2021年中考数学考前小题抢分王：19相似图形（含解析）

这是一份2021年中考数学考前小题抢分王：19相似图形（含解析），共4页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，小正方形的边长均为1，关于△ABC和△DEF的下列说法正确的是( )
A．△ABC和△DEF一定不相似 B．△ABC和△DEF是位似图形
C．△ABC和△DEF相似且相似比是1∶2; D．△ABC和△DEF相似且相似比是1∶4

2. 已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝( )
A .eq \f(\r(5)－1,2) B.eq \f(\r(5)＋1,2) C.eq \r(3) D．2
3．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么eq \f(AB,AD)等于( )
A．0.618 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D．2

4．如图，正方形ABCD的两边BC， AB分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3eq \r(2)，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
5. 如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心相似比为1∶eq \r(2)，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为( )
A．(eq \r(2)，0) B．(eq \f(3,2)，eq \f(3,2)) C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D．(2，2)
二、解答题(本大题共2小题，共30分)
6. (12分)如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在AB上折出点B″，使AB″＝AB′，这时B″就是AB的黄金分割点，请你证明这个结论
7．(18分)如图，正三角形ABC的边长为3＋eq \r(3).
(1)如图1，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
(3)如图2，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPN，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
参考答案
1. C 解析：两个三角形的各边长分别是eq \r(2)，2，eq \r(10)和2eq \r(2)，4，2eq \r(10)，对应边的比是1∶2，所以△ABC和△DEF相似，但对应顶点连线未交于一点，所以△ABC和△DEF不是位似图形，故选C.
2. B 解析：∵AB＝1，设AD＝x，则FD＝x－1，EF＝1，∵四边形EFDC与矩形ADCB相似，∴eq \f(EF,FD)＝eq \f(AD,AB)，即eq \f(1,x－1)＝eq \f(x,1)，解得x2－x－1＝0，则x1＝eq \f(1＋\r(5),2)，x2＝eq \f(1－\r(5),2)(负值舍去)，经检验x1＝eq \f(1＋\r(5),2)是原方程的解．
3. B 解析：由题意得矩形ABCD与矩形AEFB相似，则eq \f(AD,AB)＝eq \f(AB,AE)，
又AE＝eq \f(1,2)AD，所以AB2＝eq \f(1,2)AD2，eq \f(AB,AD)＝eq \f(\r(2),2)，故选B.
4. B 解析：∵在正方形ABCD中，AC＝3eq \r(2)，∴BC＝AB＝3，延长A′B′交BC于点E，∵点A′的坐标为(1，2)，∴OE＝1，EC＝A′E＝3－1＝2，
∴正方形A′B′C′D′的边长为1，∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比为eq \f(1,3).
5. C 解析：由已知得，E点的横坐标就是点A横坐标的eq \r(2)倍，点E的纵坐标就是点C纵坐标的eq \r(2)倍．
6. 证明：设正方形ABCD的边长为2，
∵E为BC的中点，∴BE＝1∴AE＝eq \r(AB2＋BE2)＝eq \r(5).
又B′E＝BE＝1，∴AB′＝AE－B′E＝eq \r(5)－1.
又∵AB″＝AB′＝eq \r(5)－1，∴AB″∶AB＝(eq \r(5)－1)∶2.(10分)
∴点B″是线段AB的黄金分割点．(12分)
7. 解：(1)如图①，正方形E′F′P′N′即为的所求．(4分)
图(1)
图(2)
(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x.
∵△ABC为正三角形，∴AE′＝BF′＝eq \f(\r(3),3)x.
∴x＋eq \f(2\r(3),3)x＝3＋eq \r(3).∴x＝eq \f(9＋3\r(3),2\r(3)＋3)，即x＝3eq \r(3)－3.(8分)
(没有分母有理化也对，x≈2.20也正确)
(3)如图(2)，连接NE，EP，PN，则∠NEP＝90°.
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n)，它们的面积和为S，则NE＝eq \r(2)m，PE＝eq \r(2)n.
∴PN2＝NE2＋PE2＝2m2＋2n2＝2(m2＋n2)，
∴S＝m2＋n2＝eq \f(1,2)PN2.
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND.
在Rt△PGN中，PN2＝PG2＋GN2＝(m＋n)2＋(m－n)2.
∵eq \f(\r(3),3)m＋m＋n＋eq \f(\r(3),3)n＝eq \r(3)＋3，
即m＋n＝3，∴S＝eq \f(9,2)＋eq \f(（m－n）2,2).(12分)
①当(m－n)2＝0，即m＝n时，S最小，∴S最小＝eq \f(9,2).
②当(m－n)2最大，即当m最大且n最小时，S最大
∵m＋n＝3，
由(2)知，m最大＝3eq \r(3)－3，
∴n最小＝3－m最大＝3－(3eq \r(3)－3)＝6－3eq \r(3).(16分)
∴S最大＝eq \f(9,2)＋eq \f(（3\r(3)－3－6＋3\r(3)）2,2)＝99－54eq \r(3).(S最大≈5.47也正确)(18分)