专题32 随机变量及其分布（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题32 随机变量及其分布（解答题）（新高考地区专用）（解析版），共38页。

专题32 随机变量及其分布（解答题）
1．某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温




天数
27
36
20
7
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求七月份这种饮品一天的需求量x(单位：瓶)的分布列；
（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n(单位：瓶)应满足什么条件?
【试题来源】江西省重点中学协作体（鹰潭一中、上饶中学等）2021届高三下学期第一次联考（理）
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）根据题意，求得随机变量X的所有可能取值为500，300，200，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列；（2）由题意得出，分别求得和时，，再令和，即可求解.
【解析】（1）依题意，可得随机变量X的所有可能取值为500，300，200，．
由表格数据知，
因此分布列为

200
300
500

0.3
0.4
0.3
（2）由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶，
因此只需考虑，当时，
，
令，即，解得．
当时，
令，即，解得，
因为，所以，综上可得.
2．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第-部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某校组织全校学生进行学习《中华人民共和国民法典》知识竞赛，从中随机抽取名学生的成绩(单位：分)统计得到如下表格：
成绩
性别





男





女





规定成绩在内的学生获优秀奖.
（1）根据以上成绩统计，判断是否有的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关？
（2）在抽取的名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取人进行座谈，记为抽到获优秀奖的女生人数，求的分布列和数学期望.
附：









【试题来源】福建省名校联盟优质校2021届高三大联考
【答案】（1）有的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）依题意完善列联表，计算，再与观测值比较即可判断；（2）依题意得的所有可能取值为，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
【解析】（1）依题意得，列联表如下：
是否获奖
性别
获优秀奖
未获优秀奖
合计
男



女



合计



假设：“该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关”.
当成立时，.
将列联表中的数据代入公式，计算得
因为.所以小概率事件未发生.从而接受假设.
所以在犯错误的概率不超过的前提下可以推断该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关，即有的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关.
（2）依题意得，的所有可能取值为
，
.
所以的分布列为










的数学期望为.
3．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式.为调硏新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
性别
科目
男生
女生
合计
物理
300


历史

150

合计
400

800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【试题来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷
【答案】（1）表格答案见解析，有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】（1）
性别
科目
男生
女生
合计
物理
300
250
550
历史
100
150
250
合计
400
400
800
因为，
所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.
（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.
随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
所以，，.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



所以.答：x的数学期望为.
4．为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发.某生物技术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100支该疫苗样本，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求所抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）将频率视为概率，若某家庭购买4支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于内的支数为，求的分布列和数学期望.
【试题来源】湖南省永州市2021届高三下学期二模
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）根据频率分布直方图求出平均数；（2）首先求出每支灭活疫苗的质量指标值位于内的概率，可得，即可求出随机变量的分布列和数学期望；
【解析】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为
的频率为；的频率为；
的频率为；的频率：；
的频率为，
所以.
（2）根据题意得每支灭活疫苗的质量指标值位于内的概率为，
所以，的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
，所以的分布列为

0
1
2
3
4






所以.
5．支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据：
每周使用支付宝次数
1
2
3
4
5
6及以上
40岁及以下人数
3
3
4
8
7
30
40岁以上人数
4
5
6
6
4
20
合计
7
8
10
14
11
50
（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？

不喜欢使用支付宝
喜欢使用支付宝
合计
40岁及以下人数



40岁以上人数



合计



（2）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付宝达人”中，随机抽取3名用户.
①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率；
②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X(单位：元)，求X的数学期望.
附：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【试题来源】云南省云南师范大学附属中学2021届高三第七次月考（理）
【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关；（2）①；②.
【分析】（1）根据题干列联表，计算，对照参照值得出结论；（2）视频率为概率，可得答案；记抽出的40岁以上“支付宝达人”的人数为，满足二项分布，得出期望，又，可得奖励总金额的期望.
【解析】（1）由题中表格数据可得列联表如下：

不喜欢使用支付宝
喜欢使用支付宝
合计
40岁及以下人数
10
45
55
40岁以上人数
15
30
45
合计
25
75
100
将列表中的数据代入公式计算得
的观测值，
所以在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关.
（2）视频率为概率，在该市“支付宝达人”中，随机抽取1名用户，该用户为40岁及以下的“支付宝达人”的概率为，为40岁以上的“支付宝达人”的概率为.
①抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率为.
②记抽出的40岁以上“支付宝达人”的人数为，则.
由题意得，所以，
所以的数学期望.
6．为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：

