试卷 初中数学2021年初专题练——直射、射线、线段训练题（一）【含详解】100道

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初中数学2021年初专题练——直射、射线、线段训练题（一）【含详解】


姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共33题）
1、 已知点 C 在线段 AB 上，则下列条件中，不能确定点 C 是线段 AB 中点的是（　　）
A ． AC ＝ BC B ． AB ＝ 2AC C ． AC+BC ＝ AB D ．
2、 如图， ∠ AOB=60° ，点 P 是 ∠ AOB 内的定点且 OP= ，若点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O 的动点，则 △ PMN 周长的最小值是（　　）

A ． B ． C ． 6 D ． 3
3、 如图，已知直线上顺次三个点 A 、 B 、 C ，已知 AB ＝ 10cm ， BC ＝ 4cm ． D 是 AC 的中点， M 是 AB 的中点，那么 MD ＝（　　） cm

A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
4、 如图，点 是线段 上一点， 为 的中点，且 ， . 若点 在直线 上，且 ，则 的长为（ ）

A ． B ． C ． 或 D ． 或
5、 两根木条，一根长 20cm ，另一根长 24cm ，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 (　　)
A ． 2cm B ． 4cm C ． 2cm 或 22cm D ． 4cm 或 44cm
6、 如图，在等边 △ ABC 中， BF 是 AC 边上的中线，点 D 在 BF 上，连接 AD ，在 AD 的右侧作等边 △ ADE ，连接 EF ，当 △ AEF 周长最小时， ∠ CFE 的大小是 (　　)

A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 90°
7、 如图，点 C 是线段 AB 上的点，点 D 是线段 BC 的中点， AB=10，AC=6 ，则线段 AD 的长是（　　）

A ． 6 B ． 2 C ． 8 D ． 4
8、 如图， C，D是线段AB上的两个点，CD＝3 cm，M是AC的中点，N是DB的中点，AB＝7.8 cm，那么线段MN的长等于(  )

A ． 5.4 cm B ． 5.6 cm C ． 5.8 cm D ． 6 cm
9、 如图，已知直线 AB：y= x+ 分别交 x 轴、 y 轴于点 B、A 两点 ,C（3，0），D、E 分别为线段 AO 和线段 AC 上一动点， BE 交 y 轴于点 H, 且 AD＝CE ，当 BD＋BE 的值最小时，则 H 点的坐标为（ ）

A ． （ 0，4） B ． （ 0，5） C ． （ 0， ） D ． （ 0， ）
10、 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从 A 点绕到正上方 B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是 12 cm ，高是 20 cm ，那么所需彩带最短的是 ( )

A ． 13 cm B ． 4 cm C ． 4 cm D ． 52 cm
11、 如图， C 、 D 是线段 AB 上两点，若 BC=3cm ， BD=5cm ，且 D 是 AC 的中点，则 AC 的长为（　　）

A ． 2cm B ． 4cm C ． 8cm D ． 13cm
12、 如图，下列不正确的说法是（ ）

A ．直线 与直线 是同一条直线
B ．射线 与射线 是同一条射线
C ．线段 与线段 是同一条线段
D ．射线 与射线 是同一条射线
13、 A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在(　　)

A ． 在 A的左侧 B ． 在 AB之间 C ． 在 BC之间 D ． B处
14、 如图，已知线段 AB 的长度为 a，CD 的长度为 b ，则图中所有线段的长度和为 (    )

A ． 3a+b B ． 3a-b C ． a+3b D ． 2a+2b
15、 如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（ 4 ， 3 ）， PQ ⊥ x 轴于 Q ， M ， N 分别为 OQ ， OP 上的动点，则 QN ＋ MN 的最小值为（ ）

A ． B ． C ． D ．
16、 “ 植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线 ” ，用数学知识解释其道理应是（ ）
A ． 两点确定一条直线 B ． 两点之间，线段最短
C ． 直线可以向两边延长 D ． 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
17、 如图， B 、 C 两点把线段 MN 分成三部分，其比为 MB ： BC ： CN ＝ 2 ： 3 ： 4 ，点 P 是 MN 的中点， PC ＝ 2cm ，则 MN 的长为（　　）

A ． 30cm B ． 36cm C ． 40cm D ． 48cm
18、 下列说法：
① 过两点有且只有一条直线；
② 连接两点的线段叫两点的距离；
③ 两点之间线段最短；
④ 如果 AB ＝ BC ，则点 B 是 AC 的中点．
其中正确的有（　　）
A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
19、 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF 垂直平分 BC， 点 P 为直线 EF 上的任一点 ， 则 AP＋BP 的最小值是（ ）

A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 7
20、 如图，某公司有三个住宅区， A ， B ， C 各区分别住有职工 10 人， 15 人， 45 人，且这三个区在一条大道上 ( A ， B ， C 三点共线 )，已知 AB ＝ 150m ， BC ＝ 90m ．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在 (　　)

A ． 点 A B ． 点 B C ． 点 A ， B 之间 D ． 点 C
21、 已知直线 AB上有两点M，N,且MN = 8cm,再找一点P,使MP + PN = 10cm,则P点的位置（   ）
A ． 只能在直线 AB上 B ． 只能在直线 AB外
C ． 在直线上或在直线 AB外 D ． 不存在
22、 已知线段 AC 和 BC 在同一直线上， AC ＝ 8cm ， BC ＝ 3cm ，则线段 AC 的中点和 BC 中点之间的距离是（　　）
A ． 5.5cm B ． 2.5cm
C ． 4cm D ． 5.5cm 或 2.5cm
23、 下列说法正确的有（　　）
① 两点之间的所有连线中，线段最短；
② 相等的角是对顶角；
③ 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
④ 两点之间的距离是两点间的线段；
⑤ 如果一个角的两边与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等．
A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
24、 下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从 A 地到 B 地架设电线，总是尽可能沿着线段 AB 架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程 . 其中可用基本事实 “ 两点之间，线段最短 ” 来解释的现象有 (  )
A ． ①② B ． ①③ C ． ②④ D ． ③④
25、 如图，直线 m 是 ΔABC 中 BC 边的垂直平分线，点 P 是直线 m 上的动点．若 AB=6 ， AC=4 ， BC=7 ．则 △ APC 周长的最小值是

A ． 10 B ． 11 C ． 11.5 D ． 13
26、 如图， C ， D 是线段 AB 上两点，若 CB ＝ 4cm ， DB ＝ 7cm ，且 D 是 AC 的中点，则 AC 的长等于（　　）

A ． 3 cm B ． 6 cm C ． 11 cm D ． 14 cm
27、 已知线段 AB，C 是直线 AB 上的一点， AB=8，BC=4 ，点 M 是线段 AC 的中点，则线段 AM 的长为（　　）
A ． 2cm B ． 4cm C ． 2cm 或 6cm D ． 4cm 或 6cm
28、 下面现象中，能反映 “两点之间，线段最短”这一基本事实的是（ ）
A ． 用两根钉子将细木条固定在墙上
B ． 木锯木料先在木板上画出两个点，再用墨盒过这两个点弹出一条墨线
C ． 测量两棵树之间的距离时，要拉直尺子
D ． 砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线
29、 如图，已知圆柱的底面直径 ，高 ，小虫在圆柱侧面爬行，从 点爬到 点，然后再沿另一面爬回 点，则小虫爬行的最短路程的平方为（ ）

A ． 18 B ． 48 C ． 120 D ． 72
30、 ①两点之间线段最短；
②同旁内角互补；
③若 ，则点 是线段 的中点；
④经过一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中正确的说法有（ ）
A ． 个 B ． 个 C ． 个 D ． 个
31、 点 A、B、C 在同一条数轴上 ， 其中点 A、B 表示的数分别为﹣ 3、1 ，若 BC＝2 ，则 AC 等于（ ）
A ． 3 B ． 2 C ． 3 或 5 D ． 2 或 6
32、 如图，在 △ ABC 中， ∠ C=90°， ∠ BAC=30°，AB=8，AD 平分 ∠ BAC ，点 PQ 分别是 AB、AD 边上的动点，则 PQ+BQ 的最小值是

A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7
33、 如图， MN 为 ⊙ O 的直径， A 、 B 是 ⊙ O 上的两点，过 A 作 AC ⊥ MN 于点 C ，过 B 作 BD ⊥ MN 于点 D ， P 为 DC 上的任意一点，若 MN ＝ 20 ， AC ＝ 8 ， BD ＝ 6 ，则 PA+PB 的最小值是（　　）．

A ． 20 B ． C ． 14 D ．
二、解答题（共46题）
1、 如图，数轴上线段 AB=2 （单位长度）， CD=4 （单位长度），点 A 在数轴上表示的数是﹣ 4 ，点 C 在数轴上表示的数是 4 ，若线段 AB 以 3 个单位长度 / 秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 1 个单位长度 / 秒的速度向左匀速运动．

（ 1） 问运动多少秒时 BC=2 （单位长度）？
（ 2 ）线段 AB 与线段 CD 从开始相遇到完全离开共经过多长时间？
（ 3）P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上，且点 P 不在线段 CD 上时，是否存在关系式 BD﹣AP=3PC ．若存在，求线段 PD 的长；若不存在，请说明理由．
2、 已知，点 A 、 B 、 C 在同一条直线上，点 M 为线段 AC 的中点、点 N 为线段 BC 的中点 .
（ 1 ）如图，当点 C 在线段 AB 上时：
① 若线段 ，求 的长度．
② 若 AB=a ，求 MN 的长度．
（ 2 ）若 ，求 MN 的长度（用含 的代数式表示）．

3、 如图，点 C 为线段 AB 的中点，点 E 为线段 AB 上的点，点 D 为线段 AE 的中点。

（ 1 ）若线段 AB=a ， CE=b ，且 ，求 a ， b 的值；
（ 2 ）在（ 1 ）的条件下，求线段 CD 的长 .
4、 如图，线段 AB ＝ 20 ， BC ＝ 15 ，点 M 是 AC 的中点．
（ 1 ）求线段 AM 的长度；
（ 2 ）在 CB 上取一点 N ，使得 CN ： NB ＝ 2 ： 3 ．求 MN 的长．

5、 已知：如图 1 ，点 M 是线段 AB 上一定点， AB ＝ 12cm ， C 、 D 两点分别从 M 、 B 出发以 1cm/s 、 2cm/s 的速度沿直线 BA 向左运动，运动方向如箭头所示（ C 在线段 AM 上， D 在线段 BM 上）

（ 1 ）若 AM ＝ 4cm ，当点 C 、 D 运动了 2s ，此时 AC ＝ ， DM ＝ ；（直接填空）
（ 2 ）当点 C 、 D 运动了 2s ，求 AC+MD 的值．
（ 3 ）若点 C 、 D 运动时，总有 MD ＝ 2AC ，则 AM ＝ （填空）
（ 4 ）在（ 3 ）的条件下， N 是直线 AB 上一点，且 AN ﹣ BN ＝ MN ，求 的值．
6、 如图， C，D 为线段 AB 上的两点， M，N 分别是线段 AC，BD 的中点．
（ 1 ）如果 CD=5cm，MN=8cm ，求 AB 的长；
（ 2 ）如果 AB=a，MN=b ，求 CD 的长．

