2021年中考数学考前小题抢分王：22弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积（含解析）

这是一份2021年中考数学考前小题抢分王：22弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如果一个扇形的半径是1，弧长是eq \f(π,3)，那么此扇形的圆心角的大小为( )
A. 30° B．45° C. 60° D. 90°
2. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( )
A. π B. 1 C. 2 D. eq \f(2,3)π
3. 如图，扇形DOE的半径为3，边长为eq \r(3)的菱形OABC的顶点A，C，B，分别在OD，OE，上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为( )
A. eq \f(1,2) B. 2eq \r(2) C. eq \f(\r(37),2) D. eq \f(\r(35),2)

第3题图 第4题图
4. 如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13 cm，高是12 cm，则该圆锥形底面圆的面积是( )
A．10 πcm2 B．25 πcm2 C．60 πcm2 D．65 πcm2
5. 如图，用邻边长分别为a，b(a＜b)的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽(拼接处材料忽略不计)，则a与b满足的关系是( )
A. b＝eq \r(3)a B．b＝eq \f(\r(5)＋1,2)a C．b＝eq \f(\r(5),2)a D. b＝eq \r(2)a
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
6. 如图，已知圆O的半径为4，∠A＝45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为________．

第6题图 第7题图
7. 如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是______(结果保留π).
8. 如图，圆柱形璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______．

第8题图 第9题图
9. 如图，由四个相同的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O经过四个格点，则图中两个小扇形(即阴影部分)的面积之和为______(结果保留π)．
三、解答题(本大题2小题，共24分)
10. (12分)如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA.
(1)求证：直线MN是⊙O的切线
(2)过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积.
11. (12分)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B.已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF＝24 cm，⊙O1的半径为x cm.
(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；
(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？
参考答案
1. C 解析：令扇形的圆心角的大小为n°，由题意得eq \f(n,180)×π×1＝eq \f(π,3)，解得n＝60，所以扇形的圆心角的大小为60°.
2. C 解析：“等边扇形”面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×2×2＝2，故选C.
3. D 解析：连接OB，AC，则OB，AC互相垂直且平分，所以OF＝eq \f(3,2)，CF＝eq \r(（\r(3)）2－（\f(3,2)）2)＝eq \f(\r(3),2)，
则AC＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，所以△OAC是正三角形，
所以∠DOE＝60°，则的长是eq \f(60·π·3,180)＝π.
设圆锥的底面半径为r，则2πr＝π，r＝eq \f(1,2)，
而圆锥的母线长是3，所以圆锥的高h＝eq \r(\f(35,4))＝eq \f(\r(35),2).
4. B 解析：如图，圆锥的母线AB＝13 cm，圆锥的高AO＝12 cm，圆锥的底面半径OB＝r，在Rt△AOB中，r＝eq \r(I2－r2)＝eq \r(132－122)＝5(cm)，∴S＝πr2＝π×52＝25 πcm2.故选B.
5. D 解析：如图，设半圆及小圆的圆心分别为A、B，连接AB，过点B作矩形两边的垂线，分别交矩形的边于点C、D，由题意，eq \f(aπ,2)＝2π·BC，所以BC＝eq \f(a,4)，所以AB＝eq \f(a,2)＋eq \f(a,4)＝eq \f(3a,4)，AD＝eq \f(a,2)－eq \f(a,4)＝eq \f(a,4)，在Rt△ABD中，BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \f(\r(2)a,2)，所以eq \f(\r(2)a,2)＝eq \f(b,2)，所以b＝eq \r(2)a，故选D.
6．解：∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∴扇形BOC的弧长为eq \f(90π×4,180)＝2π，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π，解得r＝1，故答案为1.
7. 3－eq \f(1,3)π 解析：因为AD＝2，∠A＝30°，所以AB边上的高等于1，所以平行四边形的面积为4×1＝4，三角形EBC的面积等于eq \f(1,2)×2×1＝1，扇形的面积等于eq \f(30π×22,360)＝eq \f(π,3)，
所以阴影面积等于3－eq \f(1,3)π.
8. 15 解析：圆柱侧面展开圆如图所示，作点A关于DE的对称点A′，连接A′C，与DE交于点P，连结PA、PC，则A→P→C就是最短线路．在Rt△A′BC中，BC＝9 cm，
A′B＝12 cm，所以A′C＝15 cm，所以PA＋PC＝A′C＝15 cm.
9. eq \f(1,4)π 解析：图中两个小扇形(即阴影部分)的圆心角的和是90°，因为它们的半径都是1，所以正好能拼成一个占⊙O面积eq \f(1,4)的扇形，所以图中两个小扇形(即阴影部分)的面积之和为eq \f(1,4)π×12＝eq \f(1,4)π.
10. 证明：(1)连接OC，∵AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
又∠MCA＝∠ABC，故∠MCA＝∠OCB，
∴∠ACO＋∠MCA＝90°，即OC⊥MN，直线MN过点C，
∴直线MN是⊙O的切线．(5分)
(2)连接OE、CE，由(1)OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，csB＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,2)，∴∠B＝60°，故OC＝OB＝BC＝3，
∴∠EAO＝∠COB＝60°，故OE＝OA＝EA＝3，∠EOC＝60°，
∴OC＝AE，四边形AOCE是平行四边形，故S△EAC＝S△EOC(8分)
于是，S阴＝S△ADC－S扇形EOC，
在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝6，∴AC＝3eq \r(3)，
在Rt△ADC中，AC＝3eq \r(3)，∠DCA＝∠B＝60°，
∴DC＝eq \f(3\r(3),2)，AD＝eq \f(9,2)， ∴S△ADC＝eq \f(1,2)AD·DC＝eq \f(27\r(3),8)，(10分)
而S扇形EOC＝eq \f(60·π·32,360)＝eq \f(3π,2).(11分)于是S阴＝S△ADC－S扇形EOC＝eq \f(27\r(3)－12π,8).(12分)
11. 解：(1)连接O1A.
∵⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B，
∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，
∴∠AO2O1＝eq \f(1,2)∠CO2D＝30°.
在Rt△O1AO2中， sin∠AO2O1＝eq \f(AO1,O1O2)，
∴O1O2＝eq \f(AO1,sin∠AO2O1)＝eq \f(x,sin30°)＝2x.(4分)
∴FO2＝EF－EO1－O1O2＝24－3x，即扇形O2CD的半径为(24－3x)cm.(6分)
(2)设该玩具的制作成本为y元，则
y＝0.45πx2＋0.06×eq \f(（360－60）×π×（24－3x）2,360)
＝0.9πx2－7.2πx＋28.8π＝0.9π(x－4)2＋14.4π.(10分)
所以当x－4＝0，即x＝4时，y的值最小．
答：当⊙O1的半径为4 cm，该玩具的制作成本最小．(12分)