试卷 初中数学2021年初专题练——平行线及其判定训练题（一）【含详解】100道

这是一份试卷 初中数学2021年初专题练——平行线及其判定训练题（一）【含详解】100道，共91页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
初中数学2021年初专题练——平行线及其判定训练题（一）【含详解】
姓名：__________ 班级：__________考号：__________

一、选择题（共46题）
1、 如图，下列能判定 AB ∥ EF 的条件有 (    )
①∠ B ＋ ∠ BFE ＝ 180° ； ②∠ 1 ＝ ∠ 2 ； ③∠ 3 ＝ ∠ 4 ； ④∠ B ＝ ∠ 5.

A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
2、 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，下列条件中，不能判定 a ∥ b（　　）

A ． ∠ 2= ∠ 4 B ． ∠ 1+ ∠ 4=180° C ． ∠ 5= ∠ 4 D ． ∠ 1= ∠ 3
3、 如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 ( )

A ． 同位角相等，两直线平行 B ． 内错角相等，两直线平行
C ． 同旁内角互补，两直线平行 D ． 两直线平行，同位角相等
4、 如下图，下列条件中： ①∠ B+ ∠ BCD=180° ； ②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠ B= ∠5，能判定 AB ∥ CD 的条件为（　　）

A ． ①②③④ B ． ①②④ C ． ①③④ D ． ①②③
5、 在同一平面内，设 a、b、c 是三条互相平行的直线，已知 a 与 b 的距离为 4cm，b 与 c 的距离为 1cm ，则 a 与 c 的距离为（　　）
A ． 1cm B ． 3cm C ． 5cm 或 3cm D ． 1cm 或 3cm
6、 如下图，在下列条件中，能判定 AB//CD 的是 (   )

A ． ∠ 1= ∠ 3 B ． ∠ 2= ∠ 3 C ． ∠ 1= ∠ 4 D ． ∠ 3= ∠ 4
7、 下列命题中，真命题的个数是（　　）
①同位角相等；② a ， b ， c 是三条直线，若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ⊥ c; ③ a ， b ， c 是三条直线，若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个
8、 如图，下列条件中，能判断 AB ∥ CD 的是 (   )

A ． ∠ FEC ＝ ∠ EFB B ． ∠ BFC+ ∠ C ＝ 180°
C ． ∠ BEF ＝ ∠ EFC D ． ∠ C ＝ ∠ BFD
9、 如图，直线 l 1 ∥l 2 ， ∠α＝∠β，∠1＝50°，则∠2的度数为(   )

A ． 130° B ． 120° C ． 115° D ． 100°
10、 下列条件中不能判定 AB ∥ CD 的是 ( )

A ． ∠ 1 ＝ ∠ 4 B ． ∠ 2 ＝ ∠ 3 C ． ∠ 5 ＝ ∠ B D ． ∠ BAD+ ∠ D ＝ 180 °
11、 如图，下列条件： 中能判断直线 的有 (  )

A ． 5 个 B ． 4 个 C ． 3 个 D ． 2 个
12、 如图，点 E 在 CD 的延长线上，下列条件中不能判定 AB ∥ CD 的是（　　）

A ． ∠ 1= ∠ 2 B ． ∠ 3= ∠ 4 C ． ∠ 5= ∠ B D ． ∠ B + ∠ BDC=180 °
13、 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 a∥b 的是 (  )

A ． ∠ 1 ＝ ∠2 B ． ∠ 2 ＝ ∠4
C ． ∠ 3 ＝ ∠4 D ． ∠ 1 ＋ ∠4 ＝ 180 °
14、 如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（　　）

A ． ∵∠ 1 ＝ ∠ 3 ， ∴ AB ∥ CD （内错角相等，两直线平行）
B ． ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 3 （两直线平行，内错角相等）
C ． ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ BAD+ ∠ ABC ＝ 180° （两直线平行，同旁内角互补）
D ． ∵∠ DAM ＝ ∠ CBM ， ∴ AB ∥ CD （两直线平行，同位角相等）
15、 如图，下列条件中能得到 AB ∥ CD 的是 (   )

A ． B ． C ． D ．
16、 如图，点 E 在 BC 的延长线上，下列条件不能判定 AB ∥ CD 的是 (    )

A ． ∠ 3 ＝ ∠ 4 B ． ∠ B ＝ ∠ DCE C ． ∠ 4 ＝ ∠ 2 D ． ∠ D + ∠ DAB ＝ 180 °
17、 在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A ． 平行或垂直 B ． 相交或垂直 C ． 平行或相交 D ． 不能确定
18、 如图，若 AB∥CD ，则 α 、 β 、 γ 之间的关系为 ( )

A ． α+β+γ=360° B ． α ﹣ β+γ=180°
C ． α+β ﹣ γ=180° D ． α+β+γ=180°
19、 下列命题中，是真命题的是（ ）
A ． 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
B ． 相等的角是对顶角
C ． 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D ． 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
20、 在下列命题中，为真命题的是（ ）
A ． 相等的角是对顶角 B ． 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C ． 同旁内角互补 D ． 垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
21、 如图，在下列四组条件中，不能判断 AB ∥ CD 的是（　　）

A ． ∠ 1 ＝ ∠ 2 B ． ∠ 3 ＝ ∠ 4
C ． ∠ ABD ＝ ∠ BDC D ． ∠ ABC+ ∠ BCD ＝ 180°
22、 下列说法正确的是（　　）
A ． 同位角相等 B ． 在同一平面内，如果 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ⊥ c
C ． 相等的角是对顶角 D ． 在同一平面内，如果 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c
23、 已知直线 a 、 b 、 c 在同一平面内，则下列说法错误的是 ( )
A ． 如果 a ∥ b ， b ∥ c ，那么 a ∥ c
B ． a ⊥ b ， c ⊥ b ，那么 a ∥ c
C ． 如果 a 与 b 相交， b 与 c 相交，那么 a 与 c 一定相交
D ． 如果 a 与 b 相交， b 与 c 不相交，那么 a 与 c 一定相交
24、 如图，下列条件中，不能判定 的是（ ）

A ． B ．
C ． D ．
25、 如图，直线 a ， b 被直线 c 所截，下列条件中，不能判定 a ∥ b 的是（　　）

A ． ∠ 2 ＝ ∠ 5 B ． ∠ 1 ＝ ∠ 3 C ． ∠ 5 ＝ ∠ 4 D ． ∠ 1+ ∠ 5 ＝ 180°
26、 下列说法中正确的是（ ）
A ． 在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直
B ． 有且只有一条直线垂直于已知直线
C ． 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D ． 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
27、 如图， ，要使 ，则 的大小是（ ）

A ． B ． C ． D ．
28、 如图，已知 ∠ 1= ∠ 2 ，其中能判定 AB ∥ CD 的是 （ ）
A ． B ．
C ． D ．
29、 如图，在下列四个条件中，能说明 AB ∥ CD 的是（ ）

A ． B ．
C ． D ．
30、 如图，点 E 在 CD 延长线上，下列条件中不能判定 AC∥BD 的是 ( )

A ． ∠1=∠2 B ． ∠3=∠4 C ． ∠5=∠C D ． ∠C+∠BDC=180
31、 下列说法不正确的是 ( )
A ． 若两个相等的角有一组边平行 , 则另一组边也平行
B ． 两条直线相交 , 所成的两组对顶角的平分线互相垂直
C ． 两条平行线被第三条直线所截 , 同旁内角的平分线互相垂直
D ． 经过直线外一点 , 有且只有一条直线与已知直线平行
32、 如图 , 有以下四个条件： ①∠ B+ ∠ BCD=180 ° , ②∠ 1= ∠ 2, ③∠ 3= ∠ 4, ④∠ B= ∠ 5. 其中不能判定 AB ∥ CD 的条件是 (   )

A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④
33、 如图所示，点 E 在 AB 的延长线上，下列条件中不能判断 AB // CD 的是 (   )

A ． ∠ 1 ＝ ∠ 2 B ． ∠ 3 ＝ ∠ 4 C ． ∠ C ＝ ∠ CBE D ． ∠ C +∠ ABC ＝ 180 °
34、 如图所示：若 m ∥ n ， ∠ 1=105 °，则∠ 2= （ ）

A ． 55 ° B ． 60 ° C ． 65 ° D ． 75 °
35、 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系必是 (　　)
A ． 相交 B ． 平行 C ． 相交或平行 D ． 垂直
36、 下列说法正确的是 (　　)
A ． 经过一点有无数条直线与已知直线平行
B ． 在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行
C ． 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D ． 以上说法都不正确
37、 如图，下列四个条件中，能判定 DE ∥ AC 的是 (    )

A ． ∠ 3 ＝ ∠ 4 B ． ∠ 1 ＝ ∠ 2 C ． ∠ EDC ＝ ∠ EFC D ． ∠ ACD ＝ ∠ AFE
38、 如图，能判断 AB ∥ CE 的条件是（　　）

A ． ∠ A ＝ ∠ ECD B ． ∠ A ＝ ∠ ACE C ． ∠ B ＝ ∠ BCA D ． ∠ B ＝ ∠ ACE
39、 如图， △ABC 中， AH⊥BC ， BF 平分 ∠ABC ， BE⊥BF ， EF∥BC ，以下四个结论： ①AH⊥EF ， ②∠ABF=∠EFB ， ③AC∥BE ， ④∠E=∠ABE ，正确的是 (  )

A ． ①②③④ B ． ①② C ． ①③④ D ． ①②④
40、 在下列图形中，由条件 ∠ 1+ ∠ 2 ＝ 180 °不能得到 AB ∥ CD 的是 ( )
A ． B ．
C ． D ．
41、 如图， AB 是半圆的直径，点 C 是弧 AB 的中点，点 E 是弧 AC 的中点，连结 EB 、 CA 交于点 F ，则 的值为（ ）

A ． B ． C ． D ．
42、 如图所示，直线 a ， b 与直线 c 相交，给出下列条件： ①∠ 1= ∠ 2 ； ②∠ 3= ∠ 6 ； ③∠ 4+ ∠ 7=180° ； ④∠ 5+ ∠ 3=180° ．其中能判断 a ∥ b 的是（　　）

A ． ①②③④ B ． ①③④ C ． ①③ D ． ②④
43、 下列说法中错误的个数是 (    )
(1) 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(2) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(3) 不相交的两条直线叫做平行线；
(4) 有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角．
A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
44、 下列条件不能判定 AB//CD 的是（　）

A ． ∠3=∠4 B ． ∠1=∠5 C ． ∠1+∠2=180 ° D ． ∠3=∠5
45、 如图，下列条件： ① ： ② ； ③ ； ④ ，其中能判定 的有 (  )

A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 4 个 D ． 3 个
46、 在同一平面内，下列说法： ①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（ ）
A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
二、解答题（共40题）
1、 如图 ， 已知四边形 ABCD 中， BC⊥AB，CF 平分 ∠ DCB，∠DCF＋∠BAE＝90 °，试判断 AE 与 CF 的位置关系，并说明理由．

2、 如图，已知 AB ∥ DC ， AE 平分 ∠ BAD ， CD 与 AE 相交于点 F ， ∠ CFE ＝ ∠ E ．试说明 AD ∥ BC ，并写出每一步的根据．

3、 如图，已知 ∠ ABC=180°- ∠ A ， BD ⊥ CD 于 D ， EF ⊥ CD 于 E ．
(1) 求证： AD ∥ BC ；
(2) 若 ∠ ADB=36° ，求 ∠ EFC 的度数．

4、 如图 ， ∠ EAC＝90°， ∠ 1＋ ∠ 2＝90°， ∠ 1＝ ∠ 3， ∠ 2＝ ∠ 4.
(1) 如图 ① ， 求证： DE ∥ BC；
(2) 若将图 ①改变为图② ， 其他条件不变 ， (1) 中的结论是否仍成立？请说明理由．
如图 ， ∠ EAC＝90°， ∠ 1＋ ∠ 2＝90°， ∠ 1＝ ∠ 3， ∠ 2＝ ∠ 4.
(1) 如图 ① ， 求证： DE ∥ BC；
(2) 若将图 ①改变为图② ， 其他条件不变 ， (1) 中的结论是否仍成立？请说明理由．

5、 如图，已知 ∠ ACD ＝ 70° ， ∠ ACB ＝ 60° ， ∠ ABC ＝ 50°. 试说明： AB ∥ CD．

6、 如图， ∠ AFD=∠1，AC∥DE，
(1) 试说明： DF∥BC；
(2) 若 ∠ 1=68°，DF 平分 ∠ ADE ，求 ∠ B 的度数．

7、 如图 ,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由.

