专题27 抛物线（解答题）（新高考地区专用）（原卷版）

专题27   抛物线（解答题）

1．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．

（1）求的值；

（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．

2．设抛物线C：（）过点．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若直线l交曲线C于M、N两点，分别以点M、N为切点作曲线C的切线相交于点P，且两条切线垂直，求三角形面积的最小值．

3．已知点为曲线的焦点，点在曲线运动，当点运动到轴上方且满足轴时，点到直线的距离为．

（1）求曲线的方程；

（2）设过点的直线与曲线交于两点，则在轴上是否存在一点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4．已知抛物线上一点到焦点的距离．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围．

5．已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线交抛物线于两点，．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与抛物线相交于两点，已知，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点，使得直线恒过此定点．若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由．

6．设点为抛物线的焦点，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，当点到轴距离为1时，．

（1）求抛物线的方程；

（2）平行四边形的对角线所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

7．设抛物线的焦点为，点是上一点，且线段的中点坐标为．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若，为抛物线上的两个动点（异于点），且，求点的横坐标的取值范围．

8．已知O是坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，的重心为G．

（1）求动点G的轨迹方程；

（2）设（1）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．

9．已知抛物线过点

（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标与准线方程；

（2）直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于，两点，其中为坐标原点．若为线段的中点，求证：直线恒过定点．

10．已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线E于A、B．

（1）若垂直l于点，且，求AF的长；

（2）O为坐标原点，求的外心C的轨迹方程．

11．已知抛物线的焦点为F，B，C为抛物线C上两个不同的动点，(B，C异于原点)，当B，C，F三点共线时，直线BC的斜率为1，．

（1）求抛物线T的标准方程；

（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程．

12．已知抛物线的焦点为F，B､C为抛物线T上两个不同的动点，当B，C过F且与x轴平行时，BC长为1．

（1）求抛物线T的标准方程；

（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程．

13．已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．

（1）试求抛物线的方程；

（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．

①求证：直线恒过定点；

②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

14．设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．

（1）若，的面积为，求的值及圆的方程；

（2）若点在第一象限，且、、三点在同一直线上，直线与抛物线的另一个交点记为，且，求实数的值．

15．已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）．记动圆圆心Q的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？

（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．

16．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．

17．已知抛物线的顶点在原点，焦点为．

（1）求的方程；

（2）设为的准线上一点，为直线与的一个交点且为的中点，求的坐标及直线的方程．

18．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线2次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8．

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线与抛物线交于，两点，以点为顶点作，使的外接圆圆心的坐标为，求弦的长度．

19．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，为抛物线的焦点，点为直线上任意一点，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线交于、两点，过、分别作准线的垂线交抛物线于点、．

（1）求抛物线的方程；

（2）证明：直线过定点，并求出定点的坐标．

20．已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4．

（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；

（2）设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交手不同两点，．若，求证：直线l过定点．

21．已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程．

（2）已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

22．已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知，：，求的值．

23．如图所示，，是焦点为的抛物线上的两动点，线段的中点在定直线上．

（1）求的值；

（2）求的最大值．

24．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．

25．已知曲线C是顶点为坐标原点O，且开口向右的抛物线，曲线C上一点A（x0，2）到准线的距离为，且焦点到准线的距离小于4．

（1）求抛物线C的方程与点A的坐标；

（2）若MN，PQ是过点（1，0）且互相垂直的C的弦，求四边形MPNQ的面积的最小值．

26．设抛物线的焦点为，直线经过且与交于､两点．

（1）若，求的值；

（2）设为坐标原点，直线与的准线交于点，求证：直线平行于轴．

27．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过点，直线与抛物线相交于，两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）直线过点，且倾斜角与互补，直线与抛物线交于，两点，且与的面积相等，求实数的取值范围．

28．已知曲线上每一点到直线：的距离比它到点的距离大1．

（1）求曲线的方程；

（2）若曲线上存在不同的两点和关于直线：对称，求线段中点的坐标．

29．已知抛物线的焦点为点在抛物线上，点的横坐标为且．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若为抛物线上的两个动点(异于点)，且，求点的横坐标的取值范围．

30．已知抛物线()上点处的切线方程为．

（1）求抛物线的方程；

（2）设和为抛物线上的两个动点，其中，且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．

31．已知点是抛物线：上的一点，其焦点为点，且抛物线在点处的切线交圆：于不同的两点，．

（1）若点，求的值；

（2）设点为弦的中点，焦点关于圆心的对称点为，求的取值范围．

32．已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，．

（1）求直线MF的斜率；

（2）已知动圆E的圆心E在抛物线C上，点在圆E上，且圆E与y轴交于A，B两点，令，，求最大值．

33．已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与抛物线交于、两点，且为线段的中点．若线段的中垂线交轴于，求面积的最大值．

34．已知抛物线的焦点为，点到直线的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）点为坐标原点，直线、经过点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，记，若，求的最小值．

35．已知曲线上的动点到轴的距离比到点(1，0)的距离小1，

（1）求曲线的方程；

（2）过作弦，设的中点分别为，若，求最小时，弦所在直线的方程；

（3）在（2）条件下，是否存在一定点，使得？若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由．

36．已知抛物线的焦点到直线的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围．

37．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于和两点．

（1）当时，求直线的方程；

（2）若过点且垂直于直线的直线与抛物线交于两点，记与的面积分别为，求的最小值．

38．已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点，求的取值范围．

39．已知抛物线：的焦点为，过点作圆：的两条切线，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线与交于，两点，若，到直线的距离分别为，．求的最小值．

40．已知抛物线的顶点在原点，准线为．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）点，在上，且，，垂足为，直线另交于，当四边形面积最小时，求直线的方程．