专题36 仿真模拟卷04（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题36 仿真模拟卷04（新高考地区专用）（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数 学
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（2021·山东菏泽市·高三一模）设集合或，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解指数不等式确定集合，然后由交集定义计算．
【解析】，则故选 A．
2．（2021·湖北荆门市·高三月考）关于直线：，有下列四个命题：甲：直线经过点；乙：直线经过点；丙：直线经过点；丁：．若只有一个假命题，则该命题是
A．甲B．乙
C．丙D．丁
【答案】C
【分析】分别求出四个命题为真命题时，满足的条件，再分别讨论当有一个为假命题时，判断命题．
【解析】甲：直线经过点则，得，乙：直线经过点，则，得，丙：直线经过点，则，即，丁：，
若只有一个是假命题，
若是甲是假命题，乙丙丁是真命题，则，不满足丁，故不正确；
若乙是假命题，甲丙丁是真命题，则，不满足丁，故不正确；
若丙是假命题，甲乙丁是真命题，都满足，故丙是假命题，正确；
若丁是假命题，则，不满足丁，故不正确．故选C.
3．（2021·湖北高三月考）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题得，
即，解得，即，
故选B.
【名师点睛】向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解．
4．（2021·河南高三其他模拟）从正方体的条棱中任选条棱，则这条棱两两异面的概率为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】可求得从正方体的条棱中任选条棱共有220种组合方式，分析可得有8种组合公式构成两两异面，即可求得概率．
【解析】从正方体的条棱中任选条棱，共有种，其中，每条棱都有4条棱与其异面，例如，与异面，有和两组构成两两异面，
对于构成的平面，每条棱都可以构成2组两两异面，
因此共有种组合公式构成两两异面，
故这条棱两两异面的概率为．故选A．
5．（2021·浙江高三月考）在直角坐标系中，已知为坐标原点，．点满足且，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，根据椭圆的定义得出点在椭圆①上，再由斜率公式得出②，联立得出，最后由距离公式得出．
【解析】设，，点在椭圆①上
，，即②
联立①②可得，则故选B
【名师点睛】解决本题的关键是由椭圆的定义得出点在椭圆上，再结合斜率公式求出．
6．（2021·广西崇左市·高三二模）已知的展开式中含项的系数为4，则实数
A．2B．4
C．D．
【答案】A
【分析】首先化简 ，然后分析展开式中含有项的系数是由两种情况构成，依次算出系数最后列出方程求出的值．
【解析】因为，所以其展开式中含有项的系数有两部分：一部分是展开式中的系数，另一部分是中的系数与的乘积即，所以解得．故选A
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
7．（2020·山西运城市·高三其他模拟）圆与抛物线交于三点，若的面积为，则抛物线的方程为
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】联立，可求出三点的坐标，进而可得到的面积的表达式，从而可求出，即可得到抛物线的方程．
【解析】联立，消去得，解得或，
当时，；当时，由，可得，
不妨设点在点的上方，则，
因为圆的圆心为，
所以，解得，
因为，所以，所以抛物线的方程为．故选C．
【名师点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题．
8．（2021·广西崇左市·高三二模）若，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先将不等式进行化简得到，构造函数，不等式就可以转化为，结合函数的单调性就可以得到，从而得出．
【解析】，
，构造函数，
求导得，
因为，，又
所以，
故函数在上单调递增的，
由于，即，
所以，故即．故选C.
【名师点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2020·河北邯郸市·高三期末）已知复数，则下列结论正确的是
A．B．复数在复平面内对应的点在第二象限
C．D．
【答案】AD
【分析】利用复数的四则运算可得，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．
【解析】，，
复数在复平面内对应的点在第一象限，故AD正确．故选AD
10．（2021·山东淄博市·高三一模）已知函数，则下列结论正确的是
A．是偶函数B．是增函数
C．最小值是2D．最大值是4
【答案】AC
【分析】根据函数的奇偶性，均值不等式及特值法求解即可．
【解析】的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数，所以函数在R上不是增函数，故A正确B错误；
又，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
当时，，故D错误．故选AC.