8、 将一副三角板中的两个直角顶点 叠放在一起（如图 ①），其中 ， ， .

（ 1）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（ 2）若 ，求 的度数；
（ 3）若按住三角板 不动，绕顶点 转动三角 ，试探究 等于多少度时 ，并简要说明理由 .
9、 如图， ∠ AEF＝80° ，且 ∠ A＝x°，∠C＝y°，∠F＝z°． 若 ＋ |y－80－m|＋|z－40|＝0（m 为常数，且 0＜m＜100）
(1) 求 ∠ A、∠C 的度数（用含 m 的代数式表示）
(2) 求证： AB∥CD
(3) 若 ∠ A＝40°，∠BAM＝20°，∠EFM＝10° ，直线 AM 与直线 FM 交于点 M ，直接写出 ∠ AMF 的度数

10、 如图 , 已知 AC ∥ DF, 直线 AF 分别与直线 BD 、 CE 相交于点 G ， H, ∠ 1= ∠ 2. 求证： ∠ C= ∠ D ．

解： ∵∠ 1= ∠ 2 （已知）
∠ 1= ∠ DGH （ ），
∴∠ 2=_______ （ 等量代换 ）
∴ _______ ∥ _______ （同位角相等，两直线平行）
∴∠ C=_______ （两直线平行，同位角相等）
又 ∵ AC ∥ DF （ ）
∴∠ D= ∠ ABG （ ）
∴∠ C= ∠ D （ ）
11、 如图 ①，在三角形ABC中，点E，F分别为线段AB，AC上任意两点，EG交BC于点G，交AC的延长线于点H，∠1＋∠AFE＝180°.
(1)证明：BC∥EF；
(2)如图②，若∠2＝∠3，∠BEG＝∠EDF，证明：DF平分∠AFE.

12、 问题情境：如图 1 ， ， ， ，求 的度数．小明的思路是过点 作 ，通过平行线性质来求 ．

（ 1 ）按照小明的思路，写出推算过程，求 的度数．
（ 2 ）问题迁移：如图 2 ， ，点 在射线 上运动，记 ， ，当点 在 、 两点之间运动时，问 与 、 之间有何数量关系？请说明理由．
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，当点 在线段 上时，请直接写出 与 、 之间的数量关系．
13、 如图，在四边形 ABCD 中， ∠ A ＝ ∠ C ＝ 90° ， BE 平分 ∠ ABC ， DF 平分 ∠ CDA ．
(1) 求证： BE ∥ DF ；
(2) 若 ∠ ABC ＝ 56° ，求 ∠ ADF 的大小．

14、 如图，已知 ∠ ADE＝60°，DF 平分 ∠ ADE，∠1＝30 °，求证： DF∥BE

证明： ∵ DF 平分 ∠ ADE （已知）
∴__________＝ ∠ADE（       ）
∵∠ADE＝60 °（已知）
∴_________________＝30°（        ）
∵∠1＝30 °（已知）
∴____________________（       ）
∴____________________（       ）
15、 在四边形 ABCD 中， ， ， ．

为边 BC 上一点，将 沿直线 AP 翻折至 的位置 点 B 落在点 E 处
如图 1 ，当点 E 落在 CD 边上时，利用尺规作图，在图 1 中作出满足条件的图形 不写作法，保留作图痕迹，用 2B 铅笔加粗加黑 并直接写出此时 ______ ；
如图 2 ，若点 P 为 BC 边的中点，连接 CE ，则 CE 与 AP 有何位置关系？请说明理由；
点 Q 为射线 DC 上的一个动点，将 沿 AQ 翻折，点 D 恰好落在直线 BQ 上的点 处，则 ______ ；
16、 问题情景：如图 1 ， AB ∥ CD ， ∠ PAB=130° ， ∠ PCD=120° ，求 ∠ APC 的度数．
（ 1 ）数学活动小组经过讨论形成下列推理，请你补全推理依据．
如图 2 ，过点 P 作 PE ∥ AB ，
∵ PE ∥ AB( 作图知 )
又 ∵ AB ∥ CD ，
∴ PE ∥ CD ．（ ）
∴∠ A+ ∠ APE=180° ．
∠ C+ ∠ CPE=180° ．（ ）
∵∠ PAB=130° ， ∠ PCD=120° ，
∴∠ APE=50° ， ∠ CPE=60°
∴∠ APC= ∠ APE+ ∠ CPE=110° ．
问题迁移：
（ 2 ）如图 3 ， AD ∥ BC ，当点 P 在 A 、 B 两点之间运动时， ∠ ADP=α ， ∠ BCP=β ，求 ∠ CPD 与 α 、 β 之间有何数量关系？请说明理由．
问题解决：
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，如果点 P 在 A 、 B 两点外侧运动时（点 P 与点 A 、 B 、 O 三点不重合），请你直接写出 ∠ CPD 与 α 、 β 之间的数量关系 ．

17、 如图，在四边形 ABCD 中，延长 AD 至 E ，已知 AC 平分 ∠ DAB， ∠ DAB＝70°， ∠ 1＝35°.
（ 1 ）求证： AB ∥ CD；
（ 2 ）求 ∠ 2 的度数．

18、 如图，直线 AB ， CD 被直线 EF 所截， ∠ 1= ∠ 2 ，求证： AB ∥ CD;

19、 如图， D 是 △ ABC 中 BC 边上一点， ∠ C =∠ DAC ．
（ 1 ）尺规作图：作 ∠ ADB 的平分线，交 AB 于点 E （保留作图痕迹，不写作法）；
（ 2 ）在（ 1 ）的条件下，求证： DE ∥ AC ．

20、 如图，已知点 E 在 AB 上， CE 平分 ∠ ACD ， ∠ ACE ＝ ∠ AEC ．求证： AB ∥ CD ．

21、 已知，如图． AD ∥ BE ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ，求证： ∠ A ＝ ∠ E ，请完成解答过程．
证明： ∵ AD ∥ BE （已知）
∴∠ A ＝ ∠ （ ）
又 ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 （已知）
∴ AC ∥ （ ）
∴∠ 3 ＝ ∠ （两直线平行，内错角相等）
∴∠ A ＝ ∠ E （等量代换）

22、 如图，已知 AB∥CD，BE 平分 ∠ABC，DE 平分 ∠ADC，∠BAD=80° ，试求 ：
（ 1）∠EDC 的度数 ；
（ 2） 若 ∠BCD=n° ，试求 ∠BED 的度数 .( 用含 n 的式子表示 ）

23、 已知：如图，在 △ ABC 中， CD ⊥ AB 于点 D ， E 是 AC 上一点且 ∠ 1+ ∠ 2 ＝ 90° ．求证： DE ∥ BC ．

24、 如图，已知 ∠ AFC ＝ 70° ， ∠ B ＝ 110° ，直线 CD 与 BE 平行吗？为什么？

25、 如图， AC=DF，AD=BE，BC=EF ．求证：
（ 1）△ABC≌△DEF；
（ 2）AC∥DF．

26、 完成下面的证明：如图， BE 平分 ∠ ABD ， DE 平分 ∠ BDC ，且 ∠ α+ ∠ β ＝ 90° ，求证： AB ∥ CD ．

完成推理过程：
BE 平分 ∠ ABD （已知），
∴∠ ABD ＝ 2 ∠ α （ ）．
∵ DE 平分 ∠ BDC （已知），
∴∠ BDC ＝ 2 ∠ β （ ）
∴∠ ABD+ ∠ BDC ＝ 2 ∠ α+2 ∠ β ＝ 2 （ ∠ α+ ∠ β ）（ ）
∵∠ α+ ∠ β ＝ 90° （已知），
∴∠ ABD+ ∠ BDC ＝ 180° （ ）．
∴ AB ∥ CD （ ）．
27、 如图所示，在 ∠ AOB 内有一点 P ，

（ 1 ）过 P 画 L 1 ∥ OA ；（ 2 ）过 P 画 L 2 ∥ OB ；
（ 3 ）用量角器量一量 L 1 与 L 2 相交的角与 ∠ O 的大小有怎样关系？
28、 如图 ， ∠ EAC＝90°， ∠ 1＋ ∠ 2＝90°， ∠ 1＝ ∠ 3， ∠ 2＝ ∠ 4.
(1) 如图 ① ， 求证： DE ∥ BC；
(2) 若将图 ①改变为图② ， 其他条件不变 ， (1) 中的结论是否仍成立？请说明理由．

29、 如图， AB ∥ CD ， ∠ B ＝ 70 °，∠ BCE ＝ 20 °，∠ CEF ＝ 130 °，请判断 AB 与 EF 的位置关系，并说明理由．

30、 如图， AD 平分 ∠ EAC ，若 ∠ C=55° ， ∠ EAC=110° ， AD 与 BC 平行吗？为什么？请根据解答过程填空（理由或数学式）

解： AD ∥ BC ．理由：
∵ AD 平分 ∠ EAC （已知）
∴∠ DAC= ∠ EAC （ ）
∵∠ EAC=110° （已知）
∴∠ DAC= ∠ EAC= °
∵∠ C=55° （已知）
∴∠ C= ∠
∴ AD ∥ BC （ ）
31、 如图 ， 已知 ∠ ABC＝ ∠ ADC，BF，DE 分别平分 ∠ ABC 与 ∠ ADC， ∠ 1＝ ∠ 3， 试说明： AB ∥ DC.

32、 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB=5，BC=3，CD=6，AD=2 ，若 AC ⊥ BC， 求证： AD ∥ BC．

33、 已知：如图， ∠ ABC ＝ ∠ ADC ， BF 、 DE 分别平分 ∠ ABC 与 ∠ ADC ． ∠ 1 ＝ ∠ 3 ，求证： AB ∥ DC ．

证明： ∵∠ ABC ＝ ∠ ADC (      )
∴ (       )
∵ BF 、 DE 分别平分 ∠ ABC 与 ∠ ADC  (       )
∴ (        )
∴∠ ______ ＝ ∠ ______ (         )
∵∠ 1 ＝ ∠ 3(      )
∴∠ 2 ＝ ∠ ______ ( 等量代换 )
∴ ____ ∥ ____ (        )
34、 如图所示，一个四边形纸片 ABCD ， ∠ B= ∠ D=90° ，把纸片按如图所示的方式折叠，使点 B 落在 AD 边上的 B′ 点， AE 是折痕．
（ 1 ）试判断 B′E 与 DC 的位置关系；
（ 2 ）如果 ∠ C=130° ，求 ∠ AEB 的度数．

35、 如图， 、 、 、 四点在一条直线上， ， ， ，垂足分别为点 、点 ， ．

求证：
（ 1 ） ；
（ 2 ） ．
36、 感知与填空 : 如图 ①，直线 ，求证 : .

