试卷 初中数学2021年初专题练——等腰三角形训练题（一）【含详解】100道

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初中数学2021年初专题练——等腰三角形训练题（一）【含详解】


姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共33题）
1、 若实数 m、n 满足 ，且 m、n 恰好是等腰 △ ABC 的两条边的边长，则 △ ABC 的周长是 （ ）
A ． 12 B ． 10 C ． 8或10 D ． 6
2、 如图，等边三角形 ABC 中， AD ⊥ BC ，垂足为 D ，点 E 在线段 AD 上， ∠ EBC=45° ，则 ∠ ACE 等于（　　）

A ． 15° B ． 30° C ． 45° D ． 60°
3、 如图， AD，CE 分别是 △ ABC 的中线和角平分线．若 AB=AC， ∠ CAD=20° ，则 ∠ ACE 的度数是（　　）

A ． 20° B ． 35° C ． 40° D ． 70°
4、 如图， △ ABC 的周长为 19 ，点 D，E 在边 BC 上， ∠ ABC 的平分线垂直于 AE ，垂足为 N， ∠ ACB 的平分线垂直于 AD ，垂足为 M ，若 BC=7 ，则 MN 的长度为（　　）

A ． B ． 2 C ． D ． 3
5、 如图，两条直线 l 1 ∥ l 2 ， Rt △ ACB 中， ∠ C=90°，AC=BC ，顶点 A、B 分别在 l 1 和 l 2 上， ∠ 1=20° ，则 ∠ 2 的度数是（　　）

A ． 45° B ． 55° C ． 65° D ． 75°
6、 如图所示， △ ABP 与 △ CDP 是两个全等的等边三角形，且 PA ⊥ PD ，有下列四个结论： ① ∠ PBC ＝ 15 °， ②AD ∥ BC ， ③PC ⊥ AB ， ④ 四边形 ABCD 是轴对称图形，其中正确的个数为（　　）

A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
7、 “ 三等分角 ” 大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的 . 借助如图所示的 “ 三等分角仪 ” 能三等分任一角 . 这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在 点相连并可绕 转动， 点固定， ，点 ， 可在槽中滑动，若 ，则 的度数是（ ）

A ． 60° B ． 65° C ． 75° D ． 80°
8、 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， D 为 BC 上一点，且 DA ＝ DC ， BD ＝ BA ，则 ∠ B 的大小为 ( )

A ． 40° B ． 36° C ． 30° D ． 25°
9、 如图，在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ C=70°， △ AB′C′ 与 △ ABC 关于直线 EF 对称， ∠ CAF=10°， 连接 BB′ ，则 ∠ ABB′ 的度数是（ ）

A ． 30° B ． 35° C ． 40° D ． 45°
10、 如图，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好落在边 上，点 的对应点为 ，连接 ．下列结论一定正确的是（ ）

A ． B ． C ． D ．
11、 如图， ABC 是等腰三角形，点 O 是底边 BC 上任意一点， OE、OF 分别与两边垂直，等腰三角形 ABC 的腰长为 5 ，面积为 12 ，则 OE+OF 的值为

A ． 4 B ． C ． 15 D ． 8
12、 如图，是三个正方形拼成的一个长方形，则 ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3= （　　）

A ． 60° B ． 75° C ． 90° D ． 105°
13、 如图，在 △ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 中点， ∠BAD=35° ，则 ∠C 的度数为（  ）

A ． 35° B ． 45° C ． 55° D ． 60°
14、 已知一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 4 ，则该等腰三角形的周长为（ ）
A ． 8 或 10 B ． 8 C ． 10 D ． 6 或 12
15、 如果一个三角形的三边 、 、 ，满足 ，那么这个三角形一定是（ ）
A ． 等边三角形 B ． 等腰三角形 C ． 不等边三角形 D ． 直角三角形
16、 如图， △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，垂足为 D ， DE ∥ AB ，交 AC 于点 E ，则下列结论不正确的是（　　）

A ． ∠ CAD ＝ ∠ BAD B ． BD ＝ CD C ． AE ＝ ED D ． DE ＝ DB
17、 如图， AB ⊥ AC ， CD 、 BE 分别是 △ ABC 的角平分线， AG ∥ BC ， AG ⊥ BG ，下列结论： ①∠ BAG ＝ 2 ∠ ABF ； ② BA 平分 ∠ CBG ； ③∠ ABG ＝ ∠ ACB ； ④∠ CFB ＝ 135° ，其中正确的结论有（　　）个

A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
18、 已知等腰 △ ABC 的周长为 18cm，BC＝8cm ，若 △ ABC 与 △ A′B′C ′全等，则△ A′B′C ′的腰长等于（　　）
A ． 8cm B ． 2cm 或 8cm C ． 5cm D ． 8cm 或 5cm
19、 △ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 5 ， BC ＝ 8 ，点 P 是 BC 边上的动点，过点 P 作 PD ⊥ AB 于点 D ， PE ⊥ AC 于点 E ，则 PD+PE 的长是（　　）
A ． 4.8 B ． 4.8 或 3.8 C ． 3.8 D ． 5
20、 如图， AD 是 的角平分线， ， ，垂足分别为点 E 、点 F ，连接 EF 与 AD 相交于点 O ，下列结论不一定成立的是

A ． B ． C ． D ．
21、 在平面直角坐标系中，等腰 △ ABC 的顶点 A、B 的坐标分别为（ 0，0）、（2，2 ），若顶点 C 落在坐标轴上，则符合条件的点 C 有（　　）个 ．
A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
22、 如图， ， ，则 等于（ ）

A ． B ． C ． D ．
23、 在 中， ， 于 ， 平分 交 于 ，则下列结论一定成立的是（ ）

A ． B ． C ． D ．
24、 已知一个等腰三角形的两边长 a 、 b 满足方程组 则此等腰三角形的周长为 （ ）
A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 5 或 4
25、 如图，坐标平面内一点 A(2 ，－ 1) ， O 为原点， P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P 、 O 、 A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为 ( )

A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
26、 如图，已知 ．按照以下步骤作图： ①以点 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交 的两边于 ， 两点，连接 ． ②分别以点 ， 为圆心，以大于线段 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，连接 ， ． ③连接 交 于点 ．下列结论中错误的是（　　）

A ． B ．
C ． D ．
27、 如图， ， ， ，则 的度数是

A ． B ． C ． D ．
28、 如图，正方形 ABCD 的边长为 4 ，点 E 在对角线 BD 上，且 ， EF⊥AB ，垂足为 F ，则 EF 的长为

A ． 1 B ． C ． D ．
29、 若等腰三角形的一个外角等于 14 0°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）
A ． 40 ° B ． 100 ° C ． 40 °或 70 ° D ． 40 °或 100 °
30、 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）

A ． B ． C ． D ．
31、 如图， M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（　　）

A ． 12 B ． 14 C ． 16 D ． 18
32、 如图， 内有一点 D ，且 ，若 ，则 的大小是 (   )

A ． B ． C ． D ．
33、 已知等腰三角形的三边长分别为 ，且 a 、 b 是关于 的一元二次方程 的两根，则 的值是（　　）
A ． B ． C ． 或 D ． 或
二、解答题（共50题）
1、 已知：如图，抛物线 y=ax 2 +bx+c 与坐标轴分别交于点 A （ 0 ， 6 ）， B （ 6 ， 0 ）， C （﹣ 2 ， 0 ），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点．
（ 1 ）求抛物线的解析式；
（ 2 ）当点 P 运动到什么位置时， △ PAB 的面积有最大值？
（ 3 ）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D ，再过点 P 做 PE ∥ x 轴交抛物线于点 E ，连结 DE ，请问是否存在点 P 使 △ PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．

2、 已知 : 在 中 , , 为 的中点 , , , 垂足分别为点 , 且 . 求证 : 是等边三角形 .

3、 已知 △ABC的三边长a，b，c满足a 2 ﹣ 2ab+b 2 =ac﹣bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
4、 若关于 的二元一次方程组 的解都为正数．
（ 1 ）求 a 的取值范围；
（ 2 ）若上述方程组的解是等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形周长为 9 ，求 a 的值．
5、 在平面直角坐标系 xOy 中， A（-1 ， 0） ， B（1 ， 0） ， C（0 ， 1 ），点 D 为 x 轴正半轴上的一个动点，点 E 为第一象限内一点，且 CE ⊥ CD ， CE=CD ．
（ 1 ）试说明： ∠ EBC＝ ∠ CAB ；
（ 2 ）取 DE 的中点 F ，连接 OF ，试判断 OF 与 AC 的位置关系，并说明理由；
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，试探索 O、D、F 三点能否构成等腰三角形，若能，请直接写出所有符合条件的点 D 的坐标；若不能，请说明理由．

6、 如图，在 △ ABC 和 △ ADE 中， AB=AC，AD=AE ，且 ∠ BAC= ∠ DAE ，点 E 在 BC 上．过点 D 作 DF ∥ BC ，连接 DB．

求证：（ 1） △ ABD ≌△ ACE；
（ 2）DF=CE．
7、 如图所示 , 在 △ABC 中 ,∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 O, 过点 O 作 EF∥BC, 交 AB 于点 E, 交 AC 于点 F.

(1) 若 ∠ABC=40°,∠ACB=60°, 求 ∠BOE+∠COF 的度数 ;
(2) 若 △AEF 的周长为 8 cm, 且 BC=4 cm, 求 △ABC 的周长 .
8、 如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， △ ABC 的边 BC 在 x 轴上， A，C 两点的坐标分别为 A（0，m），C（n，0），B（﹣5，0 ），且（ n﹣3） 2 + =0 ．一动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 单位长度的速度沿射线 BO 匀速运动，设点 P 运动的时间为 ts．

（ 1 ）求 A，C 两点的坐标；
（ 2 ）连接 PA ，若 △ PAB 为等腰三角形，求点 P 的坐标；
（ 3 ）当点 P 在线段 BO 上运动时，在 y 轴上是否存在点 Q ，使 △ POQ 与 △ AOC 全等？若存在，请求出 t 的值并直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
9、 在 △ABC 中， DE 垂直平分 AB ，分别交 AB，BC 于点 D，E，MN 垂直平分 AC ，分别交 AC，BC 于点 M，N.
（ 1） 如图 ① ，若 ∠BAC ＝ 110° ，求 ∠EAN 的度数；
（ 2） 如图 ② ，若 ∠BAC ＝70° ，求 ∠EAN 的度数；
（ 3） 若 ∠BAC ＝ α（α ≠ 90°） ，直接写出用 α 表示 ∠EAN 大小的代数式．

10、 如图，已知 △ ABC 中， AB ＝ BC ， D 为 AC 中点，过点 D 作 DE ∥ BC ，交 AB 于点 E ．
（ 1 ）求证： AE ＝ DE ；
（ 2 ）若 ∠ C ＝ 65 °，求∠ BDE 的度数．

11、 已知 △ABD 与 △GDF 都是等腰直角三角形， BD 与 DF 均为斜边（ BD＜DF）．
（ 1 ）如图 1，B，D，F 在同一直线上，过 F 作 MF⊥GF 于点 F ，取 MF=AB ，连结 AM 交 BF 于点 H ，连结 GA，GM．
① 求证： AH=HM；
② 请判断 △GAM 的形状，并给予证明；
③ 请用等式表示线段 AM，BD，DF 的数量关系，并说明理由．
（ 2 ）如图 2，GD⊥BD ，连结 BF ，取 BF 的中点 H ，连结 AH 并延长交 DF 于点 M ，请用等式直接写出线段 AM，BD，DF 的数量关系．

12、 如图，在 △ ABC 中， AB=AC, 点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上， BD=CE ， BE 、 CD 相交于点 0 ；
求证：（ 1 ）
（ 2 ）

13、 已知：在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 E ，且 AC ⊥ BD ，作 BF ⊥ CD ，垂足为点 F，BF 与 AC 交于点 C， ∠ BGE= ∠ ADE．
（ 1 ）如图 1 ，求证： AD=CD；
（ 2 ）如图 2，BH 是 △ ABE 的中线，若 AE=2DE，DE=EG ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 △ ADE 面积的 2 倍．

14、 如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点， ，交 轴于点 ，对称轴是直线 ．

(1) 求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2) 连接 ， 是线段 上一点， 关于直线 的对称点 正好落在 上，求点 的坐标；
(3) 动点 从点 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 运动，过 作 轴的垂线交抛物线于点 ，交线段 于点 ．设运动时间为 秒．
①若 与 相似，请直接写出 的值；
② 能否为等腰三角形？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
15、 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题 :
如图一， △ ABC 中， ∠ A=90° ， AB=AC ， BD 平分 ∠ ABC ，猜想线段 AD 与 DC 数量关系 . 小明发现可以用下面方法解决问题 : 作 DE ⊥ BC 交 BC 于点 E ：
(1) 根据阅读材料可得 AD 与 DC 的数量关系为 __________.
(2) 如图二， △ ABC 中， ∠ A=120° ， AB=AC ， BD 平分 ∠ ABC ，猜想线段 AD 与 DC 的数量关系，并证明你的猜想 .
(3) 如图三， △ ABC 中， ∠ A=100° ， AB=AC ， BD 平分 ∠ ABC ，猜想线段 AD 与 BD 、 BC 的数量关系，并证明你的猜想 .

16、 （ 1 ）如图 1 ，在 Rt △ ABC 和 Rt △ ADE 中， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，且点 D 在 BC 边上滑动（点 D 不与点 B ， C 重合），连接 EC ，
①则线段 BC ， DC ， EC 之间满足的等量关系式为 ；
②求证： BD 2 +CD 2 ＝ 2AD 2 ；
（ 2 ）如图 2 ，在四边形 ABCD 中， ∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ ∠ ADC ＝ 45° ．若 BD ＝ 9 ， CD ＝ 3 ，求 AD 的长．

17、 已知：关于 x 的方程 x 2 － 4mx＋4m 2 － 1＝0.
(1) 不解方程，判断方程的根的情况；
(2) 若 △ ABC 为等腰三角形， BC＝5 ，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长． 2
18、 已知：如图所示，在 中， 为中线， 交 分别于 ，如果 ，求证： ．

19、 如图，在 △ ABC 中， AB＝AC，D 是 BC 上任意一点， 过点 D 分别向 AB、AC 引垂线，垂足分别为点 E、F.
(1) 如图 ①，当点 D 在 BC 的什么位置时， DE＝DF ？并证明；
(2) 在满足第一问的条件下，连接 AD ，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等三角形 ( 不必证明 )；
(3) 如图 ②，过点 C 作 AB 边上的高 CG ，请问 DE、DF、CG 的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．

20、 已知关于 x 的方程 x 2 -(m+1)x+2(m-1)=0 ，
（ 1 ）求证：无论 m 取何值时，方程总有实数根；
（ 2 ）若等腰三角形腰长为 4 ，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长 .
21、 如图 ①，△ ABC 中， AB=AC ， ∠ B 、 ∠ C 的平分线交于 O 点，过 O 点作 EF ∥ BC 交 AB 、 AC 于 E 、 F.

(1) 图 ①中有几个等腰三角形 ? 猜想 :EF 与 BE 、 CF 之间有怎样的关系 .
(2) 如图 ② , 若 AB≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗 ? 如果有，分别指出它们 . 在第 (1) 问中 EF 与 BE 、 CF 间的关系还存在吗 ?
(3) 如图 ③，若△ ABC 中 ∠ B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O ，过 O 点作 OE ∥ BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F. 这时图中还有等腰三角形吗 ?EF 与 BE 、 CF 关系又如何 ? 说明你的理由 .
22、 如图，在 中， ， 于点 D ．
（ 1 ）若 ，求 的度数；
（ 2 ）若点 E 在边 AB 上， 交 AD 的延长线于点 F ．求证： ．

23、 在 中， ．

(1) 如图 ①，以点 为直角顶点， 为腰在 右侧作等腰 ，过点 作 交 的延长线于点 ．求证： ．
(2) 如图 ②，以 为底边在 左侧作等腰 ，连接 ，求 的度数．
(3) 如图 ③， 中， , 垂足为点 ，以 为边在 左侧作等边 , 连接 交 于 ， , , 求 的长．
24、 如图，已知 E 、 F 分别是 □ABCD 的边 BC 、 AD 上的点，且 BE=DF
⑴求证：四边形 AECF 是平行四边形；
⑵若 BC=10 ， ∠ BAC=90° ，且四边形 AECF 是菱形，求 BE 的长．

25、 如图， △ ABC 是 ⊙ O 的内接三角形， AB 是 ⊙ O 的直径， OF ⊥ AB ，交 AC 于点 F ，点 E 在 AB 的延长线上，射线 EM 经过点 C ，且 ∠ ACE+ ∠ AFO=180°.
（ 1 ）求证： EM 是 ⊙ O 的切线；
（ 2 ）若 ∠ A= ∠ E,BC= ，求阴影部分的面积 . （结果保留 和根号） .

26、 如图，一次函数 的图象与 ， 轴分别交于 ， 两点，点 与点 关于 轴对称 . 动点 ， 分别在线段 ， 上（点 与点 ， 不重合），且满足 .
（ 1 ）求点 ， 的坐标及线段 的长度；
（ 2 ）当点 在什么位置时， ，说明理由；
（ 3 ）当 为等腰三角形时，求点 的坐标 .

