专题28 导数及其应用（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题28 导数及其应用（解答题）（新高考地区专用）（解析版），共51页。试卷主要包含了已知函数，，已知函数，设函数，已知函数，其中等内容，欢迎下载使用。

专题28 导数及其应用（解答题）
1．已知函数，
（1）讨论函数单调性．
（2）是的导数，，求证函数存在三个零点．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】（1）在和上是递增的，在上是递减的（2）证明见解析
【解析】（1）因为，
由 得，
的取值正负和函数单调性随 x的变化情况如下表：










0



极大值

极小值

所以在和上是递增的，在上是递减的．
（2）由（1）知在上单调递减，且，
所以且
因为
所以，

设得，
则，的取值正负和函数单调性随 x的变化情况如下表：








0

0



极大值

极小值

所以在与上是单调递增的，在上是单调递减的．
因为， ，
且，
又时，，时，，
所以在上各有一个零点，且 最多三个零点，
故函数恰有三个零点．
2．已知函数，(，)
（1）当时，讨论函数单调性；
（2）设，是函数的两个极值点，当时，求的最小值．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）当时，，求导得，
①即时恒成立，函数在上单调递增，无减区间；
②即或时，
由解得或，
所以增区间为，，
由解得，
所以减区间为，
综上：时函数在上单调递增，无减区间；
或时，增区间为，，减区间为；
（2），，是函数的两个极值点，
所以，是方程的两根，所以
，，所以，
整理得代入得恒成立，即，
，时，.
3．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在处取得极小值，求实数a的取值范围．
【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，．所以，所以，
因为． 所以切线方程为．
（2）函数的定义域为．因为 ，
所以．
令，即，解得或．
当时，当x变化时，的变化状态如下表：
x

1


－
0
＋


极小值

所以当时，取得极小值．所以成立．
当时，当x变化时，的变化状态如下表：
x



1


＋
0
－
0
＋


极大值

极小值

所以当时，取得极小值．所以成立．
当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，没有板小值，不成立．
当时，当x变化时，的变化状态如下表：
x

1




＋
0
－
0
＋


极大值

极小值

所以当时，取得极大值．所以不成立．综上所述，．
4．已知函数，．
（1）当时，令函数，若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；
（2）令，当时，若函数的极小值为，求的值．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（文）（3－2）试题
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，函数，
不等式在区间上有解，则，
由，，
所以当时，，函数在上单调递增，
则，所以，故实数的取值范围．
（2）由，
可得，，
当时，，所以，令，则或，
当时，，所以，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数的极小值为
，
由题设知，，即，
因为，所以，解得．
【名师点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大．
5．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围．
【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）．
【解析】（1）由题意知，，
令，当时，恒成立，
所以当时，，即；当时，，即；
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为
， 由题意知，存在，使得成立．即存在，使得成立；
令，
，
①当时，对任意，都有，所以函数在上单调递减，
成立，解得，；
②当时，令，解得；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，解得无解；
③当时，对任意的，都有，所以函数在上单调递增，
，不符合题意，舍去；综上所述，的取值范围为．
【名师点睛】根据导数的方法研究不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果．
6．设函数．
（1）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；
（2）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围．
【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）当时，，，
设图象上任意一点，切线斜率为．
过点的切线方程为．
令，解得；令，解得．
切线与坐标轴围成的三角形面积为．
所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关．
（2）由题意，函数的定义域为．因为在上单调递减，
所以在上恒成立，即当，恒成立，
所以，因为当，，当且仅当时取等号．
所以当时，，所以． 所以的取值范围为．
【名师点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．
7．已知函数，其中．
（1）当时，求函数在上的最值；
（2）①讨论函数的单调性；
②若函数有两个零点，求的取值范围．
【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）①见详解；②．
【解析】（1）由得，所以，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以；又，，
所以；即在上的最大值为，最小值为；
（2）①，
当时，恒成立；即在定义域上单调递增；
当时，若，则；若，则，所以在上单调递减；在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增；
②由①知，当时，在定义域上单调递增；不可能有两个零点；
当时，；
为使有两个零点，必有，即；
又，
令，，则在上恒成立，
即在上单调递增，
所以，即，
所以根据零点存在性定理可得，存在，使得；
又，
根据零点存在性定理可得，存在，使得，
综上，当时，函数有两个零点．
8．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）设函数，，试判断的零点个数，并证明你的结论．
【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】（1）；（2）的单调递减区间是，单调递增区间是，；极大值，极小值；（3）一个，证明见解析．
【解析】（1）由，得 ． 因为，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）令，得，解得或．
当变化时，和变化情况如下表：