使用手机
不使用手机
总计
学习成绩优秀



学习成绩一般



总计



（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人，记这人中“学习成绩优秀”的人数为，试求的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.参考数据：








【试题来源】广西南宁市第三中学2021届高三下学期开学考试（理）
【答案】（1）没有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）根据表格中数据和题中信息可完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望值.
【解析】（1）列联表如下表所示：

使用手机
不使用手机
总计
学习成绩优秀



学习成绩一般



总计



假设学生的学习成绩与使用手机无关，
，
所以，没有的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（2）人中学习成绩优秀的人有人，学习成绩一般的有人，
可能的取值有、、、，
，，
，.
所以，随机变量的分布列为










.
7．某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期.记随机变量、分别表示顾客购买型手机和型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，和的分布列如下表所示：

1
2
3
4

0.1
0.4
0.4
0.1

1
2
3
4

0.4
0.1
0.1
0.4
（1）若某位顾客购买型和手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；
（2）电商平台销售一部型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部型手机所获得的利润为（单位：元），求的分布列；
（3）比较与的大小（只需写出结论）.
【试题来源】北京市2021届高三年级数学学科综合能力测试试题
【答案】（1）（2）见解析（3）
【分析】（1）某位顾客购买型和手机是独立事件，由独立事件的概率公式求解即可；
（2）先得出的可能取值，再算出相应概率，即可得出的分布列；
（3）由以往销售数据统计，结合数据的集中和离散程度得出.
【解析】（1）某位顾客购买型和手机是独立事件，则这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率为；
（2）的可能取值为，
，，
，
，
，
，，
则的分布列为
















（3）.
8．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传.极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信.为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量.最近.某研究性学习小组就是否观看过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查.其列联表如表（单位：人）.

是
否
合计
青年



中年



合计



（1）根据列联表以及参考公式和数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否观看过电影《夺冠（中国女排））与年龄层次有关？
（2）（i）现从样本的中年人中按分层抽样方法取出人.再从这人中随机抽取人.求其中至少有人观看过电影（夺冠（中国女排》）的概率；
（i i）将频率视为概率.若从众多影迷中随机抽取人.记其中观看过电影《夺冠（中国女排））的人数为.求随机变量的数学期望及方差.
参考公式：.其中参考数据：












【试题来源】四川省2021届高三下学期诊断性测试（文）
【答案】（1）不能；（2）（i）0.7；（i i）7；2.1.
【分析】（1）根据联表直接计算，再根据参考数值判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否观看过电影《夺冠（中国女排））与年龄层次有关；
（2）（1）根据超几何分布分布计算有2人看过和3人看过的概率，求和即可；（2）根据二项分布期望公式及方差公式直接计算.
【解析】（1）由表格数据得..
因为.所以不能在犯错误的概率不超过的前提下.认为是否观看过电影《夺冠（中国女排）》与年龄层次有关.
（2）（i）依题意.从样本的中年人（人）中按分层抽样的方法取出的人中.观看过电影（夺冠（中国女排）》的有人.没有观看过的有人.
记抽取的人中有人观看过电影《夺冠(中国女排》为事件,则
；.
因为和互斥,所以抽取的这人中至少有人观看过电影《夺冠(中国女排)》的概率为 .
（i i）由列联表可知,观看过电影《夺冠(中国女排)》的频率为.
将频率视为概率,则随机变量.故随机变量的数学期望为.
随机变量的方差为.
9．某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为，，且不同种产品是否受欢迎相互独立，记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为

0
1
2
3





（1）求该公司至少有一种产品受欢迎的概率；
（2）求，的值；
（3）求数学期望.
【试题来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试（理）
【答案】（1）；（2），；（3）.
【分析】（1）根据对立事件的概率公式计算可得结果；
（2）由与联立可解得结果；
（3）求出后，根据数学期望公式可求得结果.
【解析】（1）设事件表示“该公司第种产品受欢迎”，，2，3.
由题意可知，，.
由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“”是对立的，所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是.
（2）由题意可知，，
且，
所以整理得，，且，结合解得，.
（3）由题意可知，