27、 将一副三角尺按图 1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G， ．
（ 1）求GC的长；
（ 2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．
（ 3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．

28、 如图，在 中， ， 为边 上的点，且 ， 为线段 的中点，过点 作 ，过点 作 ，且 、 相交于点 .

（ 1 ）求证：
（ 2 ）求证：
29、 如图，在 △ ABC 中， AB＝AC，D，E，F 分别在三边上，且 BE＝CD，BD＝CF，G 为 EF 的中点．
(1) 若 ∠ A＝40° ，求 ∠ B 的度数；
(2) 试说明： DG 垂直平分 EF.

30、 如图，在 中，点 分别在边 上，连接 ，且 ．
（ 1 ）证明： ；
（ 2 ）若 ，当点 D 在 上运动时（点 D 不与 重合），且 是等腰三角形，求此时 的长．

31、 如图，在 中， ， D 在边 AC 上，且 ．
如图 1 ，填空 ______ ， ______
如图 2 ，若 M 为线段 AC 上的点，过 M 作直线 于 H ，分别交直线 AB 、 BC 与点 N 、 E ．
求证： 是等腰三角形；
试写出线段 AN 、 CE 、 CD 之间的数量关系，并加以证明．

32、 如图，点 D ， E 在 △ABC 的边 BC 上， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，求证： BD ＝ CE.

33、 如图 1，Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB=90° ，点 D 为边 AC 上一点， DE ⊥ AB 于点 E ，点 M 为 BD 中点， CM 的延长线交 AB 于点 F
（ 1 ）求证 ： CM=EM；
（ 2 ）若 ∠ BAC=50°， 求 ∠ EMF 的大小；
（ 3 ）如图 2， 若 △ DAE ≌△ CEM， 点 N 为 CM 的中点 ， 求证 ： AN ∥ EM

34、 如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝ x + 2 与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B 两点，点 C （ 2 ， m ）为直线 y ＝ x + 2 上一点，直线 y ＝﹣ x + b 过点 C ．

（ 1 ）求 m 和 b 的值；
（ 2 ）直线 y ＝﹣ x + b 与 x 轴交于点 D ，动点 P 从点 D 开始以每秒 1 个单位的速度向 x 轴负方向运动．设点 P 的运动时间为 t 秒．
①若点 P 在线段 DA 上，且 △ ACP 的面积为 10 ，求 t 的值；
②是否存在 t 的值，使 △ ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由．
35、 已知：如图所示，在 中， 平分 ，求证： ．

36、 如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A （﹣ 1.0 ）， B （ 3 ， 0 ）两点，与 y 轴交于点 C （ 0 ，﹣ 3 ），顶点为 D ．
（ 1 ）求此抛物线的解析式．
（ 2 ）求此抛物线顶点 D 的坐标和对称轴．
（ 3 ）探究对称轴上是否存在一点 P ，使得以点 P 、 D 、 A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 P 点的坐标，若不存在，请说明理由．

37、 在 △ ABC 中， AB=AC ， AC 上的中线 BD 把三角形的周长分为 24 ㎝和 30 ㎝的两个部分，求三角形的三边长．
38、 如图，已知：在 △ABC中，AD平分∠ BAC ， AB=AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E . 求证： AB+AC=2AE .

39、 如图， △ ABC 和 △ DEC 都是等腰三角形，点 C 为它们的公共直角顶点，连接 AD 、 BE ， F 为线段 AD 的中点，连接 CF ．
（ 1 ）如图 1 ，当 D 点在 BC 上时， BE 与 CF 的数量关系是 __________ ；
（ 2 ）如图 2 ，把 △ DEC 绕 C 点顺时针旋转 90° ，其他条件不变，问（ 1 ）中的关系是否仍然成立？请说明理由；
（ 3 ）如图 3 ，把 △ DEC 绕 C 点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（ 1 ）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．

40、 如图， 和 是两个全等的三角形， ， . 现将 和 按如图所示的方式叠放在一起 ， 保持不动， 运动，且满足：点 E 在边 BC 上运动 ( 不与点 B，C 重合 ) ，且边 DE 始终经过点 A，EF 与 AC 交于点 M .
（ 1 ）求证： ∠ BAE= ∠ MEC；
（ 2 ）当 E 在 BC 中点时，请求出 ME：MF 的值；
（ 3 ）在 的运动过程中， 能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的 BE 的长；若不能，则请说明理由 ．

41、 如图，在 中， CD 是斜边 AB 上的中线， ，垂足为 E

如果 ， ，那么 ______cm ， ______cm ：
求证： ．
42、 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD 于点 E，AB=BC，F 为四边形 ABCD 外一点，且 ∠ FCA=90°， ∠ CBF= ∠ DCB，
（ 1 ）求证：四边形 DBFC 是平行四边形；
（ 2 ）如果 BC 平分 ∠ DBF， ∠ CDB=45°，BD=2 ，求 AC 的长．

43、 如图，点 O 是等边 △ ABC 内一点， D 是 △ ABC 外的一点， ∠ AOB ＝ 110 °，∠ BOC ＝ α ， △ BOC ≌△ ADC ， ∠ OCD ＝ 60 °，连接 OD ．

（ 1 ）求证： △ OCD 是等边三角形；
（ 2 ）当 α ＝ 150 °时，试判断△ AOD 的形状，并说明理由；
（ 3 ）探究：当 α 为多少度时， △ AOD 是等腰三角形．
44、 如图， △ ACB 和 △ DCE 均为等腰三角形，点 A ， D ， E 在同一直线上，连接 BE ．

（ 1 ）如图 1 ，若 ∠ CAB ＝ ∠ CBA ＝ ∠ CDE ＝ ∠ CED ＝ 50 °．
① 求证： AD ＝ BE ；
② 求 ∠ AEB 的度数．
（ 2 ）如图 2 ，若 ∠ ACB ＝ ∠ DCE ＝ 90 °， CF 为 △ DCE 中 DE 边上的高，试猜想 AE ， CF ， BE 之间的关系，并证明你的结论．
45、 如图所示，在 中， 交 于点 ，点 是 中点， 交 的延长线于点 ，交 于点 ，若 ，求证： 为 的平分线 .

46、 如图，在 △ ABC 中，已知 ∠ ABC＝45° ，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D ，过点 B 作 BM⊥AC 于点 M，CD 与 BM 相交于点 E ，且点 E 是 CD 的中点，连接 MD ，过点 D 作 DN⊥MD ，交 BM 于点 N．
（ 1 ）求证： △ DBN≌△DCM；
（ 2 ）请探究线段 NE、ME、CM 之间的数量关系，并证明你的结论．

47、 如图 1， 已知 A（ ， 0），B（0， ） 分别为两坐标轴上的点 ， 且 、 满足 ， OC∶OA=1∶3．
（ 1） 求 A、B、C 三点的坐标 ；
（ 2） 若 D（1，0）， 过点 D 的直线分别交 AB、BC 于 E、F 两点 ， 设 E、F 两点的横坐标分别为 ．当 BD 平分 △BEF 的面积时 ， 求 的值 ；
（ 3） 如图 2， 若 M（2，4）， 点 P 是 轴上 A 点右侧一动点 ， AH⊥PM 于点 H， 在 HM 上取点 G， 使 HG=HA， 连接 CG， 当点 P 在点 A 右侧运动时 ， ∠CGM 的度数是否改变？若不变 ， 请求其值 ； 若改变 ， 请说明理由 ．

48、 如图，在 △ ABC 中， AB = AC ， D 是 BC 边上的中点，连结 AD ， BE 平分 ∠ ABC 交 AC 于点 E ，过点 E 作 EF ∥ BC 交 AB 于点 F ．

（ 1 ）若 ∠ C = 36 °，求∠ BAD 的度数．
（ 2 ）若点 E 在边 AB 上， EF // AC 叫 AD 的延长线于点 F ．求证： FB = FE ．
49、 如图，在 中， ， 是斜边 上的中线，以 为直径的 分别交 、 于点 、 ，过点 作 ，垂足为 ．

（ 1 ）若 的半径为 ， ，求 的长；（ 2 ）求证： 与 相切．
50、 如图， P 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的任一点， PE ⊥ AB 于 E,PF ⊥ AC 于 F ， BH 是等腰三角形 AC 边上的高．猜想： PE 、 PF 和 BH 间具有怎样的数量关系？

三、填空题（共17题）
1、 如图，将 绕直角顶点 C 顺时针旋转 ，得到 ，连接 AD ，若 ，则 ______．

2、 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30° ，则顶角的度数为 __________ ．
3、 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=OB ，点 E 、点 F 分别是 OA、OD 的中点，连接 EF， ∠ CEF=45°，EM ⊥ BC 于点 M，EM 交 BD 于点 N，FN= ，则线段 BC 的长为 _____ ．

4、 如图所示，在等腰 △ABC 中， AB=AC，∠A=36° ，将 △ABC 中的 ∠A 沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处．若 AE= ，则 BC 的长是 _____ ．

5、 在 △ABC 中， ∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB 的平分线交 AB 于 D，AE 平分 ∠BAC 交 BC 于 E ，连接 DE，DF⊥BC 于 F ，则 ∠EDC= _____ °．

6、 如图钢架中，焊上等长的 13 根钢条来加固钢架，若 AP 1 =P 1 P 2 =P 2 P 3 =…=P 13 P 14 =P 14 A ，则 ∠A 的度数是 ．

7、 如图， ∠ AOB=60 °， OC 平分 ∠ AOB ，如果射线 OA 上的点 E 满足 △ OCE 是等腰三角形，那么 ∠ OEC 的度数为 ________

8、 如图，在 △ABC 和 △DBC 中， ∠A=40° ， AB=AC=2 ， ∠BDC=140° ， BD=CD ，以点 D 为顶点作 ∠MDN=70° ，两边分别交 AB ， AC 于点 M ， N ，连接 MN ，则 △AMN 的周长为 ___________ ．

9、 下图所示的网格是正方形网格， ________ ．（填 “ ”，“ ” 或 “ ”）

10、 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， BC ＝ 6 ，点 F 是 BC 的中点，点 D 是 AB 的中点，连接 AF 和 DF ，若 △ DBF 的周长是 11 ，则 AB ＝ _____ ．

11、 如图，在等腰 △ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则BC= _____ cm

12、 如图，在 ΔABC 中， ∠ A=36°,AB=AC,BD 平分 ∠ ABC ，则图中等腰三角形的个数是 __________

13、 如图，在 △ ABC 中， AB=AC ，以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长线于点 D ，连结 BD ，若 ∠ A=32° ，则 ∠ CDB 的大小为 _____ 度．

14、 如图，正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 与 BE 相交于点 F ，则 _______ 度．

15、 已知一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 6 ，则等腰三角形的周长是 _____ ．
16、 在 △ ABC 中， AB＝AC＝2 ， BC＝4，P 是 AB 上一点，连接 PC ，以 PC 为直径作 ⊙ M 交 BC 于 D ，连接 PD ，作 DE ⊥ AC 于点 E ，交 PC 于点 G ，已知 PD＝PG ，则 BD＝ _____ .

17、 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中， 的顶点 A 在格点上， B 是小正方形边的中点， ， ，经过点 A ， B 的圆的圆心在边 AC 上．

（ Ⅰ）线段 AB 的长等于 _______________ ；
（ Ⅱ）请用 无刻度 的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 P ，使其满足 ，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明） _____ ．

============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
根据绝对值和二次根式的非负性得 m、n 的值，再分情况讨论： ①若腰为 2 ，底为 4 ，由三角形两边之和大于第三边，舍去； ②若腰为 4 ，底为 2 ，再由三角形周长公式计算即可 .
【详解】
由题意得： m-2=0，n-4=0， ∴ m=2，n=4，
又 ∵ m、n 恰好是等腰 △ ABC 的两条边的边长，
①若腰为 2 ，底为 4 ，此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为 4 ，底为 2 ，则周长为： 4+4+2=10，
故选 B.
【点睛】
本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出 m、n 的值是解题的关键 .
2、 A
【分析】
先判断出 AD 是 BC 的垂直平分线，进而求出 ∠ ECB=45° ，即可得出结论．
【详解】
∵等边三角形 ABC 中， AD ⊥ BC，
∴ BD=CD ，即： AD 是 BC 的垂直平分线，
∵点 E 在 AD 上，
∴ BE=CE，
∴∠ EBC= ∠ ECB，
∵∠ EBC=45°，
∴∠ ECB=45°，
∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ ACB=60°，
∴∠ ACE= ∠ ACB- ∠ ECB=15°，
故选 A．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出 ∠ ECB 是解本题的关键．
3、 B
【分析】
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 ∠ CAB=2 ∠ CAD=40°， ∠ B= ∠ ACB= （ 180°- ∠ CAB）=70° ．再利用角平分线定义即可得出 ∠ ACE= ∠ ACB=35°．
【详解】
∵ AD 是 △ ABC 的中线， AB=AC， ∠ CAD=20°，
∴∠ CAB=2 ∠ CAD=40°， ∠ B= ∠ ACB= （ 180°- ∠ CAB）=70°．
∵ CE 是 △ ABC 的角平分线，
∴∠ ACE= ∠ ACB=35°．
故选 B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出 ∠ ACB=70° 是解题的关键．
4、 C
【分析】
证明 △ BNA ≌△ BNE ，得到 BA=BE ，即 △ BAE 是等腰三角形，同理 △ CAD 是等腰三角形，根据题意求出 DE ，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解： ∵ BN 平分 ∠ ABC，BN ⊥ AE，
∴∠ NBA= ∠ NBE， ∠ BNA= ∠ BNE，
在 △ BNA 和 △ BNE 中，
，
∴△ BNA ≌△ BNE，
∴ BA=BE，
∴△ BAE 是等腰三角形，
同理 △ CAD 是等腰三角形，
∴点 N 是 AE 中点，点 M 是 AD 中点（三线合一），
∴ MN 是 △ ADE 的中位线，
∵ BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴ DE=BE+CD-BC=5，
∴ MN= DE= ．
故选 C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
5、 C
【解析】 根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】 ∵ l 1 ∥ l 2 ，
∴∠ 1+ ∠ CAB= ∠ 2，
∵ Rt △ ACB 中， ∠ C=90°，AC=BC，
∴∠ CAB=45°，
∴∠ 2=20°+45°=65°，
故选 C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
6、 D
【分析】
根据周角的定义先求出 ∠ BPC 的度数，再根据对称性得到 △ BPC 为等腰三角形， ∠ PBC 即可求出；根据题意：有 △ APD 是等腰直角三角形； △ PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形 ABCD 是轴对称图形，进而可得 ②③④正确．
【详解】
根据题意， ，
，
， 正确；
根据题意可得四边形 ABCD 是轴对称图形， ④正确；
∵∠ DAB+ ∠ ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴ AD//BC， ②正确；
∵∠ ABC+ ∠ BCP=60°+15°+15°=90°，
∴ PC ⊥ AB， ③正确，
所以四个命题都正确 ，
故选 D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键 .
7、 D
【分析】
根据 OC=CD=DE ，可得 ∠ O= ∠ ODC ， ∠ DCE= ∠ DEC ，根据三角形的外角性质可知 ∠ DCE= ∠ O+ ∠ ODC=2 ∠ ODC 据三角形的外角性质即可求出 ∠ ODC 数，进而求出 ∠ CDE 的度数．
【详解】
∵ ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
.
故答案为 D.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
8、 B
【分析】
根据 AB ＝ AC 可得 ∠ B ＝ ∠ C ， CD ＝ DA 可得 ∠ ADB ＝ 2 ∠ C ＝ 2 ∠ B ， BA ＝ BD ，可得 ∠ BDA ＝ ∠ BAD ＝ 2 ∠ B ，在 △ ABD 中利用三角形内角和定理可求出 ∠ B ．
【详解】
解： ∵ AB ＝ AC ，
∴∠ B ＝ ∠ C ，
∵ CD ＝ DA ，
∴∠ C ＝ ∠ DAC ，
∵ BA ＝ BD ，
∴∠ BDA ＝ ∠ BAD ＝ 2 ∠ C ＝ 2 ∠ B ，
设 ∠ B ＝ α ，则 ∠ BDA ＝ ∠ BAD ＝ 2α ，
又 ∵∠ B ＋ ∠ BAD ＋ ∠ BDA ＝ 180° ，
∴ α ＋ 2α ＋ 2α ＝ 180° ，
∴ α ＝ 36° ，即 ∠ B ＝ 36° ，
故选 B ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
9、 C
【分析】
由轴对称图形的性质可得 △ BAC ≌ △ B′AC′， 进而结合三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】
如图，连接 BB′
∵△ AB′C′ 与 △ ABC 关于直线 EF 对称，
∴△ BAC ≌△ B′AC′，
∵ AB=AC， ∠ C=70°，
∴∠ ABC= ∠ AC′B′= ∠ AB′C′=70°，
∴∠ BAC= ∠ B′AC′=40°，
∵∠ CAF=10°，
∴∠ C′AF=10°，
∴∠ BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，
∴∠ ABB′= ∠ AB′B=40°，
故选 C．

