专题48 解三角形（多选题部分）-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

专题48  解三角形 （多选题部分）

一、题型选讲

题型一 、正余弦定理的简单运用

例1、下列命题中，正确的是　　

A．在中，， 

B．在锐角中，不等式恒成立 

C．在中，若，则必是等腰直角三角形 

D．在中，若，，则必是等边三角形

【答案】ABD

【解析】：对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；

对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确

对于，在中，由，利用正弦定理可得：，

，

，，

或，

或，

是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误．

对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确．

故选：．

例2、（2020春•鼓楼区校级月考）在中，若，则的形状　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形

【答案】ABD

【解析】：，

．

．

，

或．

，，

，或．

为直角三角形或等腰三角形．

故选：．

例3、（2020春•鼓楼区校级月考）中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【答案】ABD

【解析】：、，，

，又，

由正弦定理得：，只有一种情况，

此时三角形只有一解，合题意；

、，，，

由正弦定理：得：，

又，，

只有一解，合题意；

、，，，

由正弦定理得：，无解，不符合题意，

，，；

由正弦定理：得；

此时 三角形只有一解，合题意．

故选：．

题型二、正余弦定理的综合题型

例4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（    ）

A．，，依次成等差数列

B．，，依次成等差数列

C．，，依次成等差数列

D．，，依次成等差数列

【答案】ABD

【解析】中，内角所对的边分别为，若，，依次成等差数列，
则：，
利用，
整理得：，
利用正弦和余弦定理得：，
整理得：，
即：依次成等差数列.

此时对等差数列的每一项取相同的运算得到数列，，或，，或，，，这些数列一般都不可能是等差数列，除非，但题目没有说是等边三角形，
故选：ABD.

例5、（2020·山东新泰市第一中学高三月考），，分别为内角，，的对边.已知，且，则（    ）

A． B．

C．的周长为 D．的面积为

【答案】ABD

【解析】∵，

∴，

∴.

由余弦定理得，

整理得，又，

∴，.

周长为.

故的面积为.

故选：ABD

例6、（2020•泉州一模）在中，角，，所对的边分别为，，．若，角的角平分线交于点，，，以下结论正确的是　　

A． B． 

C． D．的面积为

【答案】ACD

【解析】：因为，

由正弦定理可得，，

所以，

因为，

所以即，

，

 由角平分线定理可得，，

设，，则，，

中，由勾股定理可得，，

解可得，即，，

，

所以．

故选：．

二、达标训练

（2020春•平度市月考）在中，，，，则角的值可以是　　

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】：，，，

由正弦定理可得，即，

所以，

，

，

则或，

则角或．

故选：．

2、（2020·山东师范大学附中高三月考）下列命题中真命题为（    ）

A．小于的角一定是锐角

B．函数是偶函数

C．若，则

D．在中，若，则是锐角三角形

【答案】BC

【解析】对于A，0小于，但0不是锐角，故A错误；

对于B，令，定义域为，且，即，所以函数是偶函数，故B正确；

对于C，由，可得，则，解得，所以，故C正确；

对于D，在中，若，则，所以，，即C为锐角，而无法判断是否为锐角，故不能判断的形状，故D错误.

故选：BC.

3、（河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题）已知在中，角， ， 的对边分别为， ， ，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认为是正确论断的序号都写上）

A.若，则；

B`若， ， ，则满足条件的三角形共有两个；

C.若， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，则为正三角形；

D.若， ， 的面积，则.

【答案】AC

【解析】对于①,由正弦定理得,即,故,所以正确.对于②,由余弦定理得解得,故有唯一解,所以错误.对于③.由正弦定理得,而,所以为正三角形,所以正确.对于④:根据面积公式有,此时角应该对应两个解,一个钝角一个锐角,故错误.综上所述①③正确.