，
，
因此，
.
【名师点睛】利用独立事件的乘法公式求出是解题关键.
10．在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为，决胜局（第五局）甲队获胜的概率为，其余各局甲队获胜的概率均为.
（1）求甲队以获胜的概率；
（2）现已知甲队以获胜的概率是，若比赛结果为或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分，对方得分，求甲队得分的分布列及数学期望.
【试题来源】江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）分析出第五局甲赢，前四局甲队赢两局，利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）利用独立事件的概率乘法公式计算得出，设甲队得分为，则的可能取值有、、、，计算出在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【解析】（1）记事件：甲队以获胜，则第五局甲队胜，前面四局甲队赢两局，
所以，；
（2）记甲队以获胜为事件，则，解得.
记甲队得分为，则的可能取值有、、、，
若，则甲队以或落败，所以，；
若，则甲队以落败，所以，；
若，则甲队以获胜，所以，；
若，则甲队以或获胜，
所以，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：










因此，.
【名师点睛】求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
11．某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A、B两地游玩，因目的地A地近，B地远，特制定方案如下：
目的地A地出行方式
绿色出行
非绿色出行
概率


得分



目的地B地出行方式
绿色出行
非绿色出行
概率


得分



若甲同学去A地玩，乙、丙同学去B地玩，选择出行方式相互独立．
（1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；
（2）求三名同学总得分的分布列及数学期望．
【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理）
【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【分析】（1）分析恰有一个同学选择“绿色出行”方式的情况，利用相互独立事件的概率计算公式求解；（2）根据题意得，的所有可能取值为，，，，分别计算概率，列出分布列，代入公式求解.
【解析】（1）恰有一名同学选择绿色出行方式的概率
．
（2）根据题意，的所有可能取值为，，，，根据事件的独立性和互斥性得
；；
；．
故的分布列为










所以．
【名师点睛】本题考查了随机变量分布列问题，一般列分布列时先判断变量的可能取值，遇到比较复杂的情况可以采用列表格的方式能更直观的判断出可能取值有哪些，然后计算不同取值下的概率，需要分析清楚不同取值对应的所有情况，注意是二项分布还是超几何分布问题.
12．某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，表示2018年月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：

1
2
3
4
5
6
7
8

12
14
20
22
24
20
26
30
（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；
（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望.
参考数据：，，，，.
参考公式：相关系数.
【试题来源】四川省成都市石室中学2020-2021学年高三下学期开学考试模拟（一）（理）
【答案】（1）答案见解析；（2）分布列见解析，千元.
【分析】（1）首先计算、再将已知条件中所给的数据代入相关系数的公式即可求解；
（2）奖金总额的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元，分别求出对应的概率，列出分布列、计算期望即可.
【解析】（1）依题意：，，

.
因为0.92非常趋近1，所以变量，线性相关性很强，
可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）二人所获奖金总额的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元.
，，，
，，，
所以，奖金总额的分布列如下表：

0
3
5
6
8
10







千元.
13．某校高一年级进行安全知识竞赛（满分为100分），所有学生的成绩都不低于75分，从中抽取100名学生的成绩进行分组调研，第一组，第二组，，第五组（单位：分），得到如下的频率分布直方图.

（1）若竞赛成绩不低于85分为优秀，低于85分为非优秀，且成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25，请判断是否有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关；
（2）用分层抽样方法，在成绩不低于85的学生中抽取6人，再从这6人中随机选3人发言谈体会，设这3人中成绩在的人数为，求的分布列与数学期望.
附：，.
临界值表：

0.10
0.05
0.025
0.01
0.005

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
【试题来源】河南省中原名校2020-2021学年高三下学期质量考评一（理）
【答案】（1）有；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）由题意得出列联表，根据计算公式得到，进而判断结果；
（2）用分层抽样的方法，应分别在竞赛成绩在，，的组内抽3人，2人，1人，再根据超几何分布得出分布列，从而求得数学期望.
【解析】（1）由已知，竞赛成绩在的学生人数为，
竞赛成绩在的学生人数为，
竞赛成绩在的学生人数为，
所以竞赛成绩不低于85（优秀）的学生人数为60，低于85（非优秀）的学生人数为40.
因为成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25，
所以列联表如下：