7、 如图，射线 OM 上有三点 A，B，C ，满足 OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm ，动点 P 从 O 点出发沿 OM 方向以每秒 1cm 的速度匀速运动；动点 Q 从点 C 出发，在线段 CO 上向点 O 匀速运动（点 Q 运动到点 O 时，立即停止运动），点 P，Q 同时出发．
（ 1 ）当点 P 与点 Q 都同时运动到线段 AB 的中点时，求点 Q 的运动速度；
（ 2 ）若点 Q 运动速度为每秒 3cm 时，经过多少时间 P，Q 两点相距 70cm；
（ 3 ）当 PA=2PB 时，点 Q 运动的位置恰好是线段 AB 的三等分，求点 Q 的速度．

8、 如图 1 ，已知点 C 在线段 AB 上，线段 AC=10 厘米， BC=6 厘米，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点．

（ 1 ）求线段 MN 的长度；
（ 2 ）根据第（ 1 ）题的计算过程和结果，设 AC+BC=a ，其他条件不变，求 MN 的长度；
（ 3 ）动点 P、Q 分别从 A、B 同时出发，点 P 以 2cm/s 的速度沿 AB 向右运动，终点为 B ，点 Q 以 1cm/s 的速度沿 AB 向左运动，终点为 A ，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时， C、P、Q 三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
9、 如图，把一根绳子对折成线段 AB，从点P处把绳子剪断，已知AP ： BP＝2：3，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，求绳子的原长．

10、 如图， B是线段AD上一动点，沿A→D→A的路线以2 cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10 cm，设点B的运动时间为t s(0≤t≤10)．
(1)当t＝2时，求线段AB和线段CD的长度．
(2)用含t的代数式表示运动过程中AB的长．
(3)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．

11、 已知：如图，点 是线段 上一定点， ， 、 两点分别从 、 出发以 、 的速度沿直线 向左运动，运动方向如箭头所示（ 在线段 上， 在线段 上）
若 ，当点 、 运动了 ，此时 ________ ， ________ ；（直接填空）
当点 、 运动了 ，求 的值．
若点 、 运动时，总有 ，则 ________ （填空）
在 的条件下， 是直线 上一点，且 ，求 的值．

12、 如图，点 C 是 AB 的中点 ， D，E 分别是线段 AC，CB 上的点，且 AD＝ AC，DE＝ AB ，若 AB＝24 cm ，求线段 CE 的长．

13、 已知 x ＝﹣ 3 是关于 x 的方程（ k+3 ） x+2 ＝ 3x ﹣ 2k 的解．
（ 1 ）求 k 的值；
（ 2 ）在（ 1 ）的条件下，已知线段 AB ＝ 6cm ，点 C 是线段 AB 上一点，且 BC ＝ kAC ，若点 D 是 AC 的中点，求线段 CD 的长．
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，已知点 A 所表示的数为﹣ 2 ，有一动点 P 从点 A 开始以 2 个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点 Q 从点 B 开始以 4 个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有 PD ＝ 2QD ？
14、 如图，已知点 ， 在线段 上，且 ， ，若点 是线段 的中点，求线段 的长．

15、 如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是 1，点A（﹣4，1）B（﹣3，3）C（﹣1，2）
（ 1）作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（ 2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．

16、 如图，线段 ，点 E ， F 分别是线段 AB ， CD 的中点， cm ，求线段 AB ， CD 的长 .

17、 如图所示，长度为 12cm 的线段 AB 的中点为点 M ，点 C 将线段 MB 分成 ，求线段 AC 的长度 .

18、 如图，射线 上有三点 、 、 ，满足 OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点 从点 出发，沿 方向以 秒的速度匀速运动，点 从点 出发在线段 上向点 匀速运动，两点同时出发，当点 运动到点 时，点 、 停止运动 .
(1)若点 运动速度为 秒，经过多长时间 、 两点相遇 ?
(2)当 时，点 运动到的位置恰好是线段 OB的中点，求点 的运动速度 ;
(3)当点 运动到线段 上时，分别取 和 的中点 、 ，求 的值 .

19、 如图，己知线段 =20cm ， =2cm ，线段 在线段 上运动， 分别是 的中点．

(1) 若 =4cm ，则 = cm ．
(2) 当线段 在线段 上运动时，试判断 的长度是否发生变化 ?如果不变请求出 的长度，如果变化，请说明理由．
20、 下图，要在燃气管道 L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）

21、 如图，线段 AB=8 ，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 BC 的中点．
（ 1 ）求线段 AD 的长；
（ 2 ）若在线段 AB 上有一点 E ， CE= BC ，求 AE 的长．

22、 如图，长度为 的线段 的中点为 ， 点在线段 上，且 ，求线段 的长；

23、 如图，点 C 在线段 AB 上，点 M 、 N 分别是 AC 、 BC 的中点．

若 ，求线段 MN 的长；
若 C 为线段 AB 上任一点，满足 ，其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明理由，你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
若 C 在线段 AB 的延长线上，且满足 cm ， M 、 N 分别为 AC 、 BC 的中点，你能猜想 MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
24、 如图所示， B，C两点把线段AD分成4：5：7的三部分，E是线段AD的中点，CD=14厘米．
（ 1）求EC的长．
（ 2）求AB：BE的值．

25、 如图已知 △ABC．
（ 1）请用尺规作图法作出BC的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E, （保留作图痕迹，不写作法）；
（ 2）请用尺规作图法作出∠C的角平分线CF，交AB于点F,（保留作图痕迹，不写作法）；
（ 3）请用尺规作图法在BC上找出一点P，使△PEF的周长最小.（保留作图痕迹，不写作法）.

26、 如图， AD ＝ DB ， BC ＝ 4m ， AC ＝ 10m ，求线段 DC 的长．

27、 如图 :

(1) 试验观察 :
如果经过两点画直线 , 那么 :
第 ① 组最多可以画 ____ 条直线 ;
第 ② 组最多可以画 ____ 条直线 ;
第 ③ 组最多可以画 ____ 条直线 .
(2) 探索归纳 :
如果平面上有 n(n≥3) 个点 , 且任意 3 个点均不在 1 条直线上 , 那么经过两点最多可以画 ____ 条直线 .( 用含 n 的式子表示 )
(3) 解决问题 :
某班 45 名同学在毕业后的一次聚会中 , 若每两人握 1 次手问好 , 那么共握 ____ 次手 .
28、 已知：如图，一条直线上依次有 A 、 B 、 C 三点．
（ 1 ）若 BC ＝ 60 ， AC ＝ 3AB ，求 AB 的长；
（ 2 ）若点 D 是射线 CB 上一点，点 M 为 BD 的中点，点 N 为 CD 的中点，求 的值；
（ 3 ）当点 P 在线段 BC 的延长线上运动时，点 E 是 AP 中点，点 F 是 BC 中点，下列结论中：
① 是定值；
② 是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．

29、 线段与角的计算
（ 1 ）如图，已知点 为 上一点， ， ，若 、 分别为 、 的中点．求 的长．

（ 2 ）已知：如图， 被分成 ， 平分 ， 平分 ，且 ，求 的度数．

30、 如图， C 、 D 是线段 AB 上的两点， CB=9cm ， DB=15cm ， D 为线段 AC 的中点，求 AB 的长．

31、 如图，数轴上点 ， 表示的有理数分别为 ， 3 ，点 是射线 上的一个动点（不与点 ， 重合）， 是线段 靠近点 的三等分点， 是线段 靠近点 的三等分点．

（ 1 ）若点 表示的有理数是 0 ，那么 的长为 ________ ；若点 表示的有理数是 6 ，那么 的长为 ________ ；
（ 2 ）点 在射线 上运动（不与点 ， 重合）的过程中， 的长是否发生改变？若不改变，请写出求 的长的过程；若改变，请说明理由．
32、 如图，点 是线段 上一点，且 ， ．

（ 1 ）试求出线段 的长．
（ 2 ）如果点 是线段 的中点．请求线段 的长．
33、 已知数轴上，点 A 和点 B 分别位于原点 O 两侧，点 A 对应的数为 a ，点 B 对应的数为 b ，且 |a-b| ＝ 15 ．

（ 1 ）若 b ＝ -6 ，则 a 的值为 ；
（ 2 ）若 OA ＝ 2OB ，求 a 的值；
（ 3 ）点 C 为数轴上一点，对应的数为 c ，若 A 点在原点的左侧， O 为 AC 的中点， OB ＝ 3BC ，请画出图形并求出满足条件的 c 的值．
34、 （ 1 ）如图 1 ，已知线段 AB ，点 C 分线段 AB 为 5 ∶ 7 ，点 D 分线段 AB 为 5 ∶ 11 ，若 AB＝96cm ，求线段 CD 的长．
（ 2 ）如图 2 ，已知线段 AB 上有 C、D 两点， AC＝ BC，AD＝ BD，CD＝14cm ，求线段 AB 的长．

35、 如图，已知数轴上点 A 表示的数为 6 ， B 是数轴上一点，且 AB=10 ．动点 P 从点 A 出发，以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t （ t ＞ 0 ）秒．

（ 1 ）写出数轴上点 B 表示的数 _______ ，点 P 表示的数 _______ 用含 t 的代数式表示）．
（ 2 ）动点 R 从点 B 出发，以每秒 4 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 P 、 R 同时出发，问点 P 运动多少秒时追上点 R ？
（ 3 ）若 M 为 AP 的中点， N 为 PB 的中点．点 P 在运动的过程中，线段 MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 MN 的长；
36、 问题提出
(1) 如图 ①，在 △ ABC 中， ∠ A＝120°，AB＝AC＝5 ，则 △ ABC 的外接圆半径 R 的值为 ．
问题探究
(2) 如图 ② ， ⊙ O 的半径为 13 ，弦 AB＝24，M 是 AB 的中点， P 是 ⊙ O 上一动点，求 PM 的最大值．
问题解决
(3) 如图 ③所示， AB、AC、BC 是某新区的三条规划路其中， AB＝6km，AC＝3km， ∠ BAC＝60°，BC 所对的圆心角为 60° ．新区管委会想在 BC 路边建物资总站点 P ，在 AB、AC 路边分别建物资分站点 E、F ．也就是，分别在 、 线段 AB 和 AC 上选取点 P、E、F ．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按 P→E→F→P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 PE、EF 和 FP ．为了快捷环保和节约成本要使得线段 PE、EF、FP 之和最短，试求 PE＋EF＋FP 的最小值 ( 各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计 )．

图 ① 图 ② 图 ③
37、 如图 ， 已知数轴上点 A 表示的数为 10，B 是数轴上位于点 A 左侧一点 ， 且 AB=30， 动点 P 从点 A 出发 ， 以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 ， 设运动时间为 秒 .

