专题27 抛物线（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题27 抛物线（解答题）（新高考地区专用）（解析版），共51页。试卷主要包含了设抛物线C，已知抛物线过点等内容，欢迎下载使用。

专题27 抛物线（解答题）
1．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
【试题来源】【南昌新东方】江西省南昌三中2020-2021学年高三上学期11月第一次月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；（2），设，，根据点M为线段的中点，可得，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，
【解析】（1）由抛物线经过点可得，
又，可得，解得，；
（2）由（1）知，则，设，，
根据点M为线段的中点，可得，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为．
2．设抛物线C：（）过点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l交曲线C于M、N两点，分别以点M、N为切点作曲线C的切线相交于点P，且两条切线垂直，求三角形面积的最小值．
【试题来源】2020届河北省承德市围场卉原中学高三模拟自测联考（理）
【答案】（1）；（2）4．
【分析】（1）将点代入抛物线即可求得；（2）设直线方程为，代入抛物线，写出根与系数关系，将三角形MNP的面积用表示出来，即可求出最值．
【解析】（1）抛物线C：（）过点，则，得．
曲线C的标准方程为；
（2）依题知直线l存在斜率，设方程为，
设l与曲线C相交于点，（）
联立方程可得，
由，得，．，，
两切线垂直，，即，得
方程为，．
联立：，：
得，．点P坐标为．
点P到直线l的距离为．
，
易知当时，的面积最小，且为4，即．
3．已知点为曲线的焦点，点在曲线运动，当点运动到轴上方且满足轴时，点到直线的距离为．
（1）求曲线的方程；
（2）设过点的直线与曲线交于两点，则在轴上是否存在一点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【试题来源】江西省景德镇一中2021届高三8月月考（理）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）求出，再利用点到直线的距离公式求出，即可求解．
（2）由（1）可知，设直线为，联立方程组 ，利用根与系数关系可得，，假设存在，由即可求解．
【解析】（1）由题意可得，点到直线的距离为
即，解得，所以曲线的方程为．
（2）由（1）可得，不妨设直线为，
联立方程组 ，消去可得，
设，，则，，
假设存在，使直线与直线关于轴对称，
则，即，
整理可得，
所以，解得，所以．
4．已知抛物线上一点到焦点的距离．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围．
【试题来源】云南省昆明市官渡区第一中学2020届高三上学期开学考试（理）
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）由题意确定p的值即可确定抛物线方程；（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标 ．结合根与系数关系将原问题转化为求解函数的值域的问题即可．
【解析】（1）由抛物线定义，得，由题意得解得
所以，抛物线的方程为．
（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，
设切线的方程为，则圆心到切线的距离，
整理得，．
设切线的方程为，同理可得．
所以，是方程的两根，．
设，由得，，
由根与系数关系知，，所以，
同理可得．设点的横坐标为，
则
．
设，则，
所以，，对称轴，所以
5．已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线交抛物线于两点，．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，已知，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点，使得直线恒过此定点．若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由．
【试题来源】安徽省怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、涡阳一中2020届高三5月五校联考（理）
【答案】（1）；（2）存在，定点为．
【分析】（1）利用点斜式写出直线的方程，将直线与抛物线联立消，根据根与系数关系以及焦半径公式即可求解． （2）设直线为，将直线与抛物线联立消，根据点的坐标，利用根与系数关系求出点的坐标，再利用点斜式求出直线，由直线方程即可求解．
【解析】（1）焦点，则直线为，
联立，消去消可得，恒成立，
设，，则，
，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）设直线为，联立方程，
消可得，，

设，，则，不妨设点，
以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，
则，又轴，所以平行轴，设，则 ，
所以，即，
所以，即，
所以直线为，
令，解得，所以直线恒过此定点．
6．设点为抛物线的焦点，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，当点到轴距离为1时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）平行四边形的对角线所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
【试题来源】湖北省华大新高考联盟2020届高三下学期4月教学质量测评（文）
【答案】（1）；（2）过定点，
【解析】（1）如图所示：