【点睛】
本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质 ， 正确得出 ∠ BAC 的度数是解题关键．
10、 D
【分析】
利用旋转的性质得 AC=CD ， BC=EC ， ∠ ACD= ∠ BCE ，所以选项 A 、 C 不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出 ，所以选项 D 正确；再根据 ∠ EBC
= ∠ EBC+ ∠ ABC= ∠ A+ ∠ ABC= - ∠ ACB 判断选项 B 不一定正确即可．
【详解】
解： ∵ 绕点 顺时针旋转得到 ，
∴ AC=CD ， BC=EC ， ∠ ACD= ∠ BCE ，
∴∠ A= ∠ CDA= ； ∠ EBC= ∠ BEC= ,
∴选项 A 、 C 不一定正确
∴∠ A = ∠ EBC
∴选项 D 正确．
∵∠ EBC= ∠ EBC+ ∠ ABC= ∠ A+ ∠ ABC= - ∠ ACB 不一定等于 ，
∴选项 B 不一定正确；
故选 D ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
11、 B
【解析】
连接 AO ，根据 S △ ABC =S △ ABO +S △ AOC ，结合 AB=AC=5 ，利用三角形面积公式进行求解即可 .
【详解】
连接 AO ，如图，
∵ AB=AC=5，
∴ S △ ABC =S △ ABO +S △ AOC = AB•OE+ AC•OF= OE+ OF=12，
∴ OE+OF= ，
故选 B．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线将三角形分成两个小三角形并正确地表示面积是解题的关键 .
12、 C
【解析】 容易看出 ∠ 3=45°, 关键求出 ∠ 2 与 ∠ 1 的和是 45°， 根据 证 ∆AIJ~∆CIA, 得 ∠ 2= ∠ CAI, 再由 ∠ 1+ ∠ 2= ∠ CAI+ ∠ CAD =45° 可推出结果 .
【详解】如图

设三个小正方形的边长为 1 个单位．
在正方形 ABCD 中 ∠ 3=45° ，则 ∠ AIC=135° ，且 ∠ 1= ∠ CAD．
∵∠ AIJ= ∠ CIA，
,
,
即 ，
所以 ∆AIJ~∆CIA,
所以 ∠ 2= ∠ CAI,
又 ∠ 1= ∠ CAD，
则 ∠ 1+ ∠ 2= ∠ CAI+ ∠ CAD =45°，
∴∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=90°．
故正确选项为： C
【点睛 】 本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理以及正方形的性质．
13、 C
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到 AD 平分 ∠BAC ， AD⊥BC ，因此 ∠DAC=∠BAD=35° ， ∠ADC=90° ，从而可求得 ∠C=55°.
故选 C
考点：等腰三角形三线合一
14、 C
【解析】
试题分析： ①2 是腰长时，三角形的三边分别为 2 、 2 、 4 ， ∵2+2=4 ， ∴ 不能组成三角形，
②2 是底边时，三角形的三边分别为 2 、 4 、 4 ，能组成三角形，周长 =2+4+4=10 ，
综上所述，它的周长是 10 ．故选 C ．
考点： 1 ．等腰三角形的性质； 2 ．三角形三边关系； 3 ．分类讨论．
15、 B
【解析】
由已知 推出 =0 即（ a-b ）（ b-c ） =0 ，即可判定三角形边的关系 .
【详解】
解：
=0
（ a-b ）（ b-c ） =0
即： a=b 或 b=c ，则三角形一定为等腰三角形；
故答案为 B.
【点睛】
本题考查了三角形形状的判定，其关键在于对等式的变形，推导出 a 、 b 、 c 的关系 .
16、 D
【解析】
根据等腰三角形的性质，平行线的性质解答即可．
【详解】
∵ AB=AC ， AD ⊥ BC ， ∴∠ CAD= ∠ BAD ， A 正确，不符合题意；
BD=CD ， B 正确，不符合题意；
∵ DE ∥ AB ， ∴∠ EDA= ∠ BAD ．
∵∠ EAD= ∠ BAD ， ∴∠ EAD= ∠ EDA ， ∴ AE=ED ， C 正确，不符合题意；
DE 与 DB 的关系不确定， D 错误，符合题意．
故选 D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
17、 C
【分析】
由已知条件可知 ∠ ABC+ ∠ ACB=90° ，又因为 CD 、 BE 分别是 △ ABC 的角平分线，所以得到 ∠ FBC+ ∠ FCB=45° ，所以求出 ∠ CFB=135° ；有平行线的性质可得到： ∠ ABG= ∠ ACB ， ∠ BAG=2 ∠ ABF ．所以可知选项 ①③④正确．
【详解】
∵ AB ⊥ AC ．
∴∠ BAC ＝ 90° ，
∵∠ BAC+ ∠ ABC+ ∠ ACB ＝ 180° ，
∴∠ ABC+ ∠ ACB ＝ 90°
∵ CD 、 BE 分别是 △ ABC 的角平分线，
∴ 2 ∠ FBC+2 ∠ FCB ＝ 90°
∴∠ FBC+ ∠ FCB ＝ 45°
∴∠ BFC ＝ 135° 故 ④正确．
∵ AG ∥ BC ，
∴∠ BAG ＝ ∠ ABC
∵∠ ABC ＝ 2 ∠ ABF
∴∠ BAG ＝ 2 ∠ ABF 故 ①正确．
∵ AB ⊥ AC ，
∴∠ ABC+ ∠ ACB ＝ 90° ，
∵ AG ⊥ BG ，
∴∠ ABG+ ∠ GAB ＝ 90°
∵∠ BAG ＝ ∠ ABC ，
∴∠ ABG ＝ ∠ ACB 故 ③正确．
故选 C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
18、 D
【解析】
分析：因为 BC 是腰是底不确定，因而有两种可能，当 BC 是底时， △ ABC 的腰长是 5cm ，当 BC 是腰时，腰长就是 8cm ，且均能构成三角形，因为 △ A′B′C′ 与 △ ABC 全等，所以 △ A′B′C′ 的腰长也有两种相同的情况： 8cm 或 5cm．
详解：分为两种情况：当 BC 是底时， △ ABC 的腰长是 5cm，
∵△ ABC 与 △ A′B′C′ 全等，
∴△ A′B′C′ 的腰长也是 5cm；
当 BC 是腰时，腰长就是 8cm ，且均能构成三角形，
∵△ A′B′C′ 与 △ ABC 全等，
∴△ A′B′C′ 的腰长也等于 8cm，
即 △ A′B′C′ 的腰长为 8cm 或 5cm，
故选 D．
点睛：本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质的应用，用了分类讨论思想．
19、 A
【分析】
过 A 点作 AF ⊥ BC 于 F ，连结 AP ，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得 AF 的长，由图形得 S ABC ＝ S ABP +S ACP ，代入数值，解答出即可．
【详解】
解：过 A 点作 AF ⊥ BC 于 F ，连结 AP ，
∵△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 5 ， BC ＝ 8 ，
∴ BF ＝ 4 ，
∴△ ABF 中， AF ＝ 3 ，
∴ ，
12 ＝ ×5× （ PD+PE ）
PD+PE ＝ 4.8 ．

故选 A ．
【点睛】
考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
20、 C
【分析】
首先运用角平分线的性质得出 DE=DF，再由HL证明 Rt△ADE≌Rt △ADF，即可得出AE=AF；根据SAS即可证明△AEG≌△AFG，即可得到OE=OF．
【详解】
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在 Rt △ADE和 Rt △ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAO=∠FAO，
在 △AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴OE=OF，
故 A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，
故选 C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
21、 D
【分析】
要使 △ ABC 是等腰三角形 ， 可分三种情况（ ①若 AC=AB， ②若 BC=BA， ③若 CA=CB ）讨论 ， 通过画图就可解决问题 ．
【详解】
①若 AC=AB， 则以点 A 为圆心 ， AB 为半径画圆 ， 与坐标轴有 4 个交点 ；

②若 BC=BA， 则以点 B 为圆心 ， BA 为半径画圆 ， 与坐标轴有 2 个交点（ A 点除外） ；
③若 CA=CB， 则点 C 在 AB 的垂直平分线上 ．
∵ A（0，0），B（2，2）， ∴ AB 的垂直平分线与坐标轴有 2 个交点 ．
综上所述 ： 符合条件的点 C 的个数有 8 个 ．
故选 D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识 ， 还考查了动手操作的能力 ， 运用分类讨论的思想是解决本题的关键 ．
22、 D
【分析】
根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算 .
【详解】
解： ∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选： D.
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系 .
（ 1 ）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（ 2 ）三角形的内角和是 180 度 . 求角的度数常常要用到 “ 三角形的内角和是 这一隐含的条件 .
23、 C
【解析】 分析：根据同角的余角相等可得出 ∠ BCD= ∠ A ，根据角平分线的定义可得出 ∠ ACE= ∠ DCE ，再结合 ∠ BEC= ∠ A+ ∠ ACE、 ∠ BCE= ∠ BCD+ ∠ DCE 即可得出 ∠ BEC= ∠ BCE ，利用等角对等边即可得出 BC=BE ，此题得解．
详解： ∵∠ ACB=90°，CD ⊥ AB，
∴∠ ACD+ ∠ BCD=90 ° ， ∠ ACD+ ∠ A=90 ° ，
∴∠ BCD= ∠ A．
∵ CE 平分 ∠ ACD，
∴∠ ACE= ∠ DCE．
又 ∵∠ BEC= ∠ A+ ∠ ACE， ∠ BCE= ∠ BCD+ ∠ DCE，
∴∠ BEC= ∠ BCE，
∴ BC=BE．
故选 C．
点睛：本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出 ∠ BEC= ∠ BCE 是解题的关键．
24、 A
【解析】
试题分析 : 解方程组 得：
所以，等腰三角形的两边长为 2 ， 1 ．
若腰长为 1 ，底边长为 2 ，由 1+1=2 知，这样的三角形不存在．
若腰长为 2 ，底边长为 1 ，则三角形的周长为 5 ．
所以这个等腰三角形的周长为 5 ．
故选 A.
考点 : 1. 等腰三角形的性质； 2. 解二元一次方程组．
25、 C
【详解】
以 O 点为圆心， OA 为半径作圆与 x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以 A 点为圆心， OA 为半径作圆与 x 轴交于两点（ O 点除外）．以 OA 中点为圆心 OA 长一半为半径作圆与 x 轴有一交点．共 4 个点符合，
26、 C
【分析】
利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可．
【详解】
由作图步骤可得： 是 的角平分线，
∴ ∠COE=∠DOE ，
∵ OC=OD ， OE=OE ， OM=OM ，
∴△COE ≌△ DOE ，
∴ ∠CEO=∠DEO ，
∵ ∠COE=∠DOE ， OC=OD ，
∴CM=DM ， OM ⊥ CD ，
∴ S 四边形 OCED =S △ COE +S △ DOE = ，
但不能得出 ，
∴ A 、 B 、 D 选项正确，不符合题意， C 选项错误，符合题意，
故选 C ．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握 5 种基本作图 ( 作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 ) 是解题的关键 .
27、 A
【分析】
直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出 ∠ 2 的度数．
【详解】
，
，
，
，
=180°- ∠ ACD- ∠ CAD= ，
故选 A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出 的度数是解题关键．
28、 C
【解析】
分析：在正方形 ABCD 中， ∠ABD=∠ADB=45° ，
∵∠BAE=22.5° ， ∴∠DAE=90° － ∠BAE=90° － 22.5°=67.5° ．
在 △ADE 中， ∠AED=180°-45°-67.5°=67.5° ， ∴∠DAE=∠ADE ． ∴AD=DE=4 ．
∵ 正方形的边长为 4 ， ∴BD= ． ∴BE=BD － DE= ．
∵EF⊥AB ， ∠ABD=45° ， ∴△BEF 是等腰直角三角形．
∴EF= BE= = ．故选 C ．
29、 D
【分析】
先分情况讨论：若顶角的外角等于 140° ；若底角的外角等于 140° ，再结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理求顶角．
【详解】
当这个内角为顶角时 ， 则顶角为 40°，
当这个内角为底角时 ， 则两个底角都为 40°， 此时顶角为： 180°−40°−40°=100°，
故选 D.
【点睛】
本题主要考查了外角的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和的相关知识，进行分类讨论是解题的关键 .
30、 A
【分析】
根据三角形的内角和定理得出 ∠ CAF+ ∠CFA=90°，∠ FAD+ ∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠ CEF= ∠ CFE ，即可得出 EC=FC ，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】
过点 F 作 FG ⊥ AB 于点 G ，

∵∠ ACB=90 °， CD ⊥ AB ， ∴∠ CDA =90°，∴∠ CAF+ ∠ CFA =90°，∠ FAD+ ∠ AED =90°，∵ AF 平分 ∠ CAB ， ∴∠ CAF= ∠ FAD ， ∴∠ CFA= ∠ AED= ∠ CEF ， ∴ CE=CF ， ∵ AF 平分 ∠ CAB ， ∠ ACF= ∠ AGF =90°，∴ FC=FG ， ∵∠ B= ∠ B ， ∠ FGB= ∠ ACB =90°，∴△ BFG ∽△ BAC ， ∴ ， ∵ AC=3 ， AB=5 ， ∠ ACB =90°，∴ BC=4 ， ∴ ， ∵ FC=FG ， ∴ ，解得： FC= ，即 CE 的长为 ．故选 A ．
【点睛】
本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出 ∠ CEF= ∠ CFE ．
31、 C
【解析】

延长线段 BN交AC于E.
∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.
在 △ABN与△AEN中，
∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90 ∘ ，
∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.
又 ∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.故选C.
32、 A
【详解】
分析：如果延长 BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ，所以 ，又 ，根据等腰三角形等边对等角的性质得出 ，进而得出结果．
详解：延长 BD交AC于E．
，
．
又 ，
，
．
故选 A．

点睛：本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
33、 A
【分析】
分三种情况讨论， ①当 a=4 时， ②当 b=4 时， ③当 a=b 时；结合韦达定理即可求解；
【详解】
解：当 时， ，
是关于 的一元二次方程 的两根，
，
不符合；
当 时， ，
是关于 的一元二次方程 的两根，
，
不符合；
当 时，
是关于 的一元二次方程 的两根，
，
，
，
；
故选 A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．
二、解答题
1、 （ 1 ）抛物线解析式为 y= ﹣ x 2 +2x+6 ；（ 2 ）当 t=3 时， P(3, ), △ PAB 的面积有最大值；（ 3 ）点 P （ 4 ， 6 ）．
【分析】
（ 1 ）利用待定系数法进行求解即可得；
（ 2 ）作 PM ⊥ OB 与点 M ，交 AB 于点 N ，作 AG ⊥ PM ，先求出直线 AB 解析式为 y= ﹣ x+6 ，设 P （ t ，﹣ t 2 +2t+6 ），则 N （ t ，﹣ t+6 ），由 S △ PAB =S △ PAN +S △ PBN = PN•AG+ PN•BM= PN•OB 列出关于 t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
（ 3 ）由 PH ⊥ OB 知 DH ∥ AO ，据此由 OA=OB=6 得 ∠ BDH= ∠ BAO=45° ，结合 ∠ DPE=90° 知若 △ PDE 为等腰直角三角形，则 ∠ EDP=45° ，从而得出点 E 与点 A 重合，求出 y=6 时 x 的值即可得出答案．
【详解】
（ 1 ） ∵抛物线过点 B （ 6 ， 0 ）、 C （﹣ 2 ， 0 ），
∴设抛物线解析式为 y=a （ x ﹣ 6 ）（ x+2 ），
将点 A （ 0 ， 6 ）代入，得：﹣ 12a=6 ，
解得： a= ﹣ ，
所以抛物线解析式为 y= ﹣ （ x ﹣ 6 ）（ x+2 ） = ﹣ x 2 +2x+6 ；
（ 2 ）如图 1 ，过点 P 作 PM ⊥ OB 与点 M ，交 AB 于点 N ，作 AG ⊥ PM 于点 G ，