阅读下面的解答过程，并填上适当的理由，
解 : 过点 作直线 ,
（ ）
( 已知 ) ， ,
（ ）
（ ）
,
（ ）
应用与拓展 : 如图 ②，直线 ，若 .

则 度
方法与实践 : 如图 ③，直线 ，若 , 则 度 .

37、 如图，已知 B，D在线段AC上，且AB＝CD，AE＝CF，∠A＝∠C，求证：BF∥DE.

38、 如图， ， 平分 ．求证： ．

39、 如图， CD ⊥ AB ， EF ⊥ AB ，垂足分别为 D 、 F ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ，若 ∠ A ＝ 65° ， ∠ B ＝ 45° ，求 ∠ AGD 的度数．

40、 如图，已知直线 AB ， CD 被直线 EF 所截， EG 平分 ， FG 平分 ，且 . 求证： .

三、填空题（共14题）
1、 如图，点 E 是 AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使 BC ∥ AD ，则可添加的条件为 __________ ．（任意添加一个符合题意的条件即可）

2、 如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是 _________ ．

3、 一大门栏杆的平面示意图如图所示， BA 垂直地面 AE 于点 A，CD 平行于地面 AE ，若 ∠ BCD=150° ，则 ∠ ABC= _____ 度．

4、 结合下图，用符号语言表达定理 “同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵ ____________ ， ∴ a ∥ b ．

5、 规律探究：同一平面内有直线 、 、 ， ， ，若 ， ， ， ， ，按此规律， 与 的位置关系是 ______ ．
6、 设 、 b、c 为平面上三条不同直线，
（ 1） 若 ，则 a 与 c 的位置关系是 _________ ；
（ 2） 若 ，则 a 与 c 的位置关系是 _________ ；
（ 3） 若 ， ，则 a 与 c 的位置关系是 ________ ．
7、 已知三条不同的直线 a 、 b 、 c 在同一平面内，下列四条命题：
① 如果 a∥b ， a⊥c ，那么 b⊥c ； ② 如果 b∥a ， c∥a ，那么 b∥c ；
③ 如果 b⊥a ， c⊥a ，那么 b⊥c ； ④ 如果 b⊥a ， c⊥a ，那么 b∥c ．
其中真命题的是 __________ ．（填写所有真命题的序号）
8、 如图，直线 a 平移后得到直线 b ， ∠ 1 ＝ 60° ， ∠ B ＝ 130° ，则 ∠ 2 ＝ ________ ° ．

9、 如图，请你添加 一个条件 使得 AD∥BC ，所添的条件是 __________ ．

10、 如图，直线 a ， b 与直线 c 相交，给出下列条件： ①∠ 1= ∠ 2 ； ②∠ 3= ∠ 6 ； ③∠ 4+ ∠ 7=180° ； ④∠ 5+ ∠ 3=180° ； ⑤∠ 6= ∠ 8 ，其中能判断 a ∥ b 的是 ______ ( 填序号 )

11、 如图，下列条件中：
①∠ B+ ∠ BCD=180° ； ②∠ 1= ∠ 2 ； ③∠ 3= ∠ 4 ； ④∠ B= ∠ 5 ；
则一定能判定 AB ∥ CD 的条件有 _____ ( 填写所有正确的序号 ) ．

12、 如图：请你添加一个条件 _____ 可以得到

13、 如图， MC ∥ AB,NC ∥ AB, 则点 M ， C ， N 在同一条直线上，理由是 _____ .

14、 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线的位置关系是 _____ ．


============参考答案============
一、选择题
1、 C
【详解】
试题分析：根据平行线的判定定理分别进行判断即可．
解：当 ∠ B+ ∠ BFE=180° ， AB ∥ EF ；当 ∠ 1= ∠ 2 时， DE ∥ BC ；当 ∠ 3= ∠ 4 时， AB ∥ EF ；当 ∠ B= ∠ 5 时， AB ∥ EF ．
故选 C ．
考点：平行线的判定．
2、 D
【解析】 根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．
【详解】由 ∠ 2= ∠ 4 或 ∠ 1+ ∠ 4=180° 或 ∠ 5= ∠ 4 ，可得 a ∥ b；
由 ∠ 1= ∠ 3 ，不能得到 a ∥ b，
故选 D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键 . 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放型题目，能有效地培养 “ 执果索因 ” 的思维方式与能力．
3、 A
【解析】
试题分析：判定两条直线是平行线的方法有：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行等，应结合题意，具体情况，具体分析．
由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行，
故选 A.
考点：本题考查的是平行线的判定
点评：正确识别 “ 三线八角 ” 中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4、 C
【详解】
解： ①∵∠ B+ ∠ BCD=180 °，
∴ AB ∥ CD ；
②∵∠ 1= ∠ 2 ，
∴ AD ∥ BC ；
③∵∠ 3= ∠ 4 ，
∴ AB ∥ CD ；
④∵∠ B= ∠ 5 ，
∴ AB ∥ CD ；
∴能得到 AB ∥ CD 的条件是 ①③④．
故选 C ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角 . 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；
同位角相等，两直线平行 .
5、 C
【解析】
分析：分类讨论：当直线 c 在 a、b 之间或直线 c 不在 a、b 之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．
详解：当直线 c 在 a、b 之间时，
∵ a、b、c 是三条平行直线，
而 a 与 b 的距离为 4cm，b 与 c 的距离为 1cm，
∴ a 与 c 的距离 =4-1=3（cm）；
当直线 c 不在 a、b 之间时，
∵ a、b、c 是三条平行直线，
而 a 与 b 的距离为 4cm，b 与 c 的距离为 1cm，
∴ a 与 c 的距离 =4+1=5（cm），
综上所述， a 与 c 的距离为 3cm 或 5cm．
故选 C．
点睛：本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．
6、 C
【解析】
根据平行线的判定，可由 ∠ 2=∠3 ，根据内错角相等，两直线平行，得到 AD∥BC ，由 ∠ 1=∠4 ，得到 AB∥CD.
故选 C.
7、 A
【解析】
解：两直线平行，同位角相等，故 ①是假命题；
在同一平面内， a ， b ， c 是三条直线，若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ∥ c ，故 ②是假命题；
a ， b ， c 是三条直线，若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ，故 ③是真命题；
在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故 ④是假命题.
故选 A.
8、 C
【解析】
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可 ．
【详解】
A． 由 ∠ FEC=∠EFB， 可得 CE∥BF， 故本选项错误 ；
B． 由 ∠ BFC+∠C=180°， 可得 CE∥BF， 故本选项错误 ；
C． 由 ∠ BEF=∠EFC， 可得 AB∥CD， 故本选项正确 ；
D． 由 ∠ C=∠BFD， 可得 CE∥BF， 故本选项错误 ．
故选 C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定 ， 解题时注意 ： 内错角相等 ， 两直线平行 ； 同位角相等 ， 两直线平行 ； 同旁内角互补 ， 两直线平行 ．
9、 A
【解析】
分别过 B、C 作 BF ∥ l 1 ， CE ∥ l 1 ，进而可得 l 1 ∥ BF ∥ CE ∥ l 2 ，根据平行线的性质可得 ∠ 1= ∠ 3， ∠ 4= ∠ 5， ∠ 6+ ∠ 2=180° ，然后证明 ∠ 1= ∠ 6 ，进而可得答案．
【详解】
解：分别过 B、C 作 BF ∥ l 1 ， CE ∥ l 1 ，

∵ l 1 ∥ l 2 ，
∴ l 1 ∥ BF ∥ CE ∥ l 2 ，
∴∠ 1= ∠ 3， ∠ 4= ∠ 5， ∠ 6+ ∠ 2=180°，
∵∠ α= ∠ β，
∴∠ 3= ∠ 6= ∠ 1=50°，
∴∠ 2=130°，
故选 A．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出 “ 三线八角 ” 是解决此题的关键．
10、 B
【解析】
解 ： A． ∵∠ 1= ∠ 4， ∴ AB ∥ CD （内错角相等 ， 两直线平行） ， 故本选项错误 ；
B． ∵∠ 2= ∠ 3， ∴ AD ∥ BC （内错角相等 ， 两直线平行） ， 判定的不是 AB ∥ CD， 故本选项正确 ；
C． ∵∠ 5= ∠ B， ∴ AB ∥ CD （同位角相等 ， 两直线平行） ， 故本选项错误 ；
D． ∵∠ BAD +∠ D=180°， ∴ AB ∥ CD （同旁内角互补 ， 两直线平行） ， 故本选项错误．
故选 B．
11、 B
【分析】
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解： ①∵∠ 1= ∠ 3 ， ∴ l 1 ∥ l 2 ，故本小题正确；
②∵∠ 2+ ∠ 4=180 °，∴ l 1 ∥ l 2 ，故本小题正确；
③∵∠ 4= ∠ 5 ， ∴ l 1 ∥ l 2 ，故本小题正确；
④∠ 2= ∠ 3 不能判定 l 1 ∥ l 2 ，故本小题错误；
⑤∵∠ 6= ∠ 2+ ∠ 3 ， ∴ l 1 ∥ l 2 ，故本小题正确．
故选 B ．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
12、 A
【分析】
运用平行线的判定方法进行判定即可 .
【详解】
解：选项 A 中， ∠1=∠2 ，只可以判定 AC//BD （内错角相等，两直线平行），所以 A 错误；
选项 B 中， ∠3=∠4 ，可以判定 AB//CD （内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项 C 中， ∠5=∠B ， AB//CD （内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项 D 中， ∠B +∠BDC=180° ，可以判定 AB//CD （同旁内角互补，两直线平行），所以正确；
故答案为 A.
【点睛】
本题考查平行的判定 , 正确识别 “三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键 .
13、 D
【分析】
从内错角、同位角、同旁内角的关系来分析即可 .
【详解】
A. ∠ 1= ∠ 2 ，不能得到 a ∥ b ，故错误；
B. ∠ 2= ∠ 4 ，不是同位角相等，故错误；
C. ∠ 3= ∠ 4 ，不是同位角相等，故错误；
D. ∠ 1+ ∠ 4=180 °，先利用对顶角相等，再推出同旁内角互补来 得到 a ∥ b.
【点睛】
此题主要考察平行线的判定条件 .
14、 D
【解析】
因为 ∠ DAM 和 ∠ CBM 是直线 AD 和 BC 被直线 AB 的同位角 , 因为 ∠ DAM＝ ∠ CBM 根据同位角相等 , 两直线平行可得 AD ∥ BC， 所以 D 选项错误 , 故选 D.
15、 C
【分析】
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A 、因为 ∠ 1= ∠ 2 ，不能得出 AB ∥ CD ，错误；
B 、 ∵∠ 2= ∠ 3 ， ∴ AD ∥ BC ，错误；
C 、 ∵∠ 1= ∠ 4 ， ∴ AB ∥ CD ，正确；
D 、因为 ∠ 3= ∠ 4 ，不能得出 AB ∥ CD ，错误；
故选 C ．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
16、 A
【分析】
根据平行线的判定方法进行分析判断即可 .
【详解】
A 选项中，因为由 ∠ 3=∠4 只能推出 AD∥BC ，而不能证明 AB∥CD ，所以可以选 A；
B 选项中 ， 因为由 ∠B=∠DCE 可以证得 AB∥CD ，所以不能选 B；
C 选项中 ， 因为由 ∠4=∠2 可以证得 AB∥CD ，所以不能选 C；
D 选项中 ， 因为由 ∠D+∠DAB=180° 可以证得 AB∥CD ，所以不能选 D.
故选 A.
【点睛】
熟记 “平行线的判定方法”及能够分辨“两个同位角或两个内错角或两个同旁内角是怎样形成的”是解答本题的关键 .
17、 C
【分析】
根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可．
【详解】
在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是平行或相交．
故选 C ．
【点睛】
本题主要考查了在同一平面内，不重合的两条直线的两种位置关系，熟知在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是平行或相交是解题的关键．
18、 C
【分析】
过点 E 作 EF ∥ AB ，如图，易得 CD ∥ EF ，然后根据平行线的性质可得 ∠ BAE+ ∠ FEA=180° ， ∠ C= ∠ FEC=γ ，进一步即得结论．
【详解】
解：过点 E 作 EF ∥ AB ，如图， ∵ AB ∥ CD ， AB ∥ EF ， ∴ CD ∥ EF ，
∴∠ BAE+ ∠ FEA=180° ， ∠ C= ∠ FEC=γ ，
∴∠ FEA=β ﹣ γ ， ∴ α+(β ﹣ γ)=180° ，即 α+β ﹣ γ=180° ．
故选： C ．