依题意，由抛物线定义，所以．
所以抛物线方程为．
（2）（方法一）设直线，
设，，，，
所以，，，
依题意，所以即
联立得，
所以，即，，，
所以．
所以而，
所以，所以．即直线，
令，则，所以直线恒过定点．
（方法二）设，，，则中点为，
所以，即．又，，所以．
当时，，所以，
所以直线，即，
令，则，所以直线过定点．
当时，根据抛物线对称性，四边形为菱形，
所以直线，所以过定点．综上直线恒过定点．
7．设抛物线的焦点为，点是上一点，且线段的中点坐标为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若，为抛物线上的两个动点（异于点），且，求点的横坐标的取值范围．
【试题来源】广西桂林十八中2020届高三（7月份）高考数学（文）第十次适应性试题
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设点，由线段的中点坐标可得出点的坐标，再代入抛物线的标准方程可得出关于的方程，解出正数的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）设点、，求出直线的斜率，进而求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的标准方程联立，可得出，可知该方程有解，由可求得的取值范围，并进行检验，由此可得出点的横坐标的取值范围．
【解析】（1）依题意得，设，由的中点坐标为，得，
即，，所以，得，即，
所以抛物线的标准方程为；
（2）由题意知，设，，则，
因为，所以，所在直线方程为，
联立，
因为，得，即，
因为，即，故或．
经检验，当时，不满足题意；所以点的横坐标的取值范围是．
【名师点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了由直线垂直求抛物线上的点的横坐标的取值范围，考查计算能力，属于中等题．
8．已知O是坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，的重心为G．

（1）求动点G的轨迹方程；
（2）设（1）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．
【试题来源】浙江省杭州高中2020届高三下学期5月高考质检
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求得焦点，显然直线AB的斜率存在，设，代入抛物线的方程，运用根与系数关系和三角形的重心坐标，运用代入法消去k，即可得到所求轨迹方程；（2）求得D，E和G的坐标，和的长，以及D点到直线AB的距离，运用四边形的面积公式，结合基本不等式可得最小值，由等号成立的条件，可得直线AB的方程．
【解析】（1）焦点，显然直线AB的斜率存在，
设，联立，消去y得，，
设，，，则，，
所以，所以，
消去k，得重心G的轨迹方程为；
（2）由已知及（1）知，，，，，，
因为，所以，(注：也可根据斜率相等得到)，
，，
D点到直线AB的距离，
所以四边形DEMG的面积
，当且仅当，即时取等号，
此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为．

【名师点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查四边形面积的最值的求法，注意运用弦长公式和点到直线的距离和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
9．已知抛物线过点
（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标与准线方程；
（2）直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于，两点，其中为坐标原点．若为线段的中点，求证：直线恒过定点．
【试题来源】四川省江油市江油中学2020-2021学年度高三7月份第二次考试（文）
【答案】（1）抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线方程为（2）证明见解析；
【分析】（1） 点代入求得，即可的抛物线方程求得结果．（2） 由题意知直线斜率存在且不为零，设直线方程为，与抛物线方程联立，设，，根据已知由：， ：，及过点作轴的垂线求得的坐标，根据为线段的中点，借助根与系数关系化简即可证得结论．
【解析】（1）由抛物线过点，
得，所以抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线方程为．
（2）由题意知直线斜率存在且不为零，设直线方程为，
直线与抛物线的交点为，．
由得，
由根与系数关系，得，．
由已知得直线的方程为，所以，
由已知得直线方程为，所以．
因为是线段的中点，所以①，
将，，代入①式，并化简得，
把，代入②式，化简得
所以直线的方程为，故直线恒过定点．
10．已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线E于A、B．
（1）若垂直l于点，且，求AF的长；
（2）O为坐标原点，求的外心C的轨迹方程．
【试题来源】重庆市第一中学2020届高三下学期5月月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由抛物线的定义得，利用已知条件先求的长，再求的长即可；（2）设，直线，联立直线与抛物线的方程消，利用根与系数关系，得到，易得的中垂线方程联立可得关于的式子，消即可求解．
【解析】（1）由，，得，
，故；