设直线 AB 解析式为 y=kx+b ，
将点 A （ 0 ， 6 ）、 B （ 6 ， 0 ）代入，得：
，
解得： ，
则直线 AB 解析式为 y= ﹣ x+6 ，
设 P （ t ，﹣ t 2 +2t+6 ）其中 0 ＜ t ＜ 6 ，
则 N （ t ，﹣ t+6 ），
∴ PN=PM ﹣ MN= ﹣ t 2 +2t+6 ﹣（﹣ t+6 ） = ﹣ t 2 +2t+6+t ﹣ 6= ﹣ t 2 +3t ，
∴ S △ PAB =S △ PAN +S △ PBN
= PN•AG+ PN•BM
= PN• （ AG+BM ）
= PN•OB
= × （﹣ t 2 +3t ） ×6
= ﹣ t 2 +9t
= ﹣ （ t ﹣ 3 ） 2 + ，
∴当 t=3 时， P(3, ), △ PAB 的面积有最大值；
（ 3 ） △ PDE 为等腰直角三角形，
则 PE=PD ，
点 P （ m ， - m 2 +2m+6 ），
函数的对称轴为： x=2 ，则点 E 的横坐标为： 4-m ，
则 PE=|2m-4| ，
即 - m 2 +2m+6+m-6=|2m-4| ，
解得： m=4 或 -2 或 5+ 或 5- （舍去 -2 和 5+ ）
故点 P 的坐标为：（ 4 ， 6 ）或（ 5- ， 3 -5 ）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键 .
2、 证明见解析 .
【解析】
分析：由等腰三角形的性质得到 ∠ B =∠ C ．再用 HL 证明 Rt △ ADE ≌ Rt △ CDF ，得到 ∠ A =∠ C ，从而得到 ∠ A =∠ B =∠ C ，即可得到结论．
详解： ∵ AB = AC ， ∴∠ B =∠ C ．
∵ DE ⊥ AB ， DF ⊥ BC ， ∴∠ DEA =∠ DFC = 90° ．
∵ D 为的 AC 中点， ∴ DA = DC ．
又 ∵ DE = DF ， ∴ Rt Δ AED ≌ Rt Δ CDF ( HL )，
∴∠ A =∠ C ，
∴∠ A =∠ B =∠ C ，
∴Δ ABC 是等边三角形．
点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明 ∠ A =∠ C ．
3、 见解析 .
【解析】
试题分析：根据因式分解法，把原式进行变形，化为 ab=0 的形式，然后根据其性质求出 a 、 b 、 c 的关系，然后判断三角形的形状 .
试题解析： △ ABC 为等腰三角形．
∵ a 2 ﹣ 2ab+b 2 =ac ﹣ bc ，
∴（ a ﹣ b ） 2 =c （ a ﹣ b ），
∴（ a ﹣ b ） 2 ﹣ c （ a ﹣ b ） =0 ，
∴（ a ﹣ b ）（ a ﹣ b ﹣ c ） =0 ，
∵ a 、 b 、 c 是 △ ABC 的三边长，
∴ a ﹣ b ﹣ c≠0 ，
∴ a ﹣ b=0 ，
∴ a=b ，
∴△ ABC 为等腰三角形．
4、 （ 1） a>1； （ 2） a 的值为 2.
【解析】
分析 ：（ 1 ）先解方程组用含 a 的代数式表示 x，y 的值，再代入有关 x，y 的不等关系得到关于 a 的不等式求解即可；
（ 2 ）首先用含 a 的式子表示 x 和 y ，由于 x、y 的值是一个等腰三角形两边的长，所以 x、y 可能是腰也可能是底，依次分析即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三角形．
详解：（ 1） 得： ，
∵ ，且的二元一次方程组 的解都为正数 .
∴ ，
∴ ， 即 a>1.
（ 2）因为二元一次方程组的解是等腰三角形的一条腰和底边长，周长为 9，
分类讨论： ①当 x=a-1 为腰时，有：
2（a-1）+a+2=9，
解得 a=3，
此时三角形三边为（ 2，2，5 ）（不符合题意，舍去）
②当 y=a+2 为腰时，有：
2（a+2）+a-1=9，
解得 a=2，
此时三角形三边为（ 1，4，4 ）（符合题意）
综上所述： a 的值为 2.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质 , 二元一次方程组的解 , 三角形三边关系 .
5、 （ 1）证明见解析；（2） OF ∥ AC；（3）D(1，0) 或 D（1+ ， 0）
【解析】
（ 1 ）易证 △ AOC ， △ BOC 均为等腰直角三角形，且 ∠ ACD= ∠ ECB ，从而得到
△ ACD ≌△ BCE ，由全等三角形对应角相等即可得出结论；
（ 2 ）作 FL ⊥ OC ， FK ⊥ OB ，易证 ∠ CFL= ∠ KFD ， CF=DF= DE， 得到 △ CFL ≌△ DFK ，由全等三角形对应边相等得到 FL=FK， 由角平分线判定定理得到 OF 平分 ∠ COB ，从而得到 ∠ COF= ∠ BOF=45°， 即可得到 OF ∥ AC ．
（ 3 ）设 D（x，0）(x＞0)． 则 OD=x， 过 E 作 EG⊥y 轴于 G， 则 △ EGC≌△COD， 得到 E 的坐标 ， 由中点坐标公式得到 F 的坐标 ， 由两点间距离公式得到 OF，DF 的长 ． 然后分三种情况讨论 ： ①OD=OF，②OD=FD，③OF=FD．
【详解】
（ 1 ） ∵ A （ -1 ， 0 ）， B （ 1 ， 0 ）， C （ 0 ， 1 ）， ∴ AO=CO=BO=1 ．
∵ CO ⊥ AB ， ∴ AC=BC ， △ AOC ， △ BOC 均为等腰直角三角形， ∴∠ CBO= ∠ BCO= ∠ ACO= ∠ CAO =45° ， ∠ ACB=90° ，即 ∠ ACD+ ∠ BCD =90° ．
又 ∵ CE ⊥ CD ， ∴∠ ECB+ ∠ BCD =90° ， ∴∠ ACD= ∠ ECB ．
在 △ ACD 与 △ BCE 中， ∵ ， ∴△ ACD ≌△ BCE ， ∴∠ EBC ＝ ∠ CAB ．
（ 2 ） OF ∥ AC． 理由如下：
作 FL ⊥ OC ， FK ⊥ OB ，如图， ∵ CO ⊥ BO ， ∴∠ LFK =90° ，

∵ CE=CD ，点 F 是 DE 的中点， ∴ CF ⊥ DE， ∴∠ CFL+ ∠ LFD =90°．
又 ∵∠ KFD+ ∠ LFD =90° ， ∴∠ CFL= ∠ KFD ．
∵ CE ⊥ CD ，点 F 是 DE 的中点， ∴ CF=DF= DE．
在 △ CFL 与 △ DFK 中， ∵ ， ∴△ CFL ≌△ DFK ， ∴ FL=FK．
又 ∵ FL ⊥ OC ， FK ⊥ OB ， ∴ OF 平分 ∠ COB ， ∴∠ COF= ∠ BOF=45°．
又 ∵∠ CAO =45° ， ∠ BOF= ∠ CAO ， ∴ OF ∥ AC ．
（ 3 ）设 D（x，0）(x＞0)． 则 OD=x， 过 E 作 EG⊥y 轴于 G．
∵CE ⊥ CD ， ∴∠ ECD = 90 °，∴∠ GCE +∠ DCO = 90 °．
∵∠ GCE +∠ GEC = 90 °，∴∠ GEC =∠ OCD ．
∵∠ EGC =∠ COD = 90 °， CE=CD，∴△EGC≌△COD，∴GE=OC=1，CG=OD=x，∴E（1，x+1）．
∵F 为 ED 的中点 ， ∴F( ， )，∴OF= = ， DF= = ．
△ODF 为等腰三角形 ， 分三种情况讨论 ：
①OD=OF， 则 x= ， 解得 ： x= ， ∴D( ， 0)；
②OD=FD， 则 x= ， 解得 ： x=±1 （负数舍去） ， ∴x=1，∴D(1，0)；
③OF=FD， 则 = ， 解得 ： x=0( 舍去 )， ∴此种情况不成立 ．
综上所述 ： D(1，0) 或 D( ， 0)．

【点睛】
本题是三角形综合题 ． 考查了全等三角形的判定与性质 ， 等腰三角形的判定 ， 两点间距离公式、勾股定理、角平分线的判定定理等知识点 ， 难度较大 ． 解题的关键是证明 OF 平分 ∠ COB 和表示出三角形 OPF 的三边 ．
6、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）证明见解析 .
【解析】
分析： （ 1 ）求出 ∠ BAD= ∠ BAC， 根据 SAS 证出 △ BAD ≌△ CAE 即可 ；
（ 2 ）根据全等推出 ∠ DBA= ∠ C， 根据等腰三角形性质得出 ∠ C= ∠ ABC， 根据平行线性质得出 ∠ ABC= ∠ DFB， 推出 ∠ DFB= ∠ DBF， 根据等腰三角形的判定推出即可．
详解 ：（ 1） ∵∠ BAC= ∠ DAE， ∴∠ BAC﹣ ∠ BAE= ∠ DAE﹣ ∠ BAE， ∴∠ BAD= ∠ EAC ．在 △ BAD 和 △ CAE 中， ∵ ， ∴△ BAD ≌△ CAE（SAS）；
（ 2） ∵△ BAD ≌△ CAE， ∴∠ DBA= ∠ C．
∵ AB=AC， ∴∠ C= ∠ ABC．
∵ DF ∥ BC， ∴∠ DFB= ∠ ABC= ∠ C= ∠ DBA， 即 ∠ DFB= ∠ DBF， ∴ DF=CE．
点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定 ， 平行线的性质 ， 等腰三角形的性质和判定等知识点 ， 主要考查学生运用性质进行推理的能力 ， 题目比较典型 ， 是一道比较好的题目．
7、 （ 1） ∠BOE+∠COF=50°；（2）12cm.
【解析】
（ 1 ）两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得到 从而求得 ∠ BOE+ ∠ COF 的度数 .
（ 2 ）根据 , 可得 △ FOC、△EOB 均为等腰三角形，由此把 △ AEF 的周长转化为 AC+AB ，进而可得到 △ ABC 的周长．
【详解】
解 :(1)∵EF∥BC,
∴∠OCB=∠COF,∠OBC=∠BOE.
又 ∵BO,CO 分别是 ∠ BAC 和 ∠ ACB 的角平分线 ,
∴∠COF=∠FCO= ∠ACB=30°,∠BOE=∠OBE= ∠ABC=20°.
∴∠BOE+∠COF=50°.
(2)∵∠COF=∠FCO,∴OF=CF.
∵∠BOE=∠OBE,∴OE=BE.
∴△AEF 的周长 =AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=8 cm.
∴△ABC 的周长 =8+4=12(cm).
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质；对相等的线段进行有效等量代换是解答本题的关键．
8、 （ 1）A（0，4），C（3，0）；（2）（﹣0.9，0 ）或（ 5，0）；（ ﹣ 5，0）；（3 ）存在，当 t=1 秒，点 Q 的坐标为（ 0，4 ）或（ 0，﹣4 ）；当 t= 秒，点 Q 的坐标为（ 0，3 ）或（ 0，﹣3）
【解析】
（ 1 ）根据非负数的性质分别求出 n、m 的值，即可求得点 A、C 两点的坐标； （ 2 ）分 BA=BP、AB=AP、PA=PB 三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算求解即可； （ 3 ）分 △ QOP ≌△ AOC 和 △ POQ ≌△ AOC 两种情况求解即可．
【详解】
（ 1） ∵ （ n﹣3） 2 + =0，
∴ n﹣3=0，3m﹣12=0，
解得， n=3，m=4，
∴点 A 的坐标为（ 0，4 ），点 C 的坐标为（ 3，0）；
（ 2 ）由勾股定理得， AB= = ，
当 BA=BP 时，点 P 的坐标为（ ﹣ 5，0）；
当 AB=AP 时，点 P 的坐标（ 5，0）；
当 PA=PB 时，设 PA=x ，则 OP=5﹣x，
在 Rt △ AOP 中， AP 2 =OP 2 +OA 2 ，即 x 2 =（5﹣x） 2 +4 2 ，
解得， x=4.1，
则 OP=0.9，
∴点 P 的坐标（﹣ 0.9，0）；
综上所述， △ PAB 为等腰三角形，点 P 的坐标为（﹣ 0.9，0 ）或（ 5，0）；（ ﹣ 5，0）；
（ 3 ）当 △ QOP ≌△ AOC 时， OP=OC=3，OQ=OA=4，
∴ BP=2，
则 t=1 秒，点 Q 的坐标为（ 0，4 ）或（ 0，﹣4）；
当 △ POQ ≌△ AOC 时， OP=OA=4，OQ=OC=3，
则 t= 秒，点 Q 的坐标为（ 0，3 ）或（ 0，﹣3）．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、非负数的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
9、 (1) 40°;(2) 40°.;(3) 见解析 .
【分析】
1 ）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AE=BE ，再根据等边对等角可得 ∠ BAE= ∠ B ，同理可得， ∠ CAN= ∠ C ，然后利用三角形的内角和定理求出 ∠ B+ ∠ C ，再根据 ∠ EAN= ∠ BAC-（ ∠ BAE+ ∠ CAN ）代入数据进行计算即可得解；
（ 2 ）同（ 1 ）的思路，最后根据 ∠ EAN= ∠ BAE+ ∠ CAN- ∠ BAC 代入数据进行计算即可得解；
（ 3 ）根据前两问的求解，分 α＜90° 与 α＞90° 两种情况解答．
【详解】
解： (1) ∵ DE 垂直平分 AB，
∴ AE＝BE，
∴∠ BAE＝ ∠ B，
同理可得 ∠ CAN＝ ∠ C，
∴∠ EAN＝ ∠ BAC－ ∠ BAE－ ∠ CAN＝ ∠ BAC－( ∠ B＋ ∠ C)，
在 △ ABC 中， ∠ B＋ ∠ C＝180°－ ∠ BAC＝70°，
∴∠ EAN＝110°－70°＝40°.
(2) ∵ DE 垂直平分 AB，
∴ AE＝BE，
∴∠ BAE＝ ∠ B ，
同理可得 ∠ CAN＝ ∠C
∴∠ EAN＝ ∠ BAE＋ ∠ CAN－ ∠ BAC＝( ∠ B＋ ∠ C)－ ∠ BAC，
在 △ ABC 中， ∠ B＋ ∠ C＝180°－ ∠ BAC＝110°，
∴∠ EAN＝110°－70°＝40°.
(3) 当 α＜90° 时， ∠ EAN＝180°－2α；
当 α＞90° 时， ∠ EAN＝2α－180°.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
10、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） 25 °．
【分析】
（ 1 ）由等腰三角形的性质可得 ∠ C ＝ ∠ A ，由平行线的性质可得 ∠ C ＝ ∠ ADE ，从而 ∠ A ＝ ∠ ADE ；
（ 2 ）先由三角形内角和求出 ∠ ABC ＝ 50 °，再由三线合一的性质可求出∠ EBD ＝ ∠ DBC = ∠ ABC ＝ 25 °，然后根据平行线的性质求解即可.
【详解】
证明：（ 1 ） ∵ DE ∥ BC ，
∴∠ C ＝ ∠ ADE ，
∵ AB ＝ BC ，
∴∠ C ＝ ∠ A ，
∴∠ A ＝ ∠ ADE ，
∴ AE ＝ DE ；
（ 2 ） ∵△ ABC 中， AB ＝ BC ， ∠ C ＝ 65 °，
∴∠ ABC ＝ 180 °﹣ 65 °﹣ 65 °＝ 50 °，
∵ AB ＝ BC ， D 为 AC 中点，
∴∠ EBD ＝ ∠ DBC = ∠ ABC ＝ 25 °，
∵ DE ∥ BC ，
∴∠ BDE ＝ ∠ DBC ＝ 25 °.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理等知识 . 熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解答本题的关键 .
11、 （ 1）①详见解析；②详见解析；（2） AM 2 =BD 2 +DF 2 ﹣ DF•BD．
【解析】
（ 1）① 易证 ∠ ABD=∠HFM=45° ，从而根据 “ AAS ”可证 △AHB≌△MHF ，由全等三角形的对应边相等可得 AH=HM；
②根据“ SAS ”可证 △GAD≌△GMF ，从而 AG=GM，∠AGD=∠MGF ，进而可证 ∠ AGM=90°, 所以 △GAM 是等腰直角三角形 ；
③根据勾股定理即可得出线段 AM ， BD ， DF 的数量关系；
（ 2） 易证 ∠ADM=90° ，根据 “ AAS ”可证 △ABH≌△HFM ，从而 FM=AB ，然后根据 AM 2 =AD 2 +DM 2 整理即可 .
【详解】
（ 1）① 证明：如图 1，∵MF⊥GF，
∴∠GFM=90°，
∵△ABD 与 △GDF 都是等腰直角三角形，
∴∠DFG=∠ABD=45°，
∴∠HFM=90°﹣45°=45°，
∴∠ABD=∠HFM，
∵AB=MF，∠AHB=∠MHF，
∴△AHB≌△MHF，
∴AH=HM；
② 如图 1，△GAM 是等腰直角三角形，理由是：
∵△ABD 与 △GDF 都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，DG=FG，
∠ADB=∠GDF=45°，
∴∠ADG=∠GFM=90°，
∵AB=FM，
∴AD=FM，
∴△GAD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠MGF，
∴∠ADG+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°，
∴△GAM 是等腰直角三角形；
③ 如图 1，AM 2 =BD 2 +DF 2 ，理由是：
∵△AGM 是等腰直角三角形，
∴AM 2 =2MG 2 ，
Rt△GMF 中， MG 2 =FG 2 +FM 2 =AB 2 +FG 2 ，
∵△ABD 与 △GDF 都是等腰直角三角形，
∴AB= ， FG= ，
∴AM 2 =2MG 2 =2（ + ） =BD 2 +DF 2 ；
（ 2 ）如图 2，∵GD⊥BD，∠ADB=45°，
∴∠ADG=45°，
∴∠ADM=45°+45°=90°，
∵∠HMF=∠ADM+∠DAM=90°+∠DAM=∠BAH，
∵H 是 BF 的中点，
∴BH=HF，
∵∠AHB=∠MHF，
∴△ABH≌△HFM，
∴FM=AB，
在 Rt△ADM 中，由勾股定理得： AM 2 =AD 2 +DM 2 ，
=AD 2 +（DF﹣FM） 2 ，
=AD 2 +DF 2 ﹣ 2DF•FM+FM 2 ，
=BD 2 +DF 2 ﹣ 2DF ，
=BD 2 +DF 2 ﹣ DF•BD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS 和 HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
12、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析 .
【分析】
(1) 由 AB=AC 可得 ∠ECB=∠DBC ，继而根据已知条件利用 SAS 进行证明即可；
(2) 由 (1) 根据全等三角形的对应角相等可得 ∠DCB=∠EBC ，继而可得答案 .
【详解】
(1)∵AB=AC ，
∴∠ECB=∠DBC ，
在
，
∴ ；
(2) 由 (1) ，
∴∠DCB=∠EBC ，
∴OB=OC.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键 .
13、 （ 1）证明见解析；（2） △ ACD、 △ ABE、 △ BCE、 △ BHG．
【解析】
分析：（ 1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（ 2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S △ADC =2a 2 =2S △ADE ，证 △ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S △ABE 、 S △ACE 、 S △BHG ，从而得出答案．
详解：（ 1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，
∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，
∴AD=CD；
（ 2）设DE=a，
则 AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S △ADE = AE × DE= × 2a × a=a 2 ，
∵BH是△ABE的中线，
∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，
∴CE=AE=2a，
则 S △ADC = AC•DE= •（2a+2a）•a=2a 2 =2S △ADE ；
在 △ADE和△BGE中，
∵ ，
∴△ADE≌△BGE（ASA），
∴BE=AE=2a，
∴S △ABE = AE•BE= •（2a）•2a=2a 2 ，
S △ACE = CE•BE= •（2a）•2a=2a 2 ，
S △BHG = HG•BE= •（a+a）•2a=2a 2 ，
综上，面积等于 △ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
14、 (1) ； ； (2) ； (3) ① ； ② 秒或 秒 .
【分析】
(1) 将 、 的坐标代入 中，即可求解；
(2) 确定直线 的解析式为 ，根据点 、 关于直线 对称，即可求解；
(3) ① 与 相似，则 或 ，即可求解； ②分 、 、 三种情况，分别求解即可．
【详解】
解： (1)) ∵点 、 关于直线 对称， ，
∴ ， ，
代入 中，得： ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴ 点坐标为 ；
(2)如图 ，连接 BC ，