(1) 数轴上点 B 表示的数是 ________， 点 P 表示的数是 ________( 用含 的代数式表示 )；
(2) 若 M 为线段 AP 的中点 ， N 为线段 BP 的中点 ， 在点 P 运动的过程中 ， 线段 MN 的长度会发生变化吗 ? 如果不变 ， 请求出这个长度 ； 如果会变化 , 请用含 的代数式表示这个长度 ；
(3) 动点 Q 从点 B 处出发 ， 以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 ， 若点 P、Q 同时出发 ， 问点 P 运动多少秒时与点 Q 相距 4 个单位长度 ?
38、 如图所示，线段 AB=8cm，E 为线段 AB 的中点，点 C 为线段 EB 上一点，且 EC=3cm ，点 D 为线段 AC 的中点，求线段 DE 的长度．

39、 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90°， ∠ A=30°，AB=8 ，点 P 从点 A 出发，沿折线 AB﹣BC 向终点 C 运动，在 AB 上以每秒 8 个单位长度的速度运动，在 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度运动，点 Q 从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒 个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随之停止．设点 P 运动的时间为 t 秒．
（ 1 ）求线段 AQ 的长；（用含 t 的代数式表示）
（ 2 ）当点 P 在 AB 边上运动时，求 PQ 与 △ ABC 的一边垂直时 t 的值；
（ 3 ）设 △ APQ 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式；
（ 4 ）当 △ APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，直接写出 t 的值．

40、 点 在线段 上， ．
(1) 如图 1 ， ， 两点同时从 ， 出发，分别以 ， 的速度沿直线 向左运动；

①在 还未到达 点时， 的值为 ；
②当 在 右侧时 ( 点 与 不重合 ) ，取 中点 ， 的中点是 ，求 的值；
(2) 若 是直线 上一点，且 ．则 的值为 ．

41、 如图，点 B 在线段 AC 的延长线上， AC70cm，
∴分两种情况，
① Q 在 P 的右侧，
经过时间为
② Q 在 P 的左侧，
∵点 Q 运动到点 O 时，立即停止运动，
∴ Q 运动的时间为
两者相距 70cm 时运动的时间为
综合 ①②得知，经过 5 秒和 70 秒的 P、Q 两点相距 70cm.
(3)PA=2PB ，分两种情况，
①当点 P 在 A. B 两点之间时，
∵ PA=2PB，

此时运动的时间为
∵点 Q 运动的位置恰好是线段 AB 的三等分，
或
点 Q 的运动速度为 0.5cm/s 或 cm/s.
②当点 P 在线段 AB 的延长线上时，
∵ PA=2PB，
∴ PA=2AB=120cm，
此时运动的时间为
∵点 Q 运动的位置恰好是线段 AB 的三等分，
或
点 Q 的运动速度为 cm/s 或 cm/s.
综合 ①②得知 , 当点 P 在 A. B 两点之间时 , 点 Q 的运动速度为 0.5cm/s 或 cm/s,; 当点 P 在线段 AB 的延长线上时 , 点 Q 的运动速度为 cm/s 或 cm/s.
8、 （ 1） 8厘米；（2） a；（3）t=4 或 或 ．
【解析】
（ 1）（2 ）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（ 3 ）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
（ 1） ∵线段 AC=10 厘米， BC=6 厘米，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，
∴ CM= AC=5 厘米， CN= BC=3 厘米，
∴ MN=CM+CN=8 厘米；
（ 2） ∵点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，
∴ CM= AC，CN= BC，
∴ MN=CM+CN= AC+ BC= a；
（ 3） ①当 0＜t≤5 时， C 是线段 PQ 的中点，得
10﹣2t=6﹣t ，解得 t=4；
②当 5＜t≤ 时， P 为线段 CQ 的中点， 2t﹣10=16﹣3t ，解得 t= ；
③当 ＜ t≤6 时， Q 为线段 PC 的中点， 6﹣t=3t﹣16 ，解得 t= ；
④当 6＜t≤8 时， C 为线段 PQ 的中点， 2t﹣10=t﹣6 ，解得 t=4 （舍），
综上所述： t=4 或 或 ．
【点睛】
本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于 t 的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
9、 (1)150cm (2)绳子的原长为 150 cm或 100cm
【解析】
分点 A 和点 B 是对折点两种情况分别进行讨论，即可得出答案 .
【详解】
(1) 当点 A 是绳子的对折点时，将绳子展开，如图 ①所示，
因为 AP：BP＝2：3 ，剪断后的各段绳子中最长的一段为 60 cm，
所以 2AP＝60 cm ，所以 AP＝30 cm，
所以 BP＝45 cm，
所以绳子的原长为 2AB＝2(AP＋BP)＝2×(30＋45)＝150(cm)；
(2) 当点 B 是绳子的对折点时，将绳子展开，如图 ②所示，
因为 AP：BP＝2：3 ，剪断后的各段绳子中最长的一段为 60 cm，
所以 2BP＝60 cm ，所以 BP＝30 cm，
所以 AP＝20 cm，
所以绳子的原长为 2AB＝2(AP＋BP)＝2×(20＋30)＝100(cm).
综上，绳子的原长为 150 cm 或 100 cm..

【点睛】
此题考查线段中点、线段和差知识以及分类讨论思想，熟练掌握分类讨论思想是解题关键 .
10、 (1)AB＝4cm　CD＝3cm(2)AB＝ (3)不变，EC＝5cm
【解析】
试题分析： （ 1 ） ①根据 AB=2t 即可得出结论；
②先求出 BD 的长，再根据 C 是线段 BD 的中点即可得出 CD 的长；
（ 2 ）根据 AB=2t 即可得出结论；
（ 3 ）直接根据中点公式即可得出结论．
试题解析： （ 1 ）当 t=2 时， ① AB= 4 cm．
②解： ∵
又 ∵ ，
∴
∵点 C 是线段 BD 的中点
∴
（ 2 ） ①当 时，此时点 B 从 A 向 D 移动：
②当 时，此时点 B 从 D 向 A 移动：
（ 3 ） ①当 时，此时点 B 从 A 向 D 移动：
∵点 E 是 AB 的中点，
∴
∵ ，
∴
∵点 C 是 BD 的中点
∴
又 ∵
∴
②当 时，此时点 B 从 D 向 A 移动：
∵点 E 是 AB 的中点，
∴
∵ ，
∴
∵点 C 是 BD 的中点
∴
又 ∵
∴
综上所述：在运动过程中 EC 的长保持不变，恒等于 5．
点睛：本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键．
11、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） ；（ 3 ） ；（ 4 ） 或 ．
【解析】
（ 1 ）根据题意知， CM=2cm ， BD=4cm ．
∵ AB=12cm ， AM=4cm ， ∴ BM=8cm ， ∴ AC=AM ﹣ CM=2cm ， DM=BM ﹣ BD=4cm ．
故答案为 2 ， 4 ；
（ 2 ）当点 C 、 D 运动了 2 s 时， CM=2 cm ， BD=4 cm ．
∵ AB=12 cm ， CM=2 cm ， BD=4 cm ， ∴ AC+MD=AM ﹣ CM+BM ﹣ BD=AB ﹣ CM ﹣ BD=12 ﹣ 2 ﹣ 4=6 cm ；
（ 3 ）根据 C 、 D 的运动速度知： BD=2MC ．
∵ MD=2AC ， ∴ BD+MD=2 （ MC+AC ），即 MB=2AM ．
∵ AM+BM=AB ， ∴ AM+2AM=AB ， ∴ AM= AB=4 ．
故答案为 4 ；
（ 4 ） ①当点 N 在线段 AB 上时，如图 1 ．

∵ AN ﹣ BN=MN ．
又 ∵ AN ﹣ AM=MN ， ∴ BN=AM=4 ， ∴ MN=AB ﹣ AM ﹣ BN=12 ﹣ 4 ﹣ 4=4 ，
∴ = = ；
②当点 N 在线段 AB 的延长线上时，如图 2 ．

∵ AN ﹣ BN=MN ．
又 ∵ AN ﹣ BN=AB ， ∴ MN=AB=12 ，
∴ = =1 ．
综上所述： = 或 1 ．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
12、 CE＝10.4cm．
【分析】
根据中点的定义，可得 AC 、 BC 的长，然后根据题已知求解 CD 、 DE 的长，再代入 CE=DE-CD 即可 .
【详解】
∵AC=BC= AB=12cm ， CD= AC=4cm ， DE= AB=14.4cm ，
∴CE=DE ﹣ CD=10.4cm.
13、 （ 1 ） 2 ；（ 2 ） 1cm ；（ 3 ） 秒或 秒
【分析】
（ 1 ）将 x ＝﹣ 3 代入原方程即可求解；
（ 2 ）根据题意作出示意图，点 C 为线段 AB 上靠近 A 点的三等分点，根据线段的和与差关系即可求解；
（ 3 ）求出 D 和 B 表示的数，然后设经过 x 秒后有 PD ＝ 2QD ，用 x 表示 P 和 Q 表示的数，然后分两种情况 ①当点 D 在 PQ 之间时， ②当点 Q 在 PD 之间时讨论即可求解．
【详解】
（ 1 ）把 x ＝﹣ 3 代入方程（ k+3 ） x+2 ＝ 3x ﹣ 2k 得：﹣ 3 （ k+3 ） +2 ＝﹣ 9 ﹣ 2k ，
解得： k ＝ 2 ；
故 k ＝ 2 ；
（ 2 ）当 C在线段AB上时，如图，

当 k ＝ 2 时， BC ＝ 2AC ， AB ＝ 6cm ，
∴ AC ＝ 2cm ， BC ＝ 4cm ，
∵ D 为 AC 的中点，
∴ CD ＝ AC ＝ 1cm ．
即线段 CD 的长为 1cm ；
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下， ∵点 A 所表示的数为﹣ 2 ， AD ＝ CD ＝ 1 ， AB ＝ 6 ，
∴ D 点表示的数为﹣ 1 ， B 点表示的数为 4 ．
设经过 x 秒时，有 PD ＝ 2QD ，则此时 P 与 Q 在数轴上表示的数分别是﹣ 2 ﹣ 2x ， 4 ﹣ 4x ．
分两种情况：
①当点 D 在 PQ 之间时，
∵ PD ＝ 2QD ，
∴ ，解得 x ＝
②当点 Q 在 PD 之间时，
∵ PD ＝ 2QD ，
∴ ，解得 x ＝ ．
答：当时间为 或 秒时，有 PD ＝ 2QD ．
【点睛】
本题考查了方程的解，线段的和与差，数轴上的动点问题，一元一次方程与几何问题，分情况讨论是本题的关键．
14、
【分析】
根据 可设 ， ， ，则可得到 ，易求得 的长，从而得到 的长度，由 是线段 的中点，得 DM 的长度，则代入 即可求解．
【详解】
解：设 ， ，
由题意： ，
解得 ，
， ， ，
．
是线段 中点，
．
．
【点睛】
本题考查线段的中点，线段的和差，掌握中点的性质和线段的和差关系为解题关键．
15、 （ 1）见解析；（2）见解析
【解析】
（ 1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（ 2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P．
【详解】
（ 1）如图所示，△A′B′C′即为所求；