【点睛】
本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作 EF ∥ AB 、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
19、 A
【解析】
分析：根据平行线的判定与性质，对顶角的性质，平行线的作图，逐一判断即可 .
详解：根据平行公理的推论，可知：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 ， 故正确 ；
根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，故不正确；
根据两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补 ， 故不正确 ；
根据平行公理，可知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ， 故不正确 .
故选 A.
点睛：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟记公理的内容和特点，找到反例说明即可 .
20、 B
【分析】
分别利用对顶角的性质以及平行线的性质和推论进而判断得出即可．
【详解】
解： A 、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
B 、平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；
C 、两直线平行，同旁内角互补，故此选项错误；
D 、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故此选项错误．
故选 B ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．
21、 A
【解析】
根据各选项中各角的关系，利用平行线的判定定理，分别分析判断 AB、CD 是否平行即可．
【详解】
A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC （内错角相等，两直线平行），故 A 不能判断；
B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），故 B 能判断；
C、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），故 C 能判断；
D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行），故 D 能判断 ，
故选 A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定．掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
22、 D
【解析】
根据平行线的性质和判定以及对顶角的定义进行判断．
【详解】
解： A选项：只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故A选项错误；
B 选项：在同一平面内，如果 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ∥ c ，故 B 选项错误；
C 选项：相等的角不一定是对顶角，因为对顶角还有位置限制，故 C 选项错误；
D 选项：由平行公理的推论知，故 D 选项正确．
故选 D ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、判定，对顶角的性质，注意对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角．
23、 C
【解析】
根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可．
【详解】
A ．如果 a ∥ b ， b ∥ c ，那么 a ∥ c ，说法正确；
B ． a ⊥ b ， c ⊥ b ，那么 a ∥ c ，说法正确；
C ．如果 a 与 b 相交， b 与 c 相交，那么 a 与 c 一定相交，说法错误；
D ．如果 a 与 b 相交， b 与 c 不相交，那么 a 与 c 一定相交，说法正确．
故选 C ．
【点睛】
此题主要考查了平行公理及推论，关键是熟练掌握所学定理．
24、 C
【分析】
根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．
【详解】
A. ，根据同旁内角互补，两直线平行，可得 ，正确 ；
B. ，根据内错角相等，两直线平行，可得 ，正确 ；
C. ，根据内错角相等，两直线平行，可得 ，并不能证明 ，错误；
D. ，根据同位角相等，两直线平行，可得 ，正确 ；
故答案为： C ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定定理，掌握判断同位角、内错角或同旁内角之间的关系来证明两直线平行是解题的关键
25、 B
【解析】
利用平行线的判定定理分析即可 .
【详解】
解： ∵∠ 2 ＝ ∠ 5 ，
∴ a ∥ b ，
∵∠ 4 ＝ ∠ 5 ，
∴ a ∥ b ，
∵∠ 1+ ∠ 5 ＝ 180° ，
∴ a ∥ b ，
故选： B ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，熟练掌握两直线平行的判定方法是解题的关键 .
26、 C
【解析】
同一平面内，两条直线可能相交或者平行，一条直线的垂线有很多条，根据平行公理的推论，两条直线都与第三条直线平行则这两条直线平行，点到直线的距离指的是线段的长度．
【详解】
A 、在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和平行，垂直是相交的一种情况，故该选项错误；
B 、一条直线的垂线有无数条，故该选项错误；
C 、根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该选项正确；
D 、点到直线的距离指的是垂线段的长度，而非垂线段，故该选项错误．
故选 C ．
【点睛】
本题考查了相交线的位置关系、垂线、点到直线距离的定义以及平行公理的推论，属于基础考题，比较简单．
27、 D
【分析】
根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【详解】
解：如果 ， 那么 ．
所以要使 ，则 的大小是 ．
故选 D ．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
28、 D
【解析】
由 ∠ 1= ∠ 2 结合 “ 内错角（同位角）相等，两直线平行 ” 得出两平行的直线，由此即可得出结论．
【详解】
A、 ∵∠ 1= ∠ 2，
∴ AD ∥ BC （内错角相等，两直线平行）；
B、 ∵∠ 1= ∠ 2， ∠ 1、 ∠ 2 不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
C、 ∠ 1= ∠ 2， ∠ 1、 ∠ 2 不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
D、 ∵∠ 1= ∠ 2，
∴ AB ∥ CD （同位角相等，两直线平行）．
故选 D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据相等的角得出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角，找出平行的直线是关键．
29、 D
【解析】
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A. ∵∠ 1= ∠ 2 ， ∴ AD ∥ BC ，故此选项不合题意；
B. ∠ BAD= ∠ BCD ，无法得出 AB ∥ CD ，故此选项不合题意；
C. ∵∠ 3= ∠ 4 ， ∴ AD ∥ BC ，故此选项不合题意；
D. ∵∠ BAC= ∠ ACD ，
∴ AB ∥ CD ，故此选项符合题意 .
故选 D.
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行是解答此题的关键．
30、 B
【解析】
根据平行线的判定方法直接判定即可．
【详解】
解： A. ∠ 1 与 ∠ 2 是直线 AC 、 BD 被 AD 所截形成的内错角，因为 ∠ 1= ∠ 2 ，所以应是 AC ∥ BD ，所以 A 选项不符合题意．
B. ∵∠ 3= ∠ 4 ， ∴ AB ∥ CD （内错角相等，两直线平行），不能判定 BD ∥ AC ，所以 B 选项符合题意 .
C. ∵∠ 5= ∠ C ， ∴ BD ∥ AC （同位角相等，两直线平行），所以 C 选项不合题意 .
D. ∵∠ C+ ∠ BDC=180 °，∴ BD ∥ AC （同旁内角互补，两直线平行），所以 D 选项不合题意 .
故选 B ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，正确识别 “三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
31、 A
【解析】
根据对顶角的定义，平行线的性质，垂线的性质分别进行分析即可．
【详解】
A 、若两相等的角有一边平行，则另一边也互相平行或者相交，所以说法错误；
B 、两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直，正确；
C 、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，正确；
D 、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，
故选 A ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义，平行线的性质，垂线的性质等知识，难度不大．
32、 B
【分析】
根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
【详解】
①∵∠ B+ ∠ BDC=180 ∘ ，
∴ AB ∥ CD ；
②∵∠ 1= ∠ 2 ，
∴ AD ∥ BC ；
③∵∠ 3= ∠ 4 ，
∴ AB ∥ CD ；
④∵∠ B= ∠ 5 ，
∴ AB ∥ CD ；
∴能得到 AB ∥ CD 的条件是 ①③④．
故选 B
【点睛】
此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理
33、 B
【分析】
根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【详解】
A 、根据内错角相等，两直线平行可得 AB ∥ CD ，故此选项不合题意；
B 、根据内错角相等，两直线平行可得 AD ∥ BC ，故此选项符合题意；
C 、根据内错角相等，两直线平行可得 AB ∥ CD ，故此选项不合题意；
D 、根据同旁内角互补，两直线平行可得 AB ∥ CD ，故此选项不合题意；
故选 B ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
34、 D
【解析】
由 m ∥ n ，根据 “ 两直线平行，同旁内角互补 ” 得到 ∠ 1+ ∠ 2=180° ，然后把 ∠ 1=105° 代入计算即可得到 ∠ 2 的度数．
【详解】
∵ m ∥ n ，
∴∠ 1+ ∠ 2=180° （两直线平行，同旁内角互补），
而 ∠ 1=105° ，
∴∠ 2=180°-105°=75° ．
故选 D ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
35、 C
【解析】
分析：根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可．
详解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行和相交．
故选 C．
点睛：本题主要考查对平行线和相交线的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
36、 C
【分析】
根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行即可解题 .
【详解】
解 ： A. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 , 所以错误 ,
B. 在同一平面内， （ 经过直线外一点 ） 有且只有一条直线与已知直线平行 , 所以错误 ,
C. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 , 正确 .
故选 C.
【点睛】
本题考查了平面内平行线的性质 , 属于简单题 , 熟悉概念是解题关键 .
37、 A
【分析】
根据平行线的判定方法依次判断即可 .
【详解】
选项 A，∵∠3=∠4，∴DE∥AC ，正确；
选项 B，∵∠1=∠2，∴EF∥BC ，错误；
选项 C，∵∠EDC=∠EFC ，不能得出平行，错误；
选项 D，∵∠ACD=∠AFE，∴EF∥BC ，错误；
故选 A．
【点睛】
本题考查平行线的判定，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，才能推出两条被截的直线平行．
38、 B
【解析】
根据平行线的判定方法：内错角相等两直线平行，即可判断 AB∥CE ．
【详解】
解： ∵∠A ＝ ∠ACE ，
∴AB∥CE （内错角相等，两直线平行）．
故选： B ．
【点睛】
此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
39、 D
【详解】
解： ∵ AH ⊥ BC ， EF ∥ BC ，
∴① AH ⊥ EF 正确；
∵ BF 平分 ∠ ABC ，
∴∠ ABF= ∠ CBF ，
∵ EF ∥ BC ，
∴∠ EFB= ∠ CBF ，
∴②∠ ABF= ∠ EFB 正确；
∵ BE ⊥ BF ，而 AC 与 BF 不一定垂直，
∴ BE ∥ AC 不一定成立，故 ③错误；
∵ BE ⊥ BF ，
∴∠ E 和 ∠ EFB 互余， ∠ ABE 和 ∠ ABF 互余，而 ∠ EFB= ∠ ABF ，
∴④∠ E= ∠ ABE 正确．
故选 D ．
40、 D
【分析】
在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可．
【详解】
解： A 、 ∠ 1 的对顶角与 ∠ 2 的对顶角是同旁内角，它们互补，所以能判定 AB ∥ CD ；
B 、 ∠ 1 的对顶角与 ∠ 2 是同旁内角，它们互补，所以能判定 AB ∥ CD ；
C 、 ∠ 1 的邻补角 ∠ BAD ＝ ∠ 2 ，所以能判定 AB ∥ CD ；
D 、由条件 ∠ 1 +∠ 2 ＝ 180 °能得到 AD ∥ BC ，不能判定 AB ∥ CD ；
故选 D ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行判定的前提条件必须是三线八角．
41、 D
【分析】
先连接 OE 、 BC ，利用垂径定理推论，以及圆心角、弧、弦之间的关系，可证得： △ ABC 、 △ AMO 是等腰直角三角形且 OE ∥ BC ，再证 △ MEF ∽△ CBF ，利用相似三角形的性质即可求出 .
【详解】
解：取 AB 中点 O ，连接 OE 、 BC ， OE 与 AC 交于点 M ．
∵ AB 是半圆的直径 , 点 C 是弧 AB 的中点，
∴∠ ACB=90° ，则 △ ABC 是等腰直角三角形，
∵ E 为弧 AC 的中点，
∴ OE ⊥ AC ， AM=MC ， ∠ AOE=45 ° ，
∴ OE ∥ BC ， △ AMO 是等腰直角三角形，
设 OM=1 ，则 AM=1 ，
∴ AC=BC=2 ， OA= ，
∴ OE= ，
∴ EM=
∵ OE ∥ BC ，
∴△ MEF ∽△ CBF ，
∴ ，
故选 D ．

