专题35 运用错位相减法求和-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

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用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn−qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
一、题型选讲
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.
所以 解得（舍去），.
故的公比为.
（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以
，
.
可得

所以.
例2、【2020年高考全国III卷理数】设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【解析】（1） 猜想 由已知可得
，
，
……
.
因为，所以
（2）由（1）得，所以
. ①
从而
.②
得
，
所以
例3、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）因为,,
所以,,
两式相减得,
整理得,
即,,所以为常数列,
所以,
所以
（2）由（1）,,
所以
两式相减得：
，
，
化简得
例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：
（1）；
（2）数列的前项和.
【解析】（1）设的公比为q.
因为成等差数列，
所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
因此.
由题意，.
所以，
，从而.
所以的公差.
所以.
（2）令，则.
因此.
又
两式相减得
.
所以.
例5、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，
当时，
=
=，
所以．
所以，
于是，解得或（舍）
所以=．
（2）由以上结论可得，
所以其前n项和
=
=
-得，=
=
所以=．
例6、【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
【解析】（1）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（2）设，数列前n项和为.
由解得.
由（1）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
例7、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】在公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求.
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，，，成等比数列得：，
解得或（舍去），
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，所以，
所以， ①
， ②
①-②得：
，
所以.
二、达标训练
1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设等差数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，
解得.
所以.
（Ⅱ）因此.
所以，
，
相减得
.
故：.
2、【2020届山西省太原市第五中学高三下学期4月模拟】已知数列an是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项.
（1）求数列an的通项公式；
（2）设bn=2lg2an−1，求数列anbn的前n项和Tn.
【答案】（1）an=2n；（2）Tn=6+2n−32n+1.
【解析】
（1）设数列an的公比为q，
因为a2=4，所以a3=4q，a4=4q2.
因为a3+2是a2和a4的等差中项，所以2a3+2=a2+a4.
即24q+2=4+4q2，化简得q2−2q=0.
因为公比q≠0，所以q=2.
所以an=a2qn−2=4×2n−2=2n n∈N∗；
（2）因为an=2n，所以bn=2lg2an−1=2n−1，所以anbn=2n−12n.
则Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+2n−32n−1+2n−12n，①，
2Tn=1×22+3×23+5×24+⋯+2n−32n+2n−12n+1，②，
①−②得，−Tn=2+2×22+2×23+⋯+2×2n−2n−12n+1=2+2×41−2n−11−2−2n−12n+1=−6−2n−32n+1，
所以Tn=6+2n−32n+1.
3、【云南师范大学附属中学2019-2020学年高三适应性月考（八）】已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an−3（n⩾1，n∈N∗），数列bn满足bn+1=3bn+an，b1=3.
（1）求数列的通项公式an；
（2）令cn=bn3n，证明：数列cn为等差数列，并求数列cn⋅an+1的前n项和Tn.
【解析】解：（1）当n=1时，有2a1=3a1−3，解得a1=3.
当n≥2时，由2Sn=3an−3，得2Sn−1=3an−1−3，
所以2an=3an−3−3an−1+3，即an=3an−1n≥2，
anan−1=3n≥2，an为等比数列，
故an=3⋅ 3n−1=3n(n∈N∗).
（2）由（1）得bn+1=3bn+3n，
∴bn+13n+1=bn3n+13，即cn+1=cn+13.
又c1=b13=1，
∴数列{cn}是以1为首项，13为公差的等差数列，
故cn=13(n+2)，又an+1=3n+1，
所以cn⋅ an+1=13(n+2)⋅3n+1=(n+2)⋅3n
∴Tn=3⋅31+4⋅32+5⋅33+⋯+(n+2)⋅3n
∴3Tn=3⋅32+4⋅33+5⋅34+⋯+(n+1)⋅ 3n+(n+2)⋅ 3n+1
∴−2Tn=9+(32+33+34+⋯+3n)−(n+2)⋅ 3n+1=9+9(1−3n−1)1−3−(n+2)⋅3n+1
∴Tn=12n+34⋅3n+1−94
4、、（江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试）设为数列的前n项和，满足且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【解析】（1）当时，，即，………………3分
由，，成等差数列可知，，
即，解得，所以，
则是以为首项，为公比的等比数列，
所以的通项公式为．……………………………………………6分
（2）由（1）知，，
则，
，
两式相减得，
，……………………………10分
所以．………………………………………………………12分
5、（湖北师大附中2021届高三上学期名校联考）数列{an} 满足 a1 +2a2 +3a3 +…+ nan = (n 1)• 2n+1+ 2( n≥l) ,
（1）求数列{an}的通项公式 ；
（2）设为数列{bn}的前n项和，求Sn.
【解析】：(1)由题意，
由， ①
得， ②
①—②，得
，
所以
又因为当时，上式也成立，所以数列的通项公式为. ………………6分
（没有讨论的情况扣1分）
(2)由题意，，所以
， ③
， ④
③—④，得
所以
从而. ……………………………12分