11．（2021·湖南永州市·高三二模）是正方体中线段上的动点(点异于点)，下列说法正确的是
A．
B．异面直线与所成的角是
C．的大小与点位置有关
D．二面角的大小为
【答案】ABD
【分析】根据平面即可判断A正确；求出异面直线与所成的角即可知B正确；根据等积法可知的大小与点位置无关，C错误；根据二面角的定义可知D正确．
【解析】对A，因为，所以平面，而平面，所以，正确；
对B， 异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角，因为，所以即为异面直线与所成的角，而为等边三角形，所以，正确；
对C，因为四边形为矩形，所以为定值，而平面，点到平面的距离为定值，故为定值，错误；
对D，二面角的平面角即为二面角的平面角，由二面角的定义可知，为二面角的平面角，易知，正确．故选ABD．
【名师点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，二面角的求法，等积法的应用，线面垂直的判定等，属于中档题．二面角的常用求法有：定义法，垂面法，三垂线法，向量法，坐标法，面积射影法等．
12．（2021·河北张家口市·高三一模）已知函数，其导函数为，设，则
A．的图象关于原点对称B．在R上单调递增
C．是的一个周期D．在上的最小值为
【答案】AC
【分析】对A：求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；
对B：利用的导数可判断；
对C：计算，看是否等于即可；
对D：设，根据对勾函数的单调性可得最值．
【解析】的定义域是，其定义域关于坐标原点对称，且，
所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确；
由，得，则．
恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；
由，得函数的定义域是，故C项正确；
设，当时，，
此时，，根据对勾函数的单调性，在上单调递减，
，故D项错误．故选AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·陕西咸阳市·高三一模）若偶函数满足，则___________．
【答案】-1
【分析】先判断函数的周期，再利用周期和偶函数的性质求值．
【解析】，是周期函数，周期，且函数是偶函数，
，故答案为
14．（2020·山东高三其他模拟）一年时间里，某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动，据统计，他们参加社区志愿者公益活动时长（单位：时）近似服从正态分布，且，该校高一学生中参加社区志愿者公益活动超过小时的人数有，估计该校高一年级学生人数为___________．
【答案】1500
【分析】由正态分布曲线的对称性可求得，由频数、频率和总数的关系可求得结果．
【解析】由得，
．
估计该校高一年级学生人数为人．故答案为．
【名师点睛】本题考查正态分布问题的求解、利用频率、频数求解总体容量的问题；关键是明确频数总数频率．
15．（2021·全国高三其他模拟）已知等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为___________．
【答案】3
【分析】分别求出两腰所在直线的斜率，设底边所在直线为，由直线夹角相等可得的值，结合原点在等腰三角形的底边上可确定结果．
【解析】直线的斜率，直线的斜率，
设底边所在直线为，由题意，与的夹角等于与的夹角，
于是有，即，
化简得，解得或，
因为原点在等腰三角形的底边上，所以．故答案为3．
16．（2021·云南高三其他模拟）如图，已知面积为4的正方形的四个顶点均在球的球面上，为正方形的外接圆，为等腰直角三角形，则球的体积为___________．
【答案】
【分析】如图利用勾股定理计算外接球半径，进而求得体积．
【解析】设的半径为，球的半径为，易知为的中点，
由正方形的面积为4，可知正方形的边长为2，
因此，，
故球的体积，故答案为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021·山东菏泽市·高三一模）在中，角所对的边分别为已知，面积，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长．
（1）；
（2）．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
【分析】利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周长．
【解析】由三角形的面积公式可知，，
，整理得
由正弦定理得
因为，，
若选择条件（1）由：得，则，
又为三角形的内角，，
由正弦定理得
代入解得，三角形的周长为
若选择条件（2），则由，得
又，
又为三角形的内角，．
由正弦定理得 ，
代入解得，三角形的周长为
18．（12分）（2021·河南高三其他模拟）已知数列的前项和为．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）是否存在实数，使得数列是等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，，
【分析】（1）利用，并检验当时，，求数列的通项公式即可；（2）由数列前n项和，求出，再利用数列为等差数列，即可求出，．
【解析】（1）时，，
当时，，
当时，，符合，
所以数列的通项公式为；
（2）假设存在实数，使得数列是等差数列，
，
当时，
，
因为数列是等差数列，为常数，
，即，
当时，， ，
由等差数列知，，解得，
