2020年天津市高考数学试卷（范世祥老师审校）

这是一份2020年天津市高考数学试卷（范世祥老师审校），共16页。试卷主要包含了设，则“”是“”的，函数的图象大致为，设，，，则，，的大小关系为，已知函数，是虚数单位，复数　　等内容，欢迎下载使用。

1．设全集，，，0，1，2，，集合，0，1，，，0，2，，则（
A．，B．，C．，D．，，，1，3
2．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象大致为
A．B．
C．D．
4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：，将所得数据分为9组：，，，，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间，内的个数为
A．10B．18C．20D．36
5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
6．设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
7．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
8．已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①B．①③C．②③D．①②③
9．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．是虚数单位，复数 ．
11．在的展开式中，的系数是 ．
12．已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为 ．
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
14．已知，，且，则的最小值为 ．
15．如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若，是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
17．（15分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（15分）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
19．（15分）已知为等差数列，为等比数列，，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
20．（16分）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．
2020年天津市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，，，0，1，2，，集合，0，1，，，0，2，，则（ ）
A．，B．，C．，D．，，，1，3
【思路分析】进行补集、交集的运算即可．
【解析】：全集，，，0，1，2，，集合，0，1，，，0，2，，则，，，，，故选：．
【总结与归纳】考查列举法的定义，以及补集、并集的运算．
2．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【思路分析】解得的范围，即可判断出结论．
【解析】：由，解得或，故”是“”的充分不必要条件，
故选：．
【总结与归纳】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．函数的图象大致为
A．B．
C．D．
【思路分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解析】：函数，则，则函数为奇函数，故排除，，当是，，故排除，故选：．
【总结与归纳】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：，将所得数据分为9组：，，，，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间，内的个数为
A．10B．18C．20D．36
【思路分析】根据频率分布直方图求出径径落在区间，的频率，再乘以样本的个数即可．
【解析】：直径径落在区间，的频率为，
则被抽取的零件中，直径落在区间，内的个数为个，故选：．
【总结与归纳】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．
5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
【思路分析】正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．
【解析】：由题意，正方体的对角线就是球的直径，
所以，所以，．故选：．
【总结与归纳】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．
6．设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【思路分析】根据指数函数和对数函数的性质即可求出．
【解析】：，，则，
，，故选：．
【总结与归纳】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
7．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【思路分析】先求出直线的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出，的值，可得双曲线的方程．
【解析】：抛物线的焦点坐标为，则直线的方程为，
双曲线的方程为的渐近线方程为，
的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，
，，，，双曲线的方程为，故选：．
【总结与归纳】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．
8．已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①B．①③C．②③D．①②③
【思路分析】由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．
【解析】：因为，
①由周期公式可得，的最小正周期，故①正确；、
②，不是的最大值，故②错误；
③根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故③正确．故选：．
【总结与归纳】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档试题．
9．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【思路分析】问题转化为有四个根，与有四个交点，再分三种情况当时，当时，当时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出的取值范围．
【解析】解法一：若函数恰有4个零点，
则有四个根，
即与有四个交点，
当时，与图象如下：
两图象只有一个交点，不符合题意，
当时，与轴交于两点，
图象如图所示，
两图象有4个交点，符合题意，
当时，
与轴交于两点，
在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需与在，还有两个交点，即可，
即在，还有两个根，
即在，还有两个根，
函数，（当且仅当时，取等号），
所以，且，
所以，
综上所述，的取值范围为，，．故选：．
解法二：（范世祥补解）：令 QUOTE
QUOTE 显然是零点， QUOTE 时， QUOTE 有3个零点
① QUOTE 时， QUOTE ，整理得 QUOTE （1）
② QUOTE 时， QUOTE ，整理得 QUOTE （2）
QUOTE . QUOTE 时，方程（2）显然无解，所以方程（1）有三个解，
令 QUOTE ， QUOTE ， 只需 QUOTE ，可得 QUOTE ；
QUOTE . QUOTE 时，方程（2）有两解， QUOTE 显然有一解
综上，， QUOTE .