【点睛】
本题为垂径定理推论，圆心角、弧、弦之间的关系，以及相似三角形的判定与性质的综合运用，需对知识非常熟练 .
42、 B
【解析】
①∵∠1=∠2，∴a∥b．故①正确；
②∠3=∠6，不能判断a∥b．故②错误；
③∵∠4+∠7=180°，∴a∥b．故③正确；
④∵∠5+∠3=180°，∠5+∠4=180°，∴∠3=∠4，∴a∥b．故④正确．
故 ①③④正确．故选B．
43、 D
【详解】
（ 1 ）应强调过直线外一点，故错误；
（ 2 ）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；错误；
（ 3 ）不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否是在同一平面内，所以错误；
（ 4 ）有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，角平分线的两个角也满足，但可以不是 , 故错误 . 错误的有 4 个，故选 D.
44、 D
【解析】
根据平行线的判定逐个判断即可．
【详解】
A ． ∵∠ 3= ∠ 4 ， ∴ AB ∥ CD ，故本选项不符合题意；
B ． ∵∠ 1= ∠ 5 ， ∴ AB ∥ CD ，故本选项不符合题意；
C ． ∵∠ 1+ ∠ 2=180 °，∠ 1+ ∠ 3=180 °，∴∠ 3= ∠ 2 ， ∴ AB ∥ CD ，故本选项不符合题意；
D ．根据 ∠ 3= ∠ 5 ，不能推出 AB ∥ CD ，故本选项符合题意．
故选 D ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解答此题的关键，注意：平行线的判定有： ①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
45、 B
【解析】
根据平行线的判定定理依次判断即可 .
【详解】
① ，能得到 ，正确
② 能得到 ，正确；
③ ，不能判定平行，故错误；
④ ，得到 AD ∥ BC ，故错误，
故选 B.
【点睛】
此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定定理 .
46、 C
【解析】
根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解．
【详解】
解 :在同一平面内，
①过两点有且只有一条直线，故①正确；
②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；
③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，
综上所述，正确的有 ①③④共 3 个，
故选 C．
【点睛】
本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．
二、解答题
1、 平行
【解析】
由 ∠ DCF＋ ∠ BAE＝90°，CF 平分 ∠ DCB ，可知 ∠ BCF+ ∠ BAE=90° ，再由 BC ⊥ AB 可知 ∠ DCF＋ ∠ BFC=90° ，进而可知 ∠ BAE= ∠ DCF ，根据平行线的判定即可 .
【详解】
平行，理由如下：
∵ CF 平分 ∠ DCB，
∴∠ BCF= ∠ DCF，
∵∠ DCF＋ ∠ BAE＝90°
∴∠ BCF+ ∠ BAE=90°
∵ BC ⊥ AB
∴∠ BCF+ ∠ BFC=90°
∴∠ BAE= ∠ BFC
∴ AE//CF （同位角相等，两直线平行）
故 AE 与 CF 是平行关系 .
【点睛】
本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键
2、 见解析
【分析】
由 AB 与 CD 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由 AE 为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．
【详解】
证明： ∵ AB ∥ DC （已知）
∴∠ 1 ＝ ∠ CFE （两直线平行，同位角相等）
∵ AE 平分 ∠ BAD （已知）
∴∠ 1 ＝ ∠ 2 （角平分线的定义）
∴∠ CFE ＝ ∠ 2 （等量代换）
∵∠ CFE ＝ ∠ E （已知）
∴∠ 2 ＝ ∠ E （等量代换）
∴ AD ∥ BC （内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
3、 (1) 证明见解析； (2)36°.
【分析】
(1) 求出 ∠ ABC+ ∠ A=180° ，根据平行线的判定推出即可；
(2) 根据平行线的性质求出 ∠ DBC ，根据垂直推出 BD ∥ EF ，根据平行线的性质即可求出 ∠ EFC ．
【详解】
(1) 证明： ∵∠ ABC=180°- ∠ A ，
∴∠ ABC+ ∠ A=180° ，
∴ AD ∥ BC ；
(2) ∵ AD ∥ BC ， ∠ ADB=36° ，
∴∠ DBC= ∠ ADB=36° ，
∵ BD ⊥ CD ， EF ⊥ CD ，
∴ BD ∥ EF ，
∴∠ DBC= ∠ EFC=36°
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意： ①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
4、 见解析
【解析】
分析： (1) 用三角形的内角和定理判断 ∠D＋ ∠ B ＝ 180°；(2)连接 EC ，证明 ∠ AEC ＋ ∠ ACE ＋ ∠ 3 ＋ ∠ 4 ＝ 180°， 根据同旁内角互补，两直线平行证明 .
详解： (1)∵∠ 1 ＝ ∠ 3， ∠ 2 ＝ ∠ 4， ∴∠ 1 ＋ ∠ 3 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 4 ＝ 2( ∠ 1 ＋ ∠ 2)，
∵∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 90°， ∴∠ 1 ＋ ∠ 3 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 4 ＝ 180°；
∵∠ D ＋ ∠ B ＋ ∠ 1 ＋ ∠ 3 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 4 ＝ 360°， ∴∠ D ＋ ∠ B ＝ 180°，
∴ DE ∥ BC．
(2 )成立．
如图 2 ，连接 EC；
∵∠ 1 ＝ ∠ 3， ∠ 2 ＝ ∠ 4 ，且 ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 90°， ∴∠ 3 ＋ ∠ 4 ＝ ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 90°；
∵∠ EAC ＝ 90°， ∴∠ AEC ＋ ∠ ACE ＝ 180° － 90° ＝ 90°，
∴∠ AEC ＋ ∠ ACE ＋ ∠ 3 ＋ ∠ 4 ＝ 180°，
∴ DE ∥ BC，
即 (1) 中的结论仍成立．

点睛：本题主要考查了平行线的性质 ， 平行线的性质有： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直角平行，同旁内角互补 .
5、 证明见解析
【解析】
试题分析 : 根据同旁内角互补，两直线平行即可判定 .
试题解析：




∥
6、 （ 1）证明见解析；（2） 68°.
【解析】
试题分析： （ 1） 由 AC ∥ DE 得 ∠ 1= ∠ C ，而 ∠ AFD= ∠ 1 ，故 ∠ AFD= ∠ C ，故可得证；
（ 2） 由（ 1 ）得 ∠ EDF=68°， 又 DF 平分 ∠ ADE ，所以 ∠ EDA=68°， 结合 DF ∥ BC 即可求出结果 ．
试题解析： （ 1） ∵ AC ∥ DE，
∴∠ 1= ∠ C，
∵∠ AFD= ∠ 1，
∴∠ AFD= ∠ C，
∴ DF ∥ BC；
（ 2） ∵ DF ∥ BC，
∴∠ EDF= ∠ 1=68°，
∵ DF 平分 ∠ ADE，
∴∠ EDA= ∠ EDF=68°，
∵∠ ADE= ∠ 1+ ∠ B
∴∠ B= ∠ ADE- ∠ 1=68°+68°-68°=68°.
7、 平行，理由见解析 .
【解析】
先做辅助线延长 BE ，交 CD 于 F ，根据 ∠BEC+∠CEF=180° 可得到 ∠CEF 的度数；再根据三角形内角和定理即可得到 ∠BFC=60° ，至此，再结合平行线的判定定理即可得到结论 .
【详解】
解： AB ∥ CD, 理由如下 :
如图所示 , 延长 BE, 交 CD 于点 F,

因为 ∠ BEC=95°,
所以 ∠ CEF=180°-95°=85°.
又因为 ∠ DCE=35°,
所以 ∠ BFC=180°- ∠ DCE- ∠ CEF=180°-35°-85°=60°.
因为 ∠ ABE=120°( 已知 ),
所以 ∠ ABE+ ∠ BFC=180°,
所以 AB ∥ CD( 同旁内角互补 , 两直线平行 ).
【点睛】
本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键 .
8、 （ 1） ，理由详见解析；（ 2 ） 135 °；（ 3 ） 等于 或 时， .
【分析】
（ 1 ）依据 ∠ BCD= ∠ ACB+ ∠ ACD=90 ° + ∠ ACD ，即可得到 ∠ BCD+ ∠ ACE 的度数；
（ 2 ）设 ∠ ACE= ，则 ∠ BCD=3 ，依据 ∠ BCD+ ∠ ACE=180 °，即可得到∠ BCD 的度数；
（ 3 ）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当 ∠ BCD 等于 150 °或 30 °时， CE//4B.
【详解】
解：（ 1 ） ，理由如下：
，
；
（ 2 ）如图 ①，设 ，则 ，
由（ 1 ）可得 ，
，
，
；
（ 3 ）分两种情况：
①如图 1 所示，当 时， ，
又 ，
；

②如图 2 所示，当 时， ，
又 ，
.