设直线 的解析式为 ，
则有： ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 、 关于直线 对称，
又 到对称轴的距离为 1 ，
∴ ，
∴ 点的横坐标为 2 ，将 代入 中，
得： ，
∴ ；
(3) ①如下图，

， ，
与 相似，则 或 ，
即： 或 ，
解得： 或 或 3 或 1( 舍去 、 、 3) ，
故： ；
②∵ ， 轴，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
∴分三种情况讨论，
第一种，当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
第二种，当 时，在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
第三种，当 时，
则点 、 重合，此时 ，
而 ，故不符合题意，
综上述，当 秒或 秒时， 为等腰三角形．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
15、 （ 1 ） CD= AD ；（ 2 ） CD= AD ；（ 3 ） BC=AD+BD.
【解析】
（ 1 ）由角平分线的性质可得 AD=DE ，根据 ∠ A=90° ， AB=AC ，可得 ∠ C=45° ，由 DE ⊥ BC 可得 △ DEC 是等腰直角三角形，可得 CD= DE ，进而可得答案；（ 2 ）在 BC 上截取 BE=AB ，连接 DE ，利用 SAS 可证明 △ ABD ≌ △ EBD ，可得 AD=DE ， ∠ BED= ∠ A=120° ，由等腰三角形的性质可得 ∠ C=30° ，利用三角形外角性质可得 ∠ CDE=90° ，利用含 30° 角的直角三角形的性质即可得答案；（ 3 ）在 BC 上取一点 E ，使 BE=BD ，作 DF ⊥ BA 于 F ， DG ⊥ BC 于 G ，由角平分线的性质就可以得出 DF=DG ，利用 AAS 可证明 △ DAF ≌△ DEG ，可得 DA=DE ，利用外角性质可求出 ∠ EDC=40° ，进而可得 DE=CE ，即可得出结论．
【详解】
（ 1 ） ∵∠ A=90° ， BD 平分 ∠ ABC ， DE ⊥ BC ，
∴ DE=AD ，
∵∠ A=90° ， AB=AC ，
∴∠ C=45° ，
∴ △ CDE 是等腰直角三角形，
∴ CD= DE= AD ，
故答案为： CD= AD
（ 2 ）如图，在 BC 上截取 BE=AB ，连接 DE ，
∵ BD 平分 ∠ ABC ，
∴∠ ABD= ∠ DBE ，
在 △ ABD 和 △ EBD 中， ，
∴ △ ABD ≌ △ EBD ，
∴ DE=AD ， ∠ BED= ∠ A=120° ，
∵ AB=AC ，
∴∠ C= ∠ ABC=30° ，
∴∠ CDE= ∠ BED- ∠ C=90° ，
∴ CD= DE= AD.

（ 3 ）如图，在 BC 上取一点 E ，是 BE=BD ，作 DF ⊥ BA 于 F ， DG ⊥ BC 于 G ，
∴∠ DFA= ∠ DGE=90° ．
∵ BD 平分 ∠ ABC ， DF ⊥ BA ， DG ⊥ BC ，
∴ DF=DG ．
∵∠ BAC=100° ， AB=AC ，
∴∠ FAD=80° ， ∠ ABC= ∠ C=40° ，
∴∠ DBC=20° ，
∵ BE=BD ，
∴∠ BED= ∠ BDE=80° ，
∴∠ FAD= ∠ BED ．
在 △ DAF 和 △ DEG 中， ，
∴△ DAF ≌△ DEG （ AAS ），
∴ AD=ED ．
∵∠ BED= ∠ C+ ∠ EDC ，
∴ 80°=40+ ∠ EDC ，
∴∠ EDC=40° ，
∴∠ EDC= ∠ C ，
∴ DE=CE ，
∴ AD=CE ．
∵ BC=BE+CE ，
∴ BC=BD+AD ．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．
16、 （ 1 ） ① BC ＝ DC+EC ，理由见解析； ②证明见解析；（ 2 ） 6.
【解析】
(1) 证明 △ BAD ≌△ CAE ，根据全等三角形的性质解答 ;
(2) 根据全等三角形的性质得到 BD ＝ CE ， ∠ ACE ＝ ∠ B ，得到 ∠ DCE ＝ 90 °，根据勾股定理计算即可 ;
(3) 作 AE ⊥ AD ，使 AE ＝ AD ，连接 CE ， DE ，证明 △ BAD ≌△ CAE ，得到 BD ＝ CE ＝ 9 ，根据勾股定理计算即可 .
【详解】
（ 1 ） ①解： BC ＝ DC+EC ，理由如下：
∵∠ BAC ＝ ∠ DAE ＝ 90° ，
∴∠ BAC ﹣ ∠ DAC ＝ ∠ DAE ﹣ ∠ DAC ，
即 ∠ BAD ＝ ∠ CAE ，
在 △ BAD 和 △ CAE 中， ，
∴△ BAD ≌△ CAE （ SAS ），
∴ BD ＝ EC ，
∴ BC ＝ DC+BD ＝ DC+EC ，；
故答案为： BC ＝ DC+EC ；
②证明：∵ Rt △ ABC 中， AB ＝ AC ，
∴∠ B ＝ ∠ ACB ＝ 45° ，
由（ 1 ）得， △ BAD ≌△ CAE ，
∴ BD ＝ CE ， ∠ ACE ＝ ∠ B ＝ 45° ，
∴∠ DCE ＝ ∠ ACB+ ∠ ACE ＝ 90° ，
∴ CE 2 +CD 2 ＝ ED 2 ，
在 Rt △ ADE 中， AD 2 +AE 2 ＝ ED 2 ，
又 AD ＝ AE ，
∴ BD 2 +CD 2 ＝ 2AD 2 ；
（ 2 ）解：作 AE ⊥ AD ，使 AE ＝ AD ，连接 CE ， DE ，如图 2 所示：

∵∠ BAC+ ∠ CAD ＝ ∠ DAE+ ∠ CAD ，
即 ∠ BAD ＝ ∠ CAE ，
在 △ BAD 与 △ CAE 中， ，
∴△ BAD ≌△ CAE （ SAS ），
∴ BD ＝ CE ＝ 9 ，
∵∠ ADC ＝ 45° ， ∠ EDA ＝ 45° ，
∴∠ EDC ＝ 90° ，
∴ DE ＝ ＝ ＝ 6 ，
∵∠ DAE ＝ 90° ，
∴ AD ＝ AE ＝ DE ＝ 6 ．
【点睛】
本題是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识 : 本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 .
17、 (1) 有两个不相等的实数根 （ 2） 周长为 13 或 17
【分析】
（ 1 ）根据方程的系数结合根的判别式 ， 可得出 △ =4 ＞ 0， 由此可得出 ： 无论 m 为何值 ， 该方程总有两个不相等的实数根 ；
（ 2 ）根据等腰三角形的性质及 △＞ 0， 可得出 5 是方程 x 2 ﹣ 4mx + 4m 2 ﹣ 1=0 的根 ， 将 x=5 代入原方程可求出 m 值 ， 通过解方程可得出方程的解 ， 在利用三角形的周长公式即可求出结论．
【详解】
（ 1） ∵△ =（﹣4m） 2 ﹣ 4（4m 2 ﹣ 1）=4 ＞ 0，
∴无论 m 为何值 ， 该方程总有两个不相等的实数根．
（ 2） ∵△＞ 0， △ ABC 为等腰三角形 ， 另外两条边是方程的根 ，
∴ 5 是方程 x 2 ﹣ 4mx + 4m 2 ﹣ 1=0 的根．
将 x=5 代入原方程 ， 得 ： 25﹣20m + 4m 2 ﹣ 1=0， 解得 ： m 1 =2，m 2 =3．
当 m=2 时 ， 原方程为 x 2 ﹣ 8x + 15=0， 解得 ： x 1 =3，x 2 =5．
∵ 3、5、5 能够组成三角形 ，
∴该三角形的周长为 3 + 5 + 5=13；
当 m=3 时 ， 原方程为 x 2 ﹣ 12x + 35=0， 解得 ： x 1 =5，x 2 =7．
∵ 5、5、7 能够组成三角形 ，
∴该三角形的周长为 5 + 5 + 7=17．
综上所述 ： 此三角形的周长为 13 或 17．
【点睛】
本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程 ， 解题的关键是 ：（ 1 ）牢记 “ 当 △＞ 0 时 ， 方程有两个不相等的实数根 ”；（2 ）代入 x=5 求出 m 值．
18、 详见解析
【分析】
根据点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到点 G ，得到 ，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到 △ AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明 AE 等于 EF ．
【详解】
证明：延长 ED 至 G ，使 ，连结 GC ，

∵在 中， 为中线，
∴ BD=CD ，
在 △ ADC 和 △ GDB 中，

∴ ，
， ，
，
，
．
又 ，
∴ ，
∴ .
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．
19、 （ 1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，证明见解析；（2）有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；（3）CG=DE+DF，证明见解析.
【解析】
试题分析 :(1) 因为当 △ BED 和 △ CFD 时 ,DE=DF, 所以当点 D 在 BC 中点时 , 可利用 AAS 判定 △ BED 和 △ CFD 全等 , 利用全等三角形的性质可得 DE=DF,
(2) 在 (1) 的结论下 :DE=DF,BD=CD, 利用 SSS 可判定 △ADB ≌△ ADC,
利用 HL 可判定 △ AED ≌△ AFD, 利用 AAS 可判定 △BED ≌△ CFD, 所以有 3 对全等三角形 .
(3) 连接 AD, 根据三角形的面积公式即可求证 .
（ 1 ）当点 D 在 BC 的中点上时 ,DE=DF,
证明 : ∵ D 为 BC 中点 ,
∴ BD=CD,
∵ AB=AC,
∴∠ B= ∠ C,
∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴∠ DEB= ∠ DFC=90°,
∵在 △BED 和 CFD 中 ,

∴△ BED ≌△ CFD（AAS）,
∴ DE=DF．
（ 2）

有 3 对全等三角形 , 有 △ BED ≌△ CFD, △ ADB ≌△ ADC, △ AED ≌△ AFD,

（ 3）CG=DE+DF,
证明 : 连接 AD,
因为 ,
所以 ,
因为 AB=AC,
所以 .
20、 证明见解析 4 和 2
【分析】
(1) 根据方程的系数结合根的判别式即可得出 △ ＝ (m － 3) 2 ≥0 ，由此即可证出结论；
(2) 等腰三角形的腰长为 4 ，将 x ＝ 4 代入原方程求出 m 值，将 m 的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定 △ ABC 的三条边，结合三角形的周长即可得出结论 .
【详解】
（ 1 ）证明： ∵△ = ﹣ 4×2 （ m ﹣ 1 ） =m 2 ﹣ 6m+9= （ m ﹣ 3 ） 2 ≥0 ，
∴无论 m 取何值，这个方程总有实数根；
（ 2 ）等腰三角形的腰长为 4 ，将 x=4 代入原方程，得： 16 ﹣ 4 （ m+1 ） +2 （ m ﹣ 1 ） =0 ，
解得： m=5 ，
∴原方程为 x 2 ﹣ 6x+8=0 ，
解得： x 1 =2 ， x 2 =4 ．
组成三角形的三边长度为 2 、 4 、 4 ；
所以三角形另外两边长度为 4 和 2 ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质以及解一元二次方程， ⑴牢记当 △ ≥0 时，方程有实数根， ⑵代入 x ＝ 4 求出 m 的值是解决本题的关键 .
21、 （ 1 ） △ AEF 、 △ OEB 、 △ OFC 、 △ OBC 、 △ ABC 共 5 个， EF=BE+FC ；（ 2 ）有， △ EOB 、 △ FOC ，存在；（ 3 ）有， EF=BE-FC ．
【分析】
（ 1 ）由 AB=AC ，可得 ∠ ABC= ∠ ACB ；又已知 OB 、 OC 分别平分 ∠ ABC 、 ∠ ACB ；故 ∠ EBO= ∠ OBC= ∠ FCO= ∠ OCB ；根据 EF ∥ BC ，可得： ∠ OEB= ∠ OBC= ∠ EBO ， ∠ FOC= ∠ FCO= ∠ BCO ；由此可得出的等腰三角形有： △ AEF 、 △ OEB 、 △ OFC 、 △ OBC 、 △ ABC ；
已知了 △ EOB 和 △ FOC 是等腰三角形，则 EO=BE ， OF=FC ，则 EF=BE+FC ．
（ 2 ）由（ 1 ）的证明过程可知：在证 △ OEB 、 △ OFC 是等腰三角形的过程中，与 AB=AC 的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（ 1 ）中得出的 EF=BE+FC 的结论仍成立．
（ 3 ）思路与（ 2 ）相同，只不过结果变成了 EF=BE-FC ．
【详解】
解：（ 1 ）图中是等腰三角形的有： △ AEF 、 △ OEB 、 △ OFC 、 △ OBC 、 △ ABC ；
EF 、 BE 、 FC 的关系是 EF=BE+FC ．理由如下：
∵ AB=AC ，
∴∠ ACB= ∠ ABC ， △ ABC 是等腰三角形；
∵ BO 、 CO 分别平分 ∠ ABC 和 ∠ ACB ，
∴∠ ABO= ∠ OBC= ∠ ABC ， ∠ OCB= ∠ ACO= ∠ ACB ，
∵ EF ∥ BC ，
∴∠ EOB= ∠ OBC ， ∠ FOC= ∠ OCB ，
∴∠ ABO= ∠ OBC= ∠ EOB= ∠ OCB= ∠ FOC= ∠ FCO ，
∴△ EOB 、 △ OBC 、 △ FOC 都是等腰三角形，
∵ EF ∥ BC ，
∴∠ AEF= ∠ ABC ， ∠ AFE= ∠ ACB ，
∴∠ AEF= ∠ AFE ，
∴△ AEF 是等腰三角形，
∵ OB 、 OC 平分 ∠ ABC 、 ∠ ACB ，
∴∠ ABO= ∠ OBC ， ∠ ACO= ∠ OCB ；
∵ EF ∥ BC ，
∴∠ EOB= ∠ OBC= ∠ EBO ， ∠ FOC= ∠ OCB= ∠ FCO ；
即 EO=EB ， FO=FC ；
∴ EF=EO+OF=BE+CF ；
（ 2 ）当 AB ≠ AC 时， △ EOB 、 △ FOC 仍为等腰三角形，（ 1 ）的结论仍然成立．
∵ OB 、 OC 平分 ∠ ABC 、 ∠ ACB ，
∴∠ ABO= ∠ OBC ， ∠ ACO= ∠ OCB ；
∵ EF ∥ BC ，
∴∠ EOB= ∠ OBC= ∠ EBO ， ∠ FOC= ∠ OCB= ∠ FCO ；
即 EO=EB ， FO=FC ；
∴ EF=EO+OF=BE+CF ；
（ 3 ） △ EOB 和 △ FOC 仍是等腰三角形， EF=BE-FC ．理由如下：
同（ 1 ）可证得 △ EOB 是等腰三角形；
∵ EO ∥ BC ，
∴∠ FOC= ∠ OCG ；
∵ OC 平分 ∠ ACG ，
∴∠ ACO= ∠ FOC= ∠ OCG ，
∴ FO=FC ，故 △ FOC 是等腰三角形；
∴ EF=EO-FO=BE-FC ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
22、 （ 1 ） 48° ；（ 2 ）证明见解析 .
【分析】
（ 1 ）根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形的内角和即可得到 ；
（ 2 ）根据等腰三角形的性质得到 根据平行线的性质得到 ，等量代换得到 ，于是得到结论．
【详解】
解：（ 1 ） ∵ ， 于点 D ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ；
（ 2 ） ∵ ， 于点 D ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
23、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） ；（ 3 ） 8
【分析】
（ 1 ）根据 “一线三垂直”模型，可以证得 ；
（ 2 ）过点 C 作 CM ⊥ CO 交 BO 于 M ， AC 与 BO 交于点 N ，利用旋转模型证明 ≌ ，由外角的性质计算即可；
（ 3 ）在 CE 上截取一点 H ，使 CH=AE ，连接 OH ，利用等腰直角 △ AOB ，等边 △ BOC 证得 ≌ ，通过等角代换证明 为等边三角形，由线段和计算即可得到结果．
【详解】
（ 1 ） ∵∠ BAC= ∠ AOB=90° ，
∴∠ BAO+ ∠ DAC= ∠ BAO+ ∠ ABO=90° ，
∴∠ DAC= ∠ ABO ，
∵△ ABC 是等腰直角三角形，
∴ AB=AC ，
在 △ AOB 和 △ CDA 中，