【总结与归纳】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．是虚数单位，复数 ．
【思路分析】根据复数的运算法则即可求出．
【解析】：是虚数单位，复数，故答案为：
【总结与归纳】本题考查了复数的运算，属于基础题．
11．在的展开式中，的系数是 10 ．
【思路分析】在的展开式的通项公式中，令的幂指数等于2，求出的值，即可得到展开式中的系数．
【解析】：的展开式的通项公式为 ，
令，得，的系数是，故答案为10．
【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
12．已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为 5 ．
【思路分析】根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，结合直线与圆相交的性质可得，计算可得答案．
【解析】：根据题意，圆的圆心为，半径为；
则圆心到直线的距离，
若，则有，故；故答案为：5
【总结与归纳】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
【思路分析】根据互斥事件的概率公式计算即可．
【解析】：甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，则，
甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为，故答案为：，．
【总结与归纳】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
14．已知，，且，则的最小值为 4 ．
【思路分析】由，利用基本不等式即可求出．
【解析】：，，且，则，
当且仅当，即，或， 取等号，
故答案为：4
【总结与归纳】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
15．如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若，是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【思路分析】以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点的坐标，即可求出的值，再设出点，的坐标，根据向量的数量积可得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．
【解析】：解法一：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，
，，，，，，，，
设，，，，，，
，解得，，，
，，，，
，设，则，其中，
，，，，
，当时取得最小值，最小值为，故答案为：，．
解法二：（范世祥补解）：因为 QUOTE 所以可知直线 QUOTE 平行直线 QUOTE ．所以 QUOTE ．所以 QUOTE ，
解得 QUOTE ．所以 QUOTE ．
取 QUOTE 中点 QUOTE ，所以 QUOTE ．
因为 QUOTE 为定值，
所以要使 QUOTE 的值最小只需要使 QUOTE 最小，当 QUOTE 垂直 QUOTE 时， QUOTE 最小，
最小值为 QUOTE ，所以原式最小值为
QUOTE ．
【总结与归纳】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【思路分析】（Ⅰ）根据余弦定理即可求出的大小，
（Ⅱ）根据正弦定理即可求出的值，
（Ⅲ）根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
【解析】：（Ⅰ）由余弦定理以及，，，
则，
，；
（Ⅱ）由正弦定理，以及，，，可得；
（Ⅲ） 由，及，可得，
则，
，
．
【总结与归纳】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．
17．（15分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
【思路分析】（Ⅰ）建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；
（Ⅱ）先平面的法向量，再根据向量的夹角公式，求出二面角的正弦值；
（Ⅱ）求出，值，即可求出直线与平面所成角的正弦值．
【解析】：以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，
（Ⅰ）证明：依题意，，1，，，，，
，；
（Ⅱ）依题意，，0，是平面的一个法向量，
，2，，，0，，
设，，为平面的法向量，
则，即，不妨设，则，，，
，，，，
二面角的正弦值；
（Ⅲ）依题意，，2，，
由（Ⅱ）知，，，为平面的一个法向量，
，，
直线与平面所成角的正弦值为．
【总结与归纳】本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．
18．（15分）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
【思路分析】（Ⅰ）根据可得，由，可得，即可求出椭圆方程；
（Ⅱ）根据题意可得直线和直线的斜率均存在，设直线的方程为，联立方程组，求出点的坐标，再根据中点坐标公式可得点的坐标，根据向量的知识求出点的坐标，即可求出的斜率，根据直线垂直即可求出的值，可得直线的方程．
【解析】：（Ⅰ）由已知可得，记半焦距为，由可得，
由，可得，
椭圆的方程为，
（Ⅱ）：直线与为圆心的圆相切于点，
，
根据题意可得直线和直线的斜率均存在，设直线的方程为，
由方程组，消去可得，解得，或，
依题意可得点的坐标为，，
为线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，，
由，可得点的坐标为，
故直线的斜率为，
，，整理可得，解得或，
直线的方程为或．
即直线 QUOTE 的方程为或．
【总结与归纳】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
19．（15分）已知为等差数列，为等比数列，，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【思路分析】（Ⅰ）分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出；
（Ⅱ）根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则课证明；
（Ⅲ）分类讨论，再根据错位相减法即可求出前项和．
【解析】：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，则，可得，，
，，
，解得，；
证明（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
，，
，
；
解：（Ⅲ），当为奇数时，，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有，
和，①，
由①可得，②，
①②得，
，因此．
数列的前项和．
【总结与归纳】本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．
20．（16分）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，，，且，有．
【思路分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；
（Ⅱ）要证不等式成立，只要证明，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．
【解析】：当时，，
故，（1），（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，即．
，，
，
令，解得，
当，，当，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
是极小值点，极小值为（1），无极大值；
证明：（Ⅱ）由，则，
对任意的，，，且，令，，
则，
，
，①
令，，
当时，，
在单调递增，
当，（1），即，
，，，
，②，
由（Ⅰ）可知当时，（1）
即，③，
由①②③可得，
当时，对任意的，，，且，有．
【总结与归纳】本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．
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