（2）设，直线，
由，得，由根与系数关系得，
即有，
易得的中垂线方程联立可得，
可得，
外心的轨迹方程为．
11．已知抛物线的焦点为F，B，C为抛物线C上两个不同的动点，(B，C异于原点)，当B，C，F三点共线时，直线BC的斜率为1，．
（1）求抛物线T的标准方程；
（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程．
【试题来源】重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设直线BC的方程为，联立直线与抛物线的方程，设，从而求得BC的长，即可解出的值，得出抛物线T的标准方程；
（2）设，求出的坐标，表示出以及直线BC的方程，令直线BC与y轴交于点H，则，表示出，利用即可求出轨迹．
【解析】（1）设直线BC的方程为，
则，设，
则，所以抛物线T的标准方程为．
（2）令，，则，则，
直线BC的方程为，令直线BC与y轴交于点H，则，所以，
所以或0(舍)，
令BC中点为，则，
所以中点轨迹方程．
12．已知抛物线的焦点为F，B､C为抛物线T上两个不同的动点，当B，C过F且与x轴平行时，BC长为1．
（1）求抛物线T的标准方程；
（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程．
【试题来源】重庆市南开中学2020届高三下学期第九次质检（文）
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1），由于轴，可知B，C两点纵坐标为，代入，即可求得B，C两点横坐标，从而求得BC的长，即可解出的值，得出抛物线T的标准方程；
（2）设，设BC与y轴交于点，将两个三角形的面积、、表示出来，可得，用表示，即可解出点的坐标，设BC的中点，利用四点共线，利用，即可求出轨迹方程．
【解析】（1）由题意当BC过F且与x轴平行时，有，，
则，所以抛物线T的方程为；
（2）设，设BC与y轴交于点，
则，
故由得，
所以，或者，即或，
设BC的中点，则，
①当时，由得，所以
②当时，同理可得，
故BC中点的轨迹方程为或
13．已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．
（1）试求抛物线的方程；
（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线恒过定点；
②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
【试题来源】2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三三诊模拟考试（文）
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②，是以为直径的圆（除去点．
【分析】（1）设A（xA，yA），B（xB，yB），由|OA|＝|OB|，可得2pxA2pxB，化简可得点A，B关于x轴对称．因此AB⊥x轴，且∠AOx＝30°．可得yA＝2p，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出；（2）①由题意可设直线PQ的方程为x＝my+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与抛物线方程联立化为y2﹣my﹣a＝0，利用∠PMQ＝90°，可得0利用根与系数的关系可得m，或（m），进而得出结论；
②设N（x，y），根据MN⊥NH，可得0，即可得出．
【解析】（1）解依题意，设，，
则由，得，即，
因为，，所以，故，，
则，关于轴对称，所以轴，且，所以．
因为，所以，所以，
故，，
故抛物线的方程为．
（2）①由题意可设直线的方程为，，，
由，消去，得，
故，，．
因为，所以．即．
整理得，
，即，
得，所以或．
当，即时，直线的方程为，
过定点，不合题意舍去．故直线恒过定点．
②设，则，即，
得，即，
即轨迹是以为直径的圆（除去点）．
【名师点睛】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、等边三角形的性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．
（1）若，的面积为，求的值及圆的方程；
（2）若点在第一象限，且、、三点在同一直线上，直线与抛物线的另一个交点记为，且，求实数的值．
【试题来源】黑龙江省哈师大附中2020届高三高考数学（文）四模试题
【答案】（1），圆为；（2）．
【分析】（1）依题意可得为正三角形，且，根据的面积，即可求出，从而得到圆的方程；（2）依题意可得直线的倾斜角为或，由对称性可知，设直线：，，，联立直线与抛物线方程消元列出根与系数关系，由，即可得到，解得即可；
【解析】（1）焦点到准线的距离为，
因为，，所以为正三角形．
所以，，所以，，
所以圆为．
（2）若、、共线，则，，
所以，，所以直线的倾斜角为或，
由对称性可知，设直线：，，，，
联立，
所以，，或，
又，，，所以．
15．已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）．记动圆圆心Q的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？
（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．
【试题来源】广西南宁二中柳铁一中2021届高三9月联考（文）
【答案】（1），它是以F为焦点，以直线为准线的抛物线；（2）证明见解析．
【分析】（1）设，由题意得，化简即得解；（2）不妨设，先证明轴，再利用根与系数关系证明即得解．
【解析】（1）设，由题意得，化简得，
所以动圆圆心Q的轨迹方程为，它是以F为焦点，以直线为准线的抛物线．
（2）不妨设．因为，所以，
从而直线的斜率为，解得，即，
又，所以轴．要使，只需．
设直线m的方程为，代入并整理，得．
所以，解得或．设，，
则，．

