北师大版七年级下册6 完全平方公式备课ppt课件
展开观察下列算式及其运算结果, 你有什么发现?
(m + 3)2 = (m + 3) (m + 3) = m2 + 3m + 3m + 9 = m2+ 2×3m + 9 = m2 + 6m + 9
(2 + 3x)2 = (2 + 3x) (2 + 3x) = 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2 = 4 + 2×2×3x + 9x2 = 4 + 12x + 9x2.
两个数的和的平方,等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍.
再举两例验证你的发现.
(1)(2x + y)2 ; (2)(3a – 2b)2 .
(1)(2x + y)2 =(2x + y)(2x + y) = 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y = 4x2 + 4xy + y2
(2)(3a – 2b)2 =(3a – 2b) (3a – 2b) = 3a·3a – 3a·2b – 2b·3a + 2b·2b = 9a2 – 12ab + 4b2
你能用图解释这一公式吗?
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = ?你是怎样做的?
两个数的差的平方,等于这两个数的平方和减这两个数乘积的 2 倍.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
你能自己设计一个图形解释这一公式吗?
上面两个公式称为完全平方公式.
例 1 利用完全平方公式计算:
(1)(2x – 3)2; (2)(4x + 5y)2; (3)(mn – a)2
解:(1) (2x – 3)2 = (2x)2 – 2·2x·3 + 32 = 4x2 – 12x + 9
(2)(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2
(3) (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2 = m2n2 – 2amn + a2
利用完全平方公式计算:
(1) (3x + 1)2 ; (2) (a - 3b)2 ;(3) (2x + )2 ; (4) (– 2x + 3y)2 .
解 (1) (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1; (2) (a - 3b)2 = a2 - 6ab + 9b2; (3) (2x + )2 = 4x2 + 2xy + y2; (4) (– 2x + 3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2.
如果将 (a + b)n(n 为非负整数)的每一项按字母 a 的次数由大到小排列,就可以得到下面的等式:
(a + b)0 = 1,它只有一项,系数为 1; (a + b)1 = a + b,它有两项,系数分别是 1, 1; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,它有三项,系数分别是 1, 2, 1; (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,它有四项,系数分别是 1, 3, 3, 1.
如果将上述每个式子的各项系数排成下表, 那么你能发现什么规律?
按照这个规律可以继续将这个表写下去:
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
(1)( x – 2y)2
(2)(2xy+ x)2
(3)(n + 1)2 – n2
= n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1
解 (2x + 1)(x – 2) – (x – 1)2 + 5= 2x2 – 4x + x – 2 – x2 + 2x – 1 + 5= x2 – x + 2当 x = – 5 时,上式= (– 5)2 – (– 5) + 2 = 25 + 5 + 2 = 32.
2. 化简求值:(2x + 1)(x – 2) – (x – 1)2 + 5.其中 x = – 5.
3. 已知 a + b = 10,ab = 21,求下列各式的值.(1) a2 + b2; (2) (a – b)2.
解 (1)a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 102 – 2×21 = 100 – 42 = 58.(2)(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = 58 – 2×21 = 16.
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