北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形精品教案及反思

第3课时  角平分线的性质

【知识与技能】

1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法.

2.利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题.

【过程与方法】

在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉.

【情感态度】

使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.

【教学重点】

角平分线的性质.

【教学难点】

角平分线性质的应用.

一、情景导入，初步认知

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？（对折）再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？

【教学说明】体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙打下基础.

二、思考探究，获取新知

探究1：角的对称性

角是轴对称图形吗？把∠AOB对折，你发现了什么？

【归纳结论】

角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.

探究2：角平分线的性质

动手操作：

1.把∠BAC对折.

2.在折痕（即角平分线）上任意找一点O，

3.过点O折AC边的垂线，得到新的折痕OD，其中，点D是折痕与AC的交点，即垂足.

4.过点O折AB边的垂线，将纸打开，新的折痕与AB边交点为E.

观察：OD与OE有什么关系？改变O的位置，OD与OE还存在这种关系吗？

【归纳结论】

角的平分线上的点到角两边的距离相等.

几何语言：∵AO是∠BAC的平分线，

OE⊥AB，OD⊥AC，

∴OE=OD.

【教学说明】从实验探索中发现角的平分线的性质，培养学生的数学抽象概括能力及理性精神，让学生体验成功.

探究3：尺规作角平分线

已知：∠BOA;

求作：∠BOA的角平分线.

作法：

1.以O为圆心，任意长度为半径作弧，分别与角的两边交于点D、E;

2.分别以D、E为圆心，大于DE一半的相同长度为半径作弧,两弧在角的内部交于C;

3.作射线OC,∴射线OC为∠BOA的角平分线.

你能证明吗？

【教学说明】从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力，让学生体验成功的乐趣.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P126例2

2.如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（ A ）

A.3       B.4       C.5       D.6

3.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ B ）

A.4cm      B.6cm       C.10cm       D.以上都不对

4.如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ D ）

A.一处     B.二处       C.三处      D.四处

5.如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠BAF＝180°.DE与DF相等吗?为什么？

解：DE=DF.理由：如图，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

又∵AD平分∠BAC，

∴DM＝DN，

∵∠EAF+∠EDF＝180°，

∴∠AED+∠AFD＝360°-180°＝180°，

∵∠AFD+∠CFD＝180°，

∴∠AED＝∠CFD，

∴△DME≌△DNF(AAS)，

∴DE＝DF.

6.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C.AC与BC相等吗？为什么？

解：AC=BC.理由：∵∠1＝∠2，BD⊥OA，AE⊥OB，

∴CD＝CE，

∵∠DCA＝∠ECB，∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴△ACD≌△BCE(ASA)，

∴AC＝BC.

7.如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm.

（1）在图上标出仓库G的位置.（比例尺为1∶10000，用尺规作图）

（2）求出仓库G到铁路的实际距离.

解：（1）图略，仓库G在∠NOQ的平分线上，

（2）仓库G到铁路的实际距离是100m.

8.有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：

（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；

（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；

（3）连接AD、BC相交于点E；

（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线.

你认为他这种作法对吗？试说明理由.

解：他这种作法对，理由如下：

由作法可知：OC＝OD，OB＝OA，∠COB＝∠DOA，

∴△BCO≌△ADO(SAS)，AC＝BD，

∴∠OCE＝∠ODE，

∵∠AEC＝∠BED，

∴△ACE≌△BDE(AAS)，

∴CE＝DE，

∵OE＝OE，

∴△OCE≌△ODE(SSS)，

∴∠COE＝∠DOE，即OE平分∠MON.

【教学说明】通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题.解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力.

四、师生互动,课堂小结

我们这节课学习了哪些知识？

五、教学板书

1.布置作业:教材“习题5.5”中第1、2、3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性.教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验角的轴对称性，为角平分线性质做好铺垫.紧接着通过介绍简易角平分线推出了第二个学生活动——尺规作图，以达到复习全等和再次验证猜想的目的，猜想是否正确?还得进行证明，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成.整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间，由学生自己去发现结论，学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识.