（ 2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P，其坐标为（﹣3，0）．
【点睛】
本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．
16、 16cm ； 20cm ；
【分析】
先 BD=x ，则 CD=5x ， AB=4x ，再根据点 E ， F 分别是 AB ， CD 的中点，得到 EF=ED+DF=3.5x ，根据 EF=14 ，可得 x 的值，进而得到 AB ， CD 的长．
【详解】
解：因为 ，设 BD=x, 则 CD=5x,AB=4x,
∵点 E ， F 分别是 AB ， CD 的中点，
∴ EB= AB=2x,DF= CD=2.5x ，
∴ ED=x ，
∴ EF=ED+DF=3.5x ，
又 ∵ EF=14 ，
∴ 3.5x=14 ，
解得 x=4 ，
∴ CD=5x=20cm ， AB=4x=16cm.
【点睛】
此题考查两点间的距离，解题关键在于结合图形进行计算 .
17、 8cm
【解析】
设 MC=xcm ，由 MC ： CB=1 ： 2 得到 CB=2xcm ，则 MB=3x ，根据 M 点是线段 AB 的中点， AB=12cm ，得到 AM=MB AB 12=3x ，可求出 x 的值，又 AC=AM+MC=4x ，即可得到 AC 的长．
【详解】
设 MC=xcm ，则 CB=2xcm ，
∴ MB=3x ．
∵ M 点是线段 AB 的中点， AB=12cm ，
∴ AM=MB AB 12=3x ，
∴ x=2 ，而 AC=AM+MC ，
∴ AC=3x+x=4x=4 × 2=8 （ cm ）．
故线段 AC 的长度为 8 ㎝．
【点睛】
本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．也考查了方程思想的运用．
18、 （ 1）45s;（2） 或 ;(3)2
【解析】
（ 1 ）设经过 t 秒时间 P 、 Q 两点相遇，列出方程即可解决问题；
（ 2 ）分两种情形求解即可；
（ 3 ）用 t 表示 AP 、 EF 的长，代入化简即可解决问题；
【详解】
（ 1 ）设经过 t 秒时间 P 、 Q 两点相遇，
则 t+2t=90+30+15 ，
解得 t=45 ，
所以经过 45 秒时间 P 、 Q 两点相遇．
（ 2 ） ①当 P 在线段 AB 上时，
∵ AB=90 ， PA=2PB ，
∴ PA=60 ， PB=30 ，
∴ OP=OA+AP ＝ 30+60 ＝ 90 ，
∴点 P 、 Q 的运动时间为 90 秒，
∵ AB=90 ， OA ＝ 30 ，
∴ OB ＝ 120 ，
∴ BQ= OB=60 ，
∴点 Q 的路程为 CQ=CB+BQ ＝ 15+60 ＝ 75 ，
∴点 Q 是速度为 cm/ 秒；
②点 P 在线段 AB 延长线上时，
∵ AB=90 ， PA=2PB ，
∴ BP=90,AP=180,
∴ OP=OA+AP=30+180=210,
∴点 P 、 Q 的运动时间为 210 秒，
∵ AB=90 ， OA ＝ 30 ，
∴ OB ＝ 120 ，
∴ BQ= OB=60 ，
∴点 Q 的路程为 CQ=CB+BQ ＝ 15+60 ＝ 75 ，
∴点 Q 是速度为 cm/ 秒；
（ 3 ）如图所示：

∵ E 、 F 分别是 OP 、 AB 的中点，
∴ OE= OP= t ，
∴ OF=OA+ AB=30+45=75 ，
∴ .
【点睛】
本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题 .
19、 （ 1 ） ；（ 2 ）不发生变化， EF=11cm ．
【分析】
（ 1 ）依据 AB=20cm ， CD=2cm ， AC=4cm 可得 DB=14cm ，再根据 E 、 F 分别是 AC 、 BD 的中点，即可得到 CE= AC=2cm ， DF= DB=7cm ，进而得出 EF=2+2+7=11cm ；
（ 2 ）依据 E 、 F 分别是 AC 、 BD 的中点，可得 EC= AC ， DF= DB ，再根据 EF=EC+CD+DF 进行计算，即可得到 EF= × (20+2)=11cm ．
【详解】
（ 1 ） ∵ AB=20cm ， CD=2cm ， AC=4cm ，
∴ DB=14cm ，
∵ E 、 F 分别是 AC 、 BD 的中点，
∴ CE= AC=2cm ， DF= DB=7cm ，
∴ EF=2+2+7=11cm ，
故答案为： 11 ；
（ 2 ） EF 的长度不变．
∵ E 、 F 分别是 AC 、 BD 的中点，
∴ EC= AC ， DF= DB ，
∴ EF=EC+CD+DF
= AC+ CD+ DB
= (AC+DB)+CD
= (AB-CD)+CD
= (AB+CD) ，
∵ AB=20cm ， CD=2cm ，
∴ EF= × (20+2)=11cm ．
【点睛】
本题主要考查了两点间的距离，线段的中点的定义及线段的和差关系的运用，关键在于正确的识别图形，认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理．
20、 见解析
【详解】
试题分析：作出 A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置．
试题解析：作点 A 关于燃气管道的对称点 A′ ，连接 A′B 交燃气管道于点 P ，即点 P 即为所求．

21、 （ 1） AD= 6 ；（ 2 ） AE 的长为 3 或 5 ．
【解析】
（ 1 ）根据 AD=AC+CD ，只要求出 AC 、 CD 即可解决问题；
（ 2 ）根据 AE=AC-EC ，只要求出 CE 即可解决问题．
【详解】
解：（ 1 ） ∵ AB=8 ， C 是 AB 的中点，
∴ AC=BC=4 ，
∵ D 是 BC 的中点，
∴ CD= BC=2 ，
∴ AD=AC+CD=6 ；
（ 2 ） ∵ BC=4 ， CE= BC ，
∴ CE= ×4=1 ，
当 E 在 C 的左边时， AE=AC-CE=4-1=3 ；
当 E 在 C 的右边时， AE=AC+CE=4+1=5 ．
∴ AE 的长为 3 或 5 ．
【点睛】
本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22、 8cm
【分析】
根据 AC=AM+CM ，只要求出 AM 、 CM 即可．
【详解】
解： ∵ M 为线段 AB 的中点， AB=
∴ AM ＝ MB ＝ AB ＝ 6cm ，
∵ BC=2MC ，
∴ MC ＝ MB ＝ 2cm ，
∴ AC=AM+MC=8cm ．
【点睛】
本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
23、 （ 1 ） MN=7cm ；（ 2 ） MN= a ；结论：当 C 为线段 AB 上一点，且 M ， N 分别是 AC ， BC 的中点，则有 MN= AB ；（ 3 ） MN= b.
【分析】
（ 1 ）由中点的定义可得 MC 、 CN 长，根据线段的和差关系即可得答案；（ 2 ）根据中点定义可得 MC= AC ， CN= BC ，利用 MN=MC+CN ， ，即可得结论，总结描述即可；（ 3 ）点在 AB 的延长线上时，根据 M 、 N 分别为 AC 、 BC 的中点，即可求出 MN 的长度．
【详解】
（ 1 ） ∵点 M 、 N 分别是 AC 、 BC 的中点， AC=8 ， CB=6 ，
∴ MC= AC=4 ， CN= BC=3 ，
∴ MN=MC+CN=7cm.
（ 2 ） ∵点 M 、 N 分别是 AC 、 BC 的中点，
∴ MC= AC ， CN= BC ，
∵ AC+BC=AB=a ，
∴ MN=MC+CN= （ AC+BC ） = a.
综上可得结论：当 C 为线段 AB 上一点，且 M ， N 分别是 AC ， BC 的中点，则有 MN= AB.
（ 3 ）如图：当点 C 在线段 AB 的延长线时，则 AC ＞ BC ，
∵ M 是 AC 的中点，
∴ CM= AC ，
∵点 N 是 BC 的中点，
∴ CN= BC ，
∴ MN=CM-CN= （ AC-BC ） = b ．

【点睛】
本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．
24、 EC长是2厘米，AB：BE的值是1
【解析】
试题分析：（ 1）由题意知，B，C两点把线段AD分成4：5：7三部分，则令AB，BC，CD分别为4x厘米，5x厘米，7x厘米．根据CD=14厘米，得出x=2．根据E是线段AD的中点，可得ED= AD=16厘米，代入EC=ED﹣CD可求；
（ 2）分别求出AB，BE的长后计算AB：BE的值．
试题解析：设线段 AB，BC，CD分别为4x厘米，5x厘米，7x厘米，
∵CD=7x=14，
∴x=2．
（ 1）∵ AB=4x=8（厘米），BC=5x=10（厘米），
∴AD=AB+BC+CD=8+10+ 14=32（厘米）．
∵ E是线段AD的中点，
∴ED= AD=16厘米，
∴ EC=ED﹣CD=16﹣14=2（厘米）；
（ 2）∵ BC=10厘米，EC=2厘米，
∴ BE=BC﹣EC=10﹣2=8厘米，
又 ∵ AB=8厘米，
∴AB：BE=8：8=1．
答： EC长是2厘米，AB：BE的值是1．
点睛：此题主要考查了两点的间的距离，通过设适当的参数，由 CD=7x=14求出参数x=2后，再求出各线段的值，同时利用线段的中点把线段分成相等的两部分的性质．
25、 详见解析
【解析】
（ 1 ）分别以 B、C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线即可；
（ 2 ）以点 C 为圆心，任意长为半径作弧，与 CA、CB 交于两点，分别以这两点为圆心，以大于 这两点之间的线段长为半径作弧，两弧交于一点，过 C 和这一点做一条射线即可；
（ 3） 由于 △ PEF 的周长 =PF+PE+EF ，而 EF 是定值，故只需在 BC 上找一点 P ，使 PF+PE 最小，作出 F 关于 BC 的对称点为 F ′，连接 EF ′得出即可．
【详解】
解：（ 1）如图所示： DE 即为所求；（ 2）如图所示： CF 即为所求；（ 3）如图所示： P 点即为所求．

