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专题18 情境问题的探究之函数部分-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习
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这是一份专题18 情境问题的探究之函数部分-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习，文件包含专题18情境问题的探究之函数部分原卷版docx、专题18情境问题的探究之函数部分解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
题型一 、指对数模型
例1、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）
A．60B．63
C．66D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C．
例2、【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【解析】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B．
题型二、分段函数模型
黎曼函数（Riemannfunctin）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：，若函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则______.
【答案】
【解析】 由知：关于对称，又为奇函数，
图象关于原点对称
为周期函数，周期
例4、电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范， 亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表。经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n(n)小时 才可以驾车，则n的值为（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）
车辆驾驶人员血液酒精含量阁值
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】 B
【解析】当酒精含量低于20时才可以开车，故结合分段函数建立不等式：
取整数故为6小时。
题型三、函数与不等式结合
例5、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设，则（ ）
A．函数为减函数B．
C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h
【答案】AC
【解析】A.∵，∴，
由题意，在上是减函数，A正确．
B.，整理得，B错误；
C.由A、B得，即时取等号，
由，解得，C正确；
D.时，，，，D错．
故选：AC.
例6、【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130；②15
【解析】①时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元.
②设顾客一次购买水果的促销前总价为元，
当元时，李明得到的金额为，符合要求；
当元时，有恒成立，
即，
因为，所以的最大值为.
综上，①130；②15.
【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
例7、【2019年高考全国I卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cmB．175 cm
C．185 cmD．190 cm
【答案】B
【解析】方法一：如下图所示.
依题意可知：
，
腿长为105 cm得，即，
，
，
所以AD>169.89.
②头顶至脖子下端长度为26 cm，
即AB<26，
，
，
，
，
所以.
综上，.
故选B.
方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．
二、达标训练
1、【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，
令，
则
从而.
故选A.
2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A．10名B．18名
C．24名D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名.
故选：B
3、（2020•香坊区校级三模）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若，lg2＝0.3010，则x的值约为（ ）
A．1.322B．1.410C．1.507D．1.669
【答案】．A
【解析】：由，lg2＝0.3010，
所以x＝lg2＝＝＝＝≈1.322；
即x的值约为1.322．
故选：A．
4、一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）
A. 2.3小时B. 3.5小时C. 5.6小时D. 8.8小时
【答案】A
【解析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
则，，，，
．
故选：A．
5、函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非 空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，因此，下列对应法则f满足函数定义的有
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，可得是函数；
对于B 不唯一不是函数
对于C 不是函数
对于D 运用换元法可得是函数，
故选AD
6、历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学 家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中Q为有理数集，QC为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中a，bR且a≠b），以下对说法正确的是
A．当a＞b时，的值域为[b，a]；当a＜b时，的值域为[a，b]
B．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
【答案】BCD
【解析】对于A函数的值域为，所以是错误的。
对于任意的,则，,所以不是周期函数，
对于C,显然可以判断为偶函数
对于D由于任意两个有理数之间，有无理数，任意两个无理数之间也有有理数，因此，不具有周期性。
7、（2020届山东省济宁市高三上期末）年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）
【答案】
【解析】当时， 经过年后，碳的质量变为原来的
令，则
良渚古城存在的时期距今约在年到年之间
故答案为；
8、【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．
【答案】8；11
【解析】∵z=81,∴x+y=195x+3y=73,∴x=8y=11.
故答案为8；11.
9、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则___，___.
【答案】10 900
【解析】由题意可得，解得.
故答案为10 900驾驶行为类别
阁值（mg/100mL）
饮酒驾车
[20，80)
醉酒驾车
[80，)
题型一 、指对数模型
例1、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）
A．60B．63
C．66D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C．
例2、【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【解析】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B．
题型二、分段函数模型
黎曼函数（Riemannfunctin）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：，若函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则______.
【答案】
【解析】 由知：关于对称，又为奇函数，
图象关于原点对称
为周期函数，周期
例4、电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范， 亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表。经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n(n)小时 才可以驾车，则n的值为（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）
车辆驾驶人员血液酒精含量阁值
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】 B
【解析】当酒精含量低于20时才可以开车，故结合分段函数建立不等式：
取整数故为6小时。
题型三、函数与不等式结合
例5、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设，则（ ）
A．函数为减函数B．
C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h
【答案】AC
【解析】A.∵，∴，
由题意，在上是减函数，A正确．
B.，整理得，B错误；
C.由A、B得，即时取等号，
由，解得，C正确；
D.时，，，，D错．
故选：AC.
例6、【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
【答案】①130；②15
【解析】①时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元.
②设顾客一次购买水果的促销前总价为元，
当元时，李明得到的金额为，符合要求；
当元时，有恒成立，
即，
因为，所以的最大值为.
综上，①130；②15.
【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
例7、【2019年高考全国I卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cmB．175 cm
C．185 cmD．190 cm
【答案】B
【解析】方法一：如下图所示.
依题意可知：
，
腿长为105 cm得，即，
，
，
所以AD>169.89.
②头顶至脖子下端长度为26 cm，
即AB<26，
，
，
，
，
所以.
综上，.
故选B.
方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．
二、达标训练
1、【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，
令，
则
从而.
故选A.
2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A．10名B．18名
C．24名D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，
，,故需要志愿者名.
故选：B
3、（2020•香坊区校级三模）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若，lg2＝0.3010，则x的值约为（ ）
A．1.322B．1.410C．1.507D．1.669
【答案】．A
【解析】：由，lg2＝0.3010，
所以x＝lg2＝＝＝＝≈1.322；
即x的值约为1.322．
故选：A．
4、一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）
A. 2.3小时B. 3.5小时C. 5.6小时D. 8.8小时
【答案】A
【解析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
则，，，，
．
故选：A．
5、函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非 空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，因此，下列对应法则f满足函数定义的有
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，可得是函数；
对于B 不唯一不是函数
对于C 不是函数
对于D 运用换元法可得是函数，
故选AD
6、历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学 家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中Q为有理数集，QC为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中a，bR且a≠b），以下对说法正确的是
A．当a＞b时，的值域为[b，a]；当a＜b时，的值域为[a，b]
B．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
【答案】BCD
【解析】对于A函数的值域为，所以是错误的。
对于任意的,则，,所以不是周期函数，
对于C,显然可以判断为偶函数
对于D由于任意两个有理数之间，有无理数，任意两个无理数之间也有有理数，因此，不具有周期性。
7、（2020届山东省济宁市高三上期末）年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到年之间．（参考数据：）
【答案】
【解析】当时， 经过年后，碳的质量变为原来的
令，则
良渚古城存在的时期距今约在年到年之间
故答案为；
8、【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．
【答案】8；11
【解析】∵z=81,∴x+y=195x+3y=73,∴x=8y=11.
故答案为8；11.
9、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则___，___.
【答案】10 900
【解析】由题意可得，解得.
故答案为10 900驾驶行为类别
阁值（mg/100mL）
饮酒驾车
[20，80)
醉酒驾车
[80，)
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