2021年中考数学考前小题抢分王：18矩形、菱形和正方形（含解析）

矩形、菱形和正方形

一、选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

1．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是(　　)

A．平行四边形　 B．矩形           C．菱形             D．梯形

第1题图                            第2题图

2．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，OE∥DC且交BC于点E，AD＝6 cm，则OE的长为(　　)

A．6 cm　　　     B．4 cm　　    　C．3 cm　　     　D．2 cm

3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD、相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是(　　)

A．4             B．6              C．8              D．10

第3题图           第4题图

4．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6 cm、8 cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是(　　)

A．5 cm        B．2 cm        C. cm         D. cm

5．如图，两个正方形的面积分别为16，9，

两阴影部分面积分别为a，b(a＞b)，则(a－b)等于(　　)

A．7　　　　  B．6          C．5              D．4

二、填空题(本大题共2小题，每小题4分，共8分)

6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC＝2，则点B的坐标是______．

7．已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10 cm，体积为150 cm3，则这个棱柱下底面积为______cm2; 若该棱柱侧面展开图的面积为200 cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为______cm.

三、解答题(本大题共3小题，共32分)

8．(10分)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边上的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN.

(1)求证：四边形AMDN是平行四边形．

(2)填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN矩形；

②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．

9．(10分)如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M.

求证：AM⊥DF.

10．(12分)如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.

(1)求证：AF－BF＝EF；

(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．

参考答案

1. A　解析：由作图步骤可知，所作图形两组对边分别相等，应为平行四边形．

2. C　解析：根据“菱形的对角线互相平分，菱形的四条边都相等”得OB＝OD，CD＝AD＝6 cm，所以＝，因为OE∥DC，所以△BOE∽△BDC，所以＝＝，所以OE＝CD＝×6＝3 cm.

3. C　解析：因为四边形ABCD为矩形，所以OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，因为AC＝4，所以OC＝OD＝2，因为CE∥BD，DE∥AC，所以四边形CODE为平行四边形，又OC＝OD，所以四边形CODE为菱形，所以四边形CODE的周长为4×2＝8，故选 C.

4. D　解析：根据“菱形的对角线互相垂直平分”，得OB＝4，OC＝3，由勾股定理，得菱形的边长BC＝＝5，根据菱形的面积公式，得BC·AE＝BD·AC，即5AE＝×8×6，解得AE＝，

故选D.

5. A　解析：设两个正方形重叠部分的面积为m，则a＝16－m，

b＝9－m，a－b＝(16－m)－(9－m)＝7，故选A.

6. (2，2)　解析：设AC与y轴的交点是D，因为AC∥x轴，所以OD⊥AC.在Rt△OCD中，易得∠COD＝30°，所以OD＝OCcos∠COD＝，CD＝OCsin∠COD＝1，所以点B到x轴的距离是2，在Rt△AOD中，∠OAD＝30°，OD＝，所以AD＝＝＝3，则点B的横坐标是3－1＝2，则点B的坐标为(2，2)．

7. 15　1或9　解析：棱柱的下底面积为150÷15＝15 cm2；棱柱的底面周长为200÷10＝20，所以菱形的边长为20÷4＝5 cm；因为棱柱的下底面积＝BC×AE，所以AE＝15÷5＝3 cm；在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE＝＝＝4 cm，所以CE＝BC－BE＝5－4＝1 cm，或CE＝BC＋BE＝5＋4＝9 cm.

8. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM.

∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.又∵点E是AD边的中点，

∴DE＝AE.∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA∴四边形AMDN是平行四边形．(6分)

(2)①1；②2(10分)

9. 证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADE＝45°，∠DCF＝45°，∠ADC＝90°，(2分)

在△ADE与△DCF中，，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∠DAE＝∠CDF.(6分)又∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°，

∴∠AMD＝90°，即AM⊥DF.(10分)

10. 解：(1)证明：如图正方形ABCD中，AB＝AD，∠2＋∠3＝90°.

∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2.

又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠AED＝90°.

在△AED和△BFA中，

∴△AED≌△BFA.(4分)∴BF＝AE.

∵AF－AE＝EF，∴AF－BF＝EF.(6分)

(2)如图，根据题意知：∠ FAF′＝90°，

DE＝AF′＝AF，

∴可判断四边形AEDF′为矩形，(10分)

∴EF′＝AD＝3.(12分)