初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试优秀随堂练习题

第十八章 平行四边形综合检测试卷

(满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，与△OBC面积相等的三角形(不包括自身)的个数是(　C　)

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是(　C　)

A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形

B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形

C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形

D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形

3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(　C　)

A．66°　　　B．104°　　　C．114°　　　D．124°

4．如图，将矩形纸片右侧部分的四边形ABCD沿线段AD翻折至四边形AB′C′D的位置．若∠DAB＝56°，则∠1的度数是(　D　)

A．34°　　　B．56°　　　C．58°　　　D．68°

5．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的大小是(　B　)

A．67.5°　　　B．22.5°　　　C．30°　　　D．45°

6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(1,2)，则菱形OABC的面积是(　B　)

A.　　　B．2　　　C．2　　　D．2－1

7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F.当四边形BFDE是菱形时，EF＝(　B　)

A.　　　B.　　　C．3　　　D．4.5

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一动点，PF⊥BD于点F，PE⊥AC于点E，则PE＋PF的值为(　B　)

A.　　　B.　　　C.　　　D．5

9．如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE.下列结论错误的是(　D　)

A．BO＝OH　　　B．DF＝CE　　　C．DH＝CG　　　D．AB＝AE

10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④△AOE是等腰三角形．其中正确结论的个数是(　B　)

A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F、G分别为BC、DE的中点．若ED＝10，则FG的长为　2　.

12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是　AC⊥BD　.(只填一个即可)

13．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为　2　.

14．如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形ABC各边中点得到△A1B1C1，再顺次连接△A1B1C1各边中点得到△A2B2C2，如此操作下去，则△AnBnCn的面积为　　.

15．如图，在正方形ABCD中，边长为4，对角线AC、BD交于点O，点E是BC边上任意一点，分别向BD、AC作垂线，垂足分别为点F、G，则四边形OFEG的周长是　4　.

16．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为CD上一动点，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作GH⊥BD于点G，连接AH.以下四个结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③FC＝2；④BD＝2GF.其中正确的结论有　①②④　.(填序号)

三、解答题(共72分)

17．(7分)如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．

(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB(AAS)，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．　

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴S▱ABCD＝AC·BD＝24.

18．(7分)如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，CF平分∠DCE与BD交于点F.

(1)求证：BF＝BC；

(2)若AB＝4 cm，AD＝3 cm，求CF的长．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠CDB＋∠DBC＝90°.∵CE⊥BD，∴∠DBC＋∠ECB＝90°，∴∠ECB＝∠CDB.∵CF平分∠DCE，∴∠DCF＝∠ECF.又∵∠CFB＝∠CDB＋∠DCF，∠BCF＝∠ECB＋∠ECF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC.

　(2)解：在矩形ABCD中，DC＝AB＝4 cm，BC＝AD＝3 cm.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝＝＝5(cm)．∵BD·CE＝BC·DC，∴CE＝＝ cm，∴BE＝＝＝(cm)．又∵BF＝BC＝3 cm，∴EF＝BF－BE＝3－＝(cm)，∴CF＝＝＝(cm)．

19．(8分)如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD.

(1)求证：△ADE≌△CBF；

(2)若∠ADB＝90°，求证：四边形BFDE为菱形．

证明：(1)在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C.∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝DC，∴AE＝CF.在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(SAS)．

(2)∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF.又∵AB∥CD，∴BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点，∴DE＝EB，∴四边形BFDE为菱形．

20．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接BF.

(1)求证：四边形ADBF是平行四边形；

(2)当D为边BC的中点，且BC＝2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．

证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠BDE.∵E为AB的中点，∴AE＝BE.在△AEF与△BED中，∵∴△AEF≌△BED，∴AF＝BD.∵AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．

(2)∵D为边BC的中点，∴CD＝BD.又∵AE＝BE，∴DE∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°.∵AF∥BC，∴∠AFD＝∠FDB＝90°，∴∠C＝∠CDF＝∠AFD＝90°，∴四边形ACDF是矩形．∵BC＝2AC，CD＝BD，∴CA＝CD，∴四边形ACDF是正方形．

21．(9分)如图，在△ABC中，O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.