非优秀
优秀
合计
男生
15
35
50
女生
25
25
50
合计
40
60
100
所以的观测值.
因为，所以有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关.
（2）由（1）知竞赛成绩在的学生人数为30，竞赛成绩在的学生人数为20，竞赛成绩在的学生人数为10，
所以用分层抽样的方法，应分别在竞赛成绩在，，的组内抽3人，2人，1人，所以的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
，，所以的分布列为

0
1
2
3





所以.
【名师点睛】超几何分布的特征是①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
14．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.
（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；
（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.
【试题来源】福建省漳州市2021届高三毕业班下学期第一次教学质量检测
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先确定的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（2）根据已知的关系，求出与，的关系式，再通过化简和等比数列的定义求解即可.
【解析】（1）依题意可得，，
，，
，，
，，
则的分布列如表所示.

5
6
7
8
9
10







.
（2）处于第个等级有两种情况：由第等级到第等级，其概率为；
由第等级到第等级，其概率为；
所以，所以，
即.所以数列为等比数列.
【名师点睛】本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找与，的关系式，即，进而根据等比数列的定义证明.
15．上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀.
（1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；
（2）设随机变量表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求的分布列及数学期望，并求出校为优秀的概率.
【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（理）
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望值，.
【分析】（1）首先事件甲、乙两位同学共答对2个问题，分为两人各答对1题，或是乙答对2题，再求互斥事件和的概率；（2）由条件可知,再根据随机变量对应的事件，分别求概率，再列出分布列，并计算数学期望,根据分布列，列出该学校为优秀的概率.
【解析】（1）记“甲、乙两位同学共答对2题”为事件，
则；
（2）由题意可知随机变量的可能取值为、、、，
，
，
，
，所以，随机变量的分布列如下表所示：










随机变量的数学期望为

校为优秀的概率.
【名师点睛】本题的关键是分清随机变量代表的事件，其中容易错的是乙同学会5题中的四个题，所以两个题，至少会一题.
16．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000份试卷，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下频数分布表.
成绩/分







频数
40
90
200
400
150
80
40
（1）求这1000份试卷成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)？
（3）该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，，.
【试题来源】2021年新高考测评卷数学（第一模拟）
【答案】（1）；（2）75.5分；（3）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）利用平均数的计算公式即可求解；
（2）利用正态分布的概率分布即可求解；
（3）先利用分层抽样的方法求出抽取的6份试卷中成绩在和内的份数，然后求出的所有可能取值及每个取值对应的概率，最后写出的分布列及数学期望.
【解析】（1）由频数分布表
.
（2）由题意得， 且，
又，故市教育局预期的平均成绩大约为75.5分.
（3）利用分层抽样的方法抽取的6份试卷中成绩在内的有4份，成绩在内的有2份，故的所有可能取值为0，1，2，
且，，，
所以得分布列为

0
1
2




数学期望.
【名师点睛】求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义，写出的所有可能取值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列；（4）根据分布列的性质对结果进行检验.
17．面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此吉安市在吉州区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算).甲､乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲､乙租用时间不超过一小时的概率分别是，；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是，；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是，.
（1）求甲比乙所扣积分多的概率；
（2）设甲､乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（理）
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）根据题意，分别记“甲扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，，，，它们彼此互斥，分别记“乙扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，，，，它们彼此也互斥，则，由此可求事件的概率；
（2）根据题的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，然后，相应的的值，即可求出列出的分布列，并由公式求出的数学期望
【解析】（1）根据题意，分别记“甲扣分为0分､1分､2分､3分”为事件，，，，
它们彼此互斥，且，，，，
分别记“乙扣分为0分､1分､2分､3分”为事件，，，，
它们彼此互斥，且，，，，
由题知，事件，，，与事件，，，相互独立，
记甲比乙所扣积分多为事件，则，
所以

.
（2）根据题的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，则
，，
，
，
，
，.
所以的分布列为

0
1
2
3
4
5
6








.
18．某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善.据统计，该校年到年所招的学生高考成绩不低于分的人数与对应年份代号的数据如下：
年份







