中考数学圆与多边形专题含答案

这是一份中考数学圆与多边形专题含答案，共25页。

【知识梳理】
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
正多边形判定：“各边相等”、“各角相等”必须同时具备，缺一不可.
正多边形与圆的关系：正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.
正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心.
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
与正多边形（正n边形）有关的计算：
边长AB
a

半径OA
R
周长
C=na
面积

中心角∠AOB

外角

内角∠CAB
（1）180°-
（2）
内角和

边心距OH
（1）
（2）



正三角形，正方形，正六边形的内外接圆半径与边长的关系。

正三角形
正方形
正六边形
内接



外接







正多边形的边心距（正三角形，正方形，正六边形）
【经典例题1】正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为( )
A. B.2-2 C.2- D.-1
【解析】∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，
∴它的内切圆半径为：R=(2+2−4)=2−2.
故选B.





练习1-1如图，已知⊙O 的内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OM＝2，则该圆的内接正三角形 ACE 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
【解析】如图所示，连接OC，OB，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OCM=60°，
∴OM=OC•sin∠OCM，
∴．
∵∠OCN=30°，
∴ON=OC=，CN=2，
∴CE=2CN=4，
∴该圆的内接正三角形ACE的面积=，
故选：D．


练习1-2如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的等边△AEF均内接于⊙O，则的值是（　　）
A．2 B． C． D．

【解析】设其半径是r，则其正三角形的边长是r，
正方形的边长是r，则它们的比是:.
则内接正方形的边长与内接正三角形的边长的比为：:3.
即则的值=，
故选：D.

练习1-3如图，△ABC是半径为1的⊙O的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（　　）

A．3 B． C． D．
【解析】过点O作OF⊥BC于点F，连结BD、OC，
∵△ABC是 O的内接等边三角形，AB=1，
∴BF=BC=，∠OBC=30°，
∴OB===，CD=BC•tan30°=，
∴矩形BCDE的面积=BC•CD=．
故选C．


练习1-4如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，已知☉O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和弧BC的长分别为 (　　)

A.2， B.2，π C.， D.2，
【解析】解：如图所示，连接OC、OB
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OA=OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM=60°，
∴OM=OBsin∠OBM=4×=2，
弧BC的长度=，
故选：A．


练习1-5如图，等腰三角形ABC的内切圆☉O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB=AC=5，BC=6，则DE的长是(　　)

A. B. C. D.
【解析】D
练习1-6(2019·十堰中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝( )

A．3 B．3 C．4 D．2
【解析】如解图，连接AC，∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ADC，∴∠ADC＝∠ABD，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠ACD，∴AC＝AD＝5.∵AE⊥CE，CE＝，
∴AE＝＝2.
 

练习1-7如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1） 设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r∶a及r∶b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．

【解析】(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形。
所以r:a=1:1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r:b=AO:BO=sin60∘=:2；
(2)T1:T2的边长比是:2，所以S1:S2=(a:b)2=3:4.

练习1-8如图，⊙O外接于正方形为弧上一点，且，求正方形的边长和的长．

【解析】连接，作于点，
如图所示．
∵四边形是正方形，
，
是的直径，是等腰直角三角形，




是等腰直角三角形，

，
．
正方形的边长为的长为．






练习1-9如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝　 　．

【解答】过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A==120°，AF＝AB，
∴∠AFB＝∠ABF=（180°﹣120°）＝30°，
∴△AFB边BF上的高AM=AF=（6+4）＝3+2，FM＝BM=AM＝3+6，
∴BF＝3+6+3+6＝12+6，
设△AFB的内切圆的半径为r，
∵S△AFB=S△AO1F=S△AO1B=S△BFO1，
∴（12+6）×（3+2）=（6+4）r+（6+4）r+（12+6）r，
解得：r＝3，
即O1M＝r＝3，
∴O1O2＝2×3+6+4=12+4，
故答案为：12+4．




【经典例题2】如图，将正五边形绕中心顺时针旋转角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则的最小角度为（ ）

A． B． C． D．

【解析】
∵正五边形的每个外角的度数==72°，
∴将正五边形ABCDE绕C点顺时针方向旋转72°时，所得新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′第一次落在直线BC上．
故选B．

练习2-1如图，正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠BOM的度数是______．∠MNC的度数是______．

