版权所有
【专题】17：综合填空题；433：比和比例．
【分析】把0.2化成分数并化简是15，根据分数与除法的关系15=1÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘2就是2÷10；根据比与分数的关系15=1：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘8就是8：40；把0.2的小数点向右移动两位添上百分号就是20%；根据折扣的意义20%就是二折．
【解答】解：2÷10＝0.2＝20%＝8：40＝二折．
故答案为：2，20，40，二．
【点评】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比、折扣之间的关系及转化．利用它们之间的关系和性质进行转化即可．
5．（3分）（2019•宁波）甲：乙＝3：4，乙：丙＝5：6，甲：乙：丙＝ 15 ： 20 ： 24 ．
【考点】61：比的意义．菁优网版权所有
【专题】433：比和比例．
【分析】甲乙两数的比是3：4，乙丙两数的比是5：6，根据比的基本性质，甲乙两数的比3：4＝（3×5）：（4×5）＝15：20；乙丙两数的比5：6＝（5×4）：（6×4）＝20：24．所以甲乙丙三数的比为：15：20：24；据此解答．
【解答】解：甲：乙＝3：4＝（3×5）：（4×5）＝15：20；
乙：丙＝5：6＝（5×4）：（6×4）＝20：24；
甲：乙：丙＝15：20：24；
故答案为：15，20，24．
【点评】如果已知两甲乙、乙丙两数的比，那么可以根据比的基本性质求出三个数的比．
6．（1分）（2019•宁波）一些最简真分数，它们分子分母的乘积都是420，把它们从小到大排列，第三个是 4105 ．
【考点】1B：最简分数．菁优网版权所有
【专题】421：运算顺序及法则．
【分析】分子与分母只有公因数1的分数为最简分数．分子小于分母的分数为真分数．由此将420分解质因数后，即能求得分子、分母的乘积等于420的最简真分数有几个，然后再进行比较即可．
【解答】解：420＝2×2×3×5×7＝1×420＝4×105＝12×35＝140×3＝60×7＝5×84＝21×20＝15×28；
则分子、分母的乘积等于420的最简真分数有：1420、4105，1235，3140，760，584，2021，1528，共8个．
根据分数的意义可知，一个分数分母越小，分子越大，其分数值就越大，
则：2021＞1528＞1235＞760＞584＞4105＞3140＞1420．
所以把它们从小到大排列，第三个是4105．
故答案为：4105．
【点评】首先将420分解因数，根据最简分数及真分数的意义确定这几个分数是完成本题的关键．
7．（1分）（2019•宁波）比较大小：2÷3÷（4÷5）÷（6÷7） ＞ 2÷[3÷（4÷5÷6）÷7]（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】2B：整数四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】421：运算顺序及法则．
【分析】2÷3÷（4÷5）÷（6÷7），先算小括号里面的除法，再按照从左往右的顺序进行计算；
2÷[3÷（4÷5÷6）÷7]，小括号里面按照从左往右的顺序进行计算，中括号里面按照从左往右的顺序进行计算，最后算括号外面的除法；
然后再比较解答．
【解答】解：2÷3÷（4÷5）÷（6÷7）
＝2÷3÷45÷67
=23÷45÷67
=56÷67
=3536；
2÷[3÷（4÷5÷6）÷7]
＝2÷[3÷（45÷6）÷7]
＝2÷[3÷215÷7]
＝2÷[452÷7]
＝2÷4514
=2845
3536＞2845；
所以，2÷3÷（4÷5）÷（6÷7）＞2÷[3÷（4÷5÷6）÷7]
故答案为：＞．
【点评】考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，然后再进一步计算．
8．（1分）（2019•宁波）自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米．一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟浪费 7.536 升水．
【考点】4E：体积、容积进率及单位换算；AD：圆柱的侧面积、表面积和体积；AH：立体图形的容积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】把流过的水看成圆柱，它的底面直径是2厘米、高是（8×5×60）厘米，由此根据圆柱的体积公式V＝sh＝πr2h计算即可．
【解答】解：3.14×（2÷2）2×（8×5×60），
＝3.14×1×2400，
＝7536（cm3），
＝7.536（升）；
答：五分钟浪费7.536升的水．
故答案为：7.536．
【点评】把不规则的形状物体，转化成规则的形状来求解体积．
9．（1分）（2019•宁波）计算1-12-14-18-116-132+164= 364 ．
【考点】2I：分数的四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】421：运算顺序及法则．
【分析】根据减法的性质以及分数的拆项公式进行简算．
【解答】解：1-12-14-18-116-132+164
＝1﹣（12+14+18+116+132）+164
＝1﹣[（1-12）+（12-14）+（14-18）+（18-116）+（116-132）]+164
＝1﹣[1-12+12-14+14-18+18-116+116-132]+164
＝1﹣[1-132]+164
＝1﹣1+132+164
＝0+132+164
=132+164
=364
故答案为：364．
【点评】考查了分数的拆项公式，根据12n=1n-12n进行简算．
10．（1分）（2019•宁波）甲、乙两地相距60千米，李林8时从甲地出发去乙地，前一半时间平均每分钟行1千米，后一半时间平均每分钟行0.8千米，李林从甲地到乙地共用了 109 小时．
【考点】3E：简单的行程问题．菁优网版权所有
【专题】45F：行程问题．
【分析】设一半的时间是x分钟，那么前一半时间行驶的路程是x千米，后一半时间行驶的路程是0.8x千米；把这两部分路程加在一起就是全程60千米，由此求解．
【解答】解：设一半的时间是x分钟，由题意得：
x+0.8x＝60
1.8x＝60
x=1003
1003×2=2003（分钟）
2003分钟=109小时
答：李林从甲地到乙地共用了109小时．
故答案为：109．
【点评】本题根据速度、路程、时间三者之间的数量关系，找出等量关系列出方程求解．
11．（1分）（2019•宁波）一个长方体箱子的长、宽、高分别是16分米、12分米、10分米，在这个箱子里最多能放棱长4分米的立方体 24 个．
【考点】AC：长方体和正方体的体积．菁优网版权所有
【专题】462：立体图形的认识与计算．
【分析】以长为边最多放16÷4＝4块，以宽为边最多放12÷4＝3块，以高为边最多放10÷4＝2块…2分米．再利用长方体的体积公式解答即可．
【解答】解：16÷4＝4（个），
12÷4＝3（个），
10÷4＝2（个）…2（分米），
4×3×2＝24（个），
答：这个盒子最多能放24个棱长4分米的正方体．
故答案为：24．
【点评】解决这类问题，首先求出各条棱上最多能放正方体的个数，再利用长方体的体积公式计算．
12．（1分）（2019•宁波）小明步行去离家10千米远的叔叔家，每小时走3千米，可他走40分钟要休息10分钟，他9：00出发， 13：00 到叔叔家．
【考点】3E：简单的行程问题．菁优网版权所有
【专题】45F：行程问题．
【分析】步行速度是每小时3千米，一共是10千米，说明如果不休息步行要3小时20分钟；但是她每40分钟就休息10分钟，所以中间有4次休息时间一共40分钟；所以她一共花了4小时的时间．从而可求其到达的时刻．
【解答】解：不休息需要的时间：10÷3＝313（小时）＝3小时20分钟
则路上要休息的4次，休息的时间是4×10＝40（分钟）
所以共需要时间3小时20分钟+40分钟＝4（小时）
9：00+4小时＝13：00
答：13：00到叔叔家．
故答案为：13：00．
【点评】解决此题的关键是能求出路上休息的时间，再加不休息的时间即可求解．
13．（2分）（2019•宁波）一个分数，分子加上2得35，分子减去2得13，这个分数是 715 ．
【考点】18：分数的意义、读写及分类．菁优网版权所有
【专题】414：分数和百分数．
【分析】35、13通分后是：35=915，13=515，第一个分数的分子减去2，第二个分数的分子加上，看是否相等，即可求出这个分数的分子，分母就是这两个分数的公分母．
【解答】解：35=915，13=515，
9﹣2＝5+2＝7，
即分子为7，
因此这个分数是715．
故答案为：715．
【点评】解答此题的关键是把两个分数通分，找出公分母，即这个分数的分母，第一个分数的分子减2，第二个分数的分子加二看是否相等，即可确定这个分数的分母．
14．（2分）（2019•宁波）（121+122+123+⋯+140）×5的整数部分是 3 ．
【考点】HE：高斯取整．菁优网版权所有
【专题】481：计算问题（巧算速算）．
【分析】根据题目要求，先分别计算出121至140的小数部分，再乘5算出值，即可求出整数部分的值．
【解答】解：（121+122+123+⋯+140）×5
≈（0.048+0.045+0.043+0.042+0.04+0.038+0.037+0.036+0.034+0.033+0.032+0.031+0.03+0.029+0.029+0.028+0.027+0.026+0.026+0.025）×5
＝0.679×5
＝3.395
答：（121+122+123+⋯+140）×5的整数部分是3．
故答案为：3．
【点评】考查了高斯取整，本题关键是求出每个分数的小数部分．
15．（2分）（2019•宁波）某商品按定价的80%出售，仍旧可获得20%利润，定价时期望的利润是 50% ．
【考点】38：百分数的实际应用．菁优网版权所有
【分析】设原来的定价是1，先把原来的定价看成单位“1”，用乘法求出现价；再把成本价看成单位“1”，现价是成本价的1+20%，由此用除法求出成本价；再用原来的定价减去成本价，求出差再除以成本价就是定价时期望的利润．
【解答】解：设定价是1，那么现价是：
1×80%＝0.8；
0.8÷（1+20%），
＝0.8÷120%，
=23；
（1-23）÷23，
=13÷23，
＝50%；
答：定价时期望的利润是50%．
故答案为：50%．
【点评】解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，根据基本的数量关系解决问题．
16．（2分）（2019•宁波）有一堆含水量为20%的稻谷，日晒一段时间以后，含水量降为111，现在这堆稻谷的重量是原来的 73 %．
【考点】38：百分数的实际应用．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】日晒一段时间以后，去掉的是水的质量，稻谷的质量不变；稻谷的质量是原来稻谷质量的（1﹣20%），日晒一段时间以后，含水量降为111，现在稻谷的质量是现在这稻谷的（1-111），现在稻谷的（1-111）就是原来稻谷的（1﹣20%），据此解答．
【解答】解：（1﹣20%）÷（1-111）
＝0.8÷1011
≈73%
答：现在这堆稻谷的重量是原来的 73%．
故答案为：73．
【点评】本题的关键是风干蒸发掉的是水的质量，稻谷的质量不变．然后根据除法的意义列式解答．
17．（1分）（2019•宁波）一段圆柱形木料，如果截成两段，表面积增加6平方分米；如果沿直径切开，表面积增加8平方分米，这个圆柱的表面积是 18 平方分米．（π≈3）
【考点】AD：圆柱的侧面积、表面积和体积．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；17：综合填空题；462：立体图形的认识与计算．
【分析】由题意可知：沿横截面截成两段后，会增加2个面的面积，也就等于圆柱的2个底面积；沿着直径劈成两个半圆柱体，则增加两个长为圆柱的高，宽为底面直径的长方形的面积，增加的面积已知，从而可以求出一个面的面积，进而求出圆柱的高度，从而求出圆柱的表面积．
【解答】解：圆柱的底面积是：6÷2＝3（平方分米）
3÷3＝1（分米）
即半径的平方是1，1×1＝1，所以半径r＝1分米
圆柱的高是：8÷2÷（1×2）
＝4÷2
＝2（分米）
圆柱的表面积：3×1×2×2+3
＝12+6
＝18（平方分米）
答：这段木料的表面积是18平方分米．
故答案为：18．
【点评】搞清增加面的形状、数量以及与原圆柱之间的联系是解决问题的关键．
18．（1分）（2019•宁波）从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（阴影部分），剩下的长方形土地面积是15.75平方米，划出去的长方形土地的面积是 4.5平方米 ．
【考点】A5：长方形、正方形的面积．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】根据题意，可设原来正方形的边长是x，划出一块宽为1米的长方形，剩下长方形的长是原正方形的边长，宽是正方形的边长减1，然后再根据长方形的面积公式，求出原正方形的边长（阴影部分的长）．再根据长方形的面积公式解答．
【解答】解：设原来长方形的边长是x，则剩下长方形的宽是（x﹣1），根据题意得
x×（x﹣1）＝15.75
x2﹣x＝15.75
x2﹣x+0.25＝15.75+0.25
（x﹣0.5）2＝42
x﹣0.5＝4
x＝4.5．
4.5×1＝4.5（平方米）
答：划出去的长方形土地的面积是4.5平方米．
故答案为：4.5平方米．
【点评】本题的关键是把长方形的面积写成一个完全平方和的形式，求出原正方形的边长．
19．（1分）（2019•宁波）甲、乙、丙三位同学进行跑步比赛，跑完后他们每人说了一句话，甲说：我是第一，乙说：我是第二，丙说：我不是第一．可是其中一人说了假话，那么得第一名的是 甲 ．
【考点】P4：逻辑推理．菁优网版权所有
【专题】48F：逻辑推理问题．
【分析】根据题意，因为有一人说的是假话，假设甲说的是假的，则乙是第二是对的，丙不是第一也是对的，丙只能是第三，与甲说的假话矛盾；假设丙说的是假话，则他是第一，与甲矛盾；假设乙说的是假的，则甲是第一，丙是第二，乙是第三，合理．
【解答】解：假设甲说的是假的，则乙是第二是对的，丙不是第一也是对的，丙只能是第三，与甲说的假话矛盾；
假设丙说的是假话，则他是第一，与甲矛盾；
假设乙说的是假的，则甲是第一，丙是第二，乙是第三，合理．
答：乙说的是假话，第一名为甲．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查逻辑推理问题，关键利用假设法找出矛盾，从而找出说假话的人．
二、选择题．（共5分，每题1分）
20．（1分）（2019•宁波）有三个相同的骰子摆放如图，底面点数之和最小是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．无法判断
【考点】8M：正方体的展开图．菁优网版权所有
【专题】462：立体图形的认识与计算．
【分析】由这三个相同的骰子摆放如图可知，与1（为便于叙述1点说1、2点说2……）相邻的四个面分别是2、3、4、5，从而推出与1相对的是6．由最右一个骰子可知，与5相邻的是1、4、6，它的对面可能是2或3．假设5的对面是2，则3的对面是4，这样底面点数之和就是5+4+3＝12；假设5的对面是3，则2的对面就是4，这样底面点数之和就是4+5+2＝11．由此可知，底面点数之和最小是11．
【解答】解：由这三个相同的骰子摆放如图可知，与1（为便于叙述1点说1、2点说2……）相邻的四个面分别是2、3、4、5，从而推出1与6相对，记作：1⇔6；
由最右一个骰子可知，与5相邻的是1、4、6，它的对面可能是2或3．
假设5的对面是2，则3的对面就是4，即5⇔2，3⇔4，底面点数之和就是5+4+3＝12；
假设5的对面是3，则2的对面就是4，即5⇔3，2⇔4，底面点数之和就是4+5+2＝11．
因此，底面点数之和最小是11．
故选：B．
【点评】由图可知，与1相对的是6，这是固定的．由最右一个骰子可知，与5相对的有两种可能，要么是2，要么是3，根据这两种情况推出底面数字，通过计算、比较即可确定最小是多少．
21．（1分）（2019•宁波）一个密封的不透明的袋子里装了两只红球、两只黄球和两只绿球，小华伸手任意抓一只球，抓到红球的机会是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．14
【考点】E6：简单事件发生的可能性求解．菁优网版权所有
【专题】473：可能性．
【分析】先求出球的总数，再用红球数除以球的总数，即为抓到红球的概率．
【解答】解：2÷（2+2+2）
＝2÷6
=13
答：抓到红球的机会是13．
故选：B．
【点评】本题考查基本的可能性问题，事物出现的概率就是这个事物占总数的几分之几．
22．（1分）（2019•宁波）若a是非零自然数，下列算式中的计算结果最大的是（ ）
A．a×58 B．a÷58 C．a÷32 D．32÷a
【考点】2S：积的变化规律．菁优网版权所有
【专题】17：综合填空题．
【分析】解答此题可用赋值法，假设a＝1，把每个算式计算出结果，再比较大小．
【解答】解：假设a＝1，
a×58=58=0.625；
a÷58=85=1.6；
a÷32=23=0.6⋅；
32÷a=32=1.5；
因为1.6＞1．＞0.6⋅＞0.625，
所以a÷58＞32÷a＞a÷32＞a×58；
则a÷58计算结果最大，
故选：B．
【点评】利用赋值法解答，可以明显看出结果，使选择题简．
23．（1分）（2019•宁波）用丝带捆扎一种礼品盒如下，结头处长25厘米，要捆扎这种礼品盒需准备（ ）分米的丝带比较合理．
A．10 B．21.5 C．23 D．30
【考点】A1：长方形的周长．菁优网版权所有
【分析】根据盒子图，盒子的长乘以2，宽乘以2，高乘以4，这三个得数相加，再加接头处长即可．
【解答】解：30×2+20×2+25×4＝60+40+100＝200（厘米）
200+25＝225（厘米）
225厘米＝22.5分米≈23分米
故选：C．
【点评】选择丝带，其实就是求围在这个盒子的丝带的长度，这个盒子的六个面都有丝带围绕，关键是分析好丝带在每个面的长度．
24．（1分）（2019•宁波）如果18＜1□＜13，那么□里可以填的自然数有（ ）个．
A．4 B．3 C．5 D．无数
【考点】18：分数的意义、读写及分类．菁优网版权所有
【专题】414：分数和百分数．
【分析】根据分数的基本性质可知，则□内自然数大于3，小于8，据此完成．
【解答】解：3＜□＜8，所以□里可以填的自然数有4、5、6、7，共4个；
故选：A．
【点评】此题考查了同分子分数的大小比较方法．
三、计算题．（共35分）
25．（8分）（2019•宁波）直接写出得数．
270÷18＝
23.9÷8≈
137-（23+37）＝
1920×21＝
2.2×9.9＝
481 ：29=29
5﹣0.25+0.75＝
7×17÷7×17=
【考点】27：整数的除法及应用；2C：数的估算；2I：分数的四则混合运算；2M：小数四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据整数、小数和分数加减乘除法的计算方法和估算方法进行计算．
137-（23+37）根据减法的性质进行简算；
7×17÷7×17根据乘法结合律和结合律进行简算．
【解答】解：
270÷18＝15
23.9÷8≈3
137-（23+37）=13
1920×21＝11920
2.2×9.9＝21.78
481：29=29
5﹣0.25+0.75＝5.5
7×17÷7×17=149
【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．
26．（12分）（2019•宁波）解比例、递等式计算．
13：10=0.75x
5400﹣2940÷28×27
74215×14-0.75×12
（611+137+89）÷（57+311+49）
110×12+112×14+114×16+116×18
【考点】2B：整数四则混合运算；2I：分数的四则混合运算；68：解比例．菁优网版权所有
【专题】421：运算顺序及法则．
【分析】（1）根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积，解比例即可．
（2）根据混合运算的运算顺序解题即可．
（3）先把带分数化成假分数，约分化简计算．
（4）运用乘法分配律把前面小括号中提取2，然后再计算，即可达到简算目的．
（5）根据题目特点，运用拆分思想，可达到简算目的．
【解答】解：（1）13：10=0.75x
13x=0.75×10
x＝0.75×10×3
x＝22.5
（2）5400﹣2940÷28×27
＝5400﹣105×27
＝5400﹣2835
＝2565
（3）74215×14-0.75×12
=111215×14-9
=27815-9
=27815-13515
=14315
（4）（611+137+89）÷（57+311+49）
＝2×（311+57+49）÷(57+311+49)
＝2×1
＝2
（5）110×12+112×14+114×16+116×18
=12×（110-112+112-114+114-116+116-118）
=12×（110-118）
=12×18-1010×18
=12×8180
=145
【点评】本题主要考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．
27．（6分）（2019•宁波）列方程或综合算式计算．
（1）13的倒数比4的212倍少几？
（2）一个数的30%与50的35相等，求这个数．（列方程解答）
【考点】2I：分数的四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】423：文字叙述题．
【分析】（1）先算4的212倍，13的倒数，然后再相减即可；
（2）设这个数是x，x的30%是30%x，与50的35相等，即30%x＝50×35．
【解答】解：（1）4×212-1÷13
＝10﹣3
＝7
答：13的倒数比4的212倍少7．
（2）设这个数是x，根据题意可得：
30%x＝50×35
30%x÷30%＝50×35÷30%
x＝100
答：这个数是100．
【点评】根据题意，先弄清运算顺序或等量关系，然后再列式或方程进行解答．
28．（9分）（2019•宁波）画一个长3厘米，宽2厘米的长方形．
（1）在长方形中画一条线段，把它分成一个最大的等腰直角三角形和一个梯形．
（2）求出这个梯形的面积．
【考点】8O：等腰三角形与等边三角形；9G：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形；A8：梯形的面积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）画一个长3厘米，宽2厘米的长方形，再这个长方形中画一条线段，把这个长方形分成一个最大的等腰直角三角形和一个梯形，这个等腰直角三角形的直角边的长度与长方形的宽相等即2厘米，那么梯形的上底就是3﹣2＝1厘米．
（2）根据梯形的面积公式，s=12（a+b）h，列式解答．
【解答】解：（1）作图如下：
（2）12×（3﹣2+3）×2
=12×4×2
＝4（平方厘米）；
答：这个梯形的面积是4平方厘米．
【点评】此题主要考查长方形的画法，和等腰直角三角形的特征，以及梯形的面积计算．
29．（2019•宁波）①计算图1阴影部分的周长．（π≈3）
②两个正方形相拼，求图2阴影部分的面积．