∴△ AOB ≌△ CDA （ AAS ）
（ 2 ）如图 ②，过点 C 作 CM ⊥ CO 交 BO 于 M ， AC 与 BO 交于点 N ，
，
，
， ，
，
∵ AC=BC ，
≌ ，
，
，
，
故答案为： 135° ．

（ 3 ）如图 ③，在 CE 上截取一点 H ，使 CH=AE ，连接 OH ，
∵△ AOB 是等腰直角三角形， △ BOC 是等边三角形，所以
，
，
≌ ，
， AE=CH=3 ， ∠ AOE= ∠ COH ，
， ∠ AOB=90° ，
，
， ∠ BOH= ∠ BOC- ∠ COH=60°-45°=15° ，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为： 8 ．

【点睛】
本题考查了 “一线三垂直”模型，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角代换的应用，计算线段和的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
24、 ⑴证明见解析
⑵ 5
【分析】
（ 1 ）首先由已知证明 AF ∥ EC ， BE=DF ，推出四边形 AECF 是平行四边形．
（ 2 ）由已知先证明 AE=BE ，即 BE=AE=CE ，从而求出 BE 的长
【详解】
⑴证明：如图

∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC ，且 AD=BC ，
∴ AF ∥ EC ，
∵ BE=DF ，
∴ AF=EC
∴四边形 AECF 是平行四边形
⑵解：∵四边形 AECF 是菱形，
∴ AE=EC
∴∠ 1= ∠ 2 分
∵∠ 3=90° － ∠ 2 ， ∠ 4=90° － ∠ 1 ，
∴∠ 3= ∠ 4 ，
∴ AE=BE
∴ BE=AE=CE= BC=5
25、 （ 1 ）详见解析；（ 2） ；
【分析】
（ 1 ）连接 OC ，根据垂直的定义得到 ∠ AOF=90 °，根据三角形的内角和得到∠ ACE=90°+∠A ，根据等腰三角形的性质得到 ∠ OCE=90 °，得到 OC⊥CE ，于是得到结论；
（ 2 ）根据圆周角定理得到 ∠ ACB=90 °，推出∠ ACO=∠BCE ，得到 △ BOC 是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
：（ 1 ）连接 OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO+90°=180°，
∵∠ACE+∠AFO=180°，
∴∠ACE=90°+∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴EM 是 ⊙ O 的切线；
（ 2）∵AB 是 ⊙ O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵∠A=∠E，
∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E，
∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A，
∴∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC 是等边三角形，
∴OB=BC= ，
∴阴影部分的面积 = ，
【点睛】
本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接 OC 是解题的关键．
26、 （ 1）10；（2）当点 的坐标是 时， ；（ 3）点 的坐标是 或 .
【解析】
（ 1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 ， 的坐标，结合点 与点 关于 轴对称可得出点 的坐标，进而可得出线段 的长度；
（ 2）当点 的坐标是 时， ，由点 ， 的坐标可得出 的长度，由勾股定理可求出 的长度，进而可得出 ，通过角的计算及对称的性质可得出 ， ，结合 可证出 ，由此可得出：当点 的坐标是 时， ；
（ 3）分 ， 及 三种情况考虑： ①当 时，由（ 2）的结论结合全等三角形的性质可得出当点 的坐标是 时 ； ②当 时，利用等腰三角形的性质结合 可得出 ，利用三角形外角的性质可得出 ，进而可得出此种情况不存在； ③当 时，利用等腰三角形的性质结合 可得出 ，设此时 的坐标是 ，在 中利用勾股定理可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论 .综上，此题得解.
【详解】
解：（ 1 ）当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，解得： ，
点 的坐标为 ；
点 与点 关于 轴对称，
点 的坐标为 ，
.
（ 2 ）当点 的坐标是 时， ，理由如下：
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，

，
.
， ， ，
.
和 关于 轴对称，
.
在 和 中 ，
.
当点 的坐标是 时， .
（ 3 ）分为三种情况：
①当 时，如图 1 所示，由（ 2 ）知，当点 的坐标是 时，

，
此时 点的坐标是 ；
②当 时，则 ，
，
.
而根据三角形的外角性质得： ，
此种情况不存在；
③当 时，则 ，
，如图 2 所示 .
设此时 的坐标是 ，
在 中，由勾股定理得：
，
，
解得： ，
此时 的坐标是 .
综上所述：当 为等腰三角形时，点 的坐标是 或 .

【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离、勾股定理、对称的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（ 1）利用一次函数图象上点的坐标特征及对称的性质，找出点 ， ， 的坐标；（ 2）利用全等三角形的判定定理 找出当点 的坐标是 时 ；（ 3）分 ， 及 三种情况求出点 的坐标 .
27、 （ 1）2；（2） DM=DN ；（ 3）
【分析】
（ 1 ）解直角三角形求出 AC 、 AG 即可解决问题；
（ 2 ）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到 CD=BD=AD ．再由 ∠ B=60 °，得到△ BDC 为等边三角形，从而可以证明 ∠ HDA=30 °，进一步得到 AH=HD ，由等腰三角形的性质得到 MD=AM ， ND=NB ．即可得到结论；
（ 3 ）如图 3 中，作 GK ∥ DE 交 AB 由 K ．求出 AK 的值即可解决问题．
【详解】
（ 1 ）如图 1 ．

在 Rt △ ABC 中， ∵ BC=2 ， ∠ B=60 °，∴ AC=BC • tan60 ° =6 ， AB=2BC=4 ．
∵ DF 是线段 AB 的垂直平分线， ∴ AD=BD=2 ．
在 Rt △ ADG 中， AG 4 ， ∴ CG=AC=AG=6 ﹣ 4=2 ．
（ 2 ）如图 2 中，结论： DM=DN ．
理由： ∵△ ABC 为直角三角形， D 为斜边 AB 的中点， ∴ CD=BD=AD ．
又 ∠ B=60 °，∴△ BDC 为等边三角形， ∴∠ CDB=60 °．
又 ∠ EDF=90 °，∴∠ HDA=30 °．
∵∠ A=90 °﹣∠ B=30 °，∴ AH=HD ，又 HM ⊥ AD ， ∴ MD=AM ．
在等边三角形 BCD 中， CN ⊥ BD ， ∴ ND=NB ．
又 AD=BD ， ∴ MD=ND ．

（ 3 ）如图 3 中，作 GK ∥ DE 交 AB 由 K ．

在 △ AGK 中， AG=GK=4 ， ∠ A= ∠ GKD=30 °，作 GH ⊥ AB 于 H ．
则 AH=AG • cos30 ° =2 ，可得 AK=2AH=4 ，此时 K 与 B 重合， ∴ DD ′ =DB=2 ．
【点睛】
本题考查了几何变换综合题、旋转变换平移变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
28、 （ 1）见解析；（2）见解析
【解析】
（ 1 ）由等腰三角形的性质可得 AD ⊥ BC ，由余角的性质可得 ∠ C= ∠ BAD ；
（ 2 ）由 “ASA” 可证 △ ABC ≌△ EAF ，可得 AC=EF ．
【详解】
（ 1 ）如图

∵ ，
∴ 是等腰三角形
又 ∵ 为 的中点，
∴ （等腰三角形三线合一）
在 和 中，
∵ 为公共角， ，
∴ .
另解： ∵ 为 的中点，
∵ ，又 ， ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴
∴ ，
在 和 中，
∵ 为公共角， ，
∴ .
（ 2 ） ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
29、 （ 1） 70°;（2 ）详见解析 .
【解析】
（ 1 ）如图，首先证明 ∠ABC=∠ACB ，运用三角形的内角和定理即可得解；
（ 2 ）如图，作辅助线；首先证明 △BDE≌△CFD ，得到 DE=DF ，运用等腰三角形的性质证明 DG⊥EF ，即可得证 ．
【详解】
解：（ 1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠B= =70°；
（ 2） 如图连接 DE，DF，
在 △BDE 与 △CFD 中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF （三角形全等其对应边相等），
∵G 为 EF 的中点 ，
∴DG⊥EF，
∴DG 垂直平分 EF．
【点睛】
该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定及其性质，全等三角形的判定及其性质等几何知识点来解答．
30、 (1) 理由见详解；（ 2 ） 或 ，理由见详解．
【分析】
（ 1） 根据题目已知条件易得： ， ，所以得到 ，问题得证．
（ 2） 由题意易得 是等腰直角三角形，所以 ，当 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况： ① AD=AE ， ② AD=DE ， ③ AE=DE ；因为点 D 不与 重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质 “等边对等角”及 ，求出问题即可．
【详解】
（ 1 ）
如图可知：
在 中，
又

．
（ 2 ） ，
是等腰直角三角形

BC=2 ， AB=AC= BC=
①当 AD=AE 时，
，


点 D 在 上运动时（点 D 不与 重合） ,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当 AD=DE 时，
由（ 1 ）结论可知：
AB=DC=
．
③
当 AE=DE 时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉： 或 ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用 “ K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
31、 （ 1）36，72；（2）①证明见解析；② CD=AN+CE ，证明见解析 .
【分析】
（ 1 ）根据题意可得 △ ABC，△BCD，△ABD 都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得 ∠A=∠DBA=∠DBC= ∠ABC= ∠C， 然后利用三角形的内角和即可得解；
（ 2）① 通过 “角边角”证明 △BNH≌△BEH， 可得 BN=BE ，即可得证；
② 根据题意可得 AN=AB﹣BN=AC﹣BE，CE=BE﹣BC，CD=AC﹣AD=AC﹣BD=AC﹣BC， 则可得 CD=AN+CE.
【详解】
解：（ 1）∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠A=∠DBC，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∴∠A=∠DBA=∠DBC= ∠ABC= ∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=36°，∠C=72°；
故答案为 36，72；
（ 2）①∵∠A=∠ABD=36°，∠B=∠C=72°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN=∠EHB=90°，
在 △BNH 与 △BEH 中，
，
∴△BNH≌△BEH（ASA），
∴BN=BE，
∴△BNE 是等腰三角形；
②CD=AN+CE ，理由：由 ① 知， BN=BE，
∵AB=AC，
∴AN=AB﹣BN=AC﹣BE，
∵CE=BE﹣BC，
∴AN+CE=AC﹣BC，
∵CD=AC﹣AD=AC﹣BD=AC﹣BC，
∴CD=AN+CE.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质 . 解此题的关键在于熟练掌握其知识点 .
32、 见解析
【分析】
如图，过点 作 于 P ，根据等腰三角形的三线合一得出 BP=PC ， DP=PE ，进而根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出 BD=CE ．
【详解】
如图，过点 作 于 P ．

∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ BD=CE ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．
33、 （ 1 ）证明见解析；（ 2） ∠ EMF=100°；（3 ）证明见解析 .
【解析】 （ 1 ）在 Rt △ DCB 和 Rt △ DEB 中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行证明即可得；
（ 2 ）根据直角三角形两锐角互余可得 ∠ ABC=40° ，根据 CM=MB ，可得 ∠ MCB= ∠ CBM ，从而可得 ∠ CMD=2 ∠ CBM ，继而可得 ∠ CME=2 ∠ CBA=80° ，根据邻补角的定义即可求得 ∠ EMF 的度数；
（ 3 ）由 △ DAE ≌△ CEM，CM=EM， ∠ DEA=90°， 结合 CM=DM 以及已知条件可得 △ DEM 是等边三角形，从而可得 ∠ EDM=60°， ∠ MBE=30°， 继而可得 ∠ ACM=75° ，连接 AM， 结合 AE=EM=MB， 可推导得出 AC=AM， 根据 N 为 CM 中点，可得 AN ⊥ CM， 再根据 CM ⊥ EM， 即可得出 AN ∥ EM.
【详解】（ 1） ∵ M 为 BD 中点 ，
Rt △ DCB 中， MC= BD，
Rt △ DEB 中， EM= BD，
∴ MC=ME；
（ 2） ∵∠ BAC=50°， ∠ ACB=90°，
∴∠ ABC=90°-50°=40°，
∵ CM=MB，
∴∠ MCB= ∠ CBM，
∴∠ CMD= ∠ MCB+ ∠ CBM=2 ∠ CBM，
同理， ∠ DME=2 ∠ EBM，
∴∠ CME=2 ∠ CBA=80°，
∴∠ EMF=180°-80°=100°；
（ 3） ∵△ DAE ≌△ CEM，CM=EM，
∴ AE=EM，DE=CM， ∠ CME= ∠ DEA=90°， ∠ ECM= ∠ ADE，
∵ CM=EM， ∴ AE=ED， ∴∠ DAE= ∠ ADE=45°，
∴∠ ABC=45°， ∠ ECM=45°，
又 ∵ CM=ME= BD=DM，
∴ DE=EM=DM，
∴△ DEM 是等边三角形，
∴∠ EDM=60°，
∴∠ MBE=30°，
∵ CM=BM， ∴∠ BCM= ∠ CBM，
∵∠ MCB+ ∠ ACE=45°，
∠ CBM+ ∠ MBE=45°，
∴∠ ACE= ∠ MBE=30°，
∴∠ ACM= ∠ ACE+ ∠ ECM=75°，
连接 AM， ∵ AE=EM=MB，
∴∠ MEB= ∠ EBM=30°，
∠ AME= ∠ MEB=15°，
∵∠ CME=90°，
∴∠ CMA=90°-15°=75°= ∠ ACM，
∴ AC=AM，
∵ N 为 CM 中点 ，
∴ AN ⊥ CM，
∵ CM ⊥ EM，
∴ AN ∥ CM.

【点睛】本题考查了三角形全等的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键 .
34、 （ 1 ） 4 ， 5 ；（ 2 ） ① 7 ； ② 4 或 或 或 8.
【分析】
分别令 可得 b 和 m 的值；
根据 的面积公式列等式可得 t 的值；
存在，分三种情况：
当 时，如图 1 ， 当 时，如图 2 ， 当 时，如图 3 ，分别求 t 的值即可．
【详解】
把点 代入直线 中得： ，
点 ，
直线 过点 C ，
， ；
由题意得： ，
中，当 时， ，
，
，
中，当 时， ，
，
，
，
的面积为 10 ，
，
，
则 t 的值 7 秒；
存在，分三种情况：
当 时，如图 1 ，过 C 作 于 E ，

，
，
即 ；
当 时，如图 2 ，

，
，
；
当 时，如图 3 ，

，
，
，
，
，
，即 ；
综上，当 秒或 秒或 秒或 8 秒时， 为等腰三角形．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题．
35、 详见解析
【分析】
在 AB 上截 ，连结 DE ，则可证得 ，可得 ∠ AED= ∠ C=2 ∠ B ， ED=CD ，可证得 △ BDE 为等腰三角形，所以有 BE=DE=CD ，可得结论．
【详解】
证明：在 AB 上截 ，连结 DE ，

在 △ ADE 和 △ ACD 中，
，
， ，
∵
∴ ，
又 ，
，
，

【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是在 AB 上截 构建全等三角形．
36、 （ 1 ） ；（ 2 ） D 的坐标是（ 1 ，﹣ 4 ），对称轴是直线 x=1 ；（ 3 ） P （ 1 ， ）或（ 1 ， ）或（ 1 ， ）或（ 1 ， 4 ）．
【解析】
试题分析：（ 1 ）根据抛物线 的图象与 x 轴交于 A （﹣ 1.0 ）， B （ 3 ， 0 ）两点，与 y 轴交于点 C （ 0 ，﹣ 3 ），可以求得抛物线的解析式；
（ 2 ）根据（ 1 ）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点 D 的坐标和对称轴；
（ 3 ）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点 P 的坐标即可．
试题解析：（ 1 ） ∵ 抛物线 的图象与 x 轴交于 A （﹣ 1.0 ）， B （ 3 ， 0 ）两点，与 y 轴交于点 C （ 0 ，﹣ 3 ）， ∴ ，解得： ，即此抛物线的解析式是 ；
（ 2 ） ∵ = ， ∴ 此抛物线顶点 D 的坐标是（ 1 ，﹣ 4 ），对称轴是直线 x=1 ；
（ 3 ）存在一点 P ，使得以点 P 、 D 、 A 为顶点的三角形是等腰三角形，设点 P 的坐标为（ 1 ， y ），分三种情况讨论：
① 当 PA=PD 时 = ，解得， y= ，即点 P 的坐标为（ 1 ， ）；
② 当 DA=DP 时， = ，解得， y= ，即点 P 的坐标为（ 1 ， ）或（ 1 ， ）；
③ 当 AD=AP 时， = ，解得， y=±4 ，即点 P 的坐标是（ 1 ， 4 ）或（ 1 ，﹣ 4 ），当点 P 为（ 1 ，﹣ 4 ）时与点 D 重合，故不符合题意．
由上可得，以点 P 、 D 、 A 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 P 的坐标为（ 1 ， ）或（ 1 ， ）或（ 1 ， ）或（ 1 ， 4 ）．
考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；综合题．
37、 16cm ， 16 cm ， 22 cm 或 20 cm ， 20 cm ， 14 cm.
【分析】
分两种情况讨论：当 AB+AD=30 ， BC+DC=24 或 AB+AD=24 ， BC+DC=30. 根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质列出方程即可求解 .
【详解】
解：如图所示

设三角形的腰 AB=AC=x cm ，分两种情况讨论：
（ 1 ）若 AB+AD=24cm ，则
x+ x=24
∴x=16
∵ 三角形的周长为 24+30=54cm
所以三边长分别为 16cm ， 16 cm ， 22 cm
（ 2 ）若 AB+AD=30cm ，则
x+ x=30
∴x=20
∵ 三角形的周长为 24+30=54cm
∴ 三边长分别为 20 cm ， 20 cm ， 14 cm
因此，三角形的三边长为 16 cm ， 16 cm ， 22 cm 或 20 cm ， 20 cm ， 14 cm ．
【点睛】
主要考查了等腰三角形的性质 . 注意要分类讨论，解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质列方程求出腰长，再利用周长的条件求得边长
38、 详见解析
【分析】
延长 AE 到 M ，使 ME=AE ，连接 CM ，求出 AC=CM ，求出 DM=MC ，即可得出答案．
【详解】
延长 AE 到 M ，使 ME=AE ，连接 CM ，
则 AM=2AE ，
∵ CE ⊥ AE ，
∴ AC=CM ，
∴∠ M= ∠ CAD= ∠ DAB ，
∴ AB ∥ MC ，
∴∠ B= ∠ MCD ，
∵ AB=AD ，
∴∠ B= ∠ ADB ，
∵∠ ADB= ∠ MDC ，
∴∠ MCD= ∠ MDC ，
∴ MC=MD ，
∴ AM=2AE=AD+MD=AB+AC ，
即 AB+AC=2AE.