．
故存在直线m，使得，
此时直线m的斜率的取值范围为．
16．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．
【试题来源】河北省张家口市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考（新高考）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，求得的坐标，结合，化简、整理，即可求得抛物线的方程；（2）设，不妨设，由，求得，设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系得，，进而求得，利用弦长公式即可求解．
【解析】（1）设，因为，，
则，，．
由，可得，化简得，
即动点的轨迹的方程为．
（2）设，，
由题意知，，
易知，不妨设，
因为，所以，所以． ①
设直线的方程为，
联立消去，得，则，
可得， ②
由①②联立，解得，
所以．
17．已知抛物线的顶点在原点，焦点为．
（1）求的方程；
（2）设为的准线上一点，为直线与的一个交点且为的中点，求的坐标及直线的方程．
【试题来源】2020届全国普通高校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试
【答案】（1）；（2）点或；或．
【分析】（1）根据焦点坐标可求出抛物线方程；（2）设点坐标，根据中点坐标和抛物线方程，由点斜式方程可得答案．
【解析】（1）由题可设抛物线方程为，因为焦点（−1，0）可得
所以，所以；
（2）设点坐标为，，
因为为中点，所以，所以
因为在抛物线上，将代入得，
所以或，
当时，由得；
当时，由得；
所以点或；所以
所以直线方程或
18．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线2次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8．

（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，以点为顶点作，使的外接圆圆心的坐标为，求弦的长度．
【试题来源】江苏省两校（徐州一中、兴化中学）2020-2021学年高三上学期第二次适应性联考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，，
因为，设直线方程为，，
由，得，所以，，
则两平行光线距离，
所以，故抛物线方程为．
（2）设，，，中点
由，得，，
所以，，
因为， 所以，即 ，解得，
所以，，所以．
19．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，为抛物线的焦点，点为直线上任意一点，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线交于、两点，过、分别作准线的垂线交抛物线于点、．

（1）求抛物线的方程；
（2）证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（理）第三次质检试题
【答案】（1）；（2）证明见解析，定点．
【分析】（1）设抛物线的标准方程为，根据抛物线的准线方程可求得的值，由此可求得抛物线的方程；（2）设点的坐标为，求出圆的方程，与直线方程联立，可得出关于、的二次方程，并设点、，可列出根与系数关系，并求得直线的方程，进而可求得直线所过定点的坐标．
【解析】（1）设抛物线的标准方程为，
依题意，，抛物线的方程为；
（2），设，则，，
于是圆的方程为，
令，得，①
设、，由①式得，，②
直线的斜率为，则直线的方程为
，
代入②式就有，
因为上式对恒成立，故，即直线过定点．
20．已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；
（2）设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交手不同两点，．若，求证：直线l过定点．
【试题来源】重庆市重庆八中2021届高三上学期九月份适应性月考
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）设动圆圆心为，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；（2）设，将其和轨迹C联立，得到根与系数的关系，代入，可得的关系，代入，即可找到定点．
【解析】（1）设动圆圆心为，则，化简得；
（2）易知直线l的斜率存在，设，则由，得，
由根与系数关系有：，．从而，
即，则，则直线，
故直线过定点．
21．已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程．
（2）已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【试题来源】黑龙江省鹤岗一中2021届高三（上）期中（理）
【答案】（1）；（2）是，．
【分析】（1）根据题意分析可得到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，其方程为；（2） 设直线的方程为，点，直线的斜率分别为和，联立直线和抛物线方程，利用根与系数关系得和，根据斜率公式得和，利用和化简即可得到定值．
【解析】（1）设直线的距离为，因为动圆与圆相外切，所以，
所以到直线的距离等于到的距离，
由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为，
所以抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为，即
因为与点不重合，所以
设直线的斜率分别为和，点
联立消去并整理得，
则，，
由，解得或，且．
可得，同理可得，
所以
，
故直线的斜率之和为定值．
【名师点睛】利用斜率公式转化为两个点的纵坐标之和与纵坐标之积，再根据根与系数关系代入化简是解题关键，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
22．已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知，：，求的值．
【试题来源】江苏省南京市玄武高级中学2020-2021学年高三上学期11月学情检测
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据抛物线的定义，可得，求得的值，即可得到抛物线的方程；（2）由（1）得出点，设，联立方程组由根与系数的关系，求得，再结合，列出方程，求得的值，即可求解．
【解析】（1）由题意，抛物线，轴上方的点在抛物线上，
根据抛物线的定义，可得，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）由（1）可知，点的坐标为，设，，
联立方程组，得整理，
则，， ①
因为，
即，
，
，
将①代入得，，即
解得或，当时，直线为，此时直线恒过；
当时，直线为，此时直线恒过（舍去）
所以．
【名师点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
（2）由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
23．如图所示，，是焦点为的抛物线上的两动点，线段的中点在定直线上．