【考点】AA：组合图形的面积．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】（1）这个组合图形是由一个扇形和一个半圆叠加而成的，阴影部分周长＝圆周长的一半+以9厘米为半径，圆心角为45°的弧的长度+9厘米线段长度，利用弧长公式：弧长＝2πr×圆心角度数÷360，把数代入即可就出阴影部分周长：3×9÷2+3×2×9×45÷360+9＝29.25（厘米）．
（2）阴影部分为两个正方形（边长是6厘米的和边长是12厘米的两个正方形）面积减掉三个小三角形（底6厘米高、6厘米的一个三角形；底12厘米、高（12﹣6）＝6（厘米）的三角形；底12厘米、高12+6＝18（厘米）的三角形）的面积，把数代入计算得：6×6+12×12﹣6×6÷2﹣12×（12﹣6）÷2﹣12×（12+6）÷2＝18（平方厘米）．
【解答】解：（1）3×9÷2+3×2×9×45÷360+9
＝13.5+6.75+9
＝29.25（厘米）
答：阴影部分的面积为29.25厘米．
（2）6×6+12×12﹣6×6÷2﹣12×（12﹣6）÷2﹣（12+6）×12÷2
＝36+144﹣18﹣36﹣108
＝18（平方厘米）
答：阴影部分面积为18平方厘米．
【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键根据图示分析出组合图形的组成，然后利用已经学过的规则图形的面积，就组合图形的面积．
四、综合应用．（第5题6分，其余每题4分，共30分）
30．（4分）（2019•宁波）某公园对团体游园购买门票的规定如下表：
购票人数
50人以下
51～100人
100人以上
每人门票价
12元
10元
8元
今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费1142元．如合在一起作为一个团体购票，总计只应付门票费864元．问：这两个旅游团各有多少人？
【考点】3H：列方程解含有两个未知数的应用题．菁优网版权所有
【分析】根据两个团合在一起作为一个团体购票，总计只应付门票费864元．这样就可以求此两个团一共有多少人，用864÷8＝108人，设甲团有x人，则乙团有（108﹣x）人，已知分别购票，两团总计应付门票费1142元，由此列方程解答．
【解答】解：两个团的总人数；
864÷8＝108（人），
设甲团有x人，则乙团有（108﹣x）人，
12x+（108﹣x）×10＝1142，
12x+1080﹣10x＝1142，
2x+1080＝1142，
2x+1080﹣1080＝1142﹣1080，
2x＝62，
2x÷2＝62÷2，
x＝31；
108﹣31＝77（人）；
答：甲旅游团有31人，乙旅游团有77人．
【点评】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可
31．（4分）（2019•宁波）甲、乙两个食堂共有大米200千克，如果甲食堂用去原有大米的12，乙食堂用去11千克，这时两个食堂剩下的大米重量相等，乙食堂原有大米多少千克？
【考点】36：分数除法应用题．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】甲、乙两个食堂共有大米200千克，如果甲食堂用去原有大米的12，乙食堂用去11千克，这时两个食堂剩下的大米重量相等，可以将甲食堂的米的重量看作单位“1”，由“甲食堂用去原有大米的12”，则用去的也表示为单位“1”的12，则乙食堂剩下的重量也是12，即甲食堂原有的和乙食堂剩下的表示为（1+12），甲食堂原有的和乙食堂剩下的米的重量是200﹣11＝189千克，用除法计算即可求出乙食堂还剩的大米重量，加上11即可．
【解答】解：根据题意得
（200﹣11）÷（1+12）
＝189÷32
＝126（千克）
126÷2＝63（千克）
63+11＝74（千克）
答：乙食堂原有大米74千克．
【点评】本题考查了分数除法应用题，解决本题的关键是求出甲食堂原有大米重量和乙食堂剩下的大米重量，以及对应的分率，用除法计算即可．
32．（4分）（2019•宁波）甲、乙、丙三个工程队完成某项工程的天数和日工资如下表：
工程队
单独完成工程所用天数
每日总工资（万元）
甲
10
18
乙
15
12
丙
20
8
请你选择两个工程队合做这项工程，如果工期很紧，想尽快完工，应选择哪两个队合做？几天可以完工？完工后两队各得多少工资？
【考点】L9：工程问题．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】把这项工程看成单位“1”，那么甲的工作效率就是110，乙的工作效率就是115，丙的工作效率就是120，想尽快完工就要选择工作效率高的两个队，110＞115＞120，故选甲乙两队合做；甲乙合做的工作效率就是110+115，用工作量“1”除以工作效率就是就是工作时间．用工作时间分别乘他们的每日总工资就是应得的工资．
【解答】解：因为110＞115＞120，所以选甲乙两队合做．
1÷（110+115），
＝1÷16，
＝6（天）；
18×6＝108（万元），
12×6＝72（万元）；
答：应选甲乙两队合做，6天可以完工，完工后甲队可得工资108万元，乙队可得工资72万元．
【点评】把这项工程看成单位“1”，那么工作效率就可以用分数表示出来，工作效率越高工作的速度就快，利用工作量÷工作效率＝工作时间就可以解决此题．
33．（4分）（2019•宁波）某游泳馆有大小两个游泳池，小聪来到游泳馆游泳，这时游泳池中的游泳人数情况如图．根据当时的情况，管理员应将小聪安排在哪个游泳池中？说说你的理由．
【考点】A5：长方形、正方形的面积．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】首先根据长方形的面积公式：s＝ab，分别求出两个游泳池的面积，再分别求出每个游泳池中平均每人占有的面积，然后进行比较即可．
【解答】解：大：40×25÷200，
＝1000÷200，
＝5（平方米），
小：60×35÷350，
＝2100÷350，
＝6（平方米）．
因为大游泳池平均每人占5平方米，小游泳池平均每人占6平方米，所以管理员应将小聪安排在小游泳池．
【点评】此题属于长方形的面积的实际应用，利用长方形的面积公式求出每个游泳池的面积，再求出平均每人所占的面积，进行比较即可．
34．（6分）（2019•宁波）这是关于一种弹簧秤的弹簧变化情况统计，请你完成表格．（假设弹簧可以无限延长）
称重（千克）
1
2
3
4
…
10
…
m
长度（厘米）
7.5
8
8.5
9
…
…
50
【考点】DJ：从统计图表中获取信息．菁优网版权所有
【专题】472：统计数据的计算与应用．
【分析】通过观察统计表可知：称1千克物体弹簧秤的弹簧长度是7.5厘米，称2千克物体弹簧秤的弹簧长度是8厘米，称3千克物体弹簧秤的弹簧长度是8.5厘米，由此发现：每增加1千克物体弹簧秤的弹簧延长0.5厘米，由此可知：弹簧秤的弹簧在没有称重物时长度是7厘米．当弹簧秤的弹簧延长到50厘米时，所称物体的重量是（50﹣7）÷0.5＝86（千克），当称m千克重物时，弹簧秤的弹簧延长（7+0.5m）厘米．据此解答．
【解答】解：8.5﹣8＝0.5（厘米）
8﹣7.5＝0.5（厘米）
7.5﹣0.5＝7（厘米）
7+0.5×10
＝7×5
＝12（厘米）
（50﹣7）÷0.5
＝43÷0.5
＝86（千克）
85×0.5+7
＝49.5（厘米）
7+0.5×m＝7+0.5m
填表如下：
称重（千克）
1
2
3
4
…
10
…
（85）
（86）
m
长度（厘米）
7.5
8
8.5
9
…
（12）
…
（49.5）
50
（7+0.5m）
故答案为：85；86；12；49.5；（7+0.5m）．
【点评】本题主要考查统计表的应用，关键根据统计表找出解决问题的条件，并根据弹簧秤伸长的长度和所挂物体之间的关系做题．
35．（4分）（2019•宁波）粗蜡烛和细蜡烛长短一样．粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时．同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍．问这两支蜡烛点了 103 时间？
【考点】L9：工程问题；N4：差倍问题．菁优网版权所有
【分析】本题的等量关系为：剩余的粗蜡烛长度＝2×剩余的细蜡烛长度，由此可列出方程．
【解答】解：设这两支蜡烛已点燃了x小时，由题意得：
1-15x＝2×（1-14x），
1-15x+12x＝2-12x+12x，
1+310x＝2，
1+310x﹣1＝2﹣1，
310x＝1，
x=103．
答：这两支蜡烛已点燃了103小时．
故答案为：103．
【点评】本题的难点是把蜡烛长度看作单位“1”，用工程问题的方法解答．
36．（4分）（2019•宁波）有盐水若干升，加入一定量的水后，盐水浓度降到3%，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到2%，再加入同样多的水，此时浓度是多少？未加入水时盐水浓度是多少？
【考点】LB：浓度问题．菁优网版权所有
【专题】48D：浓度与配比问题．
【分析】浓度为3%，也就是盐3份水97份，共100份，浓度下降为2%，原来3份盐就成了2%，因此可求出加入了多少份水．第二次加水后盐和水总共3÷2%＝150（份），第二次加水150﹣100＝50（份），即每次加水50份，然后根据浓度公式就可以求出：第三次加水后的浓度和不加水前的浓度，据此解答．
【解答】解：浓度为3%，也就是盐3份水97份，共100份，浓度下降为2%，原来3份盐就成了2%．
第二次加水后盐和水总共：3÷2%＝150（份），
第二次加水150﹣100＝50（份），即每次加水50份，
所以，第三次加水后浓度3150+50=1.5%，
不加水前的浓度为3100-50=6%；
答：第三次加水后浓度为1.5%，未加水前浓度为6%．
【点评】由于每次加水的质量不变，所以关键是先算出每次加多少水．
考点卡片
1．2、3、5的倍数特征
【知识点归纳】
2、3、5的倍数特征：
被2整除特征：偶数
被3整除特征：每一位上数字之和能被3整除
被5整除特征：个位上是0或5的数
同时能被2、3、5整除的特征：个位是0且每一位上数字之和能被3整除．
【知识点的应用及延伸】
一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除．
各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除．
【命题方向】
常考题型
例1：能同时被2、3、5整除的最大三位数是 990 ．
分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，
要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．
要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
例2：104至少再加上 16 ，才能同时被2、3、5整除．
分析：能同时被2、3、5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，且各个数位上的数字之和能被3整除，由此确定104至少再加上16．
解：根据分析，104至少再加上16，才能同时被2、3、5整除．
故答案为：16．
点评：此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题．
2．整数的读法和写法
【知识点解释】
读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零．
写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0．
【命题方向】
常考题型：
例：下面各数中，读两个零的数是（ ）
A、606000 B、6060000 C、6060606 D、6060600
分析：整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，据此读出个选项中的数，然后分析选择．
解：A、606000读作：六十万六千，一个零也不读出；
B、6060000读作：六百零六万，读出一个零；
C、6060606读作：六百零六万零六百零六，读出三个零；
D、6060600读作：六百零六万零六百，读出两个零；
故选：D．
点评：本题主要考查整数的读法，注意零的读法．
3．整数的改写和近似数
【知识点归纳】
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数．有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数．
1．准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数．改写后的数是原数的准确数． 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿．
2．近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示． 例如：1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿．
3．四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1．例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万．省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿．
【命题方向】
常考题型：
例：四川雅安地震后，社会各界踊跃捐款，据不完全统计总额达1058181200元，把它改写成用”万”作单位的数是 105818.12 万，省略亿位后面的尾数约是 11亿 ．
分析：改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字．
解：1058181200＝105818.12万≈11亿．
故答案为：105818.12；11亿．
点评：本题主要考查整数的改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位．
4．分数的意义、读写及分类
【知识点归纳】
分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．
分数的分类：
（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．
（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．
带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．
【命题方向】
两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长
分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．
解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3-34=214（米）；
第二根剪去34，剩下的长度是3×（1-34）=34（米）．
所以第一根剩下的部分长．
故选：A．
点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
5．最简分数
【知识点归纳】
分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数．如：23，89，38等．
【命题方向】
常考题型：
例1：分数单位是16的最简真分数的和是 1 ．
分析：最简真分数的意义：分子分母是互质数并且分子小于分母的分数就是最真简分数，据此找出分数单位是16的最简真分数，把它们求和即可．
解：分数单位是16的最简真分数有：16、56，
它们的和是：16+56=1；
故答案为：1．
本题主要考查最简真分数的意义，注意先找出分数单位是16的最简真分数，再求和．
例2：分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数． √ ．（判断对错）
分析：最简分数的意义：分子分母是互质数的分数就是最简分数，据此分析判断．
解：不同的质数一定是互质数，所以分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数的说法是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查最简分数的意义，注意不同的质数一定是互质数．
6．合数分解质因数
【知识点归纳】
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式．其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：把12分解质因数是：12＝1×2×2×3 × ．（判断对错）
分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式，由此定义即可进行判断．
解：把12分解质因数应该是：12＝2×2×3，因为1既不是质数也不是合数，
所以原题说法错误．
故答案为：×．
点评：此题主要考查分解质因数的意义．
例2：把24分解质因数是 24＝2×2×2×3 ．
分析：根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．由此解答．
解：把24分解质因数：
24＝2×2×2×3；
故答案为：24＝2×2×2×3．
点评：此题主要考查分解质因数的方法．
7．整数的除法及应用
【知识点归纳】
（1）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法．
（2）在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的商的因数叫做商．
（3）一个除式算式，一般有以下的意义：
①一个数里有几个除数，简称包含除法
②一个数是另一个数的多少倍
③把一个数平均分成若干份，每份是多少，简称等分除法
④已知一个数的几分之几是多少，求这个数
（4）除法的性质：
①在无括号的乘除混合或连除的算式中，改变运算顺序，其结果不变
如：a×b÷c＝a÷c×b； a÷b÷c＝a÷c÷b
②一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数．（简称数乘以商的性质）
如：a×（b÷c）＝a×b÷c．
③一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数．（简称数除以积的性质）
如：a÷（b×c）＝a÷b÷c．
④一个数除以两个数的商，等于这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数，或者这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数．（简称数除以商的性质）
如：a÷（b÷c）＝a÷b×c或a÷（b÷c）＝a×c÷b．
⑤两个数的和除以一个数，等于和里的两个加数分别除以这个数（在都能被整除的条件下），再把所得的商加起来．（简称和除以数的性质）
如：（a+b）÷c＝a÷c+b÷c
⑥两个数的差除以一个数，等于被减数和减数分别除以这个数（在都能被整除的条件下），然后，把所得的商相减．（简称差除以数的性质）
如：（a﹣b）÷c＝a÷c﹣b÷c．
（5）商的位数：在整数除法中，商的位数等于被除数与除数的位数的差，或者比这个差多1．
（6）试商：在除法计算过程中，除数是两位数、三位数时，要按照数的四舍五入法，把除数看做整十整百数去试除．
【命题方向】
常考题型：
例：三位数除以一位数，商是（ ）
A、两位数 B、三位数 C、可能是两位数也可能是三位数．
分析：三位数除以一位数，先用百位上的数字去除以一位数，看够不够除，就是说百位上的数字和一位数数字比较，如果比一位数大或相等就够除，商商在百位上，就是一个三位数；如果百位上的数字比一位数小，就要用百位和十位的数组成一个两位数去除以一位数，商要商在十位上，就是一个两位数．
解：被除数百位上的数字和一位数比较大小，百位上的数字比一位数大或相等商就是三位数，比一位数小，商就是两位数．
故选：C．
点评：也可以多写几个三位除以一位数试算一下．
8．整数四则混合运算
【知识点归纳】
1．加、减、乘、除四种运算统称四则运算．
加法的意义：把两个（或几个）数合并成一个数的运算叫做加法．
减法的意义：已知两个加数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做减法．减法中，已知的两个加数的和叫做被减数，其中一个加数叫做减数，求出的另一个加数叫差．
乘法的意义：一个数乘以整数，是求几个相同加数的和的简便运算，或是求这个数的几倍是多少．
除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算叫做除法．在除法中，已知的两个因数的积叫做被除数，其中一个因数叫做除数，求出的另一个因数叫商．
四则运算分为二级，加减法叫做第一级运算，乘除法叫做第二级运算．
2．方法点拨：
运算的顺序：在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算．在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的．
【命题方向】
常考题型：
例1：72﹣4×6÷3如果要先算减法，再算乘法，最后算除法，应选择（ ）
A、72﹣4×6÷3 B、（72﹣4）×6÷3 C、（72﹣4×6）÷3
分析：72﹣4×6÷3的计算顺序是先算乘法，再算除法，最后算减法，要把减法提到第一步，需要只给减法加上小括号．
解：72﹣4×6÷3如果要先算减法，再算乘法，最后算除法，应为：（72﹣4）×6÷3；
故选：B．
点评：本题考查了小括号改变运算顺序的作用，看清楚运算顺序，是把哪一种运算提前计算，在由此求解．
例2：由56÷7＝8，8+62＝70，100﹣70＝30组成的综合算式是（ ）
A、100﹣62+56÷7； B、100﹣（56÷7+62）； C、不能组成
分析：由于56÷7＝8，8+62＝70，则将两式合并成一个综合算式为56÷7+62＝70，又100﹣70＝30，则根据四则混合运算的运算顺序，将56÷7＝8，8+62＝70，100﹣70＝30组成的综合算式是：100﹣（56÷7+62）．
解：根据四则混合运算的运算顺序可知，
将56÷7＝8，8+62＝70，100﹣70＝30组成的综合算式是：100﹣（56÷7+62）．
故选：B．
点评：本题考查了学生根据分式及四则混合运算的运算顺序列出综合算式的能力．
9．数的估算
【知识点解释】
没有经过准确计算，是对计算结果的一种估计，叫做估算．
估算方法：
①四舍五入法：
例：π（保留两位小数）≈3.14
②进一法：
例：一支笔2.6元，四支需多少钱（保留到整数）
解：2.6×4＝10.4元≈11元
如果四舍五入的话是10元，是不够的，所以是要进上去的
③去尾法：
例：有20元，买3元一支的笔，可卖多少支？
解：20÷3＝6.6666…支≈6支
如果四舍五入是7支，买不到，所以是要去掉的．
【命题方向】
常考题型：
例：估计与288.9×1.756的积最接近的数是（ ）
A、400 B、500 C、600 D、1000
分析：根据小数乘法的估算方法：把相乘的因数看成最接近它的整数来算；288.9≈290，1.756≈1.8，所以与288.9×1.756的积最接近的数是290×1.8≈500，据此选择即可．
解：因为288.9×1.756≈290×1.8≈500，
所以与288.9×1.756的积最接近的数是500．
故选：B．