(1)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

(2)在(1)的前提下，△ABC满足什么条件，四边形AECF是正方形？

解：(1)当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形．理由：当点O为AC边的中点时，有OA＝OC.∵CE平分∠BCA，∴∠BCE＝∠ACE.又∵MN∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∴∠FEC＝∠ACE，∴EO＝CO.同理，FO＝CO，∴EO＝FO.又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵CF是∠BCA的外角平分线，∴2∠ACF＋2∠ACE＝180°，∴∠ACE＋∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．

(2)在(1)的前提下，△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．理由：由(1)，得当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形．∵MN∥BC，∠ACB＝90°，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．

22．(10分)如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．

(1)求证：BM∥DN；

(2)求证：四边形MPNQ是菱形；

(3)矩形ABCD的边长AB与AD满足什么数量关系时，四边形MPNQ为正方形，请说明理由．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵M、N分别AD、BC的中点，∴DM＝BN，∴四边形DMBN是平行四边形，∴BM∥DN.

(2)证明：∵四边形DMBN是平行四边形，∴BM＝DN，BM∥DN.∵P、Q分别BM、DN的中点，∴MP＝NQ，MP∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形．连接MN.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵M、N分别AD、BC的中点，∴DM＝CN，∴四边形DMNC是矩形，∴∠DMN＝∠C＝90°.∵Q是DN中点，∴MQ＝NQ，∴四边形MPNQ是菱形．

(3)解：当AB＝AD时，四边形MPNQ为正方形．理由：∵AB＝AD，∴AB＝AM，∴矩形ABNM是正方形．∵P为正方形ABNM对角线BM的中点，∴∠NPM＝90°.∵四边形MPNQ是菱形，∴四边形MPNQ是正方形．

23．(11分)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为t秒．

(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

(2)当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；

(3)直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值；

(4)整个运动当中，线段PQ扫过的面积是多少？

解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8.由已知，得BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16－t.在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16－t，解得t＝8.∴当t＝8时，四边形ABQP为矩形．　(2)四边形AQCP为菱形．理由如下：∵t＝6，∴BQ＝6，DP＝6，∴CQ＝16－6＝10，AP＝16－6＝10，∴AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，AQ＝＝＝10，∴AQ＝CQ，∴平行四边形AQCP为菱形，即当t＝6时，四边形AQCP为菱形．　(3)∵正方形面积为96，∴正方形的边长为4，∴PQ＝×4＝8.分两种情况：①如图1，作PM⊥BC于点M，则PM＝AB＝8，DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16－t.由勾股定理，得QM＝＝8.∵BM＝BQ＋QM，∴t＋8＝16－t，解得t＝8－4；②如图2，DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16－t.∵BQ＝BM＋QM，∴16－t＋8＝t，解得t＝8＋4.综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为8－4或8＋4.

(4)连接AC、BD，AC、BD相交于点E，则整个运动当中，线段PQ扫过的面积是S△AED＋S△BEC，如图3.∵S△AED＋S△BEC＝S矩形ABCD，∴整个运动当中，线段PQ扫过的面积为S矩形ABCD＝×AB×BC＝×8×16＝64.

24．(12分)如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.

(1)求证：四边形DEFG是正方形；

(2)若AB＝2，CE＝2，求CG的长；

(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，请直接写出∠EFC的度数．

（备用图）

(1)证明：作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，易得四边形EQCP是正方形，∴∠QEP＝90°，EQ＝EP，∴∠FEQ＋∠PEF＝90°.∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°，∴∠DEP＋∠PEF＝90°，∴∠FEQ＝∠DEP.在△EQF和△EPD中， ∴△EQF≌△EPD，∴EF＝ED.又∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．

(2)解：在Rt△ABC中，AC＝AB＝4.∵EC＝2，∴AE＝EC，∴点F与点C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝EC＝2.　(3)解：∠EFC＝130°或40°.