↗

↘

↗
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是，；
在处取得极大值，在处取得极小值．
（3），，即，等价于．
设，则．
①当时，，在区间上单调递增．
又，，所以在区间上有一个零点．
②当时，设．
，所以在区间上单调递增．
又，，所以存在，使得．
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，所以在区间上无零点．
综上所述，函数在定义域内只有一个零点．
9．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数，当时，求零点的个数．
【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】（1）因为，所以，所以，．
所以曲线在点处的切线方程是，即；
（2）因为，所以，
所以．
①当时，，所以在上单调递减．
因为，所以有且仅有一个零点；
②当时，令，得，令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以在上有且仅有一个零点．
因为，即，则，所以，
则，所以，使得，所以在上有且仅有一个零点．所以当时，有两个零点；
③当时，．令，得，令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得最小值，且，所以有且仅有一个零点．
综上所述，当或时，有且仅有一个零点；
当时，有两个零点．
【名师点睛】利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题．
10．已知函数，
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）若对(-3，-2)，[1，3] ，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第三次月考（期末）（文）
【答案】（1）极小值为，无极大值（2）答案见解析（3）
【解析】（1）当时，，，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以在处取得极小值，无极大值．
（2）当时，，定义域为，
，
令得或，
当，即时，由得或，
由得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
当，即时，，所以在上单调递减，
当，即时，由得或，由得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
（3）由（2）可知对(-3，-2)，在上单调递减，
因为不等式恒成立，
等价于，
而，，
所以，
即对(-3，-2)恒成立，所以，解得．
【名师点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
11．函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有最大值M，且，求a的值．
【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）
【答案】（1）答案见解析；（2）1
【解析】（1）易知，，当时对任意的恒成立；
当时，若，得，若，得，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可得当时，单调递增，则没有最大值，，
则在上单调递增，在上单调递减，
，即，
，，即，令，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，，
，，．
12．已知函数．
（1）若是的极值点，求的极大值；
（2）若，求实数t的范围，使得恒成立．
【试题来源】宁夏六盘山市高级中学2021届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，由题意可得，，
解得，所以，
所以，当，时 ，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极大值；
（2）由得在时恒成立可得，在时恒成立，，
令，
则，
令，所以，令，提，
所以当，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得最小值，又，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，可得，所以．
13．已知函数，为自然对数的底数．
（1）当且时，证明：；
（2）当时，函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【试题来源】浙江省湖州市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】（1）当且时，函数，定义域为R，
令，则，得，
故时，，单调递减，时，，单调递增，
故恒成立，时等号成立．
所以恒成立，时取等号，而恒成立，当时取等号，故，但由于取等号条件不一致，故等号取不到，
所以；
（2）当时，函数，在区间上单调递增，
则在区间上恒成立．
令，，则．
①当时，，即，不符合题意；
②当时，，则，
因为，当时，，单调递减，
所以存在，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，而，
故时恒成立，即单调递减，又，
故，即，不符合题意；
③当时，，则，
因为，，所以，
即在区间上是单调递增函数，而，故恒成立，
所以在区间上是单调递增函数，而，故恒成立，
即恒成立，符合题意．综上，实数的取值范围为．
【名师点睛】已知函数单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成恒成立问题：（1）函数在区间I上单调递增，则在区间I上恒成立；