点评：此题考查了小数乘法的估算方法，注意把相乘的数看成最接近它的整数．
10．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序一致，先算括号内的数（按照小括号、中括号、大括号的顺序），同一括号内或括号外的数，要按照先算乘除、后算加减的顺序进行计算．如果是同级运算，要按照从左到右的顺序，依次进行．
繁分数：在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这种形式的分数，叫做繁分数．
繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数的主分数线（也叫主分线），主分线比其他分数线要长一些．
繁分数的化简：
①先找出中主分线，确定分子部分和分母部分，然后，这两部分分别进行计算，每部分的计算结果能约分的要约分，最后，改成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出结果．
②根据分数的基本性质，把繁分数的分子部分和分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后，通过计算，化为最简分数或整数．
【命题方向】
常考题型：
例1：比14的45少16的数是（ ）
分析：求一个数的几分之几用乘法，得出14的45是：14×45； 再求一个数比另一个数少几分之几的数，先求这个数占一个数的几分之几：1-16，最后求一个数的几分之几用乘法：（14×45）×（1-16）．
解：（14×45）×（1-16），
=15×56，
=16；
故选：D．
点评：此题考查了分数的四则混合运算．求比一个数少几分之几的数，把一个数看作“1”，用乘法来解答．
例2：下面各题．
①12×25+910÷920=
②713÷[114÷（423-12）]＝
分析：按运算顺序计算即可．
解：①12×25+910÷920，
=15+910×209，
=15+2，
＝215；
②713÷[114÷（423-12）]，
＝713÷[114÷256]，
＝713÷310，
＝2449
点评：本题主要考查分数四则混合运算的计算顺序．
11．小数四则混合运算
【知识点归纳】
小数四则运算的运算顺序与整数四则运算的运算顺序相同．同级运算，从左往右依次运算，两级运算，先算乘除，后算加减；有括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后，算大括号里面的，最后算括号外面的．
【命题方向】
常考题型：
例1：递等式计算：
①0.11×1.8+8.2×0.11
②0.8×（3.2﹣2.99÷2.3）
③5.4÷（3.94+0.86）×0.8
④（8.1﹣5.4）÷3.6+85.7．
分析：①利用乘法分配律的逆运算，可把原式变成（1.8+8.2）×0.11；
②④题，注意运算顺序即可；
③题，在计算5.4÷4.8×0.8时，利用除法的性质，变为5.4÷（4.8÷0.8），这样可以使计算简便．
解：①0.11×1.8+8.2×0.11，
＝（1.8+8.2）×0.11，
＝10×0.11，
＝1.1；
②0.8×（3.2﹣2.99÷2.3），
＝0.8×（3.2﹣1.3），
＝0.8×1.9，
＝1.52；
③5.4÷（3.94+0.86）×0.8，
＝5.4÷4.8×0.8，
＝5.4÷（4.8÷0.8），
＝5.4÷6，
＝0.9；
④（8.1﹣5.4）÷3.6+85.7，
＝2.7÷3.6+85.7，
＝0.75+85.7，
＝86.45．
点评：此题考查了学生对小数四则混合运算题的计算能力，以及灵活巧算的能力．如：a÷b×c＝a÷（b÷c）．
12．积的变化规律
【知识点归纳】
积的变化规律：
（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同倍数．
（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同数倍，那么，它们的积不变．
【命题方向】
常考题型：
例1：若A×40＝360，则A×4＝（ ）
A、3600 B、360 C、36
分析：根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数缩小10倍，那么积也会缩小10倍，据此选择即可．
解：A×40＝360，
A×4＝36，
故选：C．
点评：此题主要考查的是积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大或缩小多少倍（0除外），积也会随之扩大或缩小相同的倍数．
例2：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于（ ）
A、原来的积乘10 B、原来的积乘20 C、原来的积乘100
分析：根据积的变比规律：一个因数乘10，另一个因数也乘10，原来的积就乘10×10．据此进行选择即可．
解：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100．
故选：C．
点评：此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10，另一个因数也乘（或除以）10，原来的积就乘（或除以）100．
13．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，5-35表示（ ）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：5-35表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．
例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮16，计算哥哥身高的正确式子（ ）
A、120×（1+16） B、120÷（1+16） C、120×（1-16） D、120÷（1-16）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮16”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1-16），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1-16）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
14．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：出席人数总人数×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：10025+100×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
15．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
16．列方程解含有两个未知数的应用题
【知识点归纳】
列方程解应用题的步骤：
①弄清题意，确定未知数，并用x表示．
②找出题中数量之间的相等关系．
③列方程，解方程．
④检查或验算，写出答案．
【命题方向】
常考题型：
例1：车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小轿车，已知车的辆数与车轮数的比是2：5，摩托车与四轮小轿车的比是（ ）
A、4：1 B、3：1 C、2：1 D、1：1
分析：设四轮小轿车有x辆，则四轮小轿车一共有4x个轮子，双轮摩托车有y辆，则双轮摩托车一共有2y个轮子，再根据“车的辆数与车轮数的比是2：5，”求出摩托车与四轮小轿车的比．
解：设四轮小轿车有x辆，双轮摩托车有y辆，
（x+y）：（4x+2y）＝2：5，
（4x+2y）×2＝5（x+y），
8x+4y＝5x+5y，
8x﹣5x＝5y﹣4y，
3x＝y，
所以，y：x＝3：1，
答：摩托车与四轮小轿车的比是3：1．
故选：B．
点评：解答此题的关键是，根据题意设出未知数，并根据数量关系写出比例，再根据比例的基本性质作答．
例2：红星小学五年级有学生110人，男生人数是女生人数的1.2倍，男生、女生各有多少人？（用方程解）
分析：根据题意数量间的相等关系为：女生人数+男生人数＝110，设女生有x人，则男生有1.2x人，根据题意列出方程求解即可．
解：设女生有x人，则男生有1.2x人，
x+1.2x＝110，
2.2x＝110，
2.2x÷2.2＝110÷2.2，
x＝50；
男生人数：50×1.2＝60（人）．
答：男、女生各有60人、50人．
点评：此题考查列方程解应用题，解决此题的关键是女生人数+男生人数＝110，由此得出答案．
17．时、分、秒及其关系、单位换算与计算
【知识点归纳】
两个日期或时刻之间的间隔叫时间．
时、分、秒相邻两个单位进率是60，
1小时＝60分＝3600秒，
1分＝60秒．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．
【命题方向】
常考题型：
例1：3.3小时是（ ）
A、3小时30分 B、3小时18分 C、3小时3分
分析：1小时＝60分，据此即可求解．
解：3.3小时＝3+0.3小时，
0.3×60＝18（分），
所以3.3小时＝3小时18分；
故选：B．
点评：此题主要考查时间单位间的换算．
例2：三个人在同一段路上赛跑，甲用0.2分，乙用730分，丙用13秒．（ ）的速度最快．
A、甲 B、乙 C、丙
分析：先把时间都换算成秒数，再比较谁最快，因为路程相等，谁用的时间最少谁就最快．
解：甲的时间是：0.2分＝12秒，
乙的时间是：730分＝14秒，
丙的时间是：13秒，
在12秒、14秒、13秒三个时间中，12秒最少，即甲的速度最快．
故选：A．
点评：此题关键是把时间统一单位，明确同样的路程，用的时间最少的是速度最快的．
18．长度的单位换算
【知识点归纳】
1千米＝1000米，
1米＝10分米＝100厘米＝1000毫米；
1分米＝10厘米＝100毫米；
1厘米＝10毫米．
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：和3.6千米相等的是（ ）
A、360米 B、3600米 C、3千米6米
分析：根据题意，先把3.6千米换算成用米作单位的数，然后再进行解答即可．
解：3.6×1000＝3600；
所以，3.6千米＝3600米；
故选：B．
点评：单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
例2：用“米”作单位计算，“8米6厘米十5米60厘米”的正确算式是（ ）
A、8.6+5.6 B、8.06+5.06 C、8.06+5.6
分析：此题应先把复名数换算成单名数，再进行计算：
（1）把8米6厘米换算成米数，先把6厘米换算成米数，用6除以进率100，得数再加上8即可；
（2）把5米60厘米换算成米数，先把60厘米换算成米数，用60除以进率100，得数再加上5即可，据此即可做出正确选择．
解：因为8米6厘米＝8.06米，
5米60厘米＝5.6米，
所以8米6厘米十5米60厘米＝8.06+5.6（米）；
故选：C．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之，则除以进率．
19．面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米
1平方分米＝100平方厘米
1平方千米＝100公顷＝10000公亩＝1000000平方米
1公顷＝100公亩＝10000平方米
1公亩＝100平方米．
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：有三块铁皮，面积分别是9平方分米、90平方分米和900平方分米，哪块铁皮的面积最接近1平方米？（ ）
A、9平方分米 B、90平方分米 C、900平方分米
分析：先分别把9平方分米、90平方分米和900平方分米换算成平方米数，再比较得解．
解：因为9平方分米＝0.09平方米，
90平方分米＝0.9平方米，
900平方分米＝9平方米；
所以0.9平方米，也即90平方分米的这块铁皮的面积最接近1平方米；
故选：B．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
例2：边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（判断对错）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
20．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
21．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多14，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多14，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+14），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+14）：1，
=54：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷45=154x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：154x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷45=154x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：154x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
22．比与分数、除法的关系
【知识点归纳】
1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．
2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．
【命题方向】
常考题型：
例：45=16÷ 20 ＝ 8 ：10＝ 80 %＝ 八 成．
分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．
解：45=4÷5＝16÷20，
45=4：5＝8：10，
45=0.8＝80%＝八成，
故答案为：45=16÷20＝8：10＝80%＝八成
点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．
23．解比例
【知识点归纳】
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例．
一般来说，求比例的未知项有以下两种情况：
（1）求未知外项=已知内项×已知内项已知外项
（2）求未知内项=已知外项×已知外项已知内项
【命题方向】
常考题型：
例1：在比例中，两个外项的积是12，其中的一个内项是4，另一个内项是 18 ．
分析：分析“两个外项的积是12，其中的一个内项是4”这两个条件，根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，用两个外项的积除以其中的一个内项，算出另一个内项是多少．
解：12÷4=12×14=18
故答案为：18．
点评：这道题重点考查学生对于比例的基本性质的应用．
例2：如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项（ ）
A、成反比例 B、成正比例 C、不成比例
分析：根据互为倒数的定义和比例的两内项之积等于两外项之积，可得比例的两个内项之积等于1，再根据成反比例的定义即可求解．
解：因为比例的两个外项互为倒数，
那么比例的两个内项之积＝1（为恒指），
则比例的两个内项成反比例．
故选：A．
点评：本题考查了倒数的定义和成反比例的条件，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定．这两种量叫做成反比例的量．它们的关系叫做反比例关系．
24．正方体的展开图
【知识点归纳】
正方体展开图形如下情况：
【命题方向】
常考题型：
例1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（ ）相对．
A、4 B、5 C、6 D、3
分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“33”型，由此可进行折叠验证，得出结论．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，此题是“33”型，折叠后2和5是相对的．
故选：C．
点评：此题考查了正方体的展开图．
例2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（ ）
分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“141”型，即中间四个正方形围成正方体的侧面，上、下各一个为正方体的上、下底，由此可进行选择．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，A、B、D都是“141”型，所以A、B、D是正方体的表面展开图．
只有C答案中间有二个，上面有一个面，下面有三个面，折在一起会有重叠的情况；
故选：C．
点评：此题考查了正方体的展开图．
25．等腰三角形与等边三角形
【知识点归纳】
1．等腰三角形的定义和性质：
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形．
判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）．
2．等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等腰三角形．
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
（1）三边长度相等；
（2）三个内角度数均为60度；
（3）一个内角为60度的等腰三角形．
【命题方向】
常考题型：
例1：等边三角形是（ ）
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形
分析：等边三角形也叫正三角形，是指三条边、三个角都相等的三角形，每一个角都是180°÷3＝60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
解：因为等边三角形的每一个角都是60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
故选：B．
点评：解决此题关键是掌握等边三角形的特征：三条边、三个角都相等．再根据锐角、钝角、直角三角形的特征进行判断即可．
例2：一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形一定是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形
分析：根据等角对等边，可知这个三角形中有两条边相等，依此即可作出判断．
解：因为一个三角形中有两个角相等，
所以这个三角形中有两条边相等；
那么这个三角形一定是等腰三角形．
故选：C．
点评：此题考查了等腰三角形判定，本题关键是熟悉三角形中等角对等边的性质．
26．画指定长、宽（边长）的长方形、正方形
【知识点归纳】
在方格中数小正方体的棱边数目，正方形和长方形都是固定的．
【命题方向】
常考题型：
例：下面小正方形的边长是1厘米
（1）画一个边长是3厘米的小正方形．
（2）画一个长5厘米，宽2厘米的长方形．
（3）画一个周长是10厘米的四边形．
（4）用阴影涂出其中一个图形的12．
分析：（1）（2）根据长方形、正方形的定义和已知的边长即可画图；
（3）画周长为10厘米的四边形，此题答案不唯一，可以画一个长3厘米，宽2厘米的长方形，它的周长是（3+2）×2＝10厘米；
（4）把（3）中画出的长方形涂色：这个长方形正好占了3×2＝6格，所以把其中的3个格涂色，正好是这个图形的12．
解：根据题干分析，画图如下：
点评：此题主要考查指定边长或周长的长方形、正方形的画法．
27．长方形的周长
【知识点归】
周长：图形一周的长度，就是图形的周长；周长的长度等于图形所有边的和．一般用字母C来表示．
计算方法：
①周长＝长+宽+长+宽
②周长＝长×2+宽×2
③周长＝（长+宽）×2．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一根长38厘米的铁丝围长方形，使它们的长和宽都是整厘米数，可以有（ ）种围法．
A、7 B、8 C、9 D、10
分析：要求有几种围法，应依据长方形的周长公式，求出长和宽的和，再据条件“长和宽都是整数”进行推算即可．
解：长方形的周长＝（长+宽）×2
所以长与宽之和是：38÷2＝19（厘米）
由此可知：1+18＝19、2+17＝19、3+16＝19、4+15＝19、5+14＝19
6+13＝19、7+12＝19、8+11＝19、9+10＝19．
一共有9种方法．
故选：C．
点评：此题主要考查长方形的周长公式及整数的加减问题，依据题目条件，可以推算出结果．
例2：一个周长为20米的长方形，如果把它的长和宽都增加5米，那么它的周长增加（ ）
A、10米 B、20米 C、30米 D、40米
分析：抓住“长和宽都增加5米”，那么周长就增加了2个（5+5）的长度．由此计算得出即可选择正确答案．
解：（5+5）×2
＝10×2
＝20（米）；
答：那么它的周长增加20米．
故选：B．
点评：此题考查了长方形的周长公式的灵活应用．
【解题思路点拨】
（1）常规题求长方形的周长，分别找出长和宽，代入公式即可求得．
（2）周长概念和公式要理解牢记．
28．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
29．梯形的面积
【知识点归纳】
梯形面积＝（上底+下底）×高÷2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个果园近似梯形，它的上底120m，下底180m，高60m．如果每棵果树占地10m2，这个果园共有果树多少棵？
分析：根据梯形的面积公式S＝（a+b）×h÷2，求出果园的面积，再除以10就是这个果园共有果树的棵数．
解：（120+180）×60÷2÷10，
＝300×60÷2÷10，
＝18000÷20，
＝900（棵），
答：这个果园共有果树900棵．
点评：本题主要是利用梯形的面积公式S＝（a+b）×h÷2与基本的数量关系解决问题．
30．组合图形的面积
【知识点归纳】
方法：
①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．
②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．
③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．
【命题方向】
常考题型：
例1：求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）
分析：根据图所示，可把组合图形分成一个直角梯形和一个14圆，阴影部分的面积等于梯形的面积减去14圆的面积再加上14圆的面积减去三角形面积的差，列式解答即可得到答案．