综上所述， 等于 或 时， .
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 . 熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键 .
9、 (1) ∠A＝m＋20°，∠C＝m＋80°；(2)见解析； (3) 50°、70°、30°、10°.
【分析】
（ 1 ）根据二次根式和绝对值的非负数性质解答即可；（ 2） 过点 F 作 FG ∥ AB ，过点 E 作 EH ∥ AB ，可知 EH//FG ，根据平行线性质可证明 ∠ BAE ＝ ∠ AEH ＝ m ＋ 20° ， ∠ EFG ＝ ∠ FEH， 进而证明 ∠ EFG ＝ ∠ AEF － ∠ AEH ＝ 80° － (m ＋ 20°) ＝ 60° － m， 由 ∠ CFG ＋ ∠ FCD ＝ y ＋ z ＋ 80° － x ＝ 80° ＋ m ＋ 40° ＋ 80° － m － 20° ＝ 180° ，通过判定定理即可证明结论；（ 3） 当 ∠ A ＝ 40° 时， ∠ C ＝ 100° ，分情况讨论 AM 和 FM 的位置，计算即可 ；
【详解】
(1) ∵ ＋ |y－80－m|＋|z－40|＝0（m 为常数，且 0＜m＜100），
∴ x-m-20=0，y-80-m=0，z-40=0，
∴∠ A＝x°=m＋20°， ∠ C＝y°=m＋80°，z=40°，
(2) 过点 F 作 FG ∥ AB ，过点 E 作 EH ∥ AB，
∴ EH ∥ FG，
∴∠ BAE ＝ ∠ AEH ＝ m ＋ 20° ， ∠ EFG ＝ ∠ FEH，
∴∠ EFG ＝ ∠ AEF － ∠ AEH ＝ 80° － (m ＋ 20°) ＝ 60° － m，
∵∠ CFG ＋ ∠ FCD ＝ y ＋ z ＋ 80° － x ＝ 80° ＋ m ＋ 40° ＋ 80° － m － 20° ＝ 180°，
∴ AB ∥ CD，

(3) 当 ∠ A ＝ 40° 时， ∠ C ＝ 100°，
如图，分为四种情况 :
延长 FE交AM于N，
∵∠BAE=40°，∠BAM=20°，
∴∠MAE=20°，
∵∠AEF=80°，
∴∠ANE=80°-20°=60°，
∴∠AMF=60°-10°=50°，
∵∠AGF=∠MFE+∠AEF=10°+80°=90°，
∴∠AMF=90°-∠MAE=70°，
∵∠BAM=20°，∠BAE=40，°
∴∠EAM=60°，
∵∠AHF=∠MFE+∠AEF=90°，
∴∠AMF=90°-∠EAM=30°，
延长 AE交FM于O，
∵∠AEF=∠EFO+∠AOF=80°，
∴∠AOF=80°-10°=70°，
∴∠AMF=∠AOF-∠MAF=70°-60°=10°，


综上所述 ： ∠AMF 的度数分别为： 50°；70°；30°；10°.
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定及三角形外角性质，同旁内角互补 ， 两条直线平行；两条直线平行，内错角相等；三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ； 熟练掌握相关知识是解题关键 .
10、 对顶角相等 ， ∠DGH， BD∥CE ，∠ABG， 已知，两直线平行，内错角相等，等量代换 ，
【详解】
整体分析 :
根据平行线的性质 , 判定和对顶角相等解题 , 注意理解图形 .
证明 :∵∠1=∠2 （已知）
∠1=∠DGH( 对顶角相等 )，
∴∠2=∠DGH（ 等量代换 ）
∴BD∥CE（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C=∠ABG（ 两直线平行，同位角相等 ）
又 ∵AC∥DF ( 已知 )
∴∠D=∠ABG( 两直线平行，内错角相等 )
∴∠C=∠D( 等量代换 ).
11、 (1)见解析；(2) 见解析.
【分析】
（ 1 ）由条件可证明 ∠ AFE= ∠ BCF ，根据平行线的判定可证明 BC ∥ EF ；
（ 2 ）由条件可先证明 DF ∥ EH ，可得 ∠ DFE= ∠ FEG ，再结合（ 1 ）的结论和已知条件可证明 ∠ 3= ∠ DFE ，可证得结论．
【详解】
证明：（ 1 ） ∵∠ 1+ ∠ AFE=180° ， ∠ 1+ ∠ BCF=180° ，
∴∠ AFE= ∠ BCF ，
∴ BC ∥ EF ；
（ 2 ） ∵∠ BEG= ∠ EDF ，
∴ DF ∥ EH ，
∴∠ DFE= ∠ FEH ，
又 ∵ BC ∥ EF ，
∴∠ FEH= ∠ 2 ，
又 ∵∠ 2= ∠ 3 ，
∴∠ DFE= ∠ 3 ，
∴ DF 平分 ∠ AFE ．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即 ①两直线平行 ⇔ 同位角相等， ②两直线平行 ⇔ 内错角相等， ③两直线平行 ⇔ 同旁内角互补， ④ a ∥ b ， b ∥ c ⇒ a ∥ c ．
12、 （ 1 ） 108 °；（ 2 ） ∠ APC= α + β，理由见解析；（ 3 ） ∠ APC= β - α．
【分析】
（ 1 ）过 P 作 PE ∥ AB ，先推出 PE ∥ AB ∥ CD ，再通过平行线性质可求出 ∠ APC ；
（ 2 ）过 P 作 PE ∥ AB 交 AC 于 E ，先推出 AB ∥ PE ∥ DC ，然后根据平行线的性质得出 α = ∠ APE ， β = ∠ CPE ，即可得出答案；
（ 3 ）过点 P 作 PE ∥ AB 交 OA 于点 E ，同（ 2 ）中方法根据平行线的性质得出 α = ∠ APE ， β = ∠ CPE ，即可得出答案．
【详解】
解：（ 1 ）过点 P 作 PE ∥ AB ，
∵ AB ∥ CD ，
∴ PE ∥ AB ∥ CD ，
∴∠ A+ ∠ APE=180 °，∠ C+ ∠ CPE=180 °，
∵∠ PAB=128 °，∠ PCD=124 °，
∴∠ APE=52 °，∠ CPE=56 °，
∴∠ APC= ∠ APE+ ∠ CPE=108 °；
（ 2 ） ∠ APC= α + β．理由如下：
如图 2 ，过 P 作 PE ∥ AB 交 AC 于 E ，

∵ AB ∥ CD ，
∴ AB ∥ PE ∥ CD ，
∴α = ∠ APE ， β = ∠ CPE ，
∴∠ APC= ∠ APE+ ∠ CPE= α + β；
（ 3 ） ∠ APC= β - α．理由如下：
过点 P 作 PE ∥ AB 交 OA 于点 E ，
同（ 2 ）可得， α = ∠ APE ， β = ∠ CPE ，
∴∠ APC= ∠ CPE- ∠ APE= β - α．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．
13、 (1)证明见解析；(2)∠ ADF ＝ 62 ° .
【分析】
（ 1 ）根据四边形的内角和定理和 ∠ A ＝ ∠ C ＝ 90 °，得∠ ABC+ ∠ ADC ＝ 180 °；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和 BE 与 DF 两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行；
（ 2 ）根据四边形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
(1) 证明： ∵∠ A ＝ ∠ C ＝ 90° ，
∴∠ ABC+ ∠ ADC ＝ 180° ，
∵ BE 平分 ∠ ABC ， DF 平分 ∠ ADC ，
∴∠ 1 ＝ ∠ 2 ＝ ∠ ABC ， ∠ 3 ＝ ∠ 4 ＝ ∠ ADC ，
∴∠ 1+ ∠ 3 ＝ ( ∠ ABC+ ∠ ADC) ＝ ×180° ＝ 90° ，
又 ∠ 1+ ∠ AEB ＝ 90° ，
∴∠ 3 ＝ ∠ AEB ，
∴ BE ∥ DF ；
(2) 解： ∵∠ ABC ＝ 56° ，
∴∠ ADC ＝ 360° ﹣ ∠ A ﹣ ∠ C ﹣ ∠ ABC ＝ 124° ，
∵ DF 平分 ∠ CDA ，
∴∠ ADF ＝ ∠ ADC ＝ 62° ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，角平分线定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，熟练掌握基础知识并正确运用是解题的关键．
14、 ∠FDE  角平分线的定义  ∠FDE  等量代换  ∠1＝∠FDE
等量代换 DF∥BE  内错角相等，两直线平行
【解析】
试题分析 ： 由角平分线的定义得出 ∠ EDF = ∠ ADE = 30 °， 得出 ∠ 1 = ∠ EDF ， 即可得出结论．
试题解析 ： 解 ： ∵ DF 平分 ∠ ADE ， （已知）
∴∠ EDF = ∠ ADE ．（角平分线定义）
∵∠ ADE = 60 °， （已知）
∴∠ EDF = 30 °．（ 等量代换 ）
∵∠ 1 = 30 °， （已知）
∴∠ 1 = ∠ EDF ， （等量代换）
∴ DF ∥ BE ， （内错角相等 ， 两直线平行） ；
故答案为： ∠ EDF ， 角平分线定义 ； ∠ EDF ， 等量代换 ； ∠ 1 = ∠ EDF ， 等量代换 ； DF ∥ BE ， 内错角相等 ， 两直线平行．
点睛：本题考查了平行线的判定、角平分线的定义 ； 熟记内错角相等 ， 两直线平行 ， 证出 ∠ 1 = ∠ EDF 是解决问题的关键．
15、 （ 1） ①6；② 结论： （ 2）为 4 和 16 ．
【分析】
如图 1 中，以 A 为圆心 AB 为半径画弧交 CD 于 E ，作 的平分线交 BC 于点 P ，点 P 即为所求 理由勾股定理可得 DE ．
如图 2 中，结论： 只要证明 ， 即可解决问题．
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解： 如图 1 中，以 A 为圆心 AB 为半径画弧交 CD 于 E ，作 的平分线交 BC 于点 P ，点 P 即为所求．

在 中， ， ， ，
，
故答案为 6 ．
如图 2 中，结论： ．

理由：由翻折不变性可知： ， ，
垂直平分线段 BE ，
即 ，
，
，
，
．
如图 中，当点 Q 在线段 CD 上时，设 ．

在 中， ， ， ，
，
在 中， ，
，
，
．
如图 中，当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，

，
，
，
，
，
在 中， ，
，
综上所述，满足条件的 DQ 的值为 4 或 16 ．
故答案为 4 和 16 ．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
16、 （ 1 ）平行于同一条直线的两条直线平行 两直线平行同旁内角互补 （ 2 ） ∠ CPD= ∠α + ∠β，理由见解析；（ 3 ） ∠ CPD= ∠β - ∠α或∠ CPD= ∠α - ∠β .
【分析】
（ 1 ）根据平行线的判定与性质填写即可；
（ 2 ）过 P 作 PE ∥ AD 交 CD 于 E ，推出 AD ∥ PE ∥ BC ，根据平行线的性质得出 ∠α = ∠ DPE ， ∠β = ∠ CPE ，即可得出答案；
（ 3 ）画出图形（分两种情况 ①点 P 在 BA 的延长线上， ②点 P 在 AB 的延长线上），根据平行线的性质得出 ∠α = ∠ DPE ， ∠β = ∠ CPE ，即可得出答案．
【详解】
解：（ 1 ）过点 P 作 PE ∥ AB ，
∵ PE ∥ AB( 作图知 )
又 ∵ AB ∥ CD ，
∴ PE ∥ CD ．（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠ A+ ∠ APE=180 °．
∠ C+ ∠ CPE=180 °．（两直线平行同旁内角互补）
∵∠ PAB=130 °，∠ PCD=120 °，
∴∠ APE=50 °，∠ CPE=60 °
∴∠ APC= ∠ APE+ ∠ CPE=110 °．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行 两直线平行同旁内角互补
（ 2 ） ∠ CPD= ∠α + ∠β，
理由是：如图 3 ，过 P 作 PE ∥ AD 交 CD 于 E ，

∵ AD ∥ BC ，
∴ AD ∥ PE ∥ BC ，
∴∠α = ∠ DPE ， ∠β = ∠ CPE ，
∴∠ CPD= ∠ DPE+ ∠ CPE= ∠α + ∠β；
（ 3 ）当 P 在 BA 延长线时，

过 P 作 PE ∥ AD 交直线 CD 于 E ，
同（ 2 ）可知： ∠α = ∠ DPE ， ∠β = ∠ CPE ，
∴∠ CPD= ∠β - ∠α；
当 P 在 AB 延长线时，