（1）求的值；
（2）求的最大值．
【试题来源】浙江省台州市仙居县文元横溪中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由抛物线定义有，结合已知条件即可求；
（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求的最大值．
【解析】（1）由题意知，抛物线对称轴方程．
设，，，则；
（2）点和在抛物线上，有，，
两式相减得，令，所以，即，
所以设直线的方程为，即，
代入抛物线方程得，
所以，得，，，
所以
，
所以当时，.
【名师点睛】求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式．
24．已知直线与抛物线相交于，两点，满足．定点，，是抛物线上一动点，设直线，与抛物线的另一个交点分别是，．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点、存在且不重合），直线恒过一个定点；并求出这个定点的坐标．
【试题来源】湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】（1）；（2）证明见解析；定点．
【分析】（1）设，，联立与消元后利用根与系数关系得， ，由可得，即可求出的值，进而得出抛物线方程；（2）设、、坐标由、、共线可得、的坐标关系，同理可得、的坐标关系，进而求出直线的方程，将、坐标代入即可得到直线恒过定点的坐标．
【解析】（1）设，，将代入，得，
化简得，所以，；
因此：，
又，所以；得，抛物线的方程．
（2）证明：设、、坐标分别是，，，
由、、共线，得，即 ，
整理可得，所以，
同理：由、、共线，得，
所以直线的方程为，
整理可得，
将，代入直线方程得，
所以，方程组有解所以直线恒过定点，
【名师点睛】第一问的关键点是利用可得，转化为坐标运算可求的值，第二问设、、坐标分别是，，，利用三点共线可得、，再求出直线的方程，将、代入，即可求直线恒过定点．
25．已知曲线C是顶点为坐标原点O，且开口向右的抛物线，曲线C上一点A（x0，2）到准线的距离为，且焦点到准线的距离小于4．
（1）求抛物线C的方程与点A的坐标；
（2）若MN，PQ是过点（1，0）且互相垂直的C的弦，求四边形MPNQ的面积的最小值．
【试题来源】云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷（理）
【答案】（1）抛物线C的方程为，；（2）12．
【分析】（1）设抛物线标准方程，利用点A在抛物线上，及其到准线的距离求解参数即得结果；（2）先设直线的方程并与抛物线联立，利用根与系数关系弦长，再利用垂直关系设的方程并与抛物线联立，利用根与系数关系弦长，计算面积，结合基本不等式求最值即可．
【解析】（1）设抛物线的方程为，
因为点A在抛物线上，所以，得，
所以点A到准线的距离为，即，
解得或，又焦点到准线的距离为，，故，，
所以抛物线C的方程为，．
（2）设MN：，代入抛物线的方程可得，