解：[（5+8+5）×5÷2-14×3.14×52]+（14×3.14×52﹣5×5÷2），
＝[18×5÷2﹣0.785×25]+（0.785×25﹣25÷2），
＝[90÷2﹣19.625]+（19.625﹣12.5），
＝[45﹣19.625]+7.125，
＝25.375+7.125，
＝32.5（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为32.5平方厘米．
点评：此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底×高÷2和圆的面积公式S＝πr2的应用．
31．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
32．圆柱的侧面积、表面积和体积
【知识点归纳】
圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示：
S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh
圆柱的底面积＝πr2
圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表＝2πr2+2πrh
圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示：
V＝πr2h．
【命题方向】
常考题型：
例1：做一个铁皮烟囱需要多少铁皮，就是求烟囱的（ ）
A、表面积 B、体积 C、侧面积
分析：根据圆柱体的侧面积的定义知道，圆柱侧面积是指将一个圆柱体沿高展开后得到的长方形的面积，做一个铁皮烟囱实际就是做一个没有上、下底面的圆柱体，要求铁皮的多少就是求烟囱的侧面积．
解：因为，烟囱是通风的，是没有上下两个底的，
所以，做一个铁皮烟囱需要多少铁皮，就是求烟囱的侧面积，
故选：C．
点评：此题主要考查了圆柱体的侧面积的意义，及在生活中的实际应用．
例2：一个圆柱形量杯底面周长是25.12厘米，高是10厘米，把它装满水后，再倒入一个长10厘米，宽8厘米的长方体容器中，水面高多少厘米？
分析：由题意可知，把圆柱形容器中的水倒入长方体容器中，只是形状改变了，但是水的体积不变．因此，先根据圆柱的容积（体积）公式v＝sh，求出圆柱形容器中水的体积，再除以长方体容器的底面积．由此列式解答．
解：3.14×（25.12÷3.14÷2）2×10÷（10×8），
＝3.14×42×10÷80，
＝3.14×16×10÷80，
＝502.4÷80，
＝6.28（厘米）；
答：水面高6.28厘米．
点评：此题属于圆柱和长方体的容积的实际应用，首先根据圆柱的容积（体积）公式求出水的体积，再用水的体积除以长方体容器的底面积．据出解决问题．
33．立体图形的容积
【知识点归纳】
所有立体图形的体积公式都是底面积乘高．
长方体＝长×宽×高
正方体＝棱长×棱长×棱长
圆柱＝底面积×高，底面积＝圆周率×半径的平方
圆锥＝底面积×高÷3．
【命题方向】
常考题型：
例1：自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米．一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟浪费 7.536 升水．
分析：把流过的水看成圆柱，它的底面直径是2厘米、高是（8×5×60）厘米，由此根据圆柱的体积公式V＝sh＝πr2h计算即可．
解：3.14×（2÷2）2×（8×5×60），
＝3.14×1×2400，
＝7536（cm3），
＝7.536（升）；
答：五分钟浪费7.536升的水．
故答案为：7.536．
点评：把不规则的形状物体，转化成规则的形状来求解体积．
例2：有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料 2.4 升．
分析：正放时饮料高度为20厘米，倒放时，空余部分的高度为5厘米，如果把饮料瓶内饮料的体积看作圆柱体，正放和倒放瓶内饮料的体积不变，用高之比等于体积之比，即可求出饮料有多少升．
解：饮料和空气的体积比是：
20：5＝4：1
饮料有：
3×44+1=3×0.8＝2.4（升）
答：瓶内现有饮料2.4升．
故答案为：2.4．
点评：此题主要考查应用圆柱体的体积（容积）的计算方法，解决有关的实际问题．
34．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
35．简单事件发生的可能性求解
【知识点归纳】
1．抛钢镚实验、掷骰子实验和转盘实验，能够列出简单实验的所有可能发生的结果，每个结果发生的可能性都相等．
2．用列举法求简单事件发生的可能性，可以用数值表示及其表示方法．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个纸箱里放了6个红色乒乓球，4个黄色乒乓球和10个白色乒乓球，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性是()()，摸到黄球的可能性是()()．
【分析】求摸球的可能性用所求颜色球的个数除以球的总个数即可．
解：6÷（6+4+10）
＝6÷20
=310
4÷（6+4+10）
＝4÷20
=15
答：摸到红球的可能性是310；摸到黄球的可能性是15．
故答案为：310；15．
【点评】本题主要考查可能性的求法，即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答．
36．高斯取整
【知识点归纳】
①不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT（x）．
②x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}．
③需要注意的是，对于负数，[x]指的并不是x小数点左边的部分，{x}指的不是x小数点右边的部分，例如对于负数﹣3.7，[﹣3.7]＝﹣4，而不是﹣3，此时{x}＝﹣3.7﹣（﹣4）＝0.3，而不是﹣0.7．
性质1：对任意x∈R，均有x﹣1＜[x]≤x＜[x]+1．
【命题方向】
经典题型：
例1：[x]表示取数x的整数部分，比如[6.28]＝6，若x＝9.42，则[x]+[2x]+[3x]＝ 55 ．
分析：完成本题只要先算出2x，3x的值是多少，然后再据取整的意义求出[x]+[2x]+[3x]的值即可．
解：因为2x＝9.42×2＝18.84，3x＝28.26则：
[x]+[2x]+[3x]
＝[9.42]+[18.4]+[28.26]
＝9+18+28，
＝55．
故答案为：55．
点评：完成本题要注意取整并不是据四舍五入取近似值，而是直接将小数部分舍去，只取整数部分．
例2：用{x}表示数x的小数部分，[x]表示x的整数部分．如{2，3}＝0.3，[2，3]＝2．若a+[b]＝15.3，{a}+b＝7.8，则（ ）
A、a＝7.5，b＝8.3 B、a＝8.3，b＝7.5 C、a＝8.5，b＝7.3 D、a＝7.3，b＝8.5
分析：由于{x}表示数x的小数部分，[x]表示x的整数部分，又a+[b]＝15.3，则[b]为整数，所以a的小数部分为0.3，所以，{a}＝0.3；而{a}+b＝7.8，所以b＝7.8﹣0.3＝7.5，[b]＝7，所以，a＝15.3﹣7＝8.3．
解：由a+[b]＝15.3可知a的小数部分为0.3，
所以{a}＝0.3；而{a}+b＝7.8，
则b＝7.8﹣0.3＝7.5，[b]＝7，
所以，a＝15.3﹣7＝8.3．
即a＝8.3，b＝7.5．
故选：B．
点评：完成本题的关键是要注意分析题意，弄清不同符号所表示的意义．
37．工程问题
【知识点归纳】
工程问题公式
（1）一般公式：工效×工时＝工作总量； 工作总量÷工时＝工效；
工作总量÷工效＝工时．
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几；
1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间．
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．）
解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
【命题方向】
经典题型：
例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？
分析：求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间＝多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量＝工作效率×工作时间即可解答．
解：120÷（9﹣5）×（9+5）
＝120÷4×14
＝420（个）
答：这批零件共有420个．
点评：解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系．
例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？
分析：由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为18，甲单独12天完成，甲的工作效率为112，那么乙的工作效率18-112=124．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：18x+124×3x＝1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天．
解：18-112=124．
设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：
18x+124×3x＝1，
18x+18x＝1，
14x＝1，
x＝4．
4+4×3
＝4+12，
＝16（天）．
答：这个工程实际工期为16天．
点评：首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键．
38．浓度问题
【知识点归纳】
基本数量关系：
溶液质量＝溶质质量+溶剂质量；
溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数．
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意．
【命题方向】
经典题型：
例1：A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出 10克倒入C中．现在C中盐水浓度是0.5%．问最早倒入A中的盐水浓度是多少？
分析：混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%，可算出C管中的盐是：40×0.5%＝0.2（克）．由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B管中倒入的10克盐水里．
B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30克盐水就应该含盐：0.2×3＝0.6（克）．而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中．
A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20克盐水含盐：0.6×2＝1.2（克），而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水．即说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克．所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2÷10×100%＝12%
解：B中盐水的浓度是：
（30+10）×0.5%÷10×100%，
＝40×0.005÷10×100%，
＝2%．
现在A中盐水的浓度是：
（20+10）×2%÷10×100%，
＝30×0.002÷10×100%，
＝6%．
最早倒入A中的盐水浓度为：
（10+10）×6%÷10，
＝20×6%÷10，
＝12%．
答：最早倒入A中的盐水浓度为12%．
点评：不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管中的盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答．
39．差倍问题
【知识点归纳】
含义：差倍问题即已知两数之差和两数之间的倍数关系，求出两数．
公式：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差或小数×倍数＝大数．
差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法．被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题．
【命题方向】
经典题型：
例1：甲、乙两桶油重量相等，如果甲桶取出8千克，乙桶加入16千克，这时乙桶油的重量是甲桶油重量的3倍．两桶油原来各有油多少千克？
分析：甲、乙两桶油重量相等．从甲桶取走8千克油，乙桶加入16千克油，这时，甲桶比乙桶多24千克，乙桶油的重量是甲桶油重量的3倍，所以24千克是甲桶取出后的2倍，用除法可得甲桶取出后的油的重量，再加8即可得两桶油原来的千克数．
解：（8+16）÷（3﹣1）
＝24÷2
＝12（千克）
12+8＝20（千克）
答：两桶油原来各有20千克．
点评：本题考查了差倍问题，关键是得出48千克时是甲桶取出后的2倍．
40．逻辑推理
【知识点归纳】
基本方法简介：
①条件分析﹣假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的．例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数．
②条件分析﹣列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析．列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断．
③条件分析﹣﹣图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态．例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识．
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件．
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决．
【命题方向】
经典题型：
例1：有A，B，C，D，E五名同学进行象棋比赛，规定每两个人之间要赛一场，到现在为止，A已经赛了4场，B已经赛了3场，C已经赛了2场，D已经赛了1场，那么E赛了（ ）场．
A、1 B、2 C、3 D、4
分析：5个人两两之间比赛，那么每个人要和另外4人比赛，每人赛4场，再根据ABCD四人赛的场次进行推算．
解：每人最多赛4场；
A已经赛了4场，说明它和另外的四人都赛了一场，包括D和E；
E赛了1场，说明他只和A进行了比赛，没有和其它选手比赛；
B赛了3场，他没有和E比赛，是和另外另外的三人进行了比赛，包括C和E；
C赛了2场，是和A、B进行的比赛，没有和E比赛；
所以E只和A、B进行了比赛，一共是2场．
故选：B．
点评：本题根据每个人最多只能比赛4场作为突破口，进行逐个推理，找出E进行比赛的场次．
41．排列组合
【知识点归纳】
排列组合的综合应用具有一定难度．突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石．其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析．有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握．
【命题方向】
经典题型：
例1：教务处编排某班某日上午的课程表（上午只上5节课）．该班拟安排语文、数学、英语、科学和体育（每科只上一节课），但规定体育不安排在第一节课．问安排的课程表可能有几种？
分析：第一节课是从除体育外的4科中选择一科，有4种不同的选择方法；第二节从剩下的4科中选择1科，也有4种选择方法，第三节从剩下的3科中选择1科，有3种选法；第四节从剩下的2科中选择1科，有1种选法；第五节就是剩下的1科，有1种选法；根据乘法原理它们的积就是全部的选择方法．
解：4×4×3×2×1，
＝16×3×2×1，
＝96（种）；
答：安排的课程表可能有96种．
点评：分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．
例2：如图中 A、B、C、D、E 五个区域，以红、黄、蓝三色去涂，相邻区域涂上不同颜色，共有多少种涂法？
分析：首先，可以将红、黄、蓝任一颜色去涂A区．由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A＝3，B＝2，C＝1，D＝1，E＝1，运用乘法原理即可解决问题．
解：将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A＝3，B＝2，C＝1，D＝1，E＝1．
共有涂法：3×2×1×1×1＝6（种）．
答：共有6种涂法．
点评：解答此题的关键是通过题意，进行分析，首先将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，然后逐步推出A、B、C、D、E可涂上的颜色数目，解决问题．
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2019年浙江省宁波市小升初招生数学试卷
一、填空题．（第3、4、13、14、15、16题每题2分，其余每空1分，共30分）
1．（2分）（2019•宁波）一个整数亿位上是最小的质数，千万位上是最大的一位数，十万位上是最小的奇数，万位上是最小的合数，其余各位上的数字都是0．把这个数改写成用“万”做单位的数是 ，省略“亿”后面的尾数约是 ．
2．（3分）（2019•宁波）用1，3，5可以组成 个不同的三位数，它们都能被 整除，任选其中一个，把它分解质因数是
3．（2分）（2019•宁波）4.6米＝ 厘米 4500毫升＝ 立方分米
2小时50分＝ 小时 54公顷＝ 平方米
4．（2分）（2019•宁波） ÷10＝0.2＝ %＝8： ＝ 折．
5．（3分）（2019•宁波）甲：乙＝3：4，乙：丙＝5：6，甲：乙：丙＝ ： ： ．
6．（1分）（2019•宁波）一些最简真分数，它们分子分母的乘积都是420，把它们从小到大排列，第三个是 ．
7．（1分）（2019•宁波）比较大小：2÷3÷（4÷5）÷（6÷7） 2÷[3÷（4÷5÷6）÷7]（填“＞”“＜”或“＝”）
8．（1分）（2019•宁波）自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米．一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟浪费 升水．
9．（1分）（2019•宁波）计算1-12-14-18-116-132+164= ．
10．（1分）（2019•宁波）甲、乙两地相距60千米，李林8时从甲地出发去乙地，前一半时间平均每分钟行1千米，后一半时间平均每分钟行0.8千米，李林从甲地到乙地共用了 小时．
11．（1分）（2019•宁波）一个长方体箱子的长、宽、高分别是16分米、12分米、10分米，在这个箱子里最多能放棱长4分米的立方体 个．
12．（1分）（2019•宁波）小明步行去离家10千米远的叔叔家，每小时走3千米，可他走40分钟要休息10分钟，他9：00出发， 到叔叔家．
13．（2分）（2019•宁波）一个分数，分子加上2得35，分子减去2得13，这个分数是 ．
14．（2分）（2019•宁波）（121+122+123+⋯+140）×5的整数部分是 ．
15．（2分）（2019•宁波）某商品按定价的80%出售，仍旧可获得20%利润，定价时期望的利润是 ．
16．（2分）（2019•宁波）有一堆含水量为20%的稻谷，日晒一段时间以后，含水量降为111，现在这堆稻谷的重量是原来的 %．
17．（1分）（2019•宁波）一段圆柱形木料，如果截成两段，表面积增加6平方分米；如果沿直径切开，表面积增加8平方分米，这个圆柱的表面积是 平方分米．（π≈3）
18．（1分）（2019•宁波）从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（阴影部分），剩下的长方形土地面积是15.75平方米，划出去的长方形土地的面积是 ．
19．（1分）（2019•宁波）甲、乙、丙三位同学进行跑步比赛，跑完后他们每人说了一句话，甲说：我是第一，乙说：我是第二，丙说：我不是第一．可是其中一人说了假话，那么得第一名的是 ．
二、选择题．（共5分，每题1分）
20．（1分）（2019•宁波）有三个相同的骰子摆放如图，底面点数之和最小是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．无法判断
21．（1分）（2019•宁波）一个密封的不透明的袋子里装了两只红球、两只黄球和两只绿球，小华伸手任意抓一只球，抓到红球的机会是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．14
22．（1分）（2019•宁波）若a是非零自然数，下列算式中的计算结果最大的是（ ）
A．a×58 B．a÷58 C．a÷32 D．32÷a
23．（1分）（2019•宁波）用丝带捆扎一种礼品盒如下，结头处长25厘米，要捆扎这种礼品盒需准备（ ）分米的丝带比较合理．
A．10 B．21.5 C．23 D．30
24．（1分）（2019•宁波）如果18＜1□＜13，那么□里可以填的自然数有（ ）个．
A．4 B．3 C．5 D．无数
三、计算题．（共35分）
25．（8分）（2019•宁波）直接写出得数．
270÷18＝
23.9÷8≈
137-（23+37）＝
1920×21＝
2.2×9.9＝
：29=29
5﹣0.25+0.75＝
7×17÷7×17=
26．（12分）（2019•宁波）解比例、递等式计算．
13：10=0.75x 5400﹣2940÷28×27
74215×14-0.75×12 （611+137+89）÷（57+311+49）
110×12+112×14+114×16+116×18
27．（6分）（2019•宁波）列方程或综合算式计算．
（1）13的倒数比4的212倍少几？
（2） 一个数的30%与50的35相等，求这个数．（列方程解答）
28．（9分）（2019•宁波）画一个长3厘米，宽2厘米的长方形．
（1）在长方形中画一条线段，把它分成一个最大的等腰直角三角形和一个梯形．
（2）求出这个梯形的面积．
29．（2019•宁波）①计算图1阴影部分的周长．（π≈3）
②两个正方形相拼，求图2阴影部分的面积．
四、综合应用．（第5题6分，其余每题4分，共30分）
30．（4分）（2019•宁波）某公园对团体游园购买门票的规定如下表：
购票人数
50人以下
51～100人
100人以上
每人门票价
12元
10元
8元
今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费1142元．如合在一起作为一个团体购票，总计只应付门票费864元．问：这两个旅游团各有多少人？