（2）函数在区间I上单调递减，则在区间I上恒成立．
14．已知函数，其中为常数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在区间上只有一个零点，求的取值范围．
【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
对函数求导可得，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）由（1）知，
因为，所以，
所以，所以，
所以，故函数在区间上单调递增．
因为函数在区间上只有一个零点，
结合零点存在定理可得，
解得，即的取值范围是．
15．己知函数．
（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；
（2）当时，证明有一个极大值点和一个极小值点．
【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，得，
设，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以，因为在R上是减函数，
所以，所以，故m的取值范围是．
（2）当时，．
由于，，所以在上有零点，
又在上单调递增，所以在上只有一个零点，
设为．又．设，
则，即在上单调递减，
所以，即．所以，
所以在上有零点，又在上单调递减，
所以在上只有一个零点，设为．
因此，当时，，
当时，，当时，，
即在，上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的极小值是，当时，的极大值是
因此，有一个极大值点和一个极小值点．
16．已知函数．
（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；
（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围．
【试题来源】北京市顺义区2021届高三上学期期末考试
【答案】（1）；（2）．
【解析】由已知函数定义域是，
（1），，
由解得（舍去），
又，所以切线方程为，即；
（2），
易知只有一个极值点，要使得有两个零点，则，即，
此时在上，递减，在上，递增，
在时取得极小值，
所以解得．综上的范围是．
17．已知函数的一个极值点是．
（1）求a与b的关系式，并求的单调区间；
（2）设，，若存在，，使得成立，求实数a的范围．
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】（1），单调区间见解析；（2）
【解析】（1）可求得，
的一个极值点是，，解得，
，
当时，，单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意，
当时，令，解得，令，解得或，
当时，令，解得，令，解得或，
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（2），由（1）可知，时，在单调递增，在单调递减，，，，
，
在单调递增，，，
存在，，使得成立，
即存在，，使得成立，
，解得．
18．已知函数．
（1）设，求的单调区间；
（2）求证：存在恰有2个切点的曲线的切线．
【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（理）
【答案】（1）单调减区间为和和，单调减区间为和；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，
当时，，则时，，单调递增；
时，，单调递减；
当时，，由可得，
解得，即，
所以或时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以的单调减区间为和和，单调减区间为和；
（2），假设存在直线以，为切点，
不妨设，则，，以为切点的切线方程为，以为切点的切线方程为，
所以，令，则，，
令，，
则在上递增，所以，
因此在上递减，，
，
故存在唯一的t满足，即存在恰有2个切点的曲线的切线．
19．已知函数．
（1）求斜率为的曲线的切线方程；
（2）设，若有2个零点，求的取值范围．
【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1），令可得或，
当时，切点为，切线方程为，即；
当时，切点为，切线方程为，即；
（2），即，令，
则，
当时，若，，无零点，若，在上递增，，，此时有且只有一个零点；
当时，，，，
若时，，，此时在上有两个零点；
若时，，，此时在上有一个零点；
若时，，此时在上无零点；
若时，，，此时在上无零点；
若时，，，此时在上无零点；
因为有2个零点，所以，故的取值范围为．
20．已知函数，．
（1）令，讨论函数的单调性；
（2）令，当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2） ．
【解析】（1）因为，，所以，
则
，，令，则或，
①当时，，当或时，，
所以函数在和上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；
②当时，，在上恒成立，所以函数在上单调递减；
③当时，，当或时，，
所以函数在和上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；
综上：①当时，函数在和上单调递减，函数在上单调递增；②当时，函数在上单调递减；③当时，函数在和上单调递减，函数在上单调递增；
（2）由题设知，，
所以，，
当时，，所以函数单调递增，且恒成立，
故恒成立，符合题意；当时，令，
则或，且，列表如下：