设，，则
所以．
因为，所以PQ：，
同理，用代换上式的，可得，
所以四边形的面积
．
因为，当且仅当时，等号成立．
故，，当且仅当时，等号成立．
所以，当且仅当时，等号成立．
所以当时，四边形的面积取得最小值为12．
【名师点睛】求解圆锥曲线中的弦长问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线的方程，根据根与系数关系，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与圆锥曲线的方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长．
26．设抛物线的焦点为，直线经过且与交于､两点．
（1）若，求的值；
（2）设为坐标原点，直线与的准线交于点，求证：直线平行于轴．
【试题来源】上海市长宁区2021届高三上学期一模
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）点代入得到，直线和抛物线联立根据弦长公式得到一个等式，解出；（2）根据题意写出各点坐标，然后寻找坐标间的关系，以证明平行于轴．
【解析】设，，
（1）由题意，代入得，
直线的方程代入得，，
所以，，
，
解得；
（2）抛物线的准线方程为
设，由的方程为，得，
由（1）知，即，所以，平行于轴．
【名师点睛】弦长公式：．
27．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过点，直线与抛物线相交于，两点．

（1）求抛物线的方程；
（2）直线过点，且倾斜角与互补，直线与抛物线交于，两点，且与的面积相等，求实数的取值范围．
【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由抛物线的焦点为，得到，求得，进而得到抛物线的方程；（2）令，，联立方程组，结合根与系数的关系及弦长公式，求得，得到和，根据面积相等，得到，进而求得实数的取值范围．
【解析】（1）由题意，抛物线的焦点为，
可得，解得，所以抛物线的方程为．
（2）根据题意，令，，
联立方程组，整理得，
可得，所以，
，
用代，可得，
所以，化简得，
又由，可得，所以，解得，
又由、构成直线、不过点，即，
所以实数的取值范围．
【名师点睛】对于直线与圆锥曲线的最值与范围问题：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来求解；
（2）函数取值法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可建立目标函数，再求这个函数的最值，常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围．
28．已知曲线上每一点到直线：的距离比它到点的距离大1．
（1）求曲线的方程；
（2）若曲线上存在不同的两点和关于直线：对称，求线段中点的坐标．
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意结合抛物线的定义可得轨迹方程．（2） 设，，线段的中点的坐标为，由对称可求出直线的斜率，则可设，与抛物线方程进行联立，结合根与系数关系即可求出，结合在直线上即可求出横坐标．
【解析】（1）由题意可知，曲线上每一点到直线的距离等于该点到点的距离，所以曲线是顶点在原点，轴为对称轴，为焦点的抛物线，
所以曲线的轨迹方程为．
（2）设，，线段的中点的坐标为．
因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，则直线的斜率为．
设其方程为，由，消去，整理得．
由题意，，从而①，所以，
所以．又在直线上，所以，则点坐标为，此时，满足①式．故线段的中点的坐标．
29．已知抛物线的焦点为点在抛物线上，点的横坐标为且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若为抛物线上的两个动点(异于点)，且，求点的横坐标的取值范围．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】依题意得设，
又点是上一点，所以，得，即，
所以抛物线的标准方程为．
由题意知， 设
则，因为，所以，
所在直线方程为，联立．
因为，得，即，
因为，即，故或
经检验，当时，不满足题意．
所以点B的横坐标的取值范围是．
30．已知抛物线()上点处的切线方程为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设和为抛物线上的两个动点，其中，且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．
【试题来源】综合练习模拟卷03-2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设点，由得，求导得，
因为抛物线上点处的切线斜率为，切线方程为，
所以，且，解得，所以抛物线的方程为；
（2）设线段中点，则，，
，所以直线的方程为，
即，所以过定点，即点的坐标为，
联立，
得，
，
设到的距离，
所以
，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．
31．已知点是抛物线：上的一点，其焦点为点，且抛物线在点处的切线交圆：于不同的两点，．
（1）若点，求的值；
（2）设点为弦的中点，焦点关于圆心的对称点为，求的取值范围．
【试题来源】四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期开学考试（理）
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用导数求出过点的抛物线的切线，切线与圆相交，根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可；（2）设点，联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程，由根与系数关系求出中点的坐标，由两点间距离公式表示出，令换元，利用函数的单调性即可求出取值范围．
【解析】设点，其中．
因为，所以切线的斜率为，于是切线：．
（1）因为，于是切线：．故圆心到切线的距离为．
于是．
（2）联立得．设，，．则，．
解得，又，于是．
于是，．
又的焦点，于是．
故．
令，则．于是．
因为在单调递减，在单调递增．
又当时，；当时，；
当时，．
所以的取值范围为．
32．已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，．
（1）求直线MF的斜率；
（2）已知动圆E的圆心E在抛物线C上，点在圆E上，且圆E与y轴交于A，B两点，令，，求最大值．
【试题来源】云南省红河州2020届高三高考数学（理）一模试题
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用点到焦点距离等于到准线的距离解出点的横坐标，继而得到纵坐标，然后计算直线的斜率；（2）设出动圆的圆心，表示出圆的标准方程，解出圆与的交点坐标，得出和，然后求其最大值．
【解析】（1）设，因为，所以，所以，
且，所以直线MF的斜率为；
（2）设圆心，圆E的方程为，
化解得，令得，
即，所以或，
不妨设，，
，，


