专题37 数列求和中的不等式问题-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

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一、题型选讲
题型一 、数列中与不等式有关的证明问题
例1、【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．
（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．
例2、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列的前项和为，已知 ，
(1)判断的关系并给出证明．
(2)若，设,的前项和为，证明：
甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是成等差数列．
如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．
例3、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，
题型二、数列中与不等式有关的参数问题
例4、【2018年高考江苏卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为___________．
例5、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则满足不等式的的最小值为__________.
例6、（2020届山东实验中学高三上期中）设正项数列的前n项和为，已知
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式
(2)设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围.
例7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知数列满足，，正项数列满足，且是公比为3的等比数列.
（1）求及的通项公式；
（2）设为的前项和，若恒成立，求正整数的最小值.
二、达标训练
1、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知数列满足：，，若对任意的正整数，都有，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）数列的前项和为，，，则__________；若时，的最大值为__________.
3、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.
4、（2021届江苏基地学校高三第一次大联考）已知数列的前n项和为，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：．
5、【辽宁省渤大附中、育明高中2020届高三第五次模拟】已知数列an满足12a1−5+22a2−5+32a3−5+⋯+n2an−5=n3.
（1）求数列an的通项公式；
（2）设数列1anan+1的前n项和为Tn，证明：Tn<16.
6、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围；
（3）记，是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由.