0

0


递增
极大值
递减
极小值
递增
当时，因为恒成立，
所以，则恒成立，符合题意；
当时，，则恒成立，所以，
综上，实数的取值范围是．
21．已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
（2）若，求证：当时，；
（3）若恰有两个零点，求a的值．
【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）因为，所以，故．
所以．所求切线方程为，即．
（2）当时，，．
当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以的最小值为．故时，．
（3）对于函数，．当时，，没有零点；
当时，．
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增．
所以是的极大值，是的极小值．
因为，
所以在上有且只有一个零点．由于，
①若，即，在区间上没有零点；
②若，即，在区间上只有一个零点；
③若，即，由于，所以在区间上有一个零点．
由（2）知，当时，，
所以．
故在区间上有一个零点．
因此时，在区间上有两个零点．
综上，当有两个零点时，．
22．已知函数．
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．
【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，
由函数在上为增函数，则在上恒成立．
令，，
当时，，所以恒成立．
所以在为增函数．所以，所以．
（2）由，则
所以，是的两个零点．
因为，由（1）知，函数在上为增函数，，无零点．所以下面证函数在上有且仅有1个零点．
①当时，因为，所以，
所以．无零点．
②当时，因为，设，
所以在上递增，因为，，
所以存在唯一零点，使得．
当时，，在上递减；
当时，，在上递增．
所以，函数在上有且仅有1个零点．
故函数在上有且仅有1个零点．
综上：当时，函数有且仅有3个零点．
23．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）令，则．
令，则，
当时，，，所以，函数在上是增函数．
所以，所以．
①当时，，所以函数在上是增函数，
所以，即对任意不等式恒成立．
②当时，，由，得．．
当时，，即，函数在上是减函数，所以，即，不合题意．
综上，所以实数a的取值范围是．
24．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）令，则．
令，则，
当时，，，所以，函数在上是增函数．
所以，所以．
①当时，，所以函数在上是增函数，
所以，即对任意不等式恒成立．
②当时，，由，得．
．
当时，，即，
函数在上是减函数，
所以，即，不合题意．
综上，所以实数a的取值范围是．
25．已知函数．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文）
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1），因为所以分以下情况讨论：
当时，恒成立，故在单调递增；
当时，当单调递减，时单调递增；当时，恒成立，故在单调递减．
综上所述：当时在单调递增，无单调递减区间；
当时在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减，无单调递增区间．
（2）因为，由1知，函数在上单调递增，不妨设，
则，可化为，
设，则，
所以为上的减函数
即在上恒成立，等价于在上恒成立，
设，所以，
因，所以，所以函数在上是增函数，
所以（当且仅当时等号成立）．
所以．即的最小值为12．
26．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，求证：；
（3）设，若存在使得，求的最大值．
【试题来源】北京市海淀区2021届高三年级第一学期期末练习
【解析】（1）因为，所以．
令，即，解得，令，即，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）因为，所以．所以，
令，则，所以在单调递减，因为，所以当时，，，
当时，，，所以在内单调递增，在内单调递减．，所以．
（3）因为，所以，
①当时，，即存在1，使得；
②当时，由（2）可知，，即．
所以
．
所以对任意，，即不存在使得．
综上所述，的最大值为．
27．已知函数．
（1）证明：当时，；
（2）若，求．
【试题来源】2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）分类讨论：①当，；
②当时，，
，
则函数在上单调增，则，
则函数在上单调减，则；
③当时，由函数的解析式可知，
当时，令，则，
故函数在区间上单调递增，从而：，
即，从而函数，
令，则，当时，，故在单调递增，故函数的最小值为，从而：．
从而函数；综上可得，题中的结论成立．
（2） 当时，令﹐
则， ，故单调递增，
当时，，，
使得，
当时，单调递减，不符合题意；
当时，，若在上，总有（不恒为零），
则在上为增函数，但，
故当时，，不合题意．故在上，有解，
故，使得， 且当时，单调递增，
故当时，，不符合题意；故不符合题意，
当a=2时，，由于单调递增，，故：
时，单调递减；时，单调递增，
此时﹔
当时，，
综上可得，a=2．
28．已知函数，．
（1）若，求的极值；
（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．
【试题来源】海南省2021届高三年级第二次模拟考试
【答案】（1）极小值为，没有极大值；（2）．
【解析】（1）若，则，定义域为，可得．
令，解得，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
所以的极小值为，没有极大值．
（2）由，即，
因为当时，有(等号不同时成立)，即，
所以原不等式又等价于，
要使得对任意，都有成立，即，
令，，则，
当时，，可得，
所以在上为增函数，所以，
故实数的取值范围是．
29．已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，若，且在时恒成立，求实数a的取值范围．
【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1），