31． （4分）（2019•宁波）甲、乙两个食堂共有大米200千克，如果甲食堂用去原有大米的12，乙食堂用去11千克，这时两个食堂剩下的大米重量相等，乙食堂原有大米多少千克？
32．（4分）（2019•宁波）甲、乙、丙三个工程队完成某项工程的天数和日工资如下表：
工程队
单独完成工程所用天数
每日总工资（万元）
甲
10
18
乙
15
12
丙
20
8
请你选择两个工程队合做这项工程，如果工期很紧，想尽快完工，应选择哪两个队合做？几天可以完工？完工后两队各得多少工资？
33．（4分）（2019•宁波）某游泳馆有大小两个游泳池，小聪来到游泳馆游泳，这时游泳池中的游泳人数情况如图．根据当时的情况，管理员应将小聪安排在哪个游泳池中？说说你的理由．
34．（6分）（2019•宁波）这是关于一种弹簧秤的弹簧变化情况统计，请你完成表格．（假设弹簧可以无限延长）
称重（千克）
1
2
3
4
…
10
…
m
长度（厘米）
7.5
8
8.5
9
…
…
50
35． （4分）（2019•宁波）粗蜡烛和细蜡烛长短一样．粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时．同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍．问这两支蜡烛点了 时间？
36．（4分）（2019•宁波）有盐水若干升，加入一定量的水后，盐水浓度降到3%，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到2%，再加入同样多的水，此时浓度是多少？未加入水时盐水浓度是多少？
2019年浙江省宁波市小升初招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题．（第3、4、13、14、15、16题每题2分，其余每空1分，共30分）
1．（2分）（2019•宁波）一个整数亿位上是最小的质数，千万位上是最大的一位数，十万位上是最小的奇数，万位上是最小的合数，其余各位上的数字都是0．把这个数改写成用“万”做单位的数是 29014万 ，省略“亿”后面的尾数约是 3亿 ．
【考点】15：整数的读法和写法；16：整数的改写和近似数．菁优网版权所有
【专题】17：综合填空题；411：整数的认识．
【分析】最小的质数是2，最大的一位数是9，最小的奇数是1，最小的合数是4，根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字．
【解答】解：一个整数亿位上是最小的质数，千万位上是最大的一位数，十万位上是最小的奇数，万位上是最小的合数，其余各位上的数字都是0，写作：2 9014 0000；
2 9014 0000＝2 9014万；
2 9014 0000≈3亿．
故答案为：2 9014万，3亿．
【点评】本题主要考查整数的写法、改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位．
2．（3分）（2019•宁波）用1，3，5可以组成 6 个不同的三位数，它们都能被 3 整除，任选其中一个，把它分解质因数是 135＝3×3×3×5
【考点】1#：2、3、5的倍数特征；1Z：合数分解质因数；PB：排列组合．菁优网版权所有
【专题】413：数的整除．
【分析】把用3、1、5组成的三位数都写出来，进而求解．
每一位上数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；
分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式，由此定义即可进行分解．
【解答】解：用1、3、5组成的三位数有：135、153、315、351、531、513；共有6个．
由于1+3+5＝9，9是3的倍数，则这六个数都能被3整除；
135＝3×3×3×5．
故答案为：6，3，135＝3×3×3×5．
【点评】在列举这些三位数时，要按照一定的顺序写，不要重复写或者漏写．
3．（2分）（2019•宁波）4.6米＝ 460 厘米
4500毫升＝ 4.5 立方分米
2小时50分＝ 256 小时
54公顷＝ 540000 平方米
【考点】43：时、分、秒及其关系、单位换算与计算；4A：长度的单位换算；4C：面积单位间的进率及单位换算；4E：体积、容积进率及单位换算．菁优网版权所有
【专题】441：长度、面积、体积单位；442：质量、时间、人民币单位．
【分析】（1）高级单位米化低级单位厘米乘进率100．
（2）低级单位毫升化高级单位立方分米除以进率1000．
（3）把50分除以进率60化成56小时再加2小时．
（4）高级单位公顷化低级单位平方米乘进率10000．
【解答】解：（1）4.6米＝460厘米
（2）4500毫升＝4.5立方分米
（3）2小时50分＝256小时
（4）54公顷＝540000平方米．
故答案为：460，4.5，256，540000．
【点评】单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率；由高级单位化低级单位乘进率，由低级单位化高级单位除以进率．
4．（2分）（2019•宁波） 2 ÷10＝0.2＝ 20 %＝8： 40 ＝ 二 折．
【考点】63：比与分数、除法的关系．菁优网版权所有
【专题】17：综合填空题；433：比和比例．
【分析】把0.2化成分数并化简是15，根据分数与除法的关系15=1÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘2就是2÷10；根据比与分数的关系15=1：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘8就是8：40；把0.2的小数点向右移动两位添上百分号就是20%；根据折扣的意义20%就是二折．
【解答】解：2÷10＝0.2＝20%＝8：40＝二折．
故答案为：2，20，40，二．
【点评】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比、折扣之间的关系及转化．利用它们之间的关系和性质进行转化即可．
5．（3分）（2019•宁波）甲：乙＝3：4，乙：丙＝5：6，甲：乙：丙＝ 15 ： 20 ： 24 ．
【考点】61：比的意义．菁优网版权所有
【专题】433：比和比例．
【分析】甲乙两数的比是3：4，乙丙两数的比是5：6，根据比的基本性质，甲乙两数的比3：4＝（3×5）：（4×5）＝15：20；乙丙两数的比5：6＝（5×4）：（6×4）＝20：24．所以甲乙丙三数的比为：15：20：24；据此解答．
【解答】解：甲：乙＝3：4＝（3×5）：（4×5）＝15：20；
乙：丙＝5：6＝（5×4）：（6×4）＝20：24；
甲：乙：丙＝15：20：24；
故答案为：15，20，24．
【点评】如果已知两甲乙、乙丙两数的比，那么可以根据比的基本性质求出三个数的比．
6．（1分）（2019•宁波）一些最简真分数，它们分子分母的乘积都是420，把它们从小到大排列，第三个是 4105 ．
【考点】1B：最简分数．菁优网版权所有
【专题】421：运算顺序及法则．
【分析】分子与分母只有公因数1的分数为最简分数．分子小于分母的分数为真分数．由此将420分解质因数后，即能求得分子、分母的乘积等于420的最简真分数有几个，然后再进行比较即可．
【解答】解：420＝2×2×3×5×7＝1×420＝4×105＝12×35＝140×3＝60×7＝5×84＝21×20＝15×28；
则分子、分母的乘积等于420的最简真分数有：1420、4105，1235，3140，760，584，2021，1528，共8个．
根据分数的意义可知，一个分数分母越小，分子越大，其分数值就越大，
则：2021＞1528＞1235＞760＞584＞4105＞3140＞1420．
所以把它们从小到大排列，第三个是4105．
故答案为：4105．
【点评】首先将420分解因数，根据最简分数及真分数的意义确定这几个分数是完成本题的关键．
7．（1分）（2019•宁波）比较大小：2÷3÷（4÷5）÷（6÷7） ＞ 2÷[3÷（4÷5÷6）÷7]（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】2B：整数四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】421：运算顺序及法则．
【分析】2÷3÷（4÷5）÷（6÷7），先算小括号里面的除法，再按照从左往右的顺序进行计算；
2÷[3÷（4÷5÷6）÷7]，小括号里面按照从左往右的顺序进行计算，中括号里面按照从左往右的顺序进行计算，最后算括号外面的除法；
然后再比较解答．
【解答】解：2÷3÷（4÷5）÷（6÷7）
＝2÷3÷45÷67
=23÷45÷67
=56÷67
=3536；
2÷[3÷（4÷5÷6）÷7]
＝2÷[3÷（45÷6）÷7]
＝2÷[3÷215÷7]
＝2÷[452÷7]
＝2÷4514
=2845
3536＞2845；
所以，2÷3÷（4÷5）÷（6÷7）＞2÷[3÷（4÷5÷6）÷7]
故答案为：＞．
【点评】考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，然后再进一步计算．
8．（1分）（2019•宁波）自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米．一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟浪费 7.536 升水．
【考点】4E：体积、容积进率及单位换算；AD：圆柱的侧面积、表面积和体积；AH：立体图形的容积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】把流过的水看成圆柱，它的底面直径是2厘米、高是（8×5×60）厘米，由此根据圆柱的体积公式V＝sh＝πr2h计算即可．
【解答】解：3.14×（2÷2）2×（8×5×60），
＝3.14×1×2400，
＝7536（cm3），
＝7.536（升）；
答：五分钟浪费7.536升的水．
故答案为：7.536．
【点评】把不规则的形状物体，转化成规则的形状来求解体积．
9．（1分）（2019•宁波）计算1-12-14-18-116-132+164= 364 ．
【考点】2I：分数的四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】421：运算顺序及法则．
【分析】根据减法的性质以及分数的拆项公式进行简算．
【解答】解：1-12-14-18-116-132+164
＝1﹣（12+14+18+116+132）+164
＝1﹣[（1-12）+（12-14）+（14-18）+（18-116）+（116-132）]+164
＝1﹣[1-12+12-14+14-18+18-116+116-132]+164
＝1﹣[1-132]+164
＝1﹣1+132+164
＝0+132+164
=132+164
=364
故答案为：364．
【点评】考查了分数的拆项公式，根据12n=1n-12n进行简算．
10．（1分）（2019•宁波）甲、乙两地相距60千米，李林8时从甲地出发去乙地，前一半时间平均每分钟行1千米，后一半时间平均每分钟行0.8千米，李林从甲地到乙地共用了 109 小时．
【考点】3E：简单的行程问题．菁优网版权所有
【专题】45F：行程问题．
【分析】设一半的时间是x分钟，那么前一半时间行驶的路程是x千米，后一半时间行驶的路程是0.8x千米；把这两部分路程加在一起就是全程60千米，由此求解．
【解答】解：设一半的时间是x分钟，由题意得：
x+0.8x＝60
1.8x＝60
x=1003
1003×2=2003（分钟）
2003分钟=109小时
答：李林从甲地到乙地共用了109小时．
故答案为：109．
【点评】本题根据速度、路程、时间三者之间的数量关系，找出等量关系列出方程求解．
11．（1分）（2019•宁波）一个长方体箱子的长、宽、高分别是16分米、12分米、10分米，在这个箱子里最多能放棱长4分米的立方体 24 个．
【考点】AC：长方体和正方体的体积．菁优网版权所有
【专题】462：立体图形的认识与计算．
【分析】以长为边最多放16÷4＝4块，以宽为边最多放12÷4＝3块，以高为边最多放10÷4＝2块…2分米．再利用长方体的体积公式解答即可．
【解答】解：16÷4＝4（个），
12÷4＝3（个），
10÷4＝2（个）…2（分米），
4×3×2＝24（个），
答：这个盒子最多能放24个棱长4分米的正方体．
故答案为：24．
【点评】解决这类问题，首先求出各条棱上最多能放正方体的个数，再利用长方体的体积公式计算．
12．（1分）（2019•宁波）小明步行去离家10千米远的叔叔家，每小时走3千米，可他走40分钟要休息10分钟，他9：00出发， 13：00 到叔叔家．
【考点】3E：简单的行程问题．菁优网版权所有
【专题】45F：行程问题．
【分析】步行速度是每小时3千米，一共是10千米，说明如果不休息步行要3小时20分钟；但是她每40分钟就休息10分钟，所以中间有4次休息时间一共40分钟；所以她一共花了4小时的时间．从而可求其到达的时刻．
【解答】解：不休息需要的时间：10÷3＝313（小时）＝3小时20分钟
则路上要休息的4次，休息的时间是4×10＝40（分钟）
所以共需要时间3小时20分钟+40分钟＝4（小时）
9：00+4小时＝13：00
答：13：00到叔叔家．
故答案为：13：00．
【点评】解决此题的关键是能求出路上休息的时间，再加不休息的时间即可求解．
13．（2分）（2019•宁波）一个分数，分子加上2得35，分子减去2得13，这个分数是 715 ．
【考点】18：分数的意义、读写及分类．菁优网版权所有
【专题】414：分数和百分数．
【分析】35、13通分后是：35=915，13=515，第一个分数的分子减去2，第二个分数的分子加上，看是否相等，即可求出这个分数的分子，分母就是这两个分数的公分母．
【解答】解：35=915，13=515，
9﹣2＝5+2＝7，
即分子为7，
因此这个分数是715．
故答案为：715．
【点评】解答此题的关键是把两个分数通分，找出公分母，即这个分数的分母，第一个分数的分子减2，第二个分数的分子加二看是否相等，即可确定这个分数的分母．
14．（2分）（2019•宁波）（121+122+123+⋯+140）×5的整数部分是 3 ．
【考点】HE：高斯取整．菁优网版权所有
【专题】481：计算问题（巧算速算）．
【分析】根据题目要求，先分别计算出121至140的小数部分，再乘5算出值，即可求出整数部分的值．
【解答】解：（121+122+123+⋯+140）×5
≈（0.048+0.045+0.043+0.042+0.04+0.038+0.037+0.036+0.034+0.033+0.032+0.031+0.03+0.029+0.029+0.028+0.027+0.026+0.026+0.025）×5
＝0.679×5
＝3.395
答：（121+122+123+⋯+140）×5的整数部分是3．
故答案为：3．
【点评】考查了高斯取整，本题关键是求出每个分数的小数部分．
15．（2分）（2019•宁波）某商品按定价的80%出售，仍旧可获得20%利润，定价时期望的利润是 50% ．
【考点】38：百分数的实际应用．菁优网版权所有
【分析】设原来的定价是1，先把原来的定价看成单位“1”，用乘法求出现价；再把成本价看成单位“1”，现价是成本价的1+20%，由此用除法求出成本价；再用原来的定价减去成本价，求出差再除以成本价就是定价时期望的利润．
【解答】解：设定价是1，那么现价是：
1×80%＝0.8；
0.8÷（1+20%），
＝0.8÷120%，
=23；
（1-23）÷23，
=13÷23，
＝50%；
答：定价时期望的利润是50%．
故答案为：50%．
【点评】解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，根据基本的数量关系解决问题．
16．（2分）（2019•宁波）有一堆含水量为20%的稻谷，日晒一段时间以后，含水量降为111，现在这堆稻谷的重量是原来的 73 %．
【考点】38：百分数的实际应用．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】日晒一段时间以后，去掉的是水的质量，稻谷的质量不变；稻谷的质量是原来稻谷质量的（1﹣20%），日晒一段时间以后，含水量降为111，现在稻谷的质量是现在这稻谷的（1-111），现在稻谷的（1-111）就是原来稻谷的（1﹣20%），据此解答．
【解答】解：（1﹣20%）÷（1-111）
＝0.8÷1011
≈73%
答：现在这堆稻谷的重量是原来的 73%．
故答案为：73．
【点评】本题的关键是风干蒸发掉的是水的质量，稻谷的质量不变．然后根据除法的意义列式解答．
17．（1分）（2019•宁波）一段圆柱形木料，如果截成两段，表面积增加6平方分米；如果沿直径切开，表面积增加8平方分米，这个圆柱的表面积是 18 平方分米．（π≈3）
【考点】AD：圆柱的侧面积、表面积和体积．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；17：综合填空题；462：立体图形的认识与计算．
【分析】由题意可知：沿横截面截成两段后，会增加2个面的面积，也就等于圆柱的2个底面积；沿着直径劈成两个半圆柱体，则增加两个长为圆柱的高，宽为底面直径的长方形的面积，增加的面积已知，从而可以求出一个面的面积，进而求出圆柱的高度，从而求出圆柱的表面积．
【解答】解：圆柱的底面积是：6÷2＝3（平方分米）
3÷3＝1（分米）
即半径的平方是1，1×1＝1，所以半径r＝1分米
圆柱的高是：8÷2÷（1×2）
＝4÷2
＝2（分米）
圆柱的表面积：3×1×2×2+3
＝12+6
＝18（平方分米）
答：这段木料的表面积是18平方分米．
故答案为：18．
【点评】搞清增加面的形状、数量以及与原圆柱之间的联系是解决问题的关键．
18．（1分）（2019•宁波）从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（阴影部分），剩下的长方形土地面积是15.75平方米，划出去的长方形土地的面积是 4.5平方米 ．
【考点】A5：长方形、正方形的面积．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】根据题意，可设原来正方形的边长是x，划出一块宽为1米的长方形，剩下长方形的长是原正方形的边长，宽是正方形的边长减1，然后再根据长方形的面积公式，求出原正方形的边长（阴影部分的长）．再根据长方形的面积公式解答．
【解答】解：设原来长方形的边长是x，则剩下长方形的宽是（x﹣1），根据题意得
x×（x﹣1）＝15.75
x2﹣x＝15.75
x2﹣x+0.25＝15.75+0.25
（x﹣0.5）2＝42
x﹣0.5＝4
x＝4.5．
4.5×1＝4.5（平方米）
答：划出去的长方形土地的面积是4.5平方米．
故答案为：4.5平方米．
【点评】本题的关键是把长方形的面积写成一个完全平方和的形式，求出原正方形的边长．
19．（1分）（2019•宁波）甲、乙、丙三位同学进行跑步比赛，跑完后他们每人说了一句话，甲说：我是第一，乙说：我是第二，丙说：我不是第一．可是其中一人说了假话，那么得第一名的是 甲 ．
【考点】P4：逻辑推理．菁优网版权所有
【专题】48F：逻辑推理问题．
【分析】根据题意，因为有一人说的是假话，假设甲说的是假的，则乙是第二是对的，丙不是第一也是对的，丙只能是第三，与甲说的假话矛盾；假设丙说的是假话，则他是第一，与甲矛盾；假设乙说的是假的，则甲是第一，丙是第二，乙是第三，合理．
【解答】解：假设甲说的是假的，则乙是第二是对的，丙不是第一也是对的，丙只能是第三，与甲说的假话矛盾；
假设丙说的是假话，则他是第一，与甲矛盾；
假设乙说的是假的，则甲是第一，丙是第二，乙是第三，合理．
答：乙说的是假话，第一名为甲．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查逻辑推理问题，关键利用假设法找出矛盾，从而找出说假话的人．
二、选择题．（共5分，每题1分）
20．（1分）（2019•宁波）有三个相同的骰子摆放如图，底面点数之和最小是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．无法判断
【考点】8M：正方体的展开图．菁优网版权所有
【专题】462：立体图形的认识与计算．
【分析】由这三个相同的骰子摆放如图可知，与1（为便于叙述1点说1、2点说2……）相邻的四个面分别是2、3、4、5，从而推出与1相对的是6．由最右一个骰子可知，与5相邻的是1、4、6，它的对面可能是2或3．假设5的对面是2，则3的对面是4，这样底面点数之和就是5+4+3＝12；假设5的对面是3，则2的对面就是4，这样底面点数之和就是4+5+2＝11．由此可知，底面点数之和最小是11．
【解答】解：由这三个相同的骰子摆放如图可知，与1（为便于叙述1点说1、2点说2……）相邻的四个面分别是2、3、4、5，从而推出1与6相对，记作：1⇔6；
由最右一个骰子可知，与5相邻的是1、4、6，它的对面可能是2或3．
假设5的对面是2，则3的对面就是4，即5⇔2，3⇔4，底面点数之和就是5+4+3＝12；
假设5的对面是3，则2的对面就是4，即5⇔3，2⇔4，底面点数之和就是4+5+2＝11．
因此，底面点数之和最小是11．
故选：B．
【点评】由图可知，与1相对的是6，这是固定的．由最右一个骰子可知，与5相对的有两种可能，要么是2，要么是3，根据这两种情况推出底面数字，通过计算、比较即可确定最小是多少．
21．（1分）（2019•宁波）一个密封的不透明的袋子里装了两只红球、两只黄球和两只绿球，小华伸手任意抓一只球，抓到红球的机会是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．14
【考点】E6：简单事件发生的可能性求解．菁优网版权所有
【专题】473：可能性．
【分析】先求出球的总数，再用红球数除以球的总数，即为抓到红球的概率．
【解答】解：2÷（2+2+2）
＝2÷6
=13
答：抓到红球的机会是13．
故选：B．
【点评】本题考查基本的可能性问题，事物出现的概率就是这个事物占总数的几分之几．
22．（1分）（2019•宁波）若a是非零自然数，下列算式中的计算结果最大的是（ ）
A．a×58 B．a÷58 C．a÷32 D．32÷a
【考点】2S：积的变化规律．菁优网版权所有
【专题】17：综合填空题．
【分析】解答此题可用赋值法，假设a＝1，把每个算式计算出结果，再比较大小．
【解答】解：假设a＝1，
a×58=58=0.625；
a÷58=85=1.6；
a÷32=23=0.6⋅；
32÷a=32=1.5；
因为1.6＞1．＞0.6⋅＞0.625，
所以a÷58＞32÷a＞a÷32＞a×58；
则a÷58计算结果最大，
故选：B．
【点评】利用赋值法解答，可以明显看出结果，使选择题简．
23．（1分）（2019•宁波）用丝带捆扎一种礼品盒如下，结头处长25厘米，要捆扎这种礼品盒需准备（ ）分米的丝带比较合理．
A．10 B．21.5 C．23 D．30
【考点】A1：长方形的周长．菁优网版权所有
【分析】根据盒子图，盒子的长乘以2，宽乘以2，高乘以4，这三个得数相加，再加接头处长即可．
【解答】解：30×2+20×2+25×4＝60+40+100＝200（厘米）
200+25＝225（厘米）
225厘米＝22.5分米≈23分米
故选：C．
【点评】选择丝带，其实就是求围在这个盒子的丝带的长度，这个盒子的六个面都有丝带围绕，关键是分析好丝带在每个面的长度．
24．（1分）（2019•宁波）如果18＜1□＜13，那么□里可以填的自然数有（ ）个．
A．4 B．3 C．5 D．无数
【考点】18：分数的意义、读写及分类．菁优网版权所有
【专题】414：分数和百分数．