【点睛】
本题考查了角平分线的作法以及线段垂直垂直分线的作法以及轴对称中最短路线问题，解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
26、 8m ．
【分析】
此题重点在于根据题目的条件及图形进行线段的计算求解．
【详解】
解：由题意知， BC ＝ 4m ， AB ＝ 6m ，点 D 在线段 AB 上，此时 D 为线段 AB 的一个三等分点，即 AD ＝ AB ＝ 2m ，则 BD ＝ AB ﹣ AD ＝ 4m ，所以 CD ＝ BC + BD ＝ 8m ；
故线段 DC 的长为 8m ．
【点睛】
本题考查利用线段之间的倍数关系进行线段的计算，理清线段之间的关系是解题的关键，难度较低．
27、 (1)3 ， 6 ， 10 ； (2) ； (3)990
【分析】
（ 1 ）根据两点确定一条直线，画出直线即可；
（ 2 ）根据上面得到的规律用代数式表示即可；
（ 3 ）将 n=45 代入即可求解．
【详解】
（ 1 ）根据图形得：如图：（ 1 ）试验观察
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第 ①组最多可以画 3 条直线；
第 ②组最多可以画 6 条直线；
第 ③组最多可以画 10 条直线．
（ 2 ）探索归纳：
如果平面上有 n（n≥3） 个点，且每 3 个点均不在 1 条直线上，那么最多可以画 1+2+3+…+n-1= 条直线．（用含 n 的代数式表示）
（ 3 ）解决问题：
某班 45 名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握 1 次手问好，那么共握 次手．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，运用了从特殊到一般的数学思想，解题的关键是仔细的观察并找到其中的规律．
28、 （ 1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.
【解析】
（ 1 ）由 AC=AB+BC=3AB 可得；
（ 2 ）分三种情况： ① D 在 BC 之间时 ② D 在 AB 之间时 ③ D 在 A 点左侧时；
（ 3 ）分三种情况讨论： ① F 、 E 在 BC 之间， F 在 E 左侧 ② F 在 BC 之间， E 在 CP 之间 ③ F 、 E 在 BC 之间， F 在 E 右侧；
【详解】
（ 1 ） ∵ BC ＝ 60 ， AC ＝ AB+BC ＝ 3AB ，
∴ AB ＝ 30 ；
（ 2 ） ∵点 M 为 BD 中点，点 N 为 CD 中点，
∴ BM ＝ BD ， DN ＝ NC ，
① D 在 BC 之间时：

BC ＝ BD+CD ＝ 2MD+2DN ＝ 2MN ，
∴ ＝ 2 ；
② D 在 AB 之间时：

BC ＝ DC ﹣ DB ＝ 2DN ﹣ 2MB ＝ 2 （ BN+2MB ）﹣ 2MB ＝ 2BN+2MB ＝ 2MN ，
∴ ＝ 2 ；
③ D 在 A 点左侧时：

BC ＝ DN+NB ＝ MN+DN ﹣ NB ＝ MN+MB ﹣ NB ＝ MN+MN+NB ﹣ NB ＝ 2MN ，
∴ ＝ 2 ；
故 ＝ 2 ；
（ 3 ）点 E 是 AP 的中点，点 F 是 BC 的中点．
∴ AE ＝ EP ， BF ＝ CF ，
①

EF ＝ FC ﹣ EC ＝ BC ﹣ AC+AE ＝ （ AC ﹣ AB ）﹣ AC+AE ＝ AE ﹣ AB ＝ AC ，
BP ＝ AP ﹣ AB ＝ 2AE ﹣ AB ，
AC ﹣ BP ＝ AC ﹣ 2AE+AB ，
∴ ＝ 2 ．
②

EF ＝ BC+CE ＝ BC+AE ﹣ AC ＝ （ AC ﹣ AB ） +AE ﹣ AC ＝ AE ﹣ AB ﹣ AC ，
BP ＝ AP ﹣ AB ＝ 2AE ﹣ AB ，
AC ﹣ BP ＝ AC+AB ﹣ 2AE ，
∴ ＝ 2 ．
③

EF ＝ CE ﹣ CF ＝ CE ﹣ BC ＝ AC ﹣ AE ﹣ BC ＝ AC ﹣ AE ﹣ （ AC ﹣ AB ）＝ AC ﹣ AE+ AB ，
BP ＝ AP ﹣ AB ＝ 2AE ﹣ AB ，
∴ AC ﹣ BP ＝ AC+AB ﹣ 2AE ，
∴ ＝ 2 ．
【点睛】
本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
29、 （ 1 ） 5cm ；（ 2 ） 135 °．
【分析】
（ 1 ）根据中点所在线段的位置关系，先求中点所在线段的长度，再利用线段差的一半即得；
（ 2 ）根据三角成比例设未知，将 作为等量关系列出方程，解方程即可将有关角求出，最后利用角的和即可求出结果．
【详解】
（ 1 ） ∵ ， ．
∴ ， ．
又 ∵ 是 的中点， 是 的中点．
∴ ．
．
∴ ．
（ 2 ）设 ， ， ，则 ，
则 ∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
又 ∵ ， ∴ ，
∴ ， ∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查线段中点问题、角平分线问题，根据中点所在线段位置关系确定线段和与差的运算是关键点也是难点，确定角平分线的位置关系为等量关系是解决角的和与差问题的关键点也是难点．
30、 21cm
【分析】
先根据线段的和差求出 DC ，再根据线段中点的定义求出 AD ，再根据线段的和差即可求出结果．
【详解】
解： ∵ BD=DC+CB ，
∴ DC=BD － BC=15 － 9=6(cm) ，
又 ∵ D 是 AC 的中点，
∴ AD=DC=6(cm) ，
∴ AB=AD+BD=6+15=21(cm) ．
【点睛】
本题考查了线段中点的定义和线段的和差计算，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
31、 （ 1 ） 6 ； 6 ；（ 2 ）不发生改变， MN 为定值 6 ，过程见解析
【分析】
（ 1 ）由点 P 表示的有理数可得出 AP 、 BP 的长度，根据三等分点的定义可得出 MP 、 NP 的长度，再由 MN=MP+NP （或 MN=MP-NP ），即可求出 MN 的长度；
（ 2 ）分 -6 ＜ a ＜ 3 及 a ＞ 3 两种情况考虑，由点 P 表示的有理数可得出 AP 、 BP 的长度（用含字母 a 的代数式表示），根据三等分点的定义可得出 MP 、 NP 的长度（用含字母 a 的代数式表示），再由 MN=MP+NP （或 MN=MP-NP ），即可求出 MN=6 为固定值．
【详解】
解：（ 1 ）若点 P 表示的有理数是 0 （如图 1 ），则 AP=6 ， BP=3 ．

∵ M 是线段 AP 靠近点 A 的三等分点， N 是线段 BP 靠近点 B 的三等分点．
∴ MP= AP=4 ， NP= BP=2 ，
∴ MN=MP+NP=6 ；
若点 P 表示的有理数是 6 （如图 2 ），则 AP=12 ， BP=3 ．

∵ M 是线段 AP 靠近点 A 的三等分点， N 是线段 BP 靠近点 B 的三等分点．
∴ MP= AP=8 ， NP= BP=2 ，
∴ MN=MP-NP=6 ．
故答案为： 6 ； 6 ．
（ 2 ） MN 的长不会发生改变，理由如下：
设点 P 表示的有理数是 a （ a ＞ -6 且 a≠3 ）．
当 -6 ＜ a ＜ 3 时（如图 1 ）， AP=a+6 ， BP=3-a ．
∵ M 是线段 AP 靠近点 A 的三等分点， N 是线段 BP 靠近点 B 的三等分点．
∴ MP= AP= （ a+6 ）， NP= BP= （ 3-a ），
∴ MN=MP+NP=6 ；
当 a ＞ 3 时（如图 2 ）， AP=a+6 ， BP=a-3 ．
∵ M 是线段 AP 靠近点 A 的三等分点， N 是线段 BP 靠近点 B 的三等分点．
∴ MP= AP= （ a+6 ）， NP= BP= （ a-3 ），
∴ MN=MP-NP=6 ．
综上所述：点 P 在射线 AB 上运动（不与点 A ， B 重合）的过程中， MN 的长为定值 6 ．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，解题的关键是：（ 1 ）根据三点分点的定义找出 MP 、 NP 的长度；（ 2 ）分 -6 ＜ a ＜ 3 及 a ＞ 3 两种情况找出 MP 、 NP 的长度（用含字母 a 的代数式表示）．
32、 （ 1 ） ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）结合题意，通过 的关系计算，即可得到答案；
（ 2 ）结合（ 1 ）的结论，根据点 是线段 的中点，得到 ，再通过 的关系计算，即可得到答案．
【详解】
（ 1 ） ∵
又 ∵ ，
∴ ；
（ 2 ） ∵ 是 的中点
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查了线段的知识；解题的关键是熟练掌握线段的中点和线段和差的性质，从而完成求解．
33、 （ 1 ） 9 ；（ 2 ） a的值为10或-10；（ 3 ）见解析， c的值为 6 或
【分析】
（ 1 ）依据 |a-b|=15 ， a ， b 异号，即可得到 a 的值；
（ 2 ）分点 A 在原点左、右两侧两种情况讨论，依据 OA=2OB ，即可得到 a 的值；
（ 3 ）分点 C 在点 B 左、右两侧两种情况进行讨论，依据 O 为 AC 的中点， OB=3BC ，设未知数列方程即可得到所有满足条件的 c 的值．
【详解】
解：（ 1 ） ∵ b=-6 ， |a-b|=15 ，
∴ |a+6|=15 ，
∴ a+6=15 或 -15 ，
∴ a=9 或 -21 ，
∵点 A 和点 B 分别位于原点 O 两侧， b=-6 ，
∴ a ＞ 0 ，
∴ a=9 ，
故答案为： 9 ；
（ 2 ）当 A 在原点左侧时，点 A 表示的数为 a ，又 |a-b| ＝ 15 ，即 A ， B 两点间的距离为 15 ，
则可知 B 点对应的数为 a+15 ，如图，

由 OA ＝ 2OB 得， 2 （ a+15-0 ） =0-a ，解得 a=-10 ；
当 A 在原点右侧时，可知 B 点对应的数为 a-15 ，如图，

由 OA ＝ 2OB 得， ，解得， a=10 ．
综上所得： a=10 或 -10 ；
（ 3 ）满足条件的 C 有两种情况：
① 当点 C 在点 B 左侧时，如图，

设 BC=x ，由 O 为 AC 的中点， OB ＝ 3BC ，则 OC=OA=2x ，
∴ AB=x+2x+2x=15 ，解得 x=3 ，
∴ OC=2x=6 ，
故 c=6 ；
② 当点 C 在点 B 右侧时，如图，

设 BC=x ，由 O 为 AC 的中点， OB ＝ 3BC ，则 OB=3x ， OA=OC=4x ，
∴ AB=3x+4x=15 ，解得 x= ，
∴ OC=4x= ，
则 c = ,
综上所述， c 的值为 6 或 ．
【点睛】
此题考查了线段长度的计算，一元一次方程的应用和数轴上两点间距离的计算，用到的知识点是线段的中点，关键是根据线段的和差关系求出线段的长度．
34、 (1)10cm;(2)72cm
【分析】
(1) 用 AB 表示出 AC、AD, 然后根据 CD=AC-AD 求解即可．
(2) 由 AC＝ BC,AD＝ BD, 可得 AC＝ AB,AD＝ AB, 继而可得 :AD－AC＝ AB, 即 CD＝ AB, 由 CD＝14, 可得 14＝ AB.
【详解】
解：（ 1） ∵点 C 分线段 AB 为 5 ∶ 7, 点 D 分线段 AB 为 5 ∶ 11,