年份代号







不低于分的人数（单位：人）







（1）若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测年该校所招的学生高考成绩不低于分的人数；
（2）今有、、、四位同学报考该校，已知、、被录取的概率均为，被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用表示此人中被录取的人数，求的分布列与数学期望.
参考公式：，.参考数据：，.
【试题来源】1号卷A10联盟2021届高三开年考（理）
【答案】（1）回归直线方程为，该高校年所招的学生高考成绩不低于分的人数预测值为人；（2）分布列见解析，数学期望.
【分析】（1）求出、的值，将参考数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出关于的回归直线方程，再将代入回归直线方程，即可得出结论；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可计算得出.
【解析】（1）根据表中数据，计算可得，，
，
又，，
则，关于的回归直线方程为，
令，可得，
即该高校年所招的学生高考成绩不低于分的人数预测值为人；
（2）由条件可知，的所有可能取值为、、、、，
，
，
，
，
，的分布列如下表所示：












.
19．某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布.
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人?
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元?
参考数据：若，则.
【试题来源】江苏省盐城市、南京市2021届高三下学期第一次模拟考试
【答案】（1）1.6（万人）；（2）150.8万元.
【分析】（1）由得标准差，所以优秀者得分，由及正态分布的对称性可得答案；（2）设抽奖一次获得的话费为X元可得X的取值及概率，计算出抽奖一次获得电话费的期望值，再算出抽奖总次数可得答案.
【解析】（1）因得分，所以标准差，所以优秀者得分，
由得，，
因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为（万人）.
（2）设抽奖一次获得的话费为X元，
则，
所以抽奖一次获得电话费的期望值为，
又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次，
所以抽奖总次数为万次，
因此，估计这次活动所需电话费为万元.
【名师点睛】本题考查了正态分布的性质及期望，解题的关键点是熟悉正态分布的性质和计算随机变量的取值和概率，考查了的计算能力.
20．近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为；其中对商品和服务均为好评的有80次
（1）是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：求对商品和服务全好评的次数的分布列及其期望.
















（其中）
【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三下学期开年摸底联考考（理）试卷（全国Ⅰ卷）
【答案】（1）不可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）根据列联表中数据，利用公式求出的值，再与临界值比较即可；
（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是.利用独立事件概率公式求出概率，可得分布列，再利用期望公式可得答案.
【解析】（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：

对服务好评
对服务不满意
总计
对商品好评



对商品不满意



总计



，
所以，不可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关.
（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是.
其中；
；
.的分布列为












由于，所以.
21．在新型冠状病毒疫情期间，某高中学校实施线上教学，为了解线上教学的效果，随机抽取了名学生对线上教学效果进行评分(满分100分)，记低于的评分为“效果一般”，不低于分为“效果较好”．
（1）请补充完整列联表；通过计算判断，有没有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关？

效果一般
效果较好
合计
男



女



合计



（2）用（1）中列联表的数据估计全校线上教学的效果，用频率估计概率．从该校学生中任意抽取人，记所抽取的人中线上教学“效果较好”的人数为，求的分布列和数学期望．
附表及公式：












其中，．
【试题来源】四川省大数据精准教学联盟2021届高三第二次统一监测（理）
【答案】（1）列联表见解析；有的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题意，补充后的列联表为

效果一般
效果较好
合计
男



女



合计



则，
因此有的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关．
（2）随机变量的值可能为，
由题可知，线上教学“效果较好”的频率为，则，
可得；；
；．
则随机变量的分布列为










所以（或）．
22．在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：
得分







频数
2
13
21
25
24
11
4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求的值；
②若，求的值；
（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为
赠送话费的金额(单位：元)
20
50
概率


现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
【试题来源】广东省韶关市2021届高三一模
【答案】（1）①；②；（2）分布列答案见解析，数学期望为41.25元.
【分析】（1）根据题意直接计算平均值即可，再结合正态分布的对称性得到，即得a值；（2）先根据正态分布知获赠1次和2次随机话费的概率均为,再结合获得随机话费的金额和概率情况写分布列，并计算期望即可.
【解析】（1）①由题意得
，
，
②，
由正态分布曲线的对称性得，，解得；
（2）由题意得，，即获赠1次和2次随机话费的概率均为,
故获赠话费的的所有可能取值为20，40，50，70，100
，，
，，
.的分布列为