，
当且仅当，即时，取“=”，所以的最大值为．
【名师点睛】本题考查抛物线的定义、圆的方程及有关线段长度比值的最值问题，题目较难．解答时，抛物线的焦点弦长问题紧扣抛物线定义求解；第二问的解答关键在于写出圆的方程并表示目标式，难点在于利用基本不等式求解的最大值．
33．已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线交于、两点，且为线段的中点．若线段的中垂线交轴于，求面积的最大值．
【试题来源】2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设点的坐标为，依题意的，
因为，即，，，
代入抛物线方程可得，
即（舍去）或；所以抛物线的方程为；
（2）由题意可得，直线的斜率存在．
所以设直线的方程为，，，
联立，消去理得，
由根与系数的关系得
因为是线段的中点，所以有，即①
，即，②
中垂线的方程为
令得，所以点．
设点到直线的距离为，则．
弦长
所以，
由②式可得
令，则；
又，由②式得到即，，
换元，
则，
时，，则单调递增；
时，，则单调递减．
故函数，此时，，所以得，
则，直线的方程．
所以面积的最大值为．
34．已知抛物线的焦点为，点到直线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）点为坐标原点，直线、经过点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，记，若，求的最小值．
【试题来源】河南省2020届高三（6月份）高考数学（文）质检试题
【答案】（1）；（2）的最小值为．
【分析】（1）利用抛物线的焦点到直线的距离为可求得正实数的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出根与系数关系，利用弦长公式求得，同理可求得，由此可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最小值．
【解析】（1）抛物线的焦点的坐标为，
点到直线的距离为，因为，所以．
所以抛物线的方程为；
（2）设点、，
联立方程，消去后整理为，
由题意得，所以或，
所以，又，，
所以，
．同理，．
所以
．
（当且仅当或取等号），所以的最小值为．
35．已知曲线上的动点到轴的距离比到点(1，0)的距离小1，
（1）求曲线的方程；
（2）过作弦，设的中点分别为，若，求最小时，弦所在直线的方程；
（3）在（2）条件下，是否存在一定点，使得？若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由．
【试题来源】广东省实验中学2021届高三上学期第一次阶段考试
【答案】（1）；（2）或；（3）存在，(3，0)．
【分析】（1）根据曲线上的动点到轴的距离比到点(1，0)的距离小1，得到到的距离等于到直线的距离，然后利用抛物线的定义求解．（2）设与联立，求得A的坐标，然后再由求得B的坐标，然后利用两点间距离求解．（3）将变形为，即三点共线，然后将问题转化为探求直线是否过定点求解．
【解析】（1）因为曲线上的动点到轴的距离比到点(1，0)的距离小1，
所以到的距离等于到直线的距离，
所以曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线，所以抛物线的方程为．
（2）设，代入得，
由根与系数关系得，
，，，
，，只要将点坐标中的换成，得 ，
，
（当且仅当时取“=”）
所以，最小时，弦所在直线的方程为，即或．
（3），即三点共线，
是否存在一定点，使得，即探求直线是否过定点 ，
由（2）知，直线的方程为
即，直线过定点(3，0)，
故存在一定点(3，0)，使得
36．已知抛物线的焦点到直线的距离为．