∴ AC＝ AB,AD＝ AB,
∴ AC－AD＝ AB ,即 CD＝ AB,
又 ∵ AB＝96,
∴ CD＝ （ cm）,
（ 2） ∵ AC＝ BC,AD＝ BD,

∴ AC＝ AB,AD＝ AB,
∴ AD－AC＝ AB ,即 CD＝ AB,
又 ∵ CD＝14,
∴ 14＝ AB,
即 AB＝ （ cm）.
【点睛】
本题考查了比较线段的和差倍分关系 , 解决本题的关键是要画出线段图 , 根据线段图列出方程进行求解 .
35、 （ 1 ） -4 ， 6-6t ；（ 2 ）点 P 运动 5 秒时，在点 C 处追上点 R ；（ 3 ）不变， MN =5
【分析】
（ 1 ）根据数轴表示数的方法得到 B 表示的数为 6-10 ， P 表示的数为 6-6t ；
（ 2 ）点 P 运动 t 秒时追上点 R ，由于点 P 要多运动 10 个单位才能追上点 R ，则 6t=10+4t ，然后解方程即可．
（ 3 ）分类讨论： ①当点 P 在点 A 、 B 两点之间运动时， ②当点 P 运动到点 B 的左侧时，利用中点的定义和线段的和差即可求出 MN ．
【详解】
解：（ 1 ） ∵ A 表示的数为 6 ，且 AB=10 ，
∴ B 表示的数为 6-10=-4 ，
∵ PA=6t ，
∴ P 表示的数为 6-6t ；
故答案为 -4 ， 6-6t ；
（ 2 ）设点 P 运动 x 秒时，在点 C 处追上点 R （如图）

则 AC=6x ， BC=4x ，
∵ AC-BC=AB ，
∴ 6x-4x=10 ，
解得： x=5 ，
∴点 P 运动 5 秒时，在点 C 处追上点 R ．
（ 3 ）线段 MN 的长度不发生变化，都等于 5 ．理由如下：
分两种情况：
①当点 P 在点 A 、 B 两点之间运动时：

MN=MP+NP= AP+ BP= （ AP+BP ） = AB=5 ；
②当点 P 运动到点 B 的左侧时：

MN=MP-NP= AP- BP= （ AP-BP ） = AB=5
【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、线段的中点等知识点，以及分类讨论的数学思想．
36、 （ 1）5；（2）18；（3）（3 － 9）km．
【解析】 （ 1 ）如图（ 1 ），设外接圆的圆心为 O ，连接 OA， OB， 根据已知条件可得 △ AOB 是等边三角形，由此即可得半径；
（ 2） 如图 （ 2） 所示，连接 MO 并延长交 ⊙ O 于 N ，连接 OP ，显然， MN 即为 MP 的最大值，根据垂径定理求得 OM 的长即可求得 MN 的最大值；
（ 3） 如图（ 3 ）所示，假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB、AC 的对称点 P´、P ＂连接 PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂ ，则 P´P ＂即为最短距离，其长度取决于 PA 的长度， 根据题意正确画出图形，得到点 P 的位置，根据等边三角形、勾股定理等进行求解即可得 PE＋EF＋FP 的最小值 .
【详解】（ 1 ）如图 （ 1） ，设外接圆的圆心为 O， 连接 OA， OB，
∵ O 是等腰三角形 ABC 的外心， AB=AC，
∴∠ BAO= ∠ OAC= ∠ BAC= =60°，
∵ OA=OB，
∴△ AOB 是等边三角形，
∴ OB=AB=5，
故答案为： 5；

（ 2） 如图 （ 2） 所示，连接 MO 并延长交 ⊙ O 于 N ，连接 OP，
显然， MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝ ＝ 5，MN＝18，
∴ PM 的最大值为 18；

（ 3） 如图（ 3 ）所示，假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB、AC 的对称点 P´、P ＂连接 PP´、P´E，PE，P＂F，PF，PP＂
由对称性可知 PE＋EF＋FP＝P´E＋EF＋FP＂＝P´P ＂，且 P´、E、F、P ＂在一条直线上，所以 P´P ＂即为最短距离，其长度取决于 PA 的长度 ，

如图（ 4）， 作出弧 BC 的圆心 O ，连接 AO ，与弧 BC 交于 P，P 点即为使得 PA 最短的点 ， ∵ AB＝6km，AC＝3km， ∠ BAC＝60°，
∴ ∆ABC 是直角三角形， ∠ ABC＝30°，BC＝3 ，
BC 所对的圆心角为 60°， ∴ ∆OBC 是等边三角形， ∠ CBO＝60°，BO＝BC＝3 ，
∴∠ ABO＝90°，AO＝3 ， PA＝3 － 3 ，
∠ P´AE＝ ∠ EAP， ∠ PAF＝ ∠ FAP＂，
∴∠ P´AP＂＝2 ∠ ABC＝120°，P´A＝AP＂，
∴∠ AP´E＝ ∠ AP＂F＝30°，
∵ P´P＂＝2P´Acos ∠ AP´E＝ P´A＝3 － 9，
所以 PE＋EF＋FP 的最小值为 3 － 9km．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键 .
37、 （ 1）-20，10-5t；（2） 线段 MN 的长度不发生变化，都等于 15．（3）13 秒或 17 秒
【分析】
(1) 根据已知可得 B 点表示的数为 10-30 ；点 P 表示的数为 10-5t；
(2) 分类讨论： ①当点 P 在点 A、B 两点之间运动时， ②当点 P 运动到点 B 的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出 MN．
(3) 分 ①点 P、Q 相遇之前， ②点 P、Q 相遇之后，根据 P、Q 之间的距离恰好等于 2 列出方程求解即可；
【详解】
解：（ 1） ） ∵点 A 表示的数为 10，B 在 A 点左边， AB=30，
∴ 数轴上点 B 表示的数为 10-30=-20；
∵动点 P 从点 A 出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t（t＞0 ）秒，
∴点 P 表示的数为 10-5t；
故答案为 -20，10-5t；
（ 2 ）线段 MN 的长度不发生变化，都等于 15 ．理由如下：
①当点 P 在点 A、B 两点之间运动时，

∵M 为线段 AP 的中点 ， N 为线段 BP 的中点 ，
∴MN=MP+NP= AP+ BP= （ AP+BP）= AB=15；
②当点 P 运动到点 B 的左侧时：

∵M 为线段 AP 的中点 ， N 为线段 BP 的中点 ，
∴MN=MP-NP= AP- BP= （ AP-BP）= AB=15，
∴综上所述，线段 MN 的长度不发生变化，其值为 15．
（ 3） 若点 P、Q 同时出发，设点 P 运动 t 秒时与点 Q 距离为 4 个单位长度．
①点 P、Q 相遇之前，
由题意得 4+5t=30+3t ，解得 t=13；
②点 P、Q 相遇之后，
由题意得 5t-4=30+3t ，解得 t=17．
答：若点 P、Q 同时出发， 13 或 17 秒时 P、Q 之间的距离恰好等于 4；
【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
38、 0.5cm.
【解析】
试题分析：根据线段 AB=8cm，E 为线段 AB 的中点，得到 所以 BC=BE−EC=4−3=1cm， 从而求得 AC=AB−BC=8−1=7cm， 又点 D 为线段 AC 的中点，所以 根据 即可解答．
试题解析：
∵线段 AB=8cm，E 为线段 AB 的中点，



∵点 D 为线段 AC 的中点，


39、 （ 1）4 ﹣ t；（2 ）当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直时 t 的值是 t=0 或 或 ；（ 3）S 与 t 的函数关系式为： S= ；（ 4）t 的值为 或 ．
【解析】
分析 ： （ 1）根据勾股定理求出AC的长，然后由AQ=AC-CQ求解即可；
（ 2） 当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直，有三种情况：当 Q 在 C 处， P 在 A 处时， PQ⊥BC； 当 PQ⊥AB 时 ； 当 PQ⊥AC 时 ； 分别求解即可 ；
（ 3） 当 P 在 AB 边上时，即 0≤t≤1 ，作 PG⊥AC 于 G ，或当 P 在边 BC 上时，即 1＜t≤3， 分别根据三角形的面积求函数的解析式即可 ；
（ 4） 当 △APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，有两种情况：①当P在边AB上时，作PG⊥AC于G，则AG=GQ ， 列方程求解 ； ②当P在边AC上时， AQ=PQ，根据勾股定理求解 .
详解： （ 1 ）如图 1，

Rt△ABC 中， ∠ A=30°，AB=8，
∴BC= AB=4，
∴AC= ，
由题意得： CQ= t，
∴AQ=4 ﹣ t；
（ 2 ）当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直，有三种情况：
①当 Q 在 C 处， P 在 A 处时， PQ⊥BC ，此时 t=0；
②当 PQ⊥AB 时，如图 2，

∵AQ=4 ﹣ t，AP=8t，∠A=30°，
∴cos30°= ，
∴ ，
t= ；
③当 PQ⊥AC 时，如图 3，

∵AQ=4 ﹣ t，AP=8t，∠A=30°，
∴cos30°= ，
∴
t= ；
综上所述，当点 P 在 AB 边上运动时， PQ 与 △ ABC 的一边垂直时 t 的值是 t=0 或 或 ；
（ 3 ）分两种情况：
①当 P 在 AB 边上时，即 0≤t≤1 ，如图 4 ，作 PG⊥AC 于 G，

∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，
∴PG=4t，
∴S △APQ = AQ•PG= （ 4 ﹣ t）•4t=﹣2 t 2 +8 t；
②当 P 在边 BC 上时，即 1＜t≤3 ，如图 5，

由题意得： PB=2（t﹣1），
∴PC=4﹣2（t﹣1）=﹣2t+6，
∴S △APQ = AQ•PC= （ 4 ﹣ t）（﹣2t+6）= t 2 ；
综上所述， S 与 t 的函数关系式为： S= ；
（ 4 ）当 △ APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形时，有两种情况：
①当 P 在边 AB 上时，如图 6，

AP=PQ ，作 PG⊥AC 于 G ，则 AG=GQ，
∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，
∴PG=4t，
∴AG=4 t，
由 AQ=2AG 得： 4 ﹣ t=8 t，t= ，
②当 P 在边 AC 上时，如图 7，AQ=PQ，