【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出 DE=EC ，有一定的难度．
39、 （ 1）BE=2CF；（2）（1 ）中的关系是仍然成立，理由见解析；（ 3）（1 ）中的关系是仍然成立，理由见解析 .
【分析】
（ 1 ）根据 “ SAS ”证明△ ACD ≌△ BCE ，可得 AD=BE ，又因为 AD=2CF ，从而 BE=2CF ；
（ 2）由点 F 是 AD 中点，可得 AD=2DF ，从而 AC= 2DF+CD ，又由 △ ABC 和 △ CDE 是等腰直角三角形，可知 BC=2DF+CE ，所以 BE= 2 （ DF+CE ）， CF= DF+CD ，从而 BE=2CF ；
（ 3） 延长 CF 至 G 使 FG=CF ，即： CG=2CF ，可证 △ CDF ≌△ GAF ，再证明 △ BCE ≌△ ACG ，从而 BE=CG=2CF 成立．
【详解】
解：（ 1） ∵△ ABC 是等腰直角三角形，
∴ AC=BC，
∵△ CDE 是等腰直角三角形，
∴ CD=CE，
在 △ ACD 和 △ BCE 中， ，
∴△ ACD ≌△ BCE，
∴ AD=BE ，在 Rt △ ACD 中，点 F 是 AD 中点，
∴ AD=2CF，
∴ BE=2CF，
故答案为 BE=2CF；
（ 2）（1 ）中的关系是仍然成立，
理由： ∵点 F 是 AD 中点，
∴ AD=2DF，
∴ AC=AD+CD=2DF+CD，
∵△ ABC 和 △ CDE 是等腰直角三角形，
∴ AC=BC，CD=CE，
∴ BC=2DF+CE，
∴ BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），
∵ CF=DF+CD=DF+CD，
∴ BE=2CF；
（ 3）（1 ）中的关系是仍然成立，理由：如图 3，
延长 CF 至 G 使 FG=CF ，即： CG=2CF，
∵点 F 是 AD 中点，
∴ AF=DF，
在 △ CDF 和 △ GAF 中， ，
∴△ CDF ≌△ GAF，
∴ AG=CD=CE， ∠ CDF= ∠ GAF，
∴∠ CAG= ∠ CAD+ ∠ GAF= ∠ CAD+ ∠ ADC=180°﹣ ∠ ACD，
∵∠ ACB= ∠ DCE=90°，
∴∠ BCE=360°﹣ ∠ ACB﹣ ∠ DCE﹣ ∠ ACD=180°﹣ ∠ ACD，
∴∠ CAG= ∠ BCE，
连接 BE，
在 △ BCE 和 △ ACG 中， ，
∴△ BCE ≌△ ACG，
∴ BE=CG=2CF，
即： BE=2CF．

【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
40、 （ 1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（ 1 ）已知 △ABC≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得 ∠ABC=∠DEF ，又因 ∠AEC=∠B+∠BAE，∠AEC=∠AEM+∠MEC ，即可得 ∠B+∠BAE=∠AEM+∠MEC ，所以 ∠BAE=∠MEC；（2） 当 E 为 BC 中点时 , AB=AC ，根据等腰三角形三线合一的性质可得 AE ⊥ BC ， ∠ EAM=60° ，再由 ∠ DEM=30° 即可证得 AC ⊥ EF； 在 Rt△ABE 中， ∠ B=30°， ， 求得 BE= ，即可求得 BC=3 ；在 Rt△CEM 中， ∠ C=30°，EC= E ，求得 EM= ， 根据全等三角形的性质可得 BC=EF=3 ，所以 FM= EF－EM= ， 即可得 EM：FM=1：3 ；（3 ）分 AM=AE、EA=EM、 三种情况求解即可 .
【详解】
（ 1 ）证明： ∵△ ABC ≌△ DEF
∴∠ ABC= ∠ DEF
∵∠ AEC= ∠ B+ ∠ BAE， ∠ AEC= ∠ AEM+ ∠ MEC；
∴∠ B+ ∠ BAE= ∠ AEM+ ∠ MEC，
即 ∠ BAE= ∠ MEC ；
（ 2 ）当 E 为 BC 中点时 ,
∵ AB=AC，
∴AE⊥BC，BE=EC= ， ∠EAM=60°，
又 ∵∠ DEM=30°，
∴ AC ⊥ EF；
∵ ， ，
∴∠B=∠C=30°，

在 Rt△ABE 中， ∠ B=30°， ，
∴BE= ，
∴BC=3；
在 Rt△CEM 中， ∠ C=30°，EC= ，
∴EM= ，
∵ △ABC≌△DEF，
∴ BC=EF=3，
∴FM= EF－EM= ，
∴ EM ： FM=1 ： 3；
（ 3 ）当 或 2 时， 是等腰三角形 .
①当 时，如图 ，


，
此时点 E 与点 B 重合，与题意矛盾 (舍去 ) ；
②当 时，如图 ，

由（ 1 ）知，
，
， ，
，
，
,
③当 时，如图 ，

则 ，
，
取 BE 中点 I ，连结 AI，
则 ， ，
是等边三角形，
设 ，在 中，
由勾股定理，得 ，
即 ，解得
.
综上所述，当 或 2 时， 是等腰三角形 .
【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质、 30 °角直角三角形的性质及勾股定理，熟练运用上述知识点是解决问题的关键 .
41、 （ 1 ） 13 ， 6.5 ；（ 2 ）见解析 .
【解析】
根据勾股定理、直角三角形的性质解答；
根据等腰三角形的三线合一证明．
【详解】
解： 在 中， ，
， CD 是斜边 AB 上的中线，
，
故答案为： 13 ； ；
， CD 是斜边 AB 上的中线，
，
，
．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形三线合一的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
42、 （ 1 ）证明见解析；（ 2）AC=2 ．
【分析】
(1) 证明四边形 DBCF 的两组对边分别平行； (2) 作 CM ⊥ BF 于 F， △ CFM 是等腰直角三角形，求出 CM的长即可得到AC的长.
【详解】
解： ( 1 )证明：∵ AC ⊥ BD， ∠ FCA=90°，
∴∠ AEB=∠FCA=90° ，
∴ BD ∥ CF.
∵∠ CBF= ∠ DCB．
∴ CD ∥ BF，
∴四边形 DBFC 是平行四边形；
(2 )解：∵四边形 DBFC 是平行四边形，
∴ CF=BD=2， ∠F=∠CDB=45°，
∵ AB=BC，AC ⊥ BD， ∴ AE=CE，
作 CM ⊥ BF 于 F，
∵ BC 平分 ∠ DBF， ∴ CE=CM，
∴△ CFM 是等腰直角三角形，
∴ CM= CF= ， ∴ AE=CE= ，
∴ AC=2 ．

43、 （ 1）详见解析；（2） △ AOD 是直角三角形，理由详见解析；（ 3 ）当 α ＝ 110 °或 125 °或 140 °时，△ AOD 是等腰三角形．
【分析】
（ 1 ）根据全等三角形的性质得到 OC=DC ，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（ 2 ）根据全等三角形的性质得到 ∠ ADC= ∠ BOC= ∠α =150 °，结合图形计算即可；
（ 3 ）分 ∠ AOD= ∠ ADO 、 ∠ AOD= ∠ OAD 、 ∠ ADO= ∠ OAD 三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
【详解】
解：（ 1 ） ∵△ BOC ≌△ ADC ，
∴ OC ＝ DC ．
∵∠ OCD ＝ 60 °，
∴△ OCD 是等边三角形．
（ 2 ） △ AOD 是 直角三角形 ．
理由如下：
∵△ OCD 是等边三角形，
∴∠ ODC ＝ 60 °，
∵△ BOC ≌△ ADC ， ∠ α ＝ 150 °，
∴∠ ADC ＝ ∠ BOC ＝ ∠ α ＝ 150 °，
∴∠ ADO ＝ ∠ ADC ﹣ ∠ ODC ＝ 150 °﹣ 60 °＝ 90 °，
∴△ AOD 是 直角三角形 ．
（ 3 ） ∵△ OCD 是等边三角形，
∴∠ COD ＝ ∠ ODC ＝ 60 °．
∵∠ AOB ＝ 110 °，∠ ADC ＝ ∠ BOC ＝ α ，
∴∠ AOD ＝ 360 °﹣∠ AOB ﹣ ∠ BOC ﹣ ∠ COD ＝ 360 °﹣ 110 °﹣ α ﹣ 60 °＝ 190 °﹣ α ，
∠ ADO ＝ ∠ ADC ﹣ ∠ ODC ＝ α ﹣ 60 °，
∴∠ OAD ＝ 180 °﹣∠ AOD ﹣ ∠ ADO ＝ 180 °﹣（ 190 °﹣ α ）﹣（ α ﹣ 60 °）＝ 50 °．
① 当 ∠ AOD ＝ ∠ ADO 时， 190 °﹣ α ＝ α ﹣ 60 °，
∴ α ＝ 125 °．
② 当 ∠ AOD ＝ ∠ OAD 时， 190 °﹣ α ＝ 50 °，
∴ α ＝ 140 °．
③ 当 ∠ ADO ＝ ∠ OAD 时，
α ﹣ 60 °＝ 50 °，
∴ α ＝ 110 °．
综上所述：当 α ＝ 110 °或 125 °或 140 °时，△ AOD 是等腰三角形．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质 , 等腰三角形的判定 , 等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理，并且能根据已知角和题设条件表示未知角是解决本题的关键 . （ 3 ）中能用分类讨论思想非常重要 .
44、 （ 1 ） ① 见解析； ②80 °；（ 2 ） AE ＝ 2CF+BE ，理由见解析．
【分析】
（ 1 ） ①通过角的计算找出∠ ACD= ∠ BCE ，再结合 △ ACB 和 △ DCE 均为等腰三角形可得出 “AC=BC ， DC=EC” ，利用全等三角形的判定（ SAS ）即可证出 △ ACD ≌△ BCE ，由此即可得出结论 AD=BE ；
②结合①中的△ ACD ≌△ BCE 可得出 ∠ ADC= ∠ BEC ，再通过角的计算即可算出 ∠ AEB 的度数；
（ 2 ）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（ 1 ）的结论，通过解直角三角形即可求出线段 AD 、 DE 的长度，二者相加即可证出结论．
【详解】
（ 1 ） ①证明：∵∠ CAB ＝ ∠ CBA ＝ ∠ CDE ＝ ∠ CED ＝ 50° ，
∴∠ ACB ＝ ∠ DCE ＝ 180° ﹣ 2×50° ＝ 80° ，
∵∠ ACB ＝ ∠ ACD+ ∠ DCB ， ∠ DCE ＝ ∠ DCB+ ∠ BCE ，
∴∠ ACD ＝ ∠ BCE ，
∵△ ACB ， △ DCE 都是等腰三角形，
∴ AC ＝ BC ， DC ＝ EC ，
在 △ ACD 和 △ BCE 中，
，
∴△ ACD ≌△ BCE （ SAS ），
∴ AD ＝ BE ．
②解：∵△ ACD ≌△ BCE ，
∴∠ ADC ＝ ∠ BEC ，
∵点 A 、 D 、 E 在同一直线上，且 ∠ CDE ＝ 50° ，
∴∠ ADC ＝ 180° ﹣ ∠ CDE ＝ 130° ，
∴∠ BEC ＝ 130° ，
∵∠ BEC ＝ ∠ CED+ ∠ AEB ， ∠ CED ＝ 50° ，
∴∠ AEB ＝ ∠ BEC ﹣ ∠ CED ＝ 80° ．
（ 2 ）结论： AE ＝ 2CF+BE ．
理由： ∵△ ACB ， △ DCE 都是等腰直角三角形，
∴∠ CDE ＝ ∠ CED ＝ 45° ，
∵ CF ⊥ DE ，
∴∠ CFD ＝ 90° ， DF ＝ EF ＝ CF ，
∵ AD ＝ BE ，
∴ AE ＝ AD+DE ＝ BE+2CF ．

【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形全等的证明，正确理解等腰三角形的性质以及三角形全等的证明是本题的解题关键．
45、 见解析
【分析】
延长 FE ，截取 EH=EG ，连接 CH ，可证 △BEG ≌△ CEH ，即可求得 ∠ F= ∠ FGA ，即可求得 ∠ CAD= ∠ BAD ，即可解题．
【详解】
证明：延长 FE ，截取 EH=EG ，连接 CH ，

∵ E 是 BC 中点，
∴ BE=CE ，
∴∠ BEG= ∠ CEH ，
在 △BEG 和 △CEH 中，
，
∴△ BEG ≌△ CEH （ SAS ），
∴∠ BGE= ∠ H ，
∴∠ BGE= ∠ FGA= ∠ H ，
∴ BG=CH ，
∵ CF=BG ，
∴ CH=CF ，
∴∠ F= ∠ H= ∠ FGA ，
∵ EF ∥ AD ，
∴∠ F= ∠ CAD ， ∠ BAD= ∠ FGA ，
∴∠ CAD= ∠ BAD ，
∴ AD 平分 ∠ BAC ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 △BEG ≌△ CEH 是解题的关键．
46、 （ 1）证明见解析（2） NE－ME＝CM
【分析】
:(1) 根据同角的余角相等求出 ∠ ABN ＝ ∠ ACD, ∠ BDN ＝ ∠ CDM, 然后利用 ” 角边角 ” 证明 △ BDN 和 △ CDM 全等 ,
(2) 根据全等三角形的性质 , 对应边相等可得 :DN=DM, 从而得到 △ DMN 是等腰直角三角形 , 过点 D 作 DF ⊥ BE 于 F, 利用 ” 角角边 ” 证明 △ DEF 和 △ CEM 全等 , 根据全等三角形对应边相等可得 DF=CM,EF=ME, 然后根据等腰直角三角形的性质并结合图形整理即可得证 .
【详解】
(1) 证明 : ∵∠ ABC＝45°,CD ⊥ AB, ∴∠ ABC＝ ∠ DCB＝45°,
∴ BD＝DC ,
∵∠ BDC＝ ∠ MDN＝90°,
∴ ∠ BDN＝ ∠ CDM,
∵ CD ⊥ AB,BM ⊥ AC,
∴ ∠ ABM＝90°－ ∠ A＝ ∠ ACD,
∴ △ DBN ≌△ DCM,
(2)NE－ME＝CM,
证明 : 由（ 1） △ DBN ≌△ DCM 可得 DM＝DN,
作 DF ⊥ MN 于点 F, 又 ND ⊥ MD,

