2020年天津市高考数学试卷精编答案解析

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．

参考公式：

如果事件与事件互斥，那么．

如果事件与事件相互独立，那么．

球的表面积公式，其中表示球的半径．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（    ）

A. 10 B. 18 C. 20 D. 36

5. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③

9. 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A  B.

C.  D.

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数学

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共11小题，共105分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10. 是虚数单位，复数_________．

11. 在的展开式中，的系数是_________．

12. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

13. 已知甲、乙两球落入盒子概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

14. 已知，且，则的最小值为_________．

15. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 在中，角所对的边分别为．已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

18. 已知椭圆一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

19. 已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

20. 已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（i）求曲线在点处切线方程；

（ii）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，求证：对任意，且，有．