Rt△PCQ 中，由勾股定理得： CQ 2 +CP 2 =PQ 2 ，
∴ ，
t= 或﹣ （舍），
综上所述， t 的值为 或 ．
点睛：此题主要考查了三角形中的动点问题，用到勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数等知识，是一道比较困难的综合题，关键是合理添加辅助线，构造合适的方程求解 .
40、 （ 1 ） ① ； ② ; （ 2 ） 或 或 或
【分析】
（ 1 ）由线段的和差关系，以及 QB=2PC ， BC=2AC ，即可求解；
（ 2 ）设 AC=x ，则 BC=2x ， ∴ AB=3x ， D 点分四种位置进行讨论， ①当 D 在 A 点左侧时， ②当 D 在 AC 之间时， ③当 D 在 BC 之间时， ④当 D 在 B 的右侧时求解即可．
【详解】
解：（ 1 ） ① AP=AC-PC ， CQ=CB-QB ，
∵ BC=2AC ， P 、 Q 速度分别为 1cm/s 、 2cm/s ，
∴ QB=2PC ，
∴ CQ=2AC-2PC=2AP ，
∴
②设运动 秒
，
分两种情况
A: 在 右侧，
， 分别是 ， 的中点
， ，

∴
B: 在 左侧，
， 分别是 ， 的中点
， ，

∴
（ 2）∵BC=2AC．
设 AC=x，则BC=2x，
∴AB=3x，
①当D在A点左侧时，
|AD-BD|=BD-AD=AB= CD，
∴CD=6x，
∴ ；
②当D在AC之间时，
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x+CD-x+CD= CD，
x=- CD（不成立），
③当D在BC之间时，
|AD-BD|=AD-BD= CD，
∴x+CD-2x+CD= CD，
CD= x，
∴ ；
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x-CD-x-CD= CD，
∴ CD=
；
④当D在B的右侧时，
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x-CD-x-CD= CD，
CD=6x，
∴ ．
综上所述， 的值为 或 或 或
【点睛】
题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键．
41、 （ 1 ） 9 ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）根据点 M 、 N 中点的特点，得到 MC 、 CN 与 AC 、 CB 的关系，在结合 MN=MC+CN ，利用整体法，可推导出 MN 的长度；
（ 2 ）结合 AC 、 CB 分别为 a 、 b ，并利用点 D 是 AB 的中点，将图中线段都用 a 、 b 表示出来，经过计算，可求得 CD 的长
【详解】
解：（ 1 ） ∵点 M 、 N 分别是 AC 、 BC 的中点
∴ MC= , CN=
又 ∵ MN=MC+CN, AC=8cm,  CB=10cm
∴ MN=
（ 2 ） ∵点 D 是 AB 的中点 ,AC=a,CB=b
∴ AD=
又 ∵ AC=a
∴ CD=AD-AC=
【点睛】
本题考查了数形结合的能力，解题关键在于 2 点：
（ 1 ）利用整体法，可将某些不易表达出来的线段整体处理；
（ 2 ）利用方程思想，将线段都用字母表示出来，通过计算来求解线段关系
42、 （ 1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析
【分析】
（ 1 ）根据射线的定义作图即可；
（ 2 ）根据线段的定义作图即可；
（ 3 ）反向延长线段 （即延长线段 CB ），作 即可；
（ 4 ）根据两点之间线段最短可得，连接 AC 与直线 l 相交于 E ．
【详解】
解：（ 1 ）作射线 AB 如下；
（ 2 ）作线段 BC 如下；
（ 3 ）如下图 BD=BC ，且 D 点在 BC 的反向延长线上；
（ 4 ） E 点的位置如下．

【点睛】
本题考查根据语句描述画直线、射线、线段，两点之间线段最短和作一条线段等于已知线段．（ 1 ）中需注意射线的延伸方向；（ 2 ）中需注意线段有两个端点，且两端不延伸；（ 3 ）中会利用尺规作一条线段等于已知线段是解题关键；（ 4 ）中理解两点之间线段最短是解题关键．
43、 21cm
【解析】
根据已知条件求出 AB 和 BC 的长，根据线段中点求出 CD ，即可求出 AD ．
【详解】
解： ∵ AC=12cm，AB= BC，
∵ AB= AC=3cm，BC=12cm﹣3cm=9cm，
∵点 C 是 BD 的中点，
∴ CD=BC=9cm，
∴ AD=AB+BC+CD=3cm+9cm+9cm=21cm．
故答案为： 21cm ．
【点睛】
本题考查两点间的距离．
44、 PC=1．
【分析】
根据比例设 MB=2x，BC=3x，CN=4x ，再根据线段中点的定义表示出 MP 并求出 x ，再根据 PC= MC ﹣ MP 列方程代入 x 的值，从而得解．
【详解】
解：设 MB=2x ，则 BC=3x，CN=4x，
因为 P 是 MN 中点，
所以 MP= MN= ×（2x+3x+4x）= x=9．
解得 x=2，
∴PC=MC﹣MP=2x+3x﹣ x=0.5x=1．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，解题的关键是熟练的掌握线段中点与点的等量关系 .
45、 （ 1）4cm；（2）8cm．
【解析】
根据 AC：CD：DB=1：2：3 ，可设三条线段的长分别是 x、2x、3x ，表示出 AC，CD，DB 的长，再根据线段的中点的概念，表示出线段 CD，DN 的长，进而计算出线段 MN 的长．
【详解】
（ 1） ∵ AC：CD：DB=1：2：3
AC+CD+DB=AB=12cm，
∴ CD= AB=4cm；
（ 2） ∵ AC：CD：DB=1：2：3，AB=12cm，
∴ AC=2cm，CD=4cm，DB=6cm，
∵ M、N 分别为 AC、DB 的中点，
∴ MC= AC=1cm，DN= BD=3cm，
∴ MN=MC+CD+DN=8cm．
【点睛】
本题考查的知识点是比较线段的长短，解题关键是利用中点性质转化线段之间的倍分关系
46、 （ 1）30 秒；（ 2） 或 ；（ 3）2.
【解析】
（ 1 ）设经过 ts ， PQ 两点相遇，则 t+2t=90 ，解得 t=30s ，所以经过 30s 后两点相遇
（ 2 ）因为 AB=60 ， PA=2PB, 所以 PA=40 ， PB=20 ， OP=60
所以点 P,Q 的运动时间为 60s
因为 AB=60 ， AB=20,
所以 QB=20 或 40
所以 Q 的运动速度为 cm/s 或 cm/s
（ 3 ）设运动时间为 ts ，所以 OE= OP= t
OF=OA+ AB=20+30=50
所以 =2
三、填空题
1、 16或24
【解析】
根据线段的和、差及中点定义并利用分类讨论思想即可得出答案 .
解：有三种情况：
①当点 D 在线段 AB 上时，如图所示， MN≠10 ，与已知条件不符，故此种情况不成立；

②当点 D 在线段 AB 的延长线上时，如图所示，

∵ M 是 AB 的中点， AB=12，
∴ AM＝6，
∵ AC=8，
∴ MC=2,
∵ MN=10，
∴ CN=MN-MC=10-2=8，
∵ N 是 CD 的中点，
∴ CD=16,
∴ AD=CD+AC=16+8=24;
②当点 D 在线段 AB 的反向延长线上时，如图所示，

∵ M 是 AB 的中点， AB=12，
∴ AM＝6，
∵ AC=8，
∴ MC=2,
∵ MN=10，
∴ CN=MN+MC=10+2=12，
∵ N 是 CD 的中点，
∴ CD=24,
∴ AD=CD-AC=24-8=16.
故线段 AD 的长为 16 或 24.
点睛：本题主要考查线段和、差及中点定义，利用分类讨论思想正确作图是解题的关键 .
2、 5cm
【分析】
作 M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，则OP=OM=10 cm， QM=PQ，∠PNO=90°，根据含30°角的直角三角形性质求出PN即可．
【详解】
解：作 M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，

∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，
∴OA、OB关于OC对称，
∴P点在OB上，
∴OP=OM=10 cm ， QM=PQ，∠PNO=90°，
∵PN= OP= ×10=5 cm ，
∴QM+QN=PQ+QN=PN=5 cm ，
故答案为 5 cm ．
【点睛】
本题考查了含 30度角的直角三角形性质，轴对称以及最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定Q、N的位置 ．
3、 1cm
【解析】
根据 、 两点将线段 分成 三部分，设 ，然后表示出 ，再根据 ，求得 x 的值，进而求出 AB 的长；再计算出 AE 的长，然后利用 AD ﹣ AE 可得 DE 长 .
【详解】
解：设
∵
∴
解得：
∴
∵ 为线段 的中点
∴

故答案为： 1cm
【点睛】
本题考点为两点之间的距离，熟练掌握线段的性质是解答本题的关键 .
4、 1
【分析】
先根据中点定义求 BC 的长，再利用线段的差求 CD 的长．
【详解】
解： ∵ C 为 AB 的中点， AB ＝ 8cm ，
∴ BC ＝ AB ＝ ×8 ＝ 4 （ cm ），
∵ BD ＝ 3cm ，
∴ CD ＝ BC ﹣ BD ＝ 4 ﹣ 3 ＝ 1 （ cm ），
则 CD 的长为 1cm ；
故答案为： 1 ．
【点睛】
此题主要考查线段的长度，解题的关键是熟知线段长度的运算关系 .
5、 40°
【解析】
作 P 关于 OA，OB 的对称点 P 1 ， P 2 ．连接 OP 1 ， OP 2 ．则当 M，N 是 P 1 P 2 与 OA，OB 的交点时， △ PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得： ∠ OP 1 M= ∠ OPM=50°，OP 1 =OP 2 =OP ，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
如图：作 P 关于 OA，OB 的对称点 P 1 ， P 2 ．连接 OP 1 ， OP 2 ．则当 M，N 是 P 1 P 2 与 OA、OB 的交点时， △ PMN 的周长最短，连接 P 1 O、P 2 O，
∵ PP 1 关于 OA 对称，
∴∠ P 1 OP=2 ∠ MOP，OP1=OP，P 1 M=PM， ∠ OP 1 M= ∠ OPM=50°
同理， ∠ P 2 OP=2 ∠ NOP，OP=OP 2 ，
∴∠ P 1 OP 2 = ∠ P 1 OP+ ∠ P 2 OP=2（ ∠ MOP+ ∠ NOP）=2 ∠ AOB，OP 1 =OP 2 =OP，
∴△ P 1 OP 2 是等腰三角形．
∴∠ OP 2 N= ∠ OP 1 M=50°，
∴∠ P 1 OP 2 =180°-2×50°=80°，
∴∠ AOB=40°，

故答案为： 40°
【点睛】
本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得 △ P 1 OP 2 是等腰三角形是解题的关键．
6、 14
【分析】
线段 AB 被点 C ， D 分成 2 ： 4 ： 7 三部分，于是设 AC=2x ， CD=4x ， BD=7x ，由于 M ， N 分别是 AC ， DB 的中点，于是得到 CM= AC=x ， DN= BD= x ，根据 MN=17cm 列方程，即可得到结论．
【详解】
解： 线段 被点 ， 分成 三部分，
设 ， ， ，
， 分别是 ， 的中点，
， ，
，
，
，
．
故答案为： 14 ．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
7、
【分析】
由等腰三角形的三线合一可得出 AD 垂直平分 BC ，过点 B 作 BQ ⊥ AC 于点 Q ， BQ 交 AD 于点 P ，则此时 PC+PQ 取最小值，最小值为 BQ 的长，在 △ ABC 中，利用面积法可求出 BQ 的长度，此题得解．
【详解】
∵ AB ＝ AC ， AD 是 ∠ BAC 的平分线，
∴ AD 垂直平分 BC ，
∴ BP ＝ CP ．
如图，过点 B 作 BQ ⊥ AC 于点 Q ， BQ 交 AD 于点 P ，则此时 PC+PQ 取最小值，最小值为 BQ 的长，