20
40
50
70
100






元.
所以的数学期望为41.25元.
23．为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：

减排器等级及利润率如下表，其中．
综合得分的范围
减排器等级
减排器利润率

一级品


二级品


三级品

（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；
②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？
【试题来源】江苏省南京市中华中学2020-2021学年高三上学期1月学情暨期末
【答案】（1）；（2）①二级品数的分布列见详解，；②投资乙型号减排器的平均利润率较大.
【分析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.6，根据分层抽样，计算10件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少 2件一级品的概率；（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号减排器随机抽取3件，则二级品数所有可能的取值为，且，由此能求出的分布列和数学期望.②由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号减排器的平均利润率较大.
【解析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，
甲型号减排器中的一级品的概率为，
分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为（件）
则至少有2件一级品的概率，；
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，
乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，
若从乙型号减排器随机抽取3件，
则二级品数所有可能的取值为，且，
所以，，
，，
所以的分布列为

0
1
2
3





所以数学期望：；
②由题意知，甲型号减排器的利润的平均值：；
乙型号减排器的利润的平均值：；
，又，则，
所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.
【名师点睛】本题考查了频率分布直方图及分层抽样和互斥事件概率的算法．求解随机变量的分布列及期望和利用函数思想解决实际问题．解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用.
24．受新冠肺炎疫情的影响，2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业的线上招聘方式分资料初审､笔试､面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立.现有甲､乙､丙三名大学生报名参加了企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试､面试的概率分别为，；乙通过笔试､面试的概事分别为，；丙通过笔试､面试的概率与乙相同.
（1）求甲､乙､丙三人中恰有一人被企业正式录取的概率；
（2）求甲､乙､丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率；
（3）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
参与环节
笔试
面试
补贴(元)
100
200
记甲､乙､丙三人获得的所有补贴之和为元，求的分布列和数学期望.
【试题来源】2021新高考普通高等学校招生全国统一考试数学考向卷（一）
【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）设甲、乙、丙被企业正式录取分别为事件，即可求出，，又相互独立，利用相互独立事件的概率公式即可求解；（2）利用相互独立事件的概率公式，求甲、乙、丙三人都没有被企业正式录取的事件D的概率，再利用互斥事件的概率求解；（3）分析题意可知，若没有人通过考试时的取值为300；只有1人通过考试时的取值为500；有2人通过考试时的取值为700；3人都通过考试时的取值为900，分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望.
【解析】（1）设事件表示“甲被企业正式录取”，事件表示“乙被企业正式录取”，事件表示“丙被企业正式录取”，则，，
所以甲､乙､丙三人中恰有一人被企业正式录取的概率

.
（2）设事件表示“甲、乙、丙三人都没有被企业正式录取”，
则，
所以甲､乙､丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率.
（3）的所有可能取值为300，500，700，900，
，，
，.
所以的分布列为

300
500
700
900





.
【名师点睛】本题考查互斥事件､相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
25．太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：
日照情况
日均气温不低于15℃
日均气温低于15℃
日照充足
耗电0千瓦时
耗电5千瓦时
日照不足
耗电5千瓦时
耗电10千瓦时
日照严重不足
耗电15千瓦时
耗电20千瓦时
根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照不足的概率为，日照严重不足的概率为.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为，，，，，.

（1）求图中的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；
（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）
【试题来源】广东省揭阳市2021届高三下学期教学质量测试
【答案】（1），；（2）千瓦时.
【分析】（1）根据频率分布直方图中频率和为1求出区间的频率，再除以组距求得的值，再利用长方形面积等于频率，求出不低于15℃的频率；（2）由（1）知一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为，低于15℃的概率的估计值为，分析题意可知，使用电辅式太阳能热水器日均耗电量的可能取值为0，5，10，15，20，分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望，得到使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量，进而得到一年可以节省的电量.
【解析】（1）依题意得.
一年中日均气温不低于15℃的频率为.
（2）这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为，一年中日均气温低于15℃的概率的估计值为，
设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为，
的所有可能取值为0，5，10，15，20，
，，
，，
.所以的分布列为

0
5
10
15
20






所以的数学期望
所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为（千瓦时）
所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为（千瓦时）
【名师点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.