同（ 2 ）可知： ∠α = ∠ DPE ， ∠β = ∠ CPE ，
∴∠ CPD= ∠α - ∠β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
17、 （ 1 ）证明见解析；（ 2）70°
【解析】
试题分析： （ 1 ）根据角平分线的定义求得 ∠ BAC 的度数，然后根据内错角相等，两直线平行，证得结论；
（ 2 ）根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可求解．
试题解析：（ 1 ）证明： ∵ AC 平分 ∠ DAB，
∴∠ BAC= ∠ DAC= ∠ DAB= ×70°=35°，
又 ∵∠ 1=35°，
∴∠ 1= ∠ BAC，
∴ AB ∥ CD；
（ 2） ∵ AB ∥ CD，
∴∠ 2= ∠ DAB=70°．
18、 证明见解析
【分析】
根据对顶角的性质以及平行线的判定方法进行证明即可 .
【详解】
解： ∵∠ 1= ∠ 3 ， ∠ 1= ∠ 2 ，
∴∠ 2= ∠ 3 ，
∴ AB ∥ CD ．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的性质以及平行线的判定定理，熟练掌握对顶角相等与判定线段平行的判定定理是解题的关键 .
19、 （ 1）作图见解析；（2）证明见解析
【解析】
（ 1 ）利用基本作图作 ∠ ADB 的平分线 DE ；
（ 2 ）利用角平分线定义得到 ∠ ADE= ∠ BDE ，再根据三角形外角性质得 ∠ ADB= ∠ C+ ∠ DAC ，加上 ∠ C= ∠ DAC ，从而得到 ∠ BDE= ∠ C ，然后根据平行线的判定方法得到结论．
【详解】
（ 1 ）如图：

（ 2 ） ∵ DE 平分 ∠ ADB ， ∴∠ ADE= ∠ BDE ．
∵∠ ADB= ∠ C+ ∠ DAC ，而 ∠ C= ∠ DAC ， ∴ 2 ∠ BDE=2 ∠ C ，即 ∠ BDE= ∠ C ， ∴ DE ∥ AC ．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的判定．
20、 证明见解析 .
【解析】
分析：要证明 AB∥CD ，根据平行线的判定方法，只需证明 ∠AEC=∠DCE ，显然结合已知以及角平分线的定义就可解决．
详解： 平分 ，
，
又 ，
，
．
点睛：本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法 ． 平行线的判定方法： ① 两同位角相等，两直线平行 ； ② 内错角相等，两直线平行 ； ③ 同旁内角互补，两直线平行； ④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 .
21、 3 ，两直线平行，同位角相等， DE ，内错角相等，两直线平行， E ．
【分析】
根据平行线的性质与判定即可求解 .
【详解】
证明： ∵ AD ∥ BE （已知），
∴∠ A ＝ ∠ 3 （两直线平行，同位角相等），
又 ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 （已知），
∴ AC ∥ DE （内错角相等，两直线平行），
∴∠ 3 ＝ ∠ E （两直线平行，内错角相等），
∴∠ A ＝ ∠ E （等量代换），
故答案为 3 ，两直线平行，同位角相等， DE ，内错角相等，两直线平行， E ．
【点睛】
此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知其性质定理与判定定理进行求解 .
22、 （ 1）∠EDC =40°；（2）∠BED=(40+ n)°.
【解析】
试题分析：（ 1 ）根据平行线的性质，两直线平行内错角相等得 ∠ADC=80 0 ，在根据平分线即可求得 .
（ 2 ）如左边简图，本题要熟悉课本上的这样一道容易题的结论： ∠BED=∠ABE+∠EDC. 证法可参考答案，作辅助线，然后的思路不难完成了 . 详细过程见试题解析 .

试题解析：
（ 1 ） ∵ ， ∴ .
又 ∵ ， ∴ .
∵ 平分 ， ∴ .
（ 2 ）过点 作 ，则有 .
又 ∵ ， ∴ .∴ .
又 ∵ 平分 ， ∴ .
∴ .∴
考点： 1 平行线的判定与性质； 2 角平分线； 3 等式性质 .
23、 见解析
【分析】
依据同角的余角相等，即可得到 ∠ 3 ＝ ∠ 2 ，即可得出 DE ∥ BC ．
【详解】
解：证明： ∵ CD ⊥ AB （已知），
∴∠ 1+ ∠ 3 ＝ 90° （垂直定义）．
∵∠ 1+ ∠ 2 ＝ 90° （已知），
∴∠ 3 ＝ ∠ 2 （同角的余角相等）．
∴ DE ∥ BC （内错角相等，两直线平行）．

【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
24、 CD ∥ BE 理由见解析 .
【解析】
根据对顶角相等得出 ∠ DFB ＝ 70° ，进而利用同旁内角互补，两直线平行证明即可．
【详解】
解： CD ∥ BE ，理由如下：
∵∠ AFC ＝ 70° ，
∴∠ DFB ＝ 70° ，
∵∠ B ＝ 110° ，
∴∠ DFB+ ∠ B ＝ 180° ，
∴ CD ∥ BE ．
【点睛】
考查了平行线的判定定理，综合运用平行线的判定是解答此题的关键．
25、 (1)见解析  (2) 证明见解析
【解析】
试题分析 ： 由 判定 由 得到 进而证明
试题解析 ：

即：
在 和 中





26、 见解析 .
【分析】
理解题意，分析每一步的推导根据 . 由角的平分线定义得 ∠ ABD=2 ∠ α， ∠ BDC=2 ∠ β，
根据等量代换得 ∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2（∠α+∠β），由已知∠α+∠β=90°，再由等量代换得∠ABD+∠BDC=180°，最后根据“同旁内角互补两直线平行”得AB∥CD.
【详解】
BE 平分 ∠ ABD （已知），
∴∠ ABD=2 ∠ α （角平分线的定义）．
∵ DE 平分 ∠ BDC （已知），
∴∠ BDC=2 ∠ β （角平分线的定义）
∴∠ ABD+ ∠ BDC=2 ∠ α+2 ∠ β=2（ ∠ α+ ∠ β ）（等量代换）
∵∠ α+ ∠ β=90° （已知），
∴∠ ABD+ ∠ BDC=180° （等量代换）．
∴ AB ∥ CD （同旁内角互补两直线平行）．
故答案为角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【点睛】
本题考核知识点：平行线的证明 . 解题关键点：理解每一步的证明依据 .
27、 (1)作图见解析;(2)作图见解析;(3) l 1 与 l 2 的夹角与 ∠O相等或互补．
【分析】
(1)(2) 根据题意作图； (3) 根据 ∠1=∠O，∠2+∠O=180，进行等量代换得到结果.
【详解】
解： (1)(2) 如图所示 ；

(3)l 1 与 l 2 的夹角有两个： ∠1，∠2.因为∠1=∠O，∠2+∠O=180°，所以l 1 与 l 2 的夹角与 ∠O相等或互补.
【点睛】
本题主要考查的是作图的方法以及角的性质等知识点，熟练掌握是本题的解题关键 .
28、 见解析
【解析】
（ 1 ）首先证明 ∠ 1+ ∠ 3+ ∠ 2+ ∠ 4=180° ，进而证明 ∠ D+ ∠ B=180° ，即可解决问题．
（ 2 ）如图，作辅助线，证明 ∠ AEC+ ∠ ACE+ ∠ 3+ ∠ 4=180° ，即可解决问题．
试题解析 ：（ 1 ）如图 1，

∵∠ 1= ∠ 3， ∠ 2= ∠ 4，
∴∠ 1+ ∠ 3+ ∠ 2+ ∠ 4=2（ ∠ 1+ ∠ 2），
∵∠ 1+ ∠ 2=90°，
∴∠ 1+ ∠ 3+ ∠ 2+ ∠ 4=180°；
∵∠ D+ ∠ B+ ∠ 1+ ∠ 3+ ∠ 2+ ∠ 4=360°，
∴∠ D+ ∠ B=180°，
∴ DE ∥ BC．
（ 2 ）成立．
如图 2 ，连接 EC；

∵∠ 1= ∠ 3， ∠ 2= ∠ 4 ，且 ∠ 1+ ∠ 2=90°，
∴∠ 3+ ∠ 4= ∠ 1+ ∠ 2=90°；
∵∠ EAC=90°，
∴∠ AEC+ ∠ ACE=180°-90°=90°，
∴∠ AEC+ ∠ ACE+ ∠ 3+ ∠ 4=180°，
∴ DE ∥ BC，
即（ 1 ）中的结论仍成立．
29、 AB ∥ EF． 理由见解析 .
【分析】
依据平行线的性质，即可得到 ∠ BCD=70° ，进而得出 ∠ E+ ∠ DCE=180° ，进而得到 EF ∥ CD ，进而得到 AB ∥ EF．
【详解】
AB ∥ EF ，理由如下：
∵ AB ∥ CD，
∴∠ B= ∠ BCD， ∵∠ B=70°，
∴∠ BCD=70°， ∵∠ BCE=20°，
∴∠ ECD=50°，
∵ CEF=130°，
∴∠ E+ ∠ DCE=180°，
∴ EF ∥ CD，
∴ AB ∥ EF．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
30、 见解析 .
【解析】
根据角平分线定义求出 ∠ DAC ，求出 ∠ C= ∠ DAC ，根据平行线的判定（内错角相等；两直线平行）得出即可．
【详解】
角平分线的定义； 55°；∠ DAC ；内错角相等；两直线平行
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意找角的等量关系从而得到平行关系．
31、 证明见解析
【解析】
试题分析：先根据角平分线定义可证明 ∠ 1= ∠ 2 ，进而利用平行线的判定方法得出答案．
试题解析：证明： ∵ BF 平分 ∠ ABC， ∴∠ 1＝ ∠ FBC.
∵ DE 平分 ∠ ADC， ∴∠ 2＝ ∠ ADE.
∵∠ ABC＝ ∠ ADC， ∴∠ 1＋ ∠ FBC＝ ∠ 2＋ ∠ ADE，
∴ 2 ∠ 1＝2 ∠ 2， 即 ∠ 1＝ ∠ 2.
又 ∵∠ 1＝ ∠ 3， ∴∠ 2＝ ∠ 3，
∴ AB ∥ DC.
32、 证明见解析 .
【解析】
试题分析：在 中，根据勾股定理求出 的值，再在 中根据勾股定理的逆定理，判断出 AC ⊥ CD ，再根据平行线的判定即可求解．
试题解析：证明：在 中 根据勾股定理：
∵在 中，

∴根据勾股定理的逆定理， 为直角三角形，

∴ AD ∥ BC ．
33、 已知，等式的性质；已知，角平分线的定义； 1 ， 2 ，等量代换；已知， 3 ， AB ， DC ，内错角相等，两直线平行 .
【解析】
根据等式的性质，角平分线的定义，等量代换，平行线的判定方法求解即可 .
【详解】
证明： ∵∠ABC＝∠ADC ( 已知 ) ，
∴ ( 等式 的性质 ).
∵ BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC  ( 已知 ) ，
∴ ( 角平分线 的定义 ) ，
∴∠ 1 ＝ ∠ 2( 等量代换 ).
∵∠ 1＝∠3( 已知 ) ，
∴∠ 2＝∠3(等量代换) ，
∴ AB ∥ DC ( 内错角相等，两直线平行 ).
故答案为：已知，等式的性质；已知，角平分线的定义； 1 ， 2 ，等量代换；已知， 3 ， AB ， DC ，内错角相等，两直线平行 .
【点睛】
本题考查了等式的性质，角平分线的定义，等量代换，平行线的判定方法等知识 . 解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定方法 .
34、 （ 1 ） E//DC ；（ 2 ） ∠ AEB=65°
【分析】
（ 1）先由折叠性质可知 ，再由 ∠D=90°可得 ，进而求解即可；
（ 2）先运用平行线的性质可得 ，再由折叠的性质可得 ，进而求解即可．
【详解】
（ 1） E∥DC
由折叠可知 ∠A E=∠B=90°
∵∠D=90°
∴∠A E=∠D
∴ E ∥ DC
（ 2）∵B′E ∥ DC
∴∠ EB=∠C=130°
由折叠可知 ∠AEB=∠AE ，