【分析】根据分数的基本性质可知，则□内自然数大于3，小于8，据此完成．
【解答】解：3＜□＜8，所以□里可以填的自然数有4、5、6、7，共4个；
故选：A．
【点评】此题考查了同分子分数的大小比较方法．
三、计算题．（共35分）
25．（8分）（2019•宁波）直接写出得数．
270÷18＝
23.9÷8≈
137-（23+37）＝
1920×21＝
2.2×9.9＝
481 ：29=29
5﹣0.25+0.75＝
7×17÷7×17=
【考点】27：整数的除法及应用；2C：数的估算；2I：分数的四则混合运算；2M：小数四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据整数、小数和分数加减乘除法的计算方法和估算方法进行计算．
137-（23+37）根据减法的性质进行简算；
7×17÷7×17根据乘法结合律和结合律进行简算．
【解答】解：
270÷18＝15
23.9÷8≈3
137-（23+37）=13
1920×21＝11920
2.2×9.9＝21.78
481：29=29
5﹣0.25+0.75＝5.5
7×17÷7×17=149
【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．
26．（12分）（2019•宁波）解比例、递等式计算．
13：10=0.75x
5400﹣2940÷28×27
74215×14-0.75×12
（611+137+89）÷（57+311+49）
110×12+112×14+114×16+116×18
【考点】2B：整数四则混合运算；2I：分数的四则混合运算；68：解比例．菁优网版权所有
【专题】421：运算顺序及法则．
【分析】（1）根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积，解比例即可．
（2）根据混合运算的运算顺序解题即可．
（3）先把带分数化成假分数，约分化简计算．
（4）运用乘法分配律把前面小括号中提取2，然后再计算，即可达到简算目的．
（5）根据题目特点，运用拆分思想，可达到简算目的．
【解答】解：（1）13：10=0.75x
13x=0.75×10
x＝0.75×10×3
x＝22.5
（2）5400﹣2940÷28×27
＝5400﹣105×27
＝5400﹣2835
＝2565
（3）74215×14-0.75×12
=111215×14-9
=27815-9
=27815-13515
=14315
（4）（611+137+89）÷（57+311+49）
＝2×（311+57+49）÷(57+311+49)
＝2×1
＝2
（5）110×12+112×14+114×16+116×18
=12×（110-112+112-114+114-116+116-118）
=12×（110-118）
=12×18-1010×18
=12×8180
=145
【点评】本题主要考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．
27．（6分）（2019•宁波）列方程或综合算式计算．
（1）13的倒数比4的212倍少几？
（2）一个数的30%与50的35相等，求这个数．（列方程解答）
【考点】2I：分数的四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】423：文字叙述题．
【分析】（1）先算4的212倍，13的倒数，然后再相减即可；
（2）设这个数是x，x的30%是30%x，与50的35相等，即30%x＝50×35．
【解答】解：（1）4×212-1÷13
＝10﹣3
＝7
答：13的倒数比4的212倍少7．
（2）设这个数是x，根据题意可得：
30%x＝50×35
30%x÷30%＝50×35÷30%
x＝100
答：这个数是100．
【点评】根据题意，先弄清运算顺序或等量关系，然后再列式或方程进行解答．
28．（9分）（2019•宁波）画一个长3厘米，宽2厘米的长方形．
（1）在长方形中画一条线段，把它分成一个最大的等腰直角三角形和一个梯形．
（2）求出这个梯形的面积．
【考点】8O：等腰三角形与等边三角形；9G：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形；A8：梯形的面积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）画一个长3厘米，宽2厘米的长方形，再这个长方形中画一条线段，把这个长方形分成一个最大的等腰直角三角形和一个梯形，这个等腰直角三角形的直角边的长度与长方形的宽相等即2厘米，那么梯形的上底就是3﹣2＝1厘米．
（2）根据梯形的面积公式，s=12（a+b）h，列式解答．
【解答】解：（1）作图如下：
（2）12×（3﹣2+3）×2
=12×4×2
＝4（平方厘米）；
答：这个梯形的面积是4平方厘米．
【点评】此题主要考查长方形的画法，和等腰直角三角形的特征，以及梯形的面积计算．
29．（2019•宁波）①计算图1阴影部分的周长．（π≈3）
②两个正方形相拼，求图2阴影部分的面积．
【考点】AA：组合图形的面积．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】（1）这个组合图形是由一个扇形和一个半圆叠加而成的，阴影部分周长＝圆周长的一半+以9厘米为半径，圆心角为45°的弧的长度+9厘米线段长度，利用弧长公式：弧长＝2πr×圆心角度数÷360，把数代入即可就出阴影部分周长：3×9÷2+3×2×9×45÷360+9＝29.25（厘米）．
（2）阴影部分为两个正方形（边长是6厘米的和边长是12厘米的两个正方形）面积减掉三个小三角形（底6厘米高、6厘米的一个三角形；底12厘米、高（12﹣6）＝6（厘米）的三角形；底12厘米、高12+6＝18（厘米）的三角形）的面积，把数代入计算得：6×6+12×12﹣6×6÷2﹣12×（12﹣6）÷2﹣12×（12+6）÷2＝18（平方厘米）．
【解答】解：（1）3×9÷2+3×2×9×45÷360+9
＝13.5+6.75+9
＝29.25（厘米）
答：阴影部分的面积为29.25厘米．
（2）6×6+12×12﹣6×6÷2﹣12×（12﹣6）÷2﹣（12+6）×12÷2
＝36+144﹣18﹣36﹣108
＝18（平方厘米）
答：阴影部分面积为18平方厘米．
【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键根据图示分析出组合图形的组成，然后利用已经学过的规则图形的面积，就组合图形的面积．
四、综合应用．（第5题6分，其余每题4分，共30分）
30．（4分）（2019•宁波）某公园对团体游园购买门票的规定如下表：
购票人数
50人以下
51～100人
100人以上
每人门票价
12元
10元
8元
今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费1142元．如合在一起作为一个团体购票，总计只应付门票费864元．问：这两个旅游团各有多少人？
【考点】3H：列方程解含有两个未知数的应用题．菁优网版权所有
【分析】根据两个团合在一起作为一个团体购票，总计只应付门票费864元．这样就可以求此两个团一共有多少人，用864÷8＝108人，设甲团有x人，则乙团有（108﹣x）人，已知分别购票，两团总计应付门票费1142元，由此列方程解答．
【解答】解：两个团的总人数；
864÷8＝108（人），
设甲团有x人，则乙团有（108﹣x）人，
12x+（108﹣x）×10＝1142，
12x+1080﹣10x＝1142，
2x+1080＝1142，
2x+1080﹣1080＝1142﹣1080，
2x＝62，
2x÷2＝62÷2，
x＝31；
108﹣31＝77（人）；
答：甲旅游团有31人，乙旅游团有77人．
【点评】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可
31．（4分）（2019•宁波）甲、乙两个食堂共有大米200千克，如果甲食堂用去原有大米的12，乙食堂用去11千克，这时两个食堂剩下的大米重量相等，乙食堂原有大米多少千克？
【考点】36：分数除法应用题．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】甲、乙两个食堂共有大米200千克，如果甲食堂用去原有大米的12，乙食堂用去11千克，这时两个食堂剩下的大米重量相等，可以将甲食堂的米的重量看作单位“1”，由“甲食堂用去原有大米的12”，则用去的也表示为单位“1”的12，则乙食堂剩下的重量也是12，即甲食堂原有的和乙食堂剩下的表示为（1+12），甲食堂原有的和乙食堂剩下的米的重量是200﹣11＝189千克，用除法计算即可求出乙食堂还剩的大米重量，加上11即可．
【解答】解：根据题意得
（200﹣11）÷（1+12）
＝189÷32
＝126（千克）
126÷2＝63（千克）
63+11＝74（千克）
答：乙食堂原有大米74千克．
【点评】本题考查了分数除法应用题，解决本题的关键是求出甲食堂原有大米重量和乙食堂剩下的大米重量，以及对应的分率，用除法计算即可．
32．（4分）（2019•宁波）甲、乙、丙三个工程队完成某项工程的天数和日工资如下表：
工程队
单独完成工程所用天数
每日总工资（万元）
甲
10
18
乙
15
12
丙
20
8
请你选择两个工程队合做这项工程，如果工期很紧，想尽快完工，应选择哪两个队合做？几天可以完工？完工后两队各得多少工资？
【考点】L9：工程问题．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】把这项工程看成单位“1”，那么甲的工作效率就是110，乙的工作效率就是115，丙的工作效率就是120，想尽快完工就要选择工作效率高的两个队，110＞115＞120，故选甲乙两队合做；甲乙合做的工作效率就是110+115，用工作量“1”除以工作效率就是就是工作时间．用工作时间分别乘他们的每日总工资就是应得的工资．
【解答】解：因为110＞115＞120，所以选甲乙两队合做．
1÷（110+115），
＝1÷16，
＝6（天）；
18×6＝108（万元），
12×6＝72（万元）；
答：应选甲乙两队合做，6天可以完工，完工后甲队可得工资108万元，乙队可得工资72万元．
【点评】把这项工程看成单位“1”，那么工作效率就可以用分数表示出来，工作效率越高工作的速度就快，利用工作量÷工作效率＝工作时间就可以解决此题．
33．（4分）（2019•宁波）某游泳馆有大小两个游泳池，小聪来到游泳馆游泳，这时游泳池中的游泳人数情况如图．根据当时的情况，管理员应将小聪安排在哪个游泳池中？说说你的理由．
【考点】A5：长方形、正方形的面积．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】首先根据长方形的面积公式：s＝ab，分别求出两个游泳池的面积，再分别求出每个游泳池中平均每人占有的面积，然后进行比较即可．
【解答】解：大：40×25÷200，
＝1000÷200，
＝5（平方米），
小：60×35÷350，
＝2100÷350，
＝6（平方米）．
因为大游泳池平均每人占5平方米，小游泳池平均每人占6平方米，所以管理员应将小聪安排在小游泳池．
【点评】此题属于长方形的面积的实际应用，利用长方形的面积公式求出每个游泳池的面积，再求出平均每人所占的面积，进行比较即可．
34．（6分）（2019•宁波）这是关于一种弹簧秤的弹簧变化情况统计，请你完成表格．（假设弹簧可以无限延长）
称重（千克）
1
2
3
4
…
10
…
m
长度（厘米）
7.5
8
8.5
9
…
…
50
【考点】DJ：从统计图表中获取信息．菁优网版权所有
【专题】472：统计数据的计算与应用．
【分析】通过观察统计表可知：称1千克物体弹簧秤的弹簧长度是7.5厘米，称2千克物体弹簧秤的弹簧长度是8厘米，称3千克物体弹簧秤的弹簧长度是8.5厘米，由此发现：每增加1千克物体弹簧秤的弹簧延长0.5厘米，由此可知：弹簧秤的弹簧在没有称重物时长度是7厘米．当弹簧秤的弹簧延长到50厘米时，所称物体的重量是（50﹣7）÷0.5＝86（千克），当称m千克重物时，弹簧秤的弹簧延长（7+0.5m）厘米．据此解答．
【解答】解：8.5﹣8＝0.5（厘米）
8﹣7.5＝0.5（厘米）
7.5﹣0.5＝7（厘米）
7+0.5×10
＝7×5
＝12（厘米）
（50﹣7）÷0.5
＝43÷0.5
＝86（千克）
85×0.5+7
＝49.5（厘米）
7+0.5×m＝7+0.5m
填表如下：
称重（千克）
1
2
3
4
…
10
…
（85）
（86）
m
长度（厘米）
7.5
8
8.5
9
…
（12）
…
（49.5）
50
（7+0.5m）
故答案为：85；86；12；49.5；（7+0.5m）．
【点评】本题主要考查统计表的应用，关键根据统计表找出解决问题的条件，并根据弹簧秤伸长的长度和所挂物体之间的关系做题．
35．（4分）（2019•宁波）粗蜡烛和细蜡烛长短一样．粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时．同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍．问这两支蜡烛点了 103 时间？
【考点】L9：工程问题；N4：差倍问题．菁优网版权所有
【分析】本题的等量关系为：剩余的粗蜡烛长度＝2×剩余的细蜡烛长度，由此可列出方程．
【解答】解：设这两支蜡烛已点燃了x小时，由题意得：
1-15x＝2×（1-14x），
1-15x+12x＝2-12x+12x，
1+310x＝2，
1+310x﹣1＝2﹣1，
310x＝1，
x=103．
答：这两支蜡烛已点燃了103小时．
故答案为：103．
【点评】本题的难点是把蜡烛长度看作单位“1”，用工程问题的方法解答．
36．（4分）（2019•宁波）有盐水若干升，加入一定量的水后，盐水浓度降到3%，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到2%，再加入同样多的水，此时浓度是多少？未加入水时盐水浓度是多少？
【考点】LB：浓度问题．菁优网版权所有
【专题】48D：浓度与配比问题．
【分析】浓度为3%，也就是盐3份水97份，共100份，浓度下降为2%，原来3份盐就成了2%，因此可求出加入了多少份水．第二次加水后盐和水总共3÷2%＝150（份），第二次加水150﹣100＝50（份），即每次加水50份，然后根据浓度公式就可以求出：第三次加水后的浓度和不加水前的浓度，据此解答．
【解答】解：浓度为3%，也就是盐3份水97份，共100份，浓度下降为2%，原来3份盐就成了2%．
第二次加水后盐和水总共：3÷2%＝150（份），
第二次加水150﹣100＝50（份），即每次加水50份，
所以，第三次加水后浓度3150+50=1.5%，
不加水前的浓度为3100-50=6%；
答：第三次加水后浓度为1.5%，未加水前浓度为6%．
【点评】由于每次加水的质量不变，所以关键是先算出每次加多少水．
考点卡片
1．2、3、5的倍数特征
【知识点归纳】
2、3、5的倍数特征：
被2整除特征：偶数
被3整除特征：每一位上数字之和能被3整除
被5整除特征：个位上是0或5的数
同时能被2、3、5整除的特征：个位是0且每一位上数字之和能被3整除．
【知识点的应用及延伸】
一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除．
各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除．
【命题方向】
常考题型
例1：能同时被2、3、5整除的最大三位数是 990 ．
分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，
要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．
要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
例2：104至少再加上 16 ，才能同时被2、3、5整除．
分析：能同时被2、3、5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，且各个数位上的数字之和能被3整除，由此确定104至少再加上16．
解：根据分析，104至少再加上16，才能同时被2、3、5整除．
故答案为：16．
点评：此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题．
2．整数的读法和写法
【知识点解释】
读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零．
写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0．
【命题方向】
常考题型：
例：下面各数中，读两个零的数是（ ）
A、606000 B、6060000 C、6060606 D、6060600
分析：整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，据此读出个选项中的数，然后分析选择．
解：A、606000读作：六十万六千，一个零也不读出；
B、6060000读作：六百零六万，读出一个零；
C、6060606读作：六百零六万零六百零六，读出三个零；
D、6060600读作：六百零六万零六百，读出两个零；
故选：D．
点评：本题主要考查整数的读法，注意零的读法．
3．整数的改写和近似数
【知识点归纳】
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数．有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数．
1．准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数．改写后的数是原数的准确数． 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿．
2．近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示． 例如：1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿．
3．四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1．例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万．省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿．
【命题方向】
常考题型：
例：四川雅安地震后，社会各界踊跃捐款，据不完全统计总额达1058181200元，把它改写成用”万”作单位的数是 105818.12 万，省略亿位后面的尾数约是 11亿 ．
分析：改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字．
解：1058181200＝105818.12万≈11亿．
故答案为：105818.12；11亿．
点评：本题主要考查整数的改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位．
4．分数的意义、读写及分类
【知识点归纳】
分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．
分数的分类：
（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．
（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．
带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．
【命题方向】
两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长
分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．
解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3-34=214（米）；
第二根剪去34，剩下的长度是3×（1-34）=34（米）．
所以第一根剩下的部分长．
故选：A．
点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
5．最简分数
【知识点归纳】
分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数．如：23，89，38等．
【命题方向】
常考题型：
例1：分数单位是16的最简真分数的和是 1 ．
分析：最简真分数的意义：分子分母是互质数并且分子小于分母的分数就是最真简分数，据此找出分数单位是16的最简真分数，把它们求和即可．
解：分数单位是16的最简真分数有：16、56，
它们的和是：16+56=1；
故答案为：1．
本题主要考查最简真分数的意义，注意先找出分数单位是16的最简真分数，再求和．
例2：分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数． √ ．（判断对错）
分析：最简分数的意义：分子分母是互质数的分数就是最简分数，据此分析判断．
解：不同的质数一定是互质数，所以分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数的说法是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查最简分数的意义，注意不同的质数一定是互质数．
6．合数分解质因数
【知识点归纳】
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式．其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：把12分解质因数是：12＝1×2×2×3 × ．（判断对错）
分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘形式，由此定义即可进行判断．
解：把12分解质因数应该是：12＝2×2×3，因为1既不是质数也不是合数，
所以原题说法错误．
故答案为：×．
点评：此题主要考查分解质因数的意义．
例2：把24分解质因数是 24＝2×2×2×3 ．
分析：根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．由此解答．
解：把24分解质因数：
24＝2×2×2×3；
故答案为：24＝2×2×2×3．
点评：此题主要考查分解质因数的方法．
7．整数的除法及应用
【知识点归纳】
（1）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法．
（2）在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的商的因数叫做商．
（3）一个除式算式，一般有以下的意义：
①一个数里有几个除数，简称包含除法
②一个数是另一个数的多少倍
③把一个数平均分成若干份，每份是多少，简称等分除法
④已知一个数的几分之几是多少，求这个数
（4）除法的性质：
①在无括号的乘除混合或连除的算式中，改变运算顺序，其结果不变
如：a×b÷c＝a÷c×b； a÷b÷c＝a÷c÷b
②一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数．（简称数乘以商的性质）
如：a×（b÷c）＝a×b÷c．