①当时，恒成立，即函数在递减；
②当时，令，解得，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意，即当时在时恒成立，
即在时恒成立．记，
则，记，
在递增，又，当时，
得．下面证明：当时，在时恒成立．
因为．
所以只需证在时恒成立．记，
所以，又，所以在单调递增，
又，所以，单调递减；，单调递增，所以，所以 在恒成立．
即在时恒成立．
综上可知，当在时恒成立时，实数a的取值范围为．
30．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若对于任意，存在使得不等式成立，求实数a的取值范围．
【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期末（理）
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）由题意得，，
①当时，令，则，所以在上递减；
令，则，所以在上递增；
②当时，则，
令，则或，所以在和上递减；
令，则，所以在上递增；
③当时，则，所以在上递减；
④当时，则，
令，则或，所以在和上递减；
令，则，所以在上递增；
（2）由题意得在恒成立，
所以在上递增，所以，
所以存在使得成立，即成立，
令，，则，
所以在上递增，所以，
所以实数a的取值范围为．
31．已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时，．
【试题来源】天津市河北区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析．
【解析】（1）因为，所以，
所以，解得；
（2），
①若即，的解为，
所以当时，，单调递减；当时，单调递增；
②若即，的解为或，
所以当时，单调递增；当时，，单调递减；
③若即，恒成立，
所以在上单调递增；
④若即，的解为或，
所以当时，单调递增；当时，，单调递减．
综上所述，若，当时，单调递减，时， 单调递增；若，当时，单调递增，时，单调递减；若，在上单调递增；
若， 当时，单调递增，时，单调递减．
（3）由题意，，
因为导函数在区间上存在零点，
设零点为，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故
，设，则，
设，则，单调递减，
又，故在上恒成立，故单调递减，
所以，故当时，．
32．已知函数有两个零点，．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：．
【试题来源】贵州省贵阳市2021届高三上学期期末检测考试（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）有两个零点有两个相异实根．
令，则，由得，由得，
在单调递增，在单调递减，，
又，当时，，当时，
当时，，有两个零点时，实数a的取值范围为．
（2）不妨设，由题意得，
，，，
要证：，只需证．
，
令，，只需证
，只需证：．
令，，
在递增，成立．
综上所述，成立．
33．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）当时，，恒成立，求的取值范围．
【试题来源】安徽省宣城市2020-2021学年高三上学期期末（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由函数解析式知，
由题意，得，故．经检验，满足题意．
（2）由已知，当时，只需，．
．
①当时，在单减，在单增．
所以，而，，故．
所以，解得（舍去）．
②当时，在单增，在单减，在单增．
由于，所以只需，即，
所以．
③当时，，在单增，
所以，满足题意．
④当时，在单增，在单减，在单增．
由于，所以只需，即，
所以．综上，知．
34．知函数，其中为常数且．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末（理）
【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间；（2）．
【解析】（1）方法一：当时，，则．
设，则，
所以在区间上单调递增，故，
于是在区间上单调递增，
即函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
方法二：当时，显然有，当时，，所以，
故当时，恒有，即函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）由，
得
①当时，对于，有，所以，
所以在区间上单调递增，
又，于是在区间上无零点，不合题意．
②当时，令，得，
所以存在唯一的，使得，
当时，单调递增，当时，单调递减．
又注意到，
于是当，即时，在区间上无零点，不合题意；当，即时，在区间上有且只有一个零点，符合题意．综上所述，实数的取值范围是．
35．己知函数．
（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；
（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．
【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，得，
在R上是减函数，则恒成立．
设，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
于是．由题意，所以，
故m的取值范围是．
（2）设，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
若，则，则在定义域内单调递减，所以不满足条件，
故，所以 ，因为，，，
设 ，则，
所以在上单调递减，所以当时， ，
所以，所以，使，
所以，即，单调递减，
，即，单调递增．
，即，单调递减，
因为，所以，
因为，设，则，所以，
由，得 ，，得，
所以在 上单调递减，在上单调递增，
则，
所以在上单调递增，则，
即，成立，
所以
，
所以由零点存在定理，得在和各有一个零点，
又，结合函数的单调性可知有三个零点．
36．已知函数若关于的方程有两个正实数根且．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），
由可得；由可得或，
所以在和单调递减，在单调递增，
所以的极小值，的极大值，
所以的图象如图所示：