【解析】连接AO，
∵正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠AOM=×360°=120°，
∴∠AOB=×360°=72°，
∵∠BOM=∠AOM-∠AOB，
∴∠BOM=120°-72°=48°
故答案为：48°

连接OC，CN，∠MOC=24°，∠MNC=∠MOC=12°


练习2-2如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（　　）
A．90° B．84° C．72° D．88°
【解析】由正五边形内角，得∠I＝∠BAI＝
由正六边形内角，得
∠ABC＝，
BE平分∠ABC，
∠ABK=60°，
由四边形的内角和，得
∠BKI=360°-∠I-∠BAI-∠ABK
=360°-108°-108°-60°
=84°．
故选：B．
练习2-3如图，P，Q分别是圆O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=（ ）

【解析】解答 解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
OB=OC，∠OBP=∠OCQ，BP=CQ，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
练习2-4刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）
 【解析】依照题意画出图象，如图所示．

∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=，
∴AB=，
∴S=6S△ABO=6×××1=2．
故答案为：2.

练习2-5刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积 S1来近似估计⊙O 的面积 S，设⊙O 的半径为 1， 则 S﹣S1＝ ．


练习2-6小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形.图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5 cm，小正六边形的面积为 cm2 ，则该圆的半径为____ cm. 




练习2-7置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.

【解析】 如解图，取圆心为O，
连接OA、OC，OC交AB于点D，则OC⊥AB.
设⊙O 的半径为r，则OA＝OC＝r，
又∵CD＝10，∴OD＝r－10，
∵AB＝40，OC⊥AB，∴AD＝20.
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25，
即脸盆的半径为25 cm.
　　　　
练习2-8已知：圆内接正方形ABCD，∠DAC的平分线交圆于点E，交CD于P，若EP=1，AP=3，则圆的半径r=

答案：

【经典例题3】如图，△ABD是圆O的内接正三角形，四边形ACEF是圆O的内接正四边形，若线段BC恰是圆O的一个内接正n边形的一条边，则n=（ ）
A.16 B.12 C.10 D.8

答案：B
练习3-1如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于圆O，则AD:AB=（ ）

答案：B
练习3-2如图，在正六边形ABCDEF中，连接BD、BE、DF，则则BE/DF的值为 .
答案：

练习3-2将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为 ( )
A． B． C． D．


练习3-3如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C． D．
【解析】如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC．

∵∠AOD＝∠BOE，
∴＝，
∴AD＝BE＝，
∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，
∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，
∴∠CBE＝（360°﹣90°）＝135°，
∴∠EBF＝45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝1，
在Rt△ECF中，EC＝＝＝，
∵△OCE是等腰直角三角形，
∴OC＝＝．
故选：C．
练习3-4如图⊙O内接正三角形形ABC、内接正四边形ABCD、⊙O内接正五边形ABCDE……⊙O内接正n边形ABCDE…，且BM=CN，
(1)图①中∠MON=_______°；
(2)图②中∠MON=_______°；
(3)图③中∠MON=_______°；
(4)试探究∠MON的度数与正n边形的边数的关系________________(直接写出答案)



【解析】分别连接OB、OC，
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OC=OB，O是外接圆的圆心，
∴CO平分∠ACB
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠OBM=∠OCN=30°，
∵BM=CN，OC=OB，
∴△OMB≌△ONC，
∴∠BOM=∠NOC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°；
∴∠MON=∠BOC=120°；
（2）同（1）可得∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；
（3）由（1）可知，∠MON==120°；在（2）中，∠MON==90°；在（3）中∠MON==72°…，
故当n时，∠MON=．




练习3-5如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．

（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是______，图③中∠APB的度数是______；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
【解析】（1）∠APB=120°
图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：∠APB=90°；∠APB=72°．
（3）由（1）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，．
分析：根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．












练习3-6如图1，△ABC为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，图4为正方形.
（1）如图1，当BP=CQ时，请写出∠AOQ的度数，并说明理由
（2）如图2，在正方形中当BP=CQ时，∠AOQ= ；如图3，在正五边形中，当BP=CQ时，∠AOQ= ；
（3）如图4，在正n边形中当，BP=CQ时，∠AOQ是否有什么规律？如果有请用含有n的式子直接表示；如果没有，请说明理由.