③一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数．（简称数除以积的性质）
如：a÷（b×c）＝a÷b÷c．
④一个数除以两个数的商，等于这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数，或者这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数．（简称数除以商的性质）
如：a÷（b÷c）＝a÷b×c或a÷（b÷c）＝a×c÷b．
⑤两个数的和除以一个数，等于和里的两个加数分别除以这个数（在都能被整除的条件下），再把所得的商加起来．（简称和除以数的性质）
如：（a+b）÷c＝a÷c+b÷c
⑥两个数的差除以一个数，等于被减数和减数分别除以这个数（在都能被整除的条件下），然后，把所得的商相减．（简称差除以数的性质）
如：（a﹣b）÷c＝a÷c﹣b÷c．
（5）商的位数：在整数除法中，商的位数等于被除数与除数的位数的差，或者比这个差多1．
（6）试商：在除法计算过程中，除数是两位数、三位数时，要按照数的四舍五入法，把除数看做整十整百数去试除．
【命题方向】
常考题型：
例：三位数除以一位数，商是（ ）
A、两位数 B、三位数 C、可能是两位数也可能是三位数．
分析：三位数除以一位数，先用百位上的数字去除以一位数，看够不够除，就是说百位上的数字和一位数数字比较，如果比一位数大或相等就够除，商商在百位上，就是一个三位数；如果百位上的数字比一位数小，就要用百位和十位的数组成一个两位数去除以一位数，商要商在十位上，就是一个两位数．
解：被除数百位上的数字和一位数比较大小，百位上的数字比一位数大或相等商就是三位数，比一位数小，商就是两位数．
故选：C．
点评：也可以多写几个三位除以一位数试算一下．
8．整数四则混合运算
【知识点归纳】
1．加、减、乘、除四种运算统称四则运算．
加法的意义：把两个（或几个）数合并成一个数的运算叫做加法．
减法的意义：已知两个加数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做减法．减法中，已知的两个加数的和叫做被减数，其中一个加数叫做减数，求出的另一个加数叫差．
乘法的意义：一个数乘以整数，是求几个相同加数的和的简便运算，或是求这个数的几倍是多少．
除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算叫做除法．在除法中，已知的两个因数的积叫做被除数，其中一个因数叫做除数，求出的另一个因数叫商．
四则运算分为二级，加减法叫做第一级运算，乘除法叫做第二级运算．
2．方法点拨：
运算的顺序：在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算．在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的．
【命题方向】
常考题型：
例1：72﹣4×6÷3如果要先算减法，再算乘法，最后算除法，应选择（ ）
A、72﹣4×6÷3 B、（72﹣4）×6÷3 C、（72﹣4×6）÷3
分析：72﹣4×6÷3的计算顺序是先算乘法，再算除法，最后算减法，要把减法提到第一步，需要只给减法加上小括号．
解：72﹣4×6÷3如果要先算减法，再算乘法，最后算除法，应为：（72﹣4）×6÷3；
故选：B．
点评：本题考查了小括号改变运算顺序的作用，看清楚运算顺序，是把哪一种运算提前计算，在由此求解．
例2：由56÷7＝8，8+62＝70，100﹣70＝30组成的综合算式是（ ）
A、100﹣62+56÷7； B、100﹣（56÷7+62）； C、不能组成
分析：由于56÷7＝8，8+62＝70，则将两式合并成一个综合算式为56÷7+62＝70，又100﹣70＝30，则根据四则混合运算的运算顺序，将56÷7＝8，8+62＝70，100﹣70＝30组成的综合算式是：100﹣（56÷7+62）．
解：根据四则混合运算的运算顺序可知，
将56÷7＝8，8+62＝70，100﹣70＝30组成的综合算式是：100﹣（56÷7+62）．
故选：B．
点评：本题考查了学生根据分式及四则混合运算的运算顺序列出综合算式的能力．
9．数的估算
【知识点解释】
没有经过准确计算，是对计算结果的一种估计，叫做估算．
估算方法：
①四舍五入法：
例：π（保留两位小数）≈3.14
②进一法：
例：一支笔2.6元，四支需多少钱（保留到整数）
解：2.6×4＝10.4元≈11元
如果四舍五入的话是10元，是不够的，所以是要进上去的
③去尾法：
例：有20元，买3元一支的笔，可卖多少支？
解：20÷3＝6.6666…支≈6支
如果四舍五入是7支，买不到，所以是要去掉的．
【命题方向】
常考题型：
例：估计与288.9×1.756的积最接近的数是（ ）
A、400 B、500 C、600 D、1000
分析：根据小数乘法的估算方法：把相乘的因数看成最接近它的整数来算；288.9≈290，1.756≈1.8，所以与288.9×1.756的积最接近的数是290×1.8≈500，据此选择即可．
解：因为288.9×1.756≈290×1.8≈500，
所以与288.9×1.756的积最接近的数是500．
故选：B．
点评：此题考查了小数乘法的估算方法，注意把相乘的数看成最接近它的整数．
10．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序一致，先算括号内的数（按照小括号、中括号、大括号的顺序），同一括号内或括号外的数，要按照先算乘除、后算加减的顺序进行计算．如果是同级运算，要按照从左到右的顺序，依次进行．
繁分数：在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这种形式的分数，叫做繁分数．
繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数的主分数线（也叫主分线），主分线比其他分数线要长一些．
繁分数的化简：
①先找出中主分线，确定分子部分和分母部分，然后，这两部分分别进行计算，每部分的计算结果能约分的要约分，最后，改成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出结果．
②根据分数的基本性质，把繁分数的分子部分和分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后，通过计算，化为最简分数或整数．
【命题方向】
常考题型：
例1：比14的45少16的数是（ ）
分析：求一个数的几分之几用乘法，得出14的45是：14×45； 再求一个数比另一个数少几分之几的数，先求这个数占一个数的几分之几：1-16，最后求一个数的几分之几用乘法：（14×45）×（1-16）．
解：（14×45）×（1-16），
=15×56，
=16；
故选：D．
点评：此题考查了分数的四则混合运算．求比一个数少几分之几的数，把一个数看作“1”，用乘法来解答．
例2：下面各题．
①12×25+910÷920=
②713÷[114÷（423-12）]＝
分析：按运算顺序计算即可．
解：①12×25+910÷920，
=15+910×209，
=15+2，
＝215；
②713÷[114÷（423-12）]，
＝713÷[114÷256]，
＝713÷310，
＝2449
点评：本题主要考查分数四则混合运算的计算顺序．
11．小数四则混合运算
【知识点归纳】
小数四则运算的运算顺序与整数四则运算的运算顺序相同．同级运算，从左往右依次运算，两级运算，先算乘除，后算加减；有括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后，算大括号里面的，最后算括号外面的．
【命题方向】
常考题型：
例1：递等式计算：
①0.11×1.8+8.2×0.11
②0.8×（3.2﹣2.99÷2.3）
③5.4÷（3.94+0.86）×0.8
④（8.1﹣5.4）÷3.6+85.7．
分析：①利用乘法分配律的逆运算，可把原式变成（1.8+8.2）×0.11；
②④题，注意运算顺序即可；
③题，在计算5.4÷4.8×0.8时，利用除法的性质，变为5.4÷（4.8÷0.8），这样可以使计算简便．
解：①0.11×1.8+8.2×0.11，
＝（1.8+8.2）×0.11，
＝10×0.11，
＝1.1；
②0.8×（3.2﹣2.99÷2.3），
＝0.8×（3.2﹣1.3），
＝0.8×1.9，
＝1.52；
③5.4÷（3.94+0.86）×0.8，
＝5.4÷4.8×0.8，
＝5.4÷（4.8÷0.8），
＝5.4÷6，
＝0.9；
④（8.1﹣5.4）÷3.6+85.7，
＝2.7÷3.6+85.7，
＝0.75+85.7，
＝86.45．
点评：此题考查了学生对小数四则混合运算题的计算能力，以及灵活巧算的能力．如：a÷b×c＝a÷（b÷c）．
12．积的变化规律
【知识点归纳】
积的变化规律：
（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同倍数．
（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同数倍，那么，它们的积不变．
【命题方向】
常考题型：
例1：若A×40＝360，则A×4＝（ ）
A、3600 B、360 C、36
分析：根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数缩小10倍，那么积也会缩小10倍，据此选择即可．
解：A×40＝360，
A×4＝36，
故选：C．
点评：此题主要考查的是积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大或缩小多少倍（0除外），积也会随之扩大或缩小相同的倍数．
例2：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于（ ）
A、原来的积乘10 B、原来的积乘20 C、原来的积乘100
分析：根据积的变比规律：一个因数乘10，另一个因数也乘10，原来的积就乘10×10．据此进行选择即可．
解：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100．
故选：C．
点评：此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10，另一个因数也乘（或除以）10，原来的积就乘（或除以）100．
13．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，5-35表示（ ）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：5-35表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．
例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮16，计算哥哥身高的正确式子（ ）
A、120×（1+16） B、120÷（1+16） C、120×（1-16） D、120÷（1-16）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮16”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1-16），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1-16）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
14．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：出席人数总人数×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：10025+100×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
15．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
16．列方程解含有两个未知数的应用题
【知识点归纳】
列方程解应用题的步骤：
①弄清题意，确定未知数，并用x表示．
②找出题中数量之间的相等关系．
③列方程，解方程．
④检查或验算，写出答案．
【命题方向】
常考题型：
例1：车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小轿车，已知车的辆数与车轮数的比是2：5，摩托车与四轮小轿车的比是（ ）
A、4：1 B、3：1 C、2：1 D、1：1
分析：设四轮小轿车有x辆，则四轮小轿车一共有4x个轮子，双轮摩托车有y辆，则双轮摩托车一共有2y个轮子，再根据“车的辆数与车轮数的比是2：5，”求出摩托车与四轮小轿车的比．
解：设四轮小轿车有x辆，双轮摩托车有y辆，
（x+y）：（4x+2y）＝2：5，
（4x+2y）×2＝5（x+y），
8x+4y＝5x+5y，
8x﹣5x＝5y﹣4y，
3x＝y，
所以，y：x＝3：1，
答：摩托车与四轮小轿车的比是3：1．
故选：B．
点评：解答此题的关键是，根据题意设出未知数，并根据数量关系写出比例，再根据比例的基本性质作答．
例2：红星小学五年级有学生110人，男生人数是女生人数的1.2倍，男生、女生各有多少人？（用方程解）
分析：根据题意数量间的相等关系为：女生人数+男生人数＝110，设女生有x人，则男生有1.2x人，根据题意列出方程求解即可．
解：设女生有x人，则男生有1.2x人，
x+1.2x＝110，
2.2x＝110，
2.2x÷2.2＝110÷2.2，
x＝50；
男生人数：50×1.2＝60（人）．
答：男、女生各有60人、50人．
点评：此题考查列方程解应用题，解决此题的关键是女生人数+男生人数＝110，由此得出答案．
17．时、分、秒及其关系、单位换算与计算
【知识点归纳】
两个日期或时刻之间的间隔叫时间．
时、分、秒相邻两个单位进率是60，
1小时＝60分＝3600秒，
1分＝60秒．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．
【命题方向】
常考题型：
例1：3.3小时是（ ）
A、3小时30分 B、3小时18分 C、3小时3分
分析：1小时＝60分，据此即可求解．
解：3.3小时＝3+0.3小时，
0.3×60＝18（分），
所以3.3小时＝3小时18分；
故选：B．
点评：此题主要考查时间单位间的换算．
例2：三个人在同一段路上赛跑，甲用0.2分，乙用730分，丙用13秒．（ ）的速度最快．
A、甲 B、乙 C、丙
分析：先把时间都换算成秒数，再比较谁最快，因为路程相等，谁用的时间最少谁就最快．
解：甲的时间是：0.2分＝12秒，
乙的时间是：730分＝14秒，
丙的时间是：13秒，
在12秒、14秒、13秒三个时间中，12秒最少，即甲的速度最快．
故选：A．
点评：此题关键是把时间统一单位，明确同样的路程，用的时间最少的是速度最快的．
18．长度的单位换算
【知识点归纳】
1千米＝1000米，
1米＝10分米＝100厘米＝1000毫米；
1分米＝10厘米＝100毫米；
1厘米＝10毫米．
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：和3.6千米相等的是（ ）
A、360米 B、3600米 C、3千米6米
分析：根据题意，先把3.6千米换算成用米作单位的数，然后再进行解答即可．
解：3.6×1000＝3600；
所以，3.6千米＝3600米；
故选：B．
点评：单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
例2：用“米”作单位计算，“8米6厘米十5米60厘米”的正确算式是（ ）
A、8.6+5.6 B、8.06+5.06 C、8.06+5.6
分析：此题应先把复名数换算成单名数，再进行计算：
（1）把8米6厘米换算成米数，先把6厘米换算成米数，用6除以进率100，得数再加上8即可；
（2）把5米60厘米换算成米数，先把60厘米换算成米数，用60除以进率100，得数再加上5即可，据此即可做出正确选择．
解：因为8米6厘米＝8.06米，
5米60厘米＝5.6米，
所以8米6厘米十5米60厘米＝8.06+5.6（米）；
故选：C．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之，则除以进率．
19．面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米
1平方分米＝100平方厘米
1平方千米＝100公顷＝10000公亩＝1000000平方米
1公顷＝100公亩＝10000平方米
1公亩＝100平方米．
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：有三块铁皮，面积分别是9平方分米、90平方分米和900平方分米，哪块铁皮的面积最接近1平方米？（ ）
A、9平方分米 B、90平方分米 C、900平方分米
分析：先分别把9平方分米、90平方分米和900平方分米换算成平方米数，再比较得解．
解：因为9平方分米＝0.09平方米，
90平方分米＝0.9平方米，
900平方分米＝9平方米；
所以0.9平方米，也即90平方分米的这块铁皮的面积最接近1平方米；
故选：B．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
例2：边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（判断对错）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
20．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（ ）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．
例2：750毫升＝ 0.75 升
7.65立方米＝ 7650 立方分米
8.09立方分米＝ 8 升 90 毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
21．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多14，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多14，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+14），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+14）：1，
=54：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷45=154x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：154x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷45=154x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：154x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
22．比与分数、除法的关系
【知识点归纳】
1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．
2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．
【命题方向】
常考题型：
例：45=16÷ 20 ＝ 8 ：10＝ 80 %＝ 八 成．
分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．
解：45=4÷5＝16÷20，
45=4：5＝8：10，
45=0.8＝80%＝八成，
故答案为：45=16÷20＝8：10＝80%＝八成
点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．
23．解比例
【知识点归纳】
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例．
一般来说，求比例的未知项有以下两种情况：
（1）求未知外项=已知内项×已知内项已知外项
（2）求未知内项=已知外项×已知外项已知内项
【命题方向】
常考题型：
例1：在比例中，两个外项的积是12，其中的一个内项是4，另一个内项是 18 ．
分析：分析“两个外项的积是12，其中的一个内项是4”这两个条件，根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，用两个外项的积除以其中的一个内项，算出另一个内项是多少．
解：12÷4=12×14=18
故答案为：18．
点评：这道题重点考查学生对于比例的基本性质的应用．
例2：如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项（ ）
A、成反比例 B、成正比例 C、不成比例
分析：根据互为倒数的定义和比例的两内项之积等于两外项之积，可得比例的两个内项之积等于1，再根据成反比例的定义即可求解．
解：因为比例的两个外项互为倒数，
那么比例的两个内项之积＝1（为恒指），
则比例的两个内项成反比例．
故选：A．
点评：本题考查了倒数的定义和成反比例的条件，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定．这两种量叫做成反比例的量．它们的关系叫做反比例关系．
24．正方体的展开图
【知识点归纳】
正方体展开图形如下情况：
【命题方向】
常考题型：
例1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（ ）相对．
A、4 B、5 C、6 D、3
分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“33”型，由此可进行折叠验证，得出结论．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，此题是“33”型，折叠后2和5是相对的．
故选：C．
点评：此题考查了正方体的展开图．
例2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（ ）
分析：根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“141”型，即中间四个正方形围成正方体的侧面，上、下各一个为正方体的上、下底，由此可进行选择．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，A、B、D都是“141”型，所以A、B、D是正方体的表面展开图．
只有C答案中间有二个，上面有一个面，下面有三个面，折在一起会有重叠的情况；
故选：C．
点评：此题考查了正方体的展开图．
25．等腰三角形与等边三角形
【知识点归纳】
1．等腰三角形的定义和性质：
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形．
判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）．
2．等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”．是特殊的等腰三角形．