若有两个正实数根，
则与的图象有两个横坐标大于的交点，由图知，
（2）由题意可得，，
两式相加可得①，
两式相减可得②，
所以，即③，
将③代入①可得，因为，由图知，
设，，
则，
所以在单调递减，
所以，
即，因为，所以，
因为在单调递减，所以，即，
要证，只需证，
即证，因为，，所以显然成立，
故．
37．设函数，()．
（1）若在处的切线平行于直线，求实数的值；
（2）设函数，判断的零点的个数；
（3）设是的极值点，是的一个零点，且，求证：．
【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考
【答案】（1）；（2）2；（3）证明见解析．
【解析】（1）由题可知，，
则，得切线的斜率为，
因为在处的切线平行于直线，，解得，
实数的值为．
（2）令，可知的定义域为，
且，令，得，
而，得，可知在内单调递减，
又，且，
故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，
则，当时，，在内单调递增；
当，时，，
在，内单调递减，是的唯一极值点，令，
则当时，，故在内单调递减，
当时，（1），即，
从而，
又，在，内有唯一零点，
又在内有唯一零点1，从而在内恰有两个零点．
的零点的个数为2．
（3）已知是的极值点，是的一个零点，且，
由（2）及题意，，即，
，，由（2）知当时，，
又，故，两边取对数，得，
于是，整理得，命题得证．
38．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）当时，恒成立，求的取值范围．
【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）．
【解析】（1）当时，，，
，，
所以切线方程为，即；
（2）由题，
可得 ，
由于，的解为，
当，即时，，则在上单调递增；
当，即时，
在区间上，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为．
当，即时，在区间 上，
在区间上，，
则在上单调递增，上单调递减．
（3）解法一：
当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立
当时，，所以在单调递增，所以成立．
（3）当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意． 综上所述，的取值范围是．
解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”．即在上恒成立．
当时，，所以．
当时， ，所以恒成立．
设，则，
因为，所以，所以在区间上单调递增．
所以，所以． 综上所述，的取值范围是．
39．已知函数有两个极值点、，三个零点、、．
（1）求的取值范围；
（2）若，证明：．（参考数据：，）
【试题来源】江苏省宿迁中学、如东中学、阜宁中学三校2020-2021学年高三上学期八省联考前适应性考试
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数的定义域为，．
设，由于函数有两个极值点、，即函数有两个异号零点．
而，由，可得，
构造函数，则，列表如下：













极小

所以，函数的极小值为，当时，，当时，．
作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点．
，则，由可得，令，
对任意的，，，列表如下：













极小

所以，函数的极小值为，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有三个交点，
综上所述，实数的取值是；
（2）若是函数的一个零点，则，可得，
所以，，设，设，，
由（1）可知，，，
，令，可得．
当时，；当时，．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
则，
所以，．函数在区间上单调递减，
，，
所以，，所以．
因为函数在区间上单调递增，，
，
所以，，则，．
，函数的两个极值点分别为、，且，
因为函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
且，当或时，；当时，．
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，，
在上单调递增，且，
，则，即，
又，所以，，
，所以，当时，，
因为函数在区间上为增函数，，
，则，
所以，，
所以，，所以，，因此，．