（1）求抛物线的方程；
（2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围．
【试题来源】吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学（文）七模试题
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）写出抛物线的焦点坐标，根据点到直线的距离公式列方程，解方程可得的值，即得抛物线的方程；（2）设，直线，．将直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得．求出点到直线的距离，根据弦长公式求出，故的面积，可求面积的取值范围．
【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，
焦点到直线的距离为，．
抛物线的方程为．
（2）由题意可设，直线，
将直线的方程代入抛物线的方程，消去，得．
直线与抛物线相交于两点，．
设，则．
是线段的中点，，
代入，解得．
又，，，或．
直线的方程为．
点到直线的距离，又，
，
． 令，则．
或，
，即．面积的取值范围为 ．
37．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于和两点．
（1）当时，求直线的方程；
（2）若过点且垂直于直线的直线与抛物线交于两点，记与的面积分别为，求的最小值．
【试题来源】2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合（理）
【答案】（1）；（2）12．
【分析】（1） 设直线方程为，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系求解得即可．（2） 联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系表达，再根据基本不等式的方法求最小值即可．
【解析】 （1）由直线过定点，可设直线方程为．
联立消去，得，
由根与系数关系得，
所以．
因为．所以，解得．
所以直线的方程为．
（2）由（1），知的面积为

．
因为直线与直线垂直，
且当时，直线的方程为，则此时直线的方程为，
但此时直线与抛物线没有两个交点，
所以不符合题意，所以．因此，直线的方程为．
同理，的面积．
所以
，
当且仅当，即，亦即时等号成立．
【名师点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，包括联立方程利用根与系数关系求解以及面积的问题和利用基本不等式求解函数最值的方法．属于难题．
38．已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点，求的取值范围．
【试题来源】广西南宁三中2020届高三数学（理）考试二试题
【答案】（1）（2）
【解析】（1）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10．
因为抛物线的准线为，所以，
解得，所以抛物线的方程为．
（2）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：．
设，，由消去得，，
所以，．
由于抛物线也是函数的图象，且，则：．
令，解得，所以，从而．
同理可得，，
所以
．
因为，所以的取值范围为．
39．已知抛物线：的焦点为，过点作圆：的两条切线，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线与交于，两点，若，到直线的距离分别为，．求的最小值．
【试题来源】陕西省2020-2021学年高三上学期教学质量检测测评卷一（文）
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）求出圆的圆心和半径，设与圆的切点为，由切线长定理可得四边形为正方形，然后求出，进而得到抛物线方程；
（2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，运用根与系数关系和中点坐标公式，求得线段的中点坐标，并求出其到直线的距离，再由二次函数的最值和梯形的中位线定理可求得结果．
【解析】（1）圆：的圆心，半径
抛物线：的焦点，
设两条切线，与圆的切点为，则，
又，则四边形为正方形，
，即，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）由（1）知，设直线的方程为，
联立，得，由根与系数关系得

设，，线段的中点为，
到直线的距离为，由梯形的中位线定理可得，
又
当时，取得最小值，所以的最小值为.
40．已知抛物线的顶点在原点，准线为．

（1）求抛物线的标准方程；
（2）点，在上，且，，垂足为，直线另交于，当四边形面积最小时，求直线的方程．
【试题来源】湖南省湖湘名校教育联合体2021届高三入学考试
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设抛物线的标准方程为，
由抛物线的准线方程为，可得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）先证直线过定点．
设直线的方程为，，，
由，可得，所以，
可得，解得，
联立方程组，整理得，可得，
所以，解得，故直线过定点．
由已知再设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组，可得，解得，所以，
所以
联立方程组，整理得，所以，又由，
所以，
所以，
设，则，
由，，
易知在递减，在上递增，
因此在取最小值，从而面积取得最小值，此时，
故直线的方程为．
【名师点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：
（1）若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
（2）当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围．