专题29 空间向量与立体几何（解答题）（新高考地区专用）（原卷版）

专题29   空间向量与立体几何（解答题）

1．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）设点是的中点，求二面角的余弦值．

2．在四棱锥中，为直角三角形，且，四边形为直角梯形，且为直角，E为的中点，F为的四等分点且，M为中点且．

（1）证明：平面；

（2）设二面角的大小为，求的取值范围．

3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，E为的中点，F是棱的中点，，底面．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在线段（不含端点）上是否存在一点M，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．

4．在四棱锥中，平面，，，，，，M是棱的中点．

（1）求异面直线与所成的角的余弦值；

（2）求与平面所成的角的大小；

（3）在棱上是否存在点Q，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为60°？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

5．如图，在正四面体中，点E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，．

（1）求证：直线必相交于一点，且这个交点在直线上；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

6．如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，平面，

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

7．如图，在四棱锥中，，， ，，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

8．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

9．如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为2的正方形，E，F分别为，的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

10．如图，已知是圆柱的轴截面，、分别是两底面的圆心，是弧上的一点，，圆柱的体积和侧面积均为．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的大小．

11．如图1，正方形，边长为，分别为中点，现将正方形沿对角线折起，折起过程中D点位置记为，如图2．

（1）求证：；

（2）当时，求平面与平面所成二面角的余弦值．

12．如图所示，四棱柱的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点，分别在棱，上，且满足，，平面与平面的交线为．

（1）证明：直线平面；

（2）已知，，设与平面所成的角为，求的取值范围．

13．在三棱柱中，，，，平面，是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

14．如图，在平面四边形中，，，，，现把沿折起，使在平面上的射影为，连接、，且．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

15．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，为线段的中点，过的平面与线段分别交于点．

（1）求证：平面；

（2）若，点G为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

16．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，侧面是边长为2的等边三角形，点在棱上．

（1）若平面，求的值；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

17．在三棱锥中，底面为正三角形，平面平面为上一点，为三角形的中心．

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

18．如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M，N分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

19．如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上（不含端点）的动点，．

（1）若为的中点，证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

20．如图，已知四边形和均为直角梯形，，，且，．．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

22．如图所示，矩形和梯形所在平面互相垂直， ，90°，，．

（1）求证：平面

（2）当的长为何值时，二面角的大小为60°．

23．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上．

（1）证明：当时，直线平面；

（2）当平面时，求二面角的余弦值．

24．已知正方体，棱长为2，为棱的中点，为面对角线的中点，如图．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

25．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，点在线段上．

（1）当点为中点时，求证：∥平面；

（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求点M在线段EC上的位置．

26．如图所示，在多面体中，，，，四边形为矩形，平面平面，．

（1）证明：平面；

（2）若二面角正弦值为，求的值．

27．如图，在直角梯形中，，，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面．

（1）求二面角的正弦值；

（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由．

28．如图所示，已知直棱柱的底面四边形是菱形，点，，，分别在棱，，，上运动，且满足：，．

（1）求证：平面；

（2）是否存在点使得二面角的正弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．

29．如图，平面，，，，，点为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若二面角大小为，求直线与平面所成的角的正弦值．

30．在三棱锥中，平面平面ABC，．

（1）证明：平面ABC；

（2）已知Q，M，N分别为线段PA、PB、BC的中点，求直线MN与平面QAC所成角的正弦值．

31．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，E为BC的中点，设Q为PC上一点．

（1）求证：；

（2）若直线EQ与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角的余弦值．

32．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为上一点，过作与平行的平面，分别交，于点，．

（1）证明：平面；

（2）若为的中点，，直线与平面所成角为60°．求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

33．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为正三角形，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若点在棱上，且平面，求平面与平面所成的锐角的余弦值．

34．在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M．

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角正弦值为，求直线与平面所成角的余弦．

35．在如图所示的几何体中，，，均为等边三角形，且平面平面，平面平面．

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值．

36．如图，矩形中，，将矩形折起，使点与点重合，折痕为，连接、，以和为折痕，将四边形折起，使点落在线段上，将向上折起，使平面⊥平面，如图2．

（1）证明：平面⊥平面；

（2）连接、，求锐二面角的正弦值．