∵ S △ ABC ＝ BC•AD ＝ AC•BQ ，
∴ BQ ＝ ＝ ，
即 PC+PQ 的最小值是 ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8、 5或
【解析】
解：设线段 AB 未运动时点 P 所表示的数为 x，B 点运动时间为 t ，则此时 C 点表示的数为 16﹣2t，D 点表示的数为 20﹣2t，A 点表示的数为﹣ 10+6t，B 点表示的数为﹣ 8+6t，P 点表示的数为 x+6t，∴BD=20﹣2t﹣（﹣8+6t）=28﹣8t，AP=x+6t﹣（﹣10+6t）=10+x，PC=|16﹣2t﹣（x+6t）|=|16﹣8t﹣x|，PD=20﹣2t﹣（x+6t）=20﹣8t﹣x=20﹣（8t+x），∵ =3，∴BD﹣AP=3PC，∴28﹣8t﹣（10+x）=3|16﹣8t﹣x| ，即： 18﹣8t﹣x=3|16﹣8t﹣x|．
① 当 C 点在 P 点右侧时， 18﹣8t﹣x=3（16﹣8t﹣x）=48﹣24t﹣3x，∴x+8t=15，∴PD=20﹣（8t+x）=20﹣15=5；
② 当 C 点在 P 点左侧时， 18﹣8t﹣x=﹣3（16﹣8t﹣x）=﹣48+24t+3x，∴x+8t= ， ∴PD=20﹣（8t+x）=20﹣ =3.5；
∴PD 的长有 2 种可能，即 5 或 3.5．
点睛：本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意要进行分情况讨论，不要漏解．
9、 ①②④
【解析】 （ 1 ）根据非负数的和为 0 ，各项都为 0；
（ 2 ）应考虑到 A、B、P 三点之间的位置关系的多种可能解题；
（ 3） (4) 利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出．
【详解】
（ 1）∵|a+2|+（b-1） 2 =0，
∴a=-2，b=1，
∴AB=|a-b|=3 ，即线段 AB的长度为 3．
（ 2）当P在点A左侧时，
|PA|-|PB|=-（|PB|-|PA|）=-|AB|=-3≠2．
当 P在点B右侧时，
|PA|-|PB|=|AB|=3≠2．
∴上述两种情况的点P不存在．
当 P在A、B之间时， -2≤x≤1，
∵|PA|=|x+2|=x+2，|PB|=|x-1|=1-x，
∴ 由 |PA|-|PB|=2 ，得 x+2 -（1-x）=2．
∴解得： x=0.5；
（ 3）由已知可得出：PM= PA，PN= PB，
|PM|+|PN|= （ PA+PB）= PA+ AB
所以， |PM|+|PN|的值随P的位置变化而变化.
(4) 在（3）条件下， |PN|﹣|PM|= PB- PA= （ PB-PA）= AB=
综合上述， ①②④ 说法正确 .
故答案为 ①②④.
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
10、 80 或 40
【解析】
本题没有给出图形 ， 在画图时 ， 应考虑到绳子对折成线段 AB 时 ， 哪一点是绳子的端点或者哪一点是绳子的对折点的多种可能 ， 再根据题意正确地画出图形解题 ．
【详解】
本题有两种情形 ：
（ 1 ）当点 A 是绳子的对折点时 ， 将绳子展开如图， ∵ AP PB， 剪断后的各段绳子中最长的一段为 30cm，∴BP=30cm，AP=10cm， ∴绳子的原长 =2AB=80cm；

（ 2 ）当点 B 是绳子的对折点时 ， 将绳子展开如图， ∵ AP PB， 剪断后的各段绳子中最长的一段为 30cm，∴2BP=30cm，∴BP=15cm，AP=5cm， ∴绳子的原长 =2AB=40cm．

故答案为 80 或 40．
【点睛】
在画图类问题中 ， 正确画图很重要 ， 本题渗透了分类讨论的思想 ， 体现了思维的严密性 ， 在今后解决类似的问题时 ， 要防止漏解 ．
11、 14
【分析】
如图，作点 A 关于 CM 的对称点 A′ ，点 B 关于 DM 的对称点 B′ ，证明 △ A′MB′ 为等边三角形，即可解决问题．
【详解】
解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为 ，
故答案为 ．

【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题
12、 两点确定一条直线．
【解析】
依据两点确定一条直线来解答即可．
【详解】
解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故答案为两点确定一条直线．
【点睛】
本题考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题关键．
13、 4
【分析】
利用角平分线定理确定当 BF ⊥ AC 时， PB+PE 的值最小，再利用三角形面积公式，即可求得 .
【详解】

如图， ∵ AB = AC = 8 ， AD 平分
∴
∴当 BF ⊥ AC 时， PB+PE 的值最小 =BF

∴ BF=4
∴ PB+PE 的最小值为 4.
【点睛】
本题考查了轴对称 - 最短路径问题，也可以用角平分线定理考虑，找到 PE+PB 最小值的情况并画出图形，是解题的关键 .
14、
【分析】
先根据线段的倍分、线段中点定义可得 ，从而可得 ，由此可得出 AD 的长，再根据 AD 的长可求出 BC 的长，然后根据线段的和差即可得 CM 的长．
【详解】
、 两点把线段 分成 三部分，
，
为 的中点，
，
，
又 ，
，
，
，
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查了线段的和差倍分、线段中点的定义，熟练掌握线段的运算是解题关键．
15、
【分析】
如图，在 CB 上取一点 F ，使得 CF=2 ，连接 CD ， AF ．由 △ FCD ∽△ DCB ，推出
，推出 DF= BD ，推出 BD+AD=DF+AF ，根据 DF+AD≥AF 即可解决问题；
【详解】
如图，在 CB 上取一点 F ，使得 CF ＝ 2 ，连接 CD ， AF ．

∴ CD ＝ 4 ， CF ＝ 2 ， CB ＝ 8 ，
∴ CD 2 ＝ CF • CB ，
∴
∵∠ FCD ＝ ∠ DCB ，
∴△ FCD ∽△ DCB ，
∴
∴ DF ＝ BD ，
∴ BD + AD ＝ DF + AF ，
∵ DF + AD ≥ AF ，
∴ BD + AD 的最小值是 2
故答案为 2 ．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
16、
【分析】
根据矩形 ABCD 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ，可得 AC ＝ 5 ，由 AE ＝ 可得点 F 是边 BC 上的任意位置时，点 C 始终在 AC 的下方，设点 G 到 AC 的距离为 h ，要使四边形 AGCD 的面积的最小，即 h 最小．所以点 G 在以点 E 为圆心， BE 为半径的圆上，且在矩形 ABCD 的内部．过点 E 作 EH ⊥ AC ，交圆 E 于点 G ，此时 h 最小．根据锐角三角函数先求得 h 的值，再分别求得三角形 ACD 和三角形 ACG 的面积即可得结论．
【详解】
解：如图，连接 AC ，

在矩形 ABCD 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ，
∠ B ＝ ∠ D ＝ 90° ，
∴ AC ＝ 5 ，
∵ AB ＝ 3 ， AE ＝ ，
∴点 F 是边 BC 上的任意位置时，点 G 始终在 AC 的下方，
设点 G 到 AC 的距离为 h ，
S 四边形 AGCD ＝ S △ ACD +S △ ACG
＝ 3×4+ ×5h ，
＝ 6+ h ．
要使四边形 AGCD 的面积的最小，即 h 最小．
∵点 G 在以点 E 为圆心， BE 为半径的圆上，且在矩形 ABCD 的内部．
过点 E 作 EH ⊥ AC ，交圆 E 于点 G ，此时 h 最小．

在 Rt △ ABC 中， sin ∠ BAC ＝ ，
在 Rt △ AEH 中， AE ＝ ，
sin ∠ BAC ＝ ，
解得 EH ＝ AE ＝ ，
EG ＝ BE ＝ AB ﹣ AE ＝ 3 ﹣ ，
∴ h ＝ EH ﹣ EG ＝ ﹣（ 3 ﹣ ）＝ ﹣ 3 ．
∴ S 四边形 AGCD ＝ 6+ × （ ﹣ 3 ）
＝ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，解决本题的关键是确定满足条件的点 G 的位置，运用相似、锐角三角函数等知识解决问题．
17、 5
【解析】
先根据四等分点的定义求出 AB=4BC=8， 由 AC=AB-BC 求出 AC8-2=6 ，再根据中点的定义可得 CD= AC =3 ，而 BD=CD+BC =3+2=5．
故答案为： 5．
点睛 ： 此题主要考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段 CD 的长是解决本题的突破点．
18、 1 或 7
【分析】
分点 C 在线段 AB 上和点 C 在线段 AB 的延长线上两种情况讨论，根据线段中点的定义，利用线段的和差关系求出 MN 的长即可得答案 .
【详解】
①如图，当点 C 在线段 AB 上时，
∵ M 、 N 分别是 AB 、 BC 的中点， AB=8 ， BC=6 ，
∴ BM= AB=4 ， BN= BC=3 ，
∴ MN=BM-BN=1 ，

②如图，当点 C 在线段 AB 的延长线上时，
∵ M 、 N 分别是 AB 、 BC 的中点， AB=8 ， BC=6 ，
∴ BM= AB=4 ， BN= BC=3 ，
∴ MN=BM+BN=7

∴ MN 的长是 1 或 7 ，
故答案为： 1 或 7
【点睛】
本题考查线段中点的定义及线段的计算，熟练掌握中点的定义并灵活运用分类讨论的思想是解题关键 .
19、 3 或 13
【分析】
本题没有给出图形，在画图时，应考虑到 A、B、C 三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．同时利用中点性质转化线段之间的倍分关系
【详解】
当点 C 在 AB 中间时，如图， AC=AB-BC=16-10=6，AM= AC=3cm，
当点 C 在 AB 的外部时， AC=AB+BC=16+10=26，AM= AC=13．

故答案为 3 或 13．
【点睛】
在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
20、
【解析】
根据线段中点的性质计算即可 CB 的长，结合图形、根据线段中点的性质可得 CN 的长，进而得出 PN 的长．
【详解】
∵ AP=AC+CP ， CP=1 ，
∴ AP=3+1=4 ，
∵ P 为 AB 的中点，
∴ AB=2AP=8 ，
∵ CB=AB-AC ， AC=3 ，
∴ CB=5 ，
∵ N 为 CB 的中点，
∴ CN= BC= ，
∴ PN=CN-CP= ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段的中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
21、 6．
【解析】
解 ： CD=DB﹣BC=7﹣4=3cm，AC=2CD=2 × 3=6cm． 故答案为 6．