∴∠AEB= ∠ EB= ×130°=65°
故答案为： 65°
【点睛】
本题主要是折叠的性质以及平行线的判定和性质，根据折叠的性质，找到折叠后相等的角和边；同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等．
35、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析 .
【分析】
（ 1 ）由垂直的定义，结合题目已知条件可利用 HL 证得结论；
（ 2 ）由（ 1 ）中结论可得到 ∠ D ＝ ∠ B ，则可证得结论．
【详解】
证明：
（ 1 ） ∵ ， ，
∴ 和 为直角三角形，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ；
（ 2 ）由（ 1 ）可知 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS 和 HL ）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
36、 两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换； 82 ； 20
【分析】
感知与填空：根据平行公理及平行线的性质即可填写；
应用与拓展：根据感知与填空的方法添加辅助线即可得到 ∠ E+ ∠ F= ∠ B+ ∠ G+ ∠ D ，即可得到答案；
方法与实践：过点 F 作平行线，用同样的思路证明即可得到 ∠ D 的度数 .
【详解】
感知与填空：
两直线平行，内错角相等；
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
两直线平行，内错角相等；
等量代换，
应用与拓展：如图，作 GM ∥ AB ，
由感知得： ∠ E= ∠ B+ ∠ EGM,
∵ AB ∥ CD,GM ∥ AB,
∴ GM ∥ CD,
∴∠ F= ∠ D+ ∠ FGM,
∴∠ E+ ∠ F= ∠ B+ ∠ D+ ∠ EGF,
∵ ,
∴∠ E+ ∠ F= ,
故答案为： 82.

方法与实践：如图：作 FM ∥ AB ，
∴∠ MFB+ ∠ B= ,
∵ ,
∴∠ MFB= - ∠ B= ,
∵ ,
∴∠ MFE= ,
∵∠ E= ∠ MFE+ ∠ D, ,
∴∠ D= ,
故答案为： 20.

【点睛】
此题考查平行公理的运用及平行线的性质定理，解此题的关键是理解感知部分的作线方法，得到的方法的总结，由此才能正确解答后面的问题 .
37、 证明见解析
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定 “SAS”证明 △AED≌△CFB(SAS) ，然后根据全等三角形的性质和平行线的判定证明即可 .
试题解析： ∵AB＝CD，∴AB＋BD＝CD＋BD ，即 AD＝CB ，在 △AED 和 △CFB 中， ∴△AED≌△CFB(SAS)，∴∠BDE＝∠DBF，∴BF∥DE
38、 证明见解析
【分析】
根据角平分线定义可得 ∠ 2= ∠ ECD ，再利用等量代换可得 ∠ 1= ∠ ECD ，根据平行线的性质可得 AB ∥ CD ．
【详解】
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线定义）．
又 （已知），
∴ （等量代换）．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理 .
39、 70°
【分析】
由 CD ⊥ AB ， EF ⊥ AB 可得出 ∠ CDF= ∠ EFB=90° ，利用 “ 同位角相等，两直线平行 ” 可得出 CD ∥ EF ，利用 “ 两直线平行，同位角相等 ” 可得出 ∠ DCB= ∠ 1 ，结合 ∠ 1= ∠ 2 可得出 ∠ DCB= ∠ 2 ，利用 “ 内错角相等，两直线平行 ” 可得出 DG ∥ BC ，利用 “ 两直线平行，同位角相等 ” 可得出 ∠ ADG 的度数，在 △ ADG 中，利用三角形内角和定理即可求出 ∠ AGD 的度数 .
【详解】
解： ∵ CD ⊥ AB ， EF ⊥ AB ，
∴∠ CDF ＝ ∠ EFB ＝ 90° ，
∴ CD ∥ EF ，
∴∠ DCB ＝ ∠ 1 ．
∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ，
∴∠ DCB ＝ ∠ 2 ，
∴ DG ∥ BC ，
∴∠ ADG ＝ ∠ B ＝ 45° ．
又 ∵在△ ADG 中， ∠ A ＝ 65° ， ∠ ADG ＝ 45° ，
∴∠ AGD ＝ 180° ﹣ ∠ A ﹣ ∠ ADG ＝ 70°
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，利用平行线的性质求出 ∠ ADG 的度数是解题的关键 .
40、 证明见解析
【解析】
根据角平分线定义求出 ∠ BEF=2 ∠ GEF ， ∠ DFE=2 ∠ GFE ，求出 ∠ BEF+ ∠ DFE=180° ，根据平行线的判定推出即可
【详解】
因为 EG 平分 ， FG 平分 （已知），
所以 ， （角平分线的定义），
所以 （等式的性质） .
又因为 （已知），
所以 ，
所以 （同旁内角互补，两直线平行） .
【点睛】
本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定是： ①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
三、填空题
1、 ∠ A+ ∠ ABC=180° 或 ∠ C+ ∠ ADC=180° 或 ∠ CBD= ∠ ADB 或 ∠ C= ∠ CDE
【解析】
分析：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断．
详解：若 ，则 BC ∥ AD；
若 ∠ C+ ∠ ADC=180° ，则 BC ∥ AD；
若 ∠ CBD= ∠ ADB ，则 BC ∥ AD；
若 ∠ C= ∠ CDE ，则 BC ∥ AD；
故答案为： ∠ A+ ∠ ABC=180° 或 ∠ C+ ∠ ADC=180° 或 ∠ CBD= ∠ ADB 或 ∠ C= ∠ CDE ．（答案不唯一）
点睛：本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
2、 同位角相等，两直线平行
【分析】
利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行．
【详解】
给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故答案是：同位角相等，两直线平行．
【点睛】
考查了作图 - 复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定．
3、 120
【解析】
分析：先过点 B 作 BF∥CD ，由 CD∥AE ，可得 CD∥BF∥AE， 继而证得 ∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180° ，又由 BA 垂直于地面 AE 于 A，∠BCD=150° ，求得答案．
详解：如图，过点 B 作 BF∥CD，

∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，
∵∠BCD=150°，∠BAE=90°，
∴∠1=30°，∠2=90°，
∴∠ABC=∠1+∠2=120°．
故答案为 120．
点睛：此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
4、
【分析】
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【详解】
解： ∵∠ 1 ＋ ∠ 3 ＝ 180° ，
∴ a ∥ b （同旁内角互补，两直线平）．
故答案为 ∠ 1 ＋ ∠ 3 ＝ 180° ．
【点睛】
本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
5、 互相垂直．
【解析】
依据 ， ， ， ， ，可得 ，即可得到 与 的位置关系是互相垂直．
【详解】
解： ， ， ，
，
按此规律， ，
又 ， ，
，
以此类推，
，
，
故答案为：互相垂直．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是根据已知条件得出规律： ．
6、 平行 平行 垂直
【解析】
根据平行公理的推论，可由 ，得出 a∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由 ，得到 a∥c；根据 ， ，得到 a⊥c.
故答案为平行，平行，垂直 .
点睛：由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（ 1）,因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（2），再根据平行线的性质可求解（3）．
7、 ①②④ ．
【解析】
① 如果 a∥b ， a⊥c ，那么 b⊥c 是真命题，故本选项正确，
② 如果 b∥a ， c∥a ，那么 b∥c 是真命题，故本选项正确，
③ 如果 b⊥a ， c⊥a ，那么 b⊥c 是假命题，故本选项错误，
④ 如果 b⊥a ， c⊥a ，那么 b∥c 是真命题，故本选项正确，
故答案为 ①②④ ．
8、 70 ．
【详解】
解：过 B 作 BD ∥ a ，
∵直线 a 平移后得到直线 b ，
∴ a ∥ b ，
∴ BD ∥ b ，
∴∠ 4= ∠ 2 ， ∠ 3= ∠ 1=60° ，
∴∠ 2= ∠ ABC- ∠ 3=70° ，
故答案为： 70 ．

9、 ∠EAD＝∠B 或 ∠ DAC＝∠C
【解析】
当 ∠EAD＝∠B 时，根据 “ 同位角相等，两直线平行 ” 可得 AD//BC；
当 ∠DAC＝∠C 时，根据 “ 内错角相等，两直线平行 ” 可得 AD//BC；
当 ∠DAB+∠ B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC，
故答案是： ∠EAD＝∠B 或 ∠ DAC＝∠C 或 ∠DAB+∠B=180° （答案不唯一） .
10、 ①③④⑤．
【解析】
直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【详解】
①∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ，
∴ a ∥ b ，故此选项正确；
②∠ 3 ＝ ∠ 6 无法得出 a ∥ b ，故此选项错误；
③∵∠ 4+ ∠ 7 ＝ 180° ，
∴ a ∥ b ，故此选项正确；
④∵∠ 5+ ∠ 3 ＝ 180° ，
∴∠ 2+ ∠ 5 ＝ 180° ，
∴ a ∥ b ，故此选项正确；
⑤∵∠ 7 ＝ ∠ 8 ， ∠ 6 ＝ ∠ 8 ，
∴∠ 6 ＝ ∠ 7 ，
∴ a ∥ b ，故此选项正确；
综上所述，正确的有 ①③④⑤．
故答案为 ①③④⑤．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的几种判定方法是解题关键．
11、 ①③④
【分析】
根据平行线的判定逐项分析即可．
【详解】
解： ①∵∠ B+ ∠ BCD=180° ，
∴ AB ∥ CD ；
②∵∠ 1= ∠ 2 ，
∴ AD ∥ CB ；
③∵∠ 3= ∠ 4 ，
∴ AB ∥ CD ；
④∵∠ B= ∠ 5 ，
∴ AB ∥ CD ，
一定能判定 AB ∥ CD 的条件有 ①③④，
故答案为： ①③④．
【点睛】
本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
12、 答案不唯一，当添加条件 ∠EDC=∠C 或 ∠E=∠EBC 或 ∠E+∠EBA=180° 或 ∠A+∠ADE=180° 时 ， 都可以得到 DE∥AB.
【分析】
根据平行线的判定方法结合图形进行分析解答即可 .
【详解】
由图可知，要使 DE ∥AB，可以添加以下条件：
（ 1 ）当 ∠ EDC=∠C 时 ， 由 “内错角相等，两直线平行”可得 DE∥AB；
（ 2 ）当 ∠ E=∠EBC 时，由 “内错角相等，两直线平行”可得 DE∥AB；
（ 3 ）当 ∠ E+∠EBA=180° 时 ， 由 “同旁内角互补，两直线平行”可得 DE∥AB；
（ 4 ）当 ∠ A+∠ADE=180° 时 ， 由 “同旁内角互补，两直线平行”可得 DE∥AB.
故本题答案不唯一 ， 当添加条件 ∠EDC=∠C 或 ∠E=∠EBC 或 ∠E+∠EBA=180° 或 ∠A+∠ADE=180° 时 ， 都可以得到 DE∥AB.
【点睛】
熟悉 “平行线的判定方法”是解答本题的关键 .
13、 经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行
【详解】
解 :如图，∵ MC∥AB，NC∥AB，
∴ 直线 MC 与 NC 互相重合（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行） .
故答案为 :经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
14、 b//c
【分析】
根据垂直于同一直线的两直线平行即可解题 .
【详解】
解 ： ∵b⊥a, c⊥a,
∴b//c.
【点睛】
本题考查了平行线的性质 , 属于简单题 , 熟悉性质是解题关键 .