∴ DF＝FN,
又可证 △ DEF ≌△ CEM ,
∴ ME＝EF,CM＝DF,
∴ CM ＝DF＝FN＝NE－FE＝NE－ME.
47、 （ 1） A （ 6 ， 0 ）， B （ 0 ， 6 ）， C （－ 2 ， 0 ）；（ 2） ；（ 3）不改变．
【解析】
试题分析： （ 1 ）由偶次方和算术平方根的非负性质求出 a 和 b 的值，得出点 A、B 的坐标，再求出 OC ，即可得出点 C 的坐标；
（ 2 ）作 EG ⊥ x 轴于 G，FH ⊥ x 轴于 H ，由三角形的面积关系得出 DF=DE ，由 AAS 证明 △ FDH ≌△ EDG ，得出 DH=DG ，即可得出结果；
（ 3 ）作 MQ ⊥ x 轴于 Q ，连接 CM、AG、M ，证出 △ MCQ 是等腰直角三角形，得出 ∠ MCQ=45° ，同理： △ MPQ 是等腰直角三角形， ∠ MAQ=45°， △ AHG 是等腰直角三角形，得出 ∠ AGH=45°= ∠ MCQ ，证出 A、G、M、C 四点共圆，由圆周角定理即可得出结论．
试题解析 ：（ 1） ∵ ，
∴ a-b=0，b-6=0，
∴ a=b=6，
∴ A（6，0），B（0，6），
∴ OA==OB=6，
∵ OC：OA=1：3，
∴ OC=2，
∴ C（－2，0）．
(2) 作 EG ⊥ x 轴于 G，FH ⊥ x 轴于 H ，如图 1 所示：

则 ∠ FHD= ∠ EGD=90°，
∵ BD 平分 △ BEF 的面积，
∴ DF=DE，
在 △ FDH 和 △ EDG 中 ， ，
∴ △ FDH ≌ △ EDG(AAS)，
∴ DH=DG， 即 −x E +1=x F −1，
∴ x E +x F =2；
（ 3） ∠ CGM 的度数不改变 ， ∠ CGM=45°；
理由如下：作 MQ ⊥ x 轴于 Q ，连接 CM、AG、M ，如图 2 所示：

则 MQ=4，OQ=2，
∴ CQ=2+2=4，
∴ △ MCQ 是等腰直角三角形，
∴∠ MCQ=45°，
同理： △ MQA 是等腰直角三角形，
∴∠ MAQ=45°，
∵ AH ⊥ PM，HG=HA，
∴ △ AHG 是等腰直角三角形，
∴∠ AGH=45°= ∠ MCQ，
∴ A、G、M、C 四点共圆，
∴∠ CGM= ∠ MAQ=45°.
点睛：本题是三角形综合题目 ， 考查了偶次方和算数平方根的非负性质 、 全等三角形的判定与性质 、 等腰直角三角形的判定与性质 、 四点共圆 、 圆周角定理等知识 . 熟练掌握全等三角形的判定与性质、证明三角形是等腰直角三角形和四点共圆是解决问题的关键 .
48、 （ 1 ） ；（ 2 ）见解析 .
【分析】
（ 1 ）利用等腰三角形的三线合一的性质证明 ∠ ADB=90 °，再利用等腰三角形的性质求出∠ ABC 即可解决问题 . （ 2 ）只要证明 ∠ FBE= ∠ FEB 即可解决问题 .
【详解】
解：（ 1 ）



D 为 BC 的中点，


（ 2 ） BE 平分

又



【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 .
49、 （ 1 ） ；（ 2 ）见解析 .
【分析】
（ 1 ）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得 的长度，再根据勾股定理，可求得 的长度 . 根据圆的直径对应的圆周角为直角，可知 ，根据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，可求得 的长 .
（ 2）根据三角形中位线平行于底边，可知 ，再根据 ，可知 ，则可知 与 相切 .
【详解】
（ 1 ）连接 、 ，
，
．
为 的斜边 的中线，由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
， ， ，
为圆 的直径． ，即 ，
由于等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，
．

（ 2 ） 、 为 、 的中点，由于三角形中位线平行于底边，
，
．
，
，
即 ．
又 为半径
与圆 相切．
【点睛】
本题综合考查 “直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合”，“三角形中位线平行于底边”等定律，以及圆的切线的判定定理 .
50、 PE+PF=BH
【分析】
连接 AP ，根据等腰三角形的性质可表示出 S △ ABC =S △ ABP +S △ ACP =
×AC× （ PE+PF ），同时可表示出 S △ ABC = AC×BH ，从而可得到 PE+PF=BH ．
【详解】
解： PE+PF=BH ．理由如下：
连接 AP ．

∵ AB=AC ，
∴ S △ ABC =S △ ABP +S △ ACP = AB×PE+ AC×PF= AC× （ PE+PF ），
∵ S △ ABC = AC×BH ，
∴ PE+PF=BH ．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．
三、填空题
1、
【解析】
根据旋转的性质可得 AC=CD ，再判断出 △ ACD 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出 ∠ CAD=45° ，由 ∠ BAD= ∠ BAC+ ∠ CAD 可得答案．
【详解】
∵ Rt △ ABC 绕其直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90° 后得到 Rt △ DEC，
∴ AC=CD，
∴△ ACD 是等腰直角三角形，
∴∠ CAD=45°，
则 ∠ BAD= ∠ BAC+ ∠ CAD=25°+45°=70°，
故答案为： 70° ∘ ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质并准确识图是解题的关键 .
2、 60 °或 120 °
【分析】
分别从 △ ABC 是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】
解：如图（ 1 ），
∵ AB=AC ， BD ⊥ AC ，
∴∠ ADB=90° ，
∵∠ ABD=30° ，
∴∠ A=60° ；
如图（ 2 ），
∵ AB=AC ， BD ⊥ AC ，
∴∠ BDC=90° ，
∵∠ ABD=30° ，
∴∠ BAD=60° ，
∴∠ BAC=120° ；
综上所述，它的顶角度数为： 60° 或 120° ．

【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
3、
【分析】
设 EF=x ，根据三角形的中位线定理表示 AD=2x，AD ∥ EF ，可得 ∠ CAD= ∠ CEF=45° ，证明 △ EMC 是等腰直角三角形，则 ∠ CEM=45° ，证明 △ ENF ≌△ MNB ，则 EN=MN= x，BN=FN= ，最后利用勾股定理计算 x 的值，可得 BC 的长．
【详解】
设 EF=x，
∵点 E 、点 F 分别是 OA、OD 的中点，
∴ EF 是 △ OAD 的中位线，
∴ AD=2x，AD ∥ EF，
∴∠ CAD= ∠ CEF=45°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC，AD=BC=2x，
∴∠ ACB= ∠ CAD=45°，
∵ EM ⊥ BC，
∴∠ EMC=90°，
∴△ EMC 是等腰直角三角形，
∴∠ CEM=45°，
连接 BE，

∵ AB=OB，AE=OE
∴ BE ⊥ AO
∴∠ BEM=45°，
∴ BM=EM=MC=x，
∴ BM=FE，
易得 △ ENF ≌△ MNB，
∴ EN=MN= x，BN=FN= ，
Rt △ BNM 中，由勾股定理得： BN 2 =BM 2 +MN 2 ，
∴ ( ) 2 ＝ x 2 +( x) 2 ，
x=2 或 -2 （舍），
∴ BC=2x=4 ．
故答案为 4 ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
4、
【解析】 由折叠的性质可知 AE=CE ，再证明 △ BCE 是等腰三角形即可得到 BC=CE ，问题得解．
【详解】 ∵ AB=AC， ∠ A=36°，
∴∠ B= ∠ ACB= =72°，
∵将 △ ABC 中的 ∠ A 沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处，
∴ AE=CE， ∠ A= ∠ ECA=36°，
∴∠ CEB=72°，
∴ BC=CE=AE= ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明 △ BCE 是等腰三角形是解题的关键．
5、 30
【解析】
过 D 作 DM⊥AC 交 CA 的延长线于 M，DN⊥AE ，根据角平分线的性质得到 DF=DM ，根据邻补角的定义得到 ∠ DAM=60 °，根据角平分线的定义得到∠ BAE=60 °，推出 DE 平分 ∠ AEB ，根据等腰三角形的性质得到 ∠ AEB=90 °，得到∠ DEF=45 °，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
过 D 作 DM⊥AC 交 CA 的延长线于 M，DN⊥AE，

∵CD 平分 ∠ ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE 平分 ∠ BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴DM=DN，
∴DF=DN,
∵DF⊥BC，
∴DE 平分 ∠ AEB，
∵AB=AC，AE 平分 ∠ BAC 交 BC 于 E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠ACB=30°，CD 平分 ∠ ACB，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=∠DEF -∠DCF=30°.
故答案为： 30．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质 、 角平分线的性质 、 角平分线的定义，正确的作出辅助线，熟练运用性质是解题的关键．
6、 12° ．
【解析】
设 ∠A=x ，
∵AP 1 =P 1 P 2 =P 2 P 3 =…=P 13 P 14 =P 14 A ，
∴∠A=∠AP 2 P 1 =∠AP 13 P 14 =x ．
∴∠P 2 P 1 P 3 =∠P 13 P 14 P 12 =2x ，
∠P 2 P 3 P 4 =∠P 13 P 12 P 10 =3x ，
…… ，
∠P 7 P 6 P 8 =∠P 8 P 9 P 7 =7x ．
∴∠AP 7 P 8 =7x ， ∠AP 8 P 7 =7x ．
在 △AP 7 P 8 中， ∠A+∠AP 7 P 8 +∠AP 8 P 7 =180° ，即 x+7x+7x=180° ．
解得 x=12° ，即 ∠A=12° ．
7、 120° 或 75° 或 30°
【解析】
∵∠AOB=60°，OC 平分 ∠AOB， 点 E 在射线 OA 上，
∴∠COE=30°.
如下图 ， 当 △OCE 是等腰三角形时 ， 存在以下三种情况 ：
（ 1 ）当 OE=CE 时， ∠ OCE=∠COE=30° ，此时 ∠ OEC=180°-30°-30°=120°；
（ 2 ）当 OC=OE 时， ∠ OEC=∠OCE= =75°；
（ 3 ）当 CO=CE 时， ∠ OEC=∠COE=30°.
综上所述，当 △OCE 是等腰三角形时 ， ∠OEC 的度数为： 120 °或 75 °或 30°.

点睛 ： 在本题中 ， 由于题中没有指明等腰 △OCE 的腰和底边 ， 因此要分 ：（ 1）OE=CE；（2）OC=OE；（3）CO=CE ；三种情况分别讨论，解题时不能忽略了其中任何一种情况 .
8、 4
【分析】
延长 AC 至 E ，使 CE=BM ，连接 DE ．证明 △ BDM ≌△ CDE （ SAS ），得出 MD=ED ， ∠ MDB= ∠ EDC ，证明 △ MDN ≌△ EDN （ SAS ），得出 MN=EN=CN+CE ，进而得出答案．
【详解】
延长 AC 至 E ，使 CE=BM ，连接 DE ．

∵ BD=CD ，且 ∠ BDC=140 °，
∴∠ DBC= ∠ DCB=20 °，
∵∠ A=40 °， AB=AC=2 ，
∴∠ ABC= ∠ ACB=70 °，
∴∠ MBD= ∠ ABC+ ∠ DBC=90 °，
同理可得 ∠ NCD=90 °，
∴∠ ECD= ∠ NCD= ∠ MBD=90 °，
在 △ BDM 和 △ CDE 中，

∴△ BDM ≌△ CDE （ SAS ），
∴ MD=ED ， ∠ MDB= ∠ EDC ，
∴∠ MDE= ∠ BDC=140 °，
∵∠ MDN=70 °，
∴∠ EDN=70 ° = ∠ MDN ，
在 △ MDN 和 △ EDN 中，
∴△ MDN ≌△ EDN （ SAS ），
∴ MN=EN=CN+CE ，
∴△ AMN 的周长 =AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4 ；
故答案为： 4 ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9、 >
【分析】
构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小 .
【详解】
解：如下图所示，

是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为
另：此题也可直接测量得到结果．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键 .
10、 8
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DE=DF= AB ， EF= BC ，然后代入数据计算即可得解．
【详解】
解： ∵ AF ⊥ BC ， BE ⊥ AC ， D 是 AB 的中点，
∴ DE=DF= AB ，
∵ AB=AC ， AF ⊥ BC ，
∴点 F 是 BC 的中点， ∴ BF=FC=3 ，
∵ BE ⊥ AC ，
∴ EF= BC=3 ，
∴△ DEF 的周长 =DE+DF+EF=AB+3=11 ，
∴ AB=8 ，
故答案为 8 ．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
11、
【解析】
根据三角形的面积公式求出 ＝ ，根据等腰三角形的性质得到 BD＝DC＝ BC ，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
∵ AD 是 BC 边上的高， CE 是 AB 边上的高，
∴ AB•CE＝ BC•AD，
∵ AD＝6，CE＝8，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵ AB＝AC，AD ⊥ BC，
∴ BD＝DC＝ BC，
∵ AB 2 −BD 2 ＝ AD 2 ，
∴ AB 2 ＝ BC 2 ＋ 36 ，即 BC 2 ＝ BC 2 ＋ 36，
解得： BC＝ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理的应用和三角形面积公式的应用，根据三角形的面积公式求出腰与底的比是解题的关
12、 3
【解析】
分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．
详解： ∵ AB=AC， ∴△ ABC 是等腰三角形．
∵∠ A=36°， ∴∠ C= ∠ ABC=72°．
∵BD 平分 ∠ ABC 交 AC 于 D，
∴∠ ABD= ∠ DBC=36°，
∵∠ A= ∠ ABD=36°，
∴△ ABD 是等腰三角形．
∠ BDC= ∠ A+ ∠ ABD=36°+36°=72°= ∠ C，
∴△ BDC 是等腰三角形．
∴共有 3 个等腰三角形．
故答案为 3．
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
13、 37
【分析】
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在 △ ABC 中可求得 ∠ ACB= ∠ ABC=74° ，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在 △ BCD 中可求得 ∠ CDB= ∠ CBD= ∠ ACB=37°．
【详解】
∵ AB=AC， ∠ A=32°，
∴∠ ABC= ∠ ACB=74°，
又 ∵ BC=DC，
∴∠ CDB= ∠ CBD= ∠ ACB=37°，
故答案为 37．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
14、 72 ．
【解析】
根据五边形的内角和公式求出 ，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【详解】
解： ∵五边形 ABCDE 是正五边形，
，
，
，
同理 ，

故答案为： 72
【点睛】
本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．
15、 15
【分析】
分腰为 3 和腰为 6 两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【详解】
解：当腰为 3 时， 3+3=6 ，
∴ 3 、 3 、 6 不能组成三角形；
当腰为 6 时， 3+6=9 ＞ 6 ，
∴ 3 、 6 、 6 能组成三角形，
该三角形的周长为 =3+6+6=15 ．
故答案为： 15 ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
16、
【解析】
作 AH⊥BC于H．首先证明△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，则有PD=PG=2a，CD=4-a，EC= ， CG= ，推出 PC=PG+CG= ，在 Rt△PCD中，根据PD 2 +CD 2 =PC 2 ，构建方程即可解决问题 .
【详解】
如图，作 AH⊥BC于H，

∵AB=AC=2 ， AH⊥BC，
∴∠B=∠ACD，BH=CH=2，AH= =4，
∵PC是直径，
∴∠PDC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDP=∠CED=90°，
∵PD=PG，
∴∠PDG=∠PGD=∠CGE，
∵∠PDG+∠CDE=90°，∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠PDG=∠ECD=∠B=∠EGC，
∵∠PDB=∠DEC=∠AHB=90°，
∴△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，
则有 PD=PG=2a，CD=4-a，EC= ， CG= ，
∴PC=PG+CG= ，
在 Rt△PCD中，∵PD 2 +CD 2 =PC 2 ，
∴4a 2 +（4-a） 2 =（ ） 2 ，
解得 a= 或 4（舍弃），
∴BD= ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程方程解决问题，属于中考常考题型．
17、 （ Ⅰ） ； （ Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点 ，连接 与 相交，得圆心 ； 与网格线相交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，与点 的连线 相交于点 ，连接 ，则点 满足 ．

【解析】
（ Ⅰ）根据勾股定理即可求出 AB 的长
（ Ⅱ）先确定圆心，根据∠ EAF= 取格点 E 、 F 并连接可得 EF 为直径，与 AC 相交即可确定圆心的位置，先在 BO 上取点 P, 设点 P 满足条件，再根据点 D 为 AB 的中点，根据垂径定理得出 OD AB ，再结合已知条件 ， 得出 ，设 PC 和 DO 的延长线相交于点 Q ，根据 ASA 可得 , 可得 OA=OQ ，从而确定点 Q 在圆上，所以连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，与点 的连线 相交于点 ，连接 即可找到点 P
【详解】
（ Ⅰ）解：
故答案为：
（ Ⅱ）取圆与网格线的交点 ，连接 ，与 相交于点 O ，
∵∠ EAF= ， ∴ EF 为直径 ,
∵圆心在边 AC 上 ∴点 O 即为圆心
∵ 与网格线的交点 D 是 AB 中点，连接 OD 则 OD AB ，
连接 OB ， ∵ ,OA=OB
∴∠ OAB= ∠ OBA= ， ∠ DOA= ∠ DOB= ，
在 BO 上取点 P ，并设点 P 满足条件， ∵
∵ ，
∴∠ APO= ∠ CPO= ，
设 PC 和 DO 的延长线相交于点 Q ，则 ∠ DOA= ∠ DOB= ∠ POC= ∠ QOC=
∴∠ AOP= ∠ QOP= ，
∵ OP=OP, ∴ ∴ OA=OQ,
∴点 Q 在圆上， ∴连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，与点 的连线 相交于点 ，连接 , 则点 P 即为所求
【点睛】
本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．