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
（1）三边长度相等；
（2）三个内角度数均为60度；
（3）一个内角为60度的等腰三角形．
【命题方向】
常考题型：
例1：等边三角形是（ ）
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形
分析：等边三角形也叫正三角形，是指三条边、三个角都相等的三角形，每一个角都是180°÷3＝60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
解：因为等边三角形的每一个角都是60°，所以等边三角形一定是锐角三角形．
故选：B．
点评：解决此题关键是掌握等边三角形的特征：三条边、三个角都相等．再根据锐角、钝角、直角三角形的特征进行判断即可．
例2：一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形一定是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形
分析：根据等角对等边，可知这个三角形中有两条边相等，依此即可作出判断．
解：因为一个三角形中有两个角相等，
所以这个三角形中有两条边相等；
那么这个三角形一定是等腰三角形．
故选：C．
点评：此题考查了等腰三角形判定，本题关键是熟悉三角形中等角对等边的性质．
26．画指定长、宽（边长）的长方形、正方形
【知识点归纳】
在方格中数小正方体的棱边数目，正方形和长方形都是固定的．
【命题方向】
常考题型：
例：下面小正方形的边长是1厘米
（1）画一个边长是3厘米的小正方形．
（2）画一个长5厘米，宽2厘米的长方形．
（3）画一个周长是10厘米的四边形．
（4）用阴影涂出其中一个图形的12．
分析：（1）（2）根据长方形、正方形的定义和已知的边长即可画图；
（3）画周长为10厘米的四边形，此题答案不唯一，可以画一个长3厘米，宽2厘米的长方形，它的周长是（3+2）×2＝10厘米；
（4）把（3）中画出的长方形涂色：这个长方形正好占了3×2＝6格，所以把其中的3个格涂色，正好是这个图形的12．
解：根据题干分析，画图如下：
点评：此题主要考查指定边长或周长的长方形、正方形的画法．
27．长方形的周长
【知识点归】
周长：图形一周的长度，就是图形的周长；周长的长度等于图形所有边的和．一般用字母C来表示．
计算方法：
①周长＝长+宽+长+宽
②周长＝长×2+宽×2
③周长＝（长+宽）×2．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一根长38厘米的铁丝围长方形，使它们的长和宽都是整厘米数，可以有（ ）种围法．
A、7 B、8 C、9 D、10
分析：要求有几种围法，应依据长方形的周长公式，求出长和宽的和，再据条件“长和宽都是整数”进行推算即可．
解：长方形的周长＝（长+宽）×2
所以长与宽之和是：38÷2＝19（厘米）
由此可知：1+18＝19、2+17＝19、3+16＝19、4+15＝19、5+14＝19
6+13＝19、7+12＝19、8+11＝19、9+10＝19．
一共有9种方法．
故选：C．
点评：此题主要考查长方形的周长公式及整数的加减问题，依据题目条件，可以推算出结果．
例2：一个周长为20米的长方形，如果把它的长和宽都增加5米，那么它的周长增加（ ）
A、10米 B、20米 C、30米 D、40米
分析：抓住“长和宽都增加5米”，那么周长就增加了2个（5+5）的长度．由此计算得出即可选择正确答案．
解：（5+5）×2
＝10×2
＝20（米）；
答：那么它的周长增加20米．
故选：B．
点评：此题考查了长方形的周长公式的灵活应用．
【解题思路点拨】
（1）常规题求长方形的周长，分别找出长和宽，代入公式即可求得．
（2）周长概念和公式要理解牢记．
28．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
29．梯形的面积
【知识点归纳】
梯形面积＝（上底+下底）×高÷2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个果园近似梯形，它的上底120m，下底180m，高60m．如果每棵果树占地10m2，这个果园共有果树多少棵？
分析：根据梯形的面积公式S＝（a+b）×h÷2，求出果园的面积，再除以10就是这个果园共有果树的棵数．
解：（120+180）×60÷2÷10，
＝300×60÷2÷10，
＝18000÷20，
＝900（棵），
答：这个果园共有果树900棵．
点评：本题主要是利用梯形的面积公式S＝（a+b）×h÷2与基本的数量关系解决问题．
30．组合图形的面积
【知识点归纳】
方法：
①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．
②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．
③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．
【命题方向】
常考题型：
例1：求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）
分析：根据图所示，可把组合图形分成一个直角梯形和一个14圆，阴影部分的面积等于梯形的面积减去14圆的面积再加上14圆的面积减去三角形面积的差，列式解答即可得到答案．
解：[（5+8+5）×5÷2-14×3.14×52]+（14×3.14×52﹣5×5÷2），
＝[18×5÷2﹣0.785×25]+（0.785×25﹣25÷2），
＝[90÷2﹣19.625]+（19.625﹣12.5），
＝[45﹣19.625]+7.125，
＝25.375+7.125，
＝32.5（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为32.5平方厘米．
点评：此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底×高÷2和圆的面积公式S＝πr2的应用．
31．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
32．圆柱的侧面积、表面积和体积
【知识点归纳】
圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示：
S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh
圆柱的底面积＝πr2
圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表＝2πr2+2πrh
圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示：
V＝πr2h．
【命题方向】
常考题型：
例1：做一个铁皮烟囱需要多少铁皮，就是求烟囱的（ ）
A、表面积 B、体积 C、侧面积
分析：根据圆柱体的侧面积的定义知道，圆柱侧面积是指将一个圆柱体沿高展开后得到的长方形的面积，做一个铁皮烟囱实际就是做一个没有上、下底面的圆柱体，要求铁皮的多少就是求烟囱的侧面积．
解：因为，烟囱是通风的，是没有上下两个底的，
所以，做一个铁皮烟囱需要多少铁皮，就是求烟囱的侧面积，
故选：C．
点评：此题主要考查了圆柱体的侧面积的意义，及在生活中的实际应用．
例2：一个圆柱形量杯底面周长是25.12厘米，高是10厘米，把它装满水后，再倒入一个长10厘米，宽8厘米的长方体容器中，水面高多少厘米？
分析：由题意可知，把圆柱形容器中的水倒入长方体容器中，只是形状改变了，但是水的体积不变．因此，先根据圆柱的容积（体积）公式v＝sh，求出圆柱形容器中水的体积，再除以长方体容器的底面积．由此列式解答．
解：3.14×（25.12÷3.14÷2）2×10÷（10×8），
＝3.14×42×10÷80，
＝3.14×16×10÷80，
＝502.4÷80，
＝6.28（厘米）；
答：水面高6.28厘米．
点评：此题属于圆柱和长方体的容积的实际应用，首先根据圆柱的容积（体积）公式求出水的体积，再用水的体积除以长方体容器的底面积．据出解决问题．
33．立体图形的容积
【知识点归纳】
所有立体图形的体积公式都是底面积乘高．
长方体＝长×宽×高
正方体＝棱长×棱长×棱长
圆柱＝底面积×高，底面积＝圆周率×半径的平方
圆锥＝底面积×高÷3．
【命题方向】
常考题型：
例1：自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米．一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟浪费 7.536 升水．
分析：把流过的水看成圆柱，它的底面直径是2厘米、高是（8×5×60）厘米，由此根据圆柱的体积公式V＝sh＝πr2h计算即可．
解：3.14×（2÷2）2×（8×5×60），
＝3.14×1×2400，
＝7536（cm3），
＝7.536（升）；
答：五分钟浪费7.536升的水．
故答案为：7.536．
点评：把不规则的形状物体，转化成规则的形状来求解体积．
例2：有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料 2.4 升．
分析：正放时饮料高度为20厘米，倒放时，空余部分的高度为5厘米，如果把饮料瓶内饮料的体积看作圆柱体，正放和倒放瓶内饮料的体积不变，用高之比等于体积之比，即可求出饮料有多少升．
解：饮料和空气的体积比是：
20：5＝4：1
饮料有：
3×44+1=3×0.8＝2.4（升）
答：瓶内现有饮料2.4升．
故答案为：2.4．
点评：此题主要考查应用圆柱体的体积（容积）的计算方法，解决有关的实际问题．
34．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
35．简单事件发生的可能性求解
【知识点归纳】
1．抛钢镚实验、掷骰子实验和转盘实验，能够列出简单实验的所有可能发生的结果，每个结果发生的可能性都相等．
2．用列举法求简单事件发生的可能性，可以用数值表示及其表示方法．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个纸箱里放了6个红色乒乓球，4个黄色乒乓球和10个白色乒乓球，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性是()()，摸到黄球的可能性是()()．
【分析】求摸球的可能性用所求颜色球的个数除以球的总个数即可．
解：6÷（6+4+10）
＝6÷20
=310
4÷（6+4+10）
＝4÷20
=15
答：摸到红球的可能性是310；摸到黄球的可能性是15．
故答案为：310；15．
【点评】本题主要考查可能性的求法，即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答．
36．高斯取整
【知识点归纳】
①不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT（x）．
②x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}．
③需要注意的是，对于负数，[x]指的并不是x小数点左边的部分，{x}指的不是x小数点右边的部分，例如对于负数﹣3.7，[﹣3.7]＝﹣4，而不是﹣3，此时{x}＝﹣3.7﹣（﹣4）＝0.3，而不是﹣0.7．
性质1：对任意x∈R，均有x﹣1＜[x]≤x＜[x]+1．
【命题方向】
经典题型：
例1：[x]表示取数x的整数部分，比如[6.28]＝6，若x＝9.42，则[x]+[2x]+[3x]＝ 55 ．
分析：完成本题只要先算出2x，3x的值是多少，然后再据取整的意义求出[x]+[2x]+[3x]的值即可．
解：因为2x＝9.42×2＝18.84，3x＝28.26则：
[x]+[2x]+[3x]
＝[9.42]+[18.4]+[28.26]
＝9+18+28，
＝55．
故答案为：55．
点评：完成本题要注意取整并不是据四舍五入取近似值，而是直接将小数部分舍去，只取整数部分．
例2：用{x}表示数x的小数部分，[x]表示x的整数部分．如{2，3}＝0.3，[2，3]＝2．若a+[b]＝15.3，{a}+b＝7.8，则（ ）
A、a＝7.5，b＝8.3 B、a＝8.3，b＝7.5 C、a＝8.5，b＝7.3 D、a＝7.3，b＝8.5
分析：由于{x}表示数x的小数部分，[x]表示x的整数部分，又a+[b]＝15.3，则[b]为整数，所以a的小数部分为0.3，所以，{a}＝0.3；而{a}+b＝7.8，所以b＝7.8﹣0.3＝7.5，[b]＝7，所以，a＝15.3﹣7＝8.3．
解：由a+[b]＝15.3可知a的小数部分为0.3，
所以{a}＝0.3；而{a}+b＝7.8，
则b＝7.8﹣0.3＝7.5，[b]＝7，
所以，a＝15.3﹣7＝8.3．
即a＝8.3，b＝7.5．
故选：B．
点评：完成本题的关键是要注意分析题意，弄清不同符号所表示的意义．
37．工程问题
【知识点归纳】
工程问题公式
（1）一般公式：工效×工时＝工作总量； 工作总量÷工时＝工效；
工作总量÷工效＝工时．
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几；
1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间．
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．）
解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
【命题方向】
经典题型：
例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？
分析：求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间＝多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量＝工作效率×工作时间即可解答．
解：120÷（9﹣5）×（9+5）
＝120÷4×14
＝420（个）
答：这批零件共有420个．
点评：解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系．
例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？
分析：由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为18，甲单独12天完成，甲的工作效率为112，那么乙的工作效率18-112=124．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：18x+124×3x＝1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天．
解：18-112=124．
设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：
18x+124×3x＝1，
18x+18x＝1，
14x＝1，
x＝4．
4+4×3
＝4+12，
＝16（天）．
答：这个工程实际工期为16天．
点评：首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键．
38．浓度问题
【知识点归纳】
基本数量关系：
溶液质量＝溶质质量+溶剂质量；
溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数．
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意．
【命题方向】
经典题型：
例1：A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出 10克倒入C中．现在C中盐水浓度是0.5%．问最早倒入A中的盐水浓度是多少？
分析：混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%，可算出C管中的盐是：40×0.5%＝0.2（克）．由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B管中倒入的10克盐水里．
B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30克盐水就应该含盐：0.2×3＝0.6（克）．而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中．
A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20克盐水含盐：0.6×2＝1.2（克），而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水．即说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克．所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2÷10×100%＝12%
解：B中盐水的浓度是：
（30+10）×0.5%÷10×100%，
＝40×0.005÷10×100%，
＝2%．
现在A中盐水的浓度是：
（20+10）×2%÷10×100%，
＝30×0.002÷10×100%，
＝6%．
最早倒入A中的盐水浓度为：
（10+10）×6%÷10，
＝20×6%÷10，
＝12%．
答：最早倒入A中的盐水浓度为12%．
点评：不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管中的盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答．
39．差倍问题
【知识点归纳】
含义：差倍问题即已知两数之差和两数之间的倍数关系，求出两数．
公式：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差或小数×倍数＝大数．
差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法．被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题．
【命题方向】
经典题型：
例1：甲、乙两桶油重量相等，如果甲桶取出8千克，乙桶加入16千克，这时乙桶油的重量是甲桶油重量的3倍．两桶油原来各有油多少千克？
分析：甲、乙两桶油重量相等．从甲桶取走8千克油，乙桶加入16千克油，这时，甲桶比乙桶多24千克，乙桶油的重量是甲桶油重量的3倍，所以24千克是甲桶取出后的2倍，用除法可得甲桶取出后的油的重量，再加8即可得两桶油原来的千克数．
解：（8+16）÷（3﹣1）
＝24÷2
＝12（千克）
12+8＝20（千克）
答：两桶油原来各有20千克．
点评：本题考查了差倍问题，关键是得出48千克时是甲桶取出后的2倍．
40．逻辑推理
【知识点归纳】
基本方法简介：
①条件分析﹣假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的．例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数．
②条件分析﹣列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析．列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断．
③条件分析﹣﹣图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态．例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识．
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件．
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决．
【命题方向】
经典题型：
例1：有A，B，C，D，E五名同学进行象棋比赛，规定每两个人之间要赛一场，到现在为止，A已经赛了4场，B已经赛了3场，C已经赛了2场，D已经赛了1场，那么E赛了（ ）场．
A、1 B、2 C、3 D、4
分析：5个人两两之间比赛，那么每个人要和另外4人比赛，每人赛4场，再根据ABCD四人赛的场次进行推算．
解：每人最多赛4场；
A已经赛了4场，说明它和另外的四人都赛了一场，包括D和E；
E赛了1场，说明他只和A进行了比赛，没有和其它选手比赛；
B赛了3场，他没有和E比赛，是和另外另外的三人进行了比赛，包括C和E；
C赛了2场，是和A、B进行的比赛，没有和E比赛；
所以E只和A、B进行了比赛，一共是2场．
故选：B．
点评：本题根据每个人最多只能比赛4场作为突破口，进行逐个推理，找出E进行比赛的场次．
41．排列组合
【知识点归纳】
排列组合的综合应用具有一定难度．突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石．其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析．有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握．
【命题方向】
经典题型：
例1：教务处编排某班某日上午的课程表（上午只上5节课）．该班拟安排语文、数学、英语、科学和体育（每科只上一节课），但规定体育不安排在第一节课．问安排的课程表可能有几种？
分析：第一节课是从除体育外的4科中选择一科，有4种不同的选择方法；第二节从剩下的4科中选择1科，也有4种选择方法，第三节从剩下的3科中选择1科，有3种选法；第四节从剩下的2科中选择1科，有1种选法；第五节就是剩下的1科，有1种选法；根据乘法原理它们的积就是全部的选择方法．
解：4×4×3×2×1，
＝16×3×2×1，
＝96（种）；
答：安排的课程表可能有96种．
点评：分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．
例2：如图中 A、B、C、D、E 五个区域，以红、黄、蓝三色去涂，相邻区域涂上不同颜色，共有多少种涂法？
分析：首先，可以将红、黄、蓝任一颜色去涂A区．由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A＝3，B＝2，C＝1，D＝1，E＝1，运用乘法原理即可解决问题．
解：将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A＝3，B＝2，C＝1，D＝1，E＝1．
共有涂法：3×2×1×1×1＝6（种）．
答：共有6种涂法．
点评：解答此题的关键是通过题意，进行分析，首先将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，然后逐步推出A、B、C、D、E可涂上的颜色数目，解决问题．
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日期：2019/5/5 14:59:10；用户：jiangwenxiu；邮箱：jiangwenxiu@xyh.com；学号：26799902
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