【解析】（1）∠BQM=60°．
在△ABM和△BCN中，
∠BAM=∠CBNAB=BC∠ABC=∠C=60∘
∠BAM=∠CBNAB=BC∠ABC=∠C=60°．
∴△ABM≌△BCN．
∴∠BAM=∠CBN．
∴∠BQM=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°．
（2）理由同（1）：正方形∠BQM=90°，正五边形∠BQM=108°，正六边形∠BQM=120°，正n边形∠BQM=180∘（n−2）n180°（n−2）n．
故答案为：90°，108°，120°，180∘（n−2）n180°（n−2）n

练习3-7在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．
（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．
①求证：△ABP≌△ACE．
②∠ECM的度数为°．
（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为°．
②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为°．
（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．


【解析】（1）①证明：如图1，

∵△ABC与△APE均为正三角形，
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC 
即∠BAP=∠CAE，
在△ABP和△ACE中，
AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，
∴△ABP≌△ACE （SAS）．
②∵△ABP≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，
∠ECM=180°-60°-60°=60°．
故答案为：60．
（2）①如图2，作EN⊥BN，交BM于点N

∵四边形ABCD和APEF均为正方形，
∴AP=PE，∠B=∠ENP=90°，
∴∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=90°，
即∠BAP=∠NPE，
在△ABP和△PNE中，
∠B=∠ENP，∠BAP=∠NPE，AP=PE，
∴△ABP≌△ACE （AAS）．
∴AB=PN，BP=EN，
∵BP+PC=PC+CN=AB，
∴BP=CN，
∴CN=EN，
∴∠ECM=∠CEN=45°
②如图3，作EN∥CD交BM于点N，

∵五边形ABCDF和APEGH均为正五边方形，
∴AP=PE，∠B=∠BCD，
∵EN∥CD，
∴∠PNE=∠BCD，
∴∠B=∠PNE
∵∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=180°-∠B，
即∠BAP=∠NPE，
在△ABP和△PNE中，
∠B=∠ENP，∠BAP=∠NPE，AP=PE，
∴△ABP≌△PNE （AAS）．
∴AB=PN，BP=EN，
∵BP+PC=PC+CN=AB，
∴BP=CN，
∴CN=EN，
∴∠NCE=∠NEC，
∵∠CNE=∠BCD=108°，
∴∠ECM=∠CEN=（180°-∠CNE）=×（180°-108°）=36°．
 故答案为：45，36．
（3）如图4中，过E作EK∥CD，交BM于点K，
∵n边形ABC…和n边形APE…为正n边形，
∴AB=BC    AP=PE
∠ABC=∠BCD=∠APE=
∵∠APK=∠ABC+∠BAP，∠APK=∠APE+∠EPK
∴∠BAP=∠KPE
∵EK∥CD，
∴∠BCD=∠PKE
∴∠ABP=∠PKE，
在△ABP和△PKE中，
∠ABP=∠PKE，∠BAP=∠KPE，AP=PE，
∴△ABP≌△PKE（AAS）
∴BP=EK，AB=PK，
∴BC=PK，
∴BC-PC=PK-PC，
∴BP=CK，
∴CK=KE，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠CKE=∠BCD=
∴∠ECK=[180°-]=．
练习3-8如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90∘，而90∘2=45是360∘（多边形外角和）的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．

图2中的图案外轮廓周长是________；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是________．
【解析】图2中的图案外轮廓周长是：8−2+2+8−2=14；
设∠BPC=2x，
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，
以∠APB为内角的正多边形的边数为：，
∴图案外轮廓周长是=，
根据题意可知：2x的值只能为60∘，90∘，120∘，144∘，
当x越小时，周长越大，
∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，
则会标的外轮廓周长是=，


练习3-9粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支．图2是它的横截面（矩形ABCD），已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_______ mm．(，结果精确到1 mm)

【解析】矩形的长由正六边形的5个直径和5个半径及一个顶角为120°的等腰的高组成BC=5×12+5×6+3=93，
AB由正六边形11个边心距构成即11×=3
∴周长=2×93+2×3 ≈300。
练习3-10如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

E
A
B
C
D
F
P

【解析】如图，分别以一顶点为定点，连接其与另一顶点的连线，在此图形中根据平行线分线段成比例定理可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD，AC∥FD，
根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知，相互平行的一组线段的垂直平分线相等，在这五组平行线段中，AE、BD与AB垂直，其中垂线必与AB平行，故无交点．
故直线AB上会发出警报的点P有：CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分线与直线AB的交点，共五个．
故选C．