故存在实数，使数列为等差数列．
【名师点睛】本题主要考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的分类讨论思想，属于中档题．
19．（12分）（2021·山东淄博市·高三一模）某市会展公司计划在未来一周组织5天广场会展．若会展期间有风雨天气，则暂停该天会展．根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的5天时间内出现风雨天气情况的概率是前3天均为，后2天均为(假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的)．
（1）求未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率；
（2）求这次会展活动展出的平均天数．(结果精确到0.1)
【答案】（1）；（2）平均天数是1.9天．
【分析】（1）先求出未来一周5天都举行会展的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一天暂停会展的概率；（2）由题意X的取值是0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出会展的天数X的分布列，再求期望即可．
【解析】（1）记“未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展”为事件，则事件表示未来一周5天展出会展，于是，
，
所以，未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率是．
（2）设随机变量表示会展展出的天数，则，1，2，3，4，5
于是，，
，
，
，
，
由（1）知，，
所以，
即这次会展活动展出的平均天数是1.9天．
20．（12分）（2021·广西崇左市·高三二模）已知正方体的棱长为2，分别为的中点．
（1）画出平面截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）取分别为的中点，利用线线平行可得证明；
（2）根据已知建立空间直角坐标系，求出平面和的法向量利用向量数量积公式可得答案．
【解析】（1）取分别为的中点，连接，截面多边形为如图所示正六边形，
做图依据如下：
由做图过程知分别为的中点，，
，即四点共面，
，，所以四点共面五点共面，
，
，四点共面点J在五点确定的平面内，
故六点共面．
（2）据题已知可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
由（1）易知为平面的一个法向量，
设平面法向量为，则可得，
令，则，是平面的一个法向量，
，
平面与平面所成的二面角的余弦值为．
【名师点睛】本题考查了正方体截面的问题、向量法求二面角的问题，关键点是建立空间直角坐标系求出平面的法向量，考查了学生的空间想象力、计算能力．
21．（12分）（2021·河北张家口市·高三一模）已知双曲线上一动点P，左、右焦点分别为，且，定直线，点M在直线上，且满足．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线的斜率，且过双曲线右焦点与双曲线右支交于两点，求的外接圆方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设点，由，结合各点的坐标可得，由动点P在双曲线上，即可写出双曲线的标准方程；（2）设，而直线，联立双曲线方程，应用根与系数关系得， ，即可求，而外接圆圆心在的垂直平分线上，根据弦长、弦心距、半径的关系，结合两点距离公式，求圆心、半径即可写出圆的方程．
【解析】（1）由题意，知，设点，则，
所以，得，
整理得， 即双曲线的标准方程为．
（2）由题意，知直线，设，
联立方程，得，整理得，
故， ，而，
所以中点为，而外接圆圆心在的垂直平分线上，则，
又由焦点弦长公式，可知．
设圆心满足，解得
所以半径，故外接圆方程为．
【名师点睛】（1）设动点坐标，根据线段的比例关系，结合两点距离公式列方程，整理即可得双曲线的标准方程；（2）由直线与双曲线的位置关系，应用弦长公式求弦长；由三角形外接圆圆心的性质，结合弦长、弦心距、半径间的几何关系，求圆心坐标及半径，进而写出圆的方程．
22．（12分）（2021·河南高三其他模拟）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，关于的不等式有解，求的最大值．
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）．
【分析】（1）定义域是，求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）设，求导得，讨论得有一个正根，从而确定的单调性，由不等式有解，得最大值，从而有，再由，把用表示，并求得的范围，化为关于的函数，再利用导数求得其最小值后得的范围．
【解析】（1）函数的定义域为，
．
，．
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）设，
则．
当时，有两个根，不妨令，
又，．由题意舍去．
当时，，当时，．
在上单调递增，在上单调递减．
存在使成立，
，即．
又，．
，．．
．
令，则．
函数在上单调递增．
，即得最大值为．
【名师点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，不等式有解问题．解题方法是用导数确定单调性，得函数的最值，利用不等式有解得最大值，从而得利用可把用代换，化二元为一元，引入新函数由新函数得最值，得结论．