单元检测卷九　统计与统计案例及计数原理

这是一份单元检测卷九　统计与统计案例及计数原理，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

单元检测卷九　统计与统计案例及计数原理
(时间:100分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.从6个盒子中选出3个来装东西,则甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有(　　)
A.16种 B.18种 C.22种 D.37种
2.总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为(　　)
66 67 40 67 14　64 05 71 95 86　11 05 65 09 68　76 83 20 37 90
57 16 00 11 66　14 90 84 45 11　75 73 88 05 90　52 83 20 37 90
A.05 B.09 C.11 D.20
3.(2019吉林白山模拟,7)x4+1x2+2x5的展开式中含x5项的系数为(　　)
A.160 B.210
C.120 D.252
4.《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号,根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为(　　)
9
1　2　5　6　8
8
0　0　1　2　4　5　7　8
7
0　2　2　3　3　3　4　5　5　6　9
6
0　2　2　3　4　4　4　5　7　7　8　9
5
6　6　8　9

A.2 B.4
C.5 D.6
5.(2019江西名校(临川一中、南昌二中)联考,7)2019年4月25日~27日,北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为(　　)
A.198 B.268
C.306 D.378
6.(2019福建形成性测试卷,7)某市在对两千多名出租车司机的年龄进行的调查中,从两千多名出租车司机中随机抽选100名司机,已知这100名司机的年龄都在20岁至50岁之间,且根据调查结果得出的年龄情况频率分布直方图如图所示(部分图表污损).利用这个残缺的频率分布直方图,可估计该市出租车司机年龄的中位数大约是(　　)

A.31.4岁 B.32.4岁
C.33.4岁 D.36.4岁
7.(2019福建模拟,8)已知(1+mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,若a1+a2+a3+a4+a5=242,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=(　　)
A.1 B.-1 C.-81 D.81
8.在利用最小二乘法求回归方程y^=0.67x+54.9时,用到了下面表中的5组数据,则表格中a的值为(　　)
x
10
20
30
40
50
y
62
a
75
81
89

A.68 B.70 C.75 D.72
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.某超市为了了解“微信支付”与“支付宝支付”方式在人们消费中所占的比例,统计了2019年1~6月店内的移动收款情况,得到如图所示的折线图;则下面结论正确的是(　　)

A.这6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多
B.这6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大
C.4月份使用“微信支付”和“支付宝支付”的总次数最多
D.2月份平均每天使用“微信支付”的次数比5月份平均每天使用“微信支付”的次数多
10.若(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8且a1+a2+…+a8=255,则实数m的值为(　　)
A.1 B.-1 C.-3 D.3
11.若C8m-1>3C8m,则m的取值可能是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
12.下列说法中正确的说法是(　　)
A.线性回归方程y^=b^x+a^必过点(x,y)
B.命题“∀x≥1,x2+3≥4”的否定是“∃x<1,x2+3<4”
C.相关系数r越小,表明两个变量相关性越弱
D.在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则有99%的把握认为这两个变量间有关系
本题可参考独立性检测临界值表:
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019河北武邑中学模拟,14)将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为　　　　. 
14.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试,现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示:
分数段
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90]
人数
2
3
4
9
5
1

据此估计允许参加面试的分数线大约是　　　　分. 
15.某电子商务公司对10 000名网络购物者2019年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.

(1)直方图中的a=　　　　. 
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为　　　　. 
16.已知xn=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n(n∈N*)对任意x∈R恒成立,则a0=　　　　;若a4+a5=0,则n=　　　　. 
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出如图茎叶图.

(1)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值和方差(不要求计算出具体值,得出结论即可);
(2)若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成下列2×2列联表,并据此样本分析能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为城市拥堵与认可共享单车有关.

认可
不认可
合计
A城市



B城市



合计





P(K2≥k)
0.05
0.010
k
3.841
6.635

参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)







































18.(12分)某地级市共有200 000名中小学生,其中有7%的学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策,在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次:一般困难、很困难、特别困难,且人数之比为5∶3∶2,为进一步帮助这些学生,当地市政府设立“专项教育基金”,对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1 000元、1 500元、2 000元.经济学家调查发现,当地人均可支配年收入较上一年每增加n%,一般困难的学生中有3n%会脱贫,脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策,很困难的学生中有2n%转为一般困难,特别困难的学生中有n%转为很困难.现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值,其中年份x取13时代表2013年,x与y(万元)近似满足关系式y=C1·2C2x,其中C1,C2为常数.(2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变).

y
k
∑i=15(ki-k)2
∑i=15(yi-y)2
∑i=15(xi-x)
(yi-y)
∑i=15(xi-x)
(ki-k)
2.3
1.2
3.1
4.6
2
1

其中ki=log2yi,k=15∑i=15ki.
(1)估计该市2018年人均可支配年收入;(结果精确到0.1)
(2)求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少?
附:对于一组具有线性相关关系的数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线方程v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n(ui-u)(vi-v)∑i=1n(ui-u)2,α^=v-β^u.
2-0.7
2-0.3
20.1
21.7
21.8
21.9
0.6
0.8
1.1
3.2
3.5
3.73
















19.(12分)(2019四川成都二模,理18)为了让税收政策更好地为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后,发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》,明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等费用,并公布了相应的定额扣除标准,决定自2019年1月1日起施行,某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系,通过问卷调查,整理数据得如下2×2列联表:

40岁及以下
40岁以上
合计
基本满意
15
10
25
很满意
25
30
55
合计
40
40
80

(1)根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关?
(2)为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟员工贡献积分x(单位:分)给予相应的住房补贴y(单位:元),现有两种补贴方案,方案甲:y=1 000+700x;方案乙:y=3 000,010.已知这8名员工的贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,求恰好抽到3名“A类员工”的概率.
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥
k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635



















20.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
抽取
次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件
尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取
次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件
尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x2)≈0.212,∑i=116(i-8.5)2≈18.439,∑i=116(xi-x)(i-8.5)=-2.78,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ⅱ)在(x-3s,x+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2·0.008≈0.09.


















21.(12分)(2019山东德州一模,理20)改革开放以来,我国经济持续高速增长.如图给出了我国2003年至2012年第二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为:产业差值)的折线图,记产业差值为y(单位:万亿元).

注:年份代码1~10分别对应年份2003—2012
(1)求出y关于年份代码t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2003年至2012年我国产业差值的变化情况,并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元;
(3)结合折线图,试求出除去2007年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差(结果精确到0.1).
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:b^=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2,a^=y-b^ t.
样本方差公式:s2=1n∑i=1n(yi-y)2.
参考数据:y=110∑i=110yi=10.8,∑i=110(ti-t)(yi-y)=132,∑i=110(yi-y)2=211.6.


























22. (12分)已知具有线性相关关系的两个变量x,y之间的几组数据如下表所示:
x
2
4
6
8
10
y
3
6
7
10
12
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^,并估计当x=20时y的值;
(2)将表格中的数据看作五个点的坐标,则从这五个点中随机抽取两个点,求恰有1个点落在直线2x-y-4=0右下方的概率.
参考公式:b^=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x.







参考答案与解析
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.答案A
解析从6个盒子中选出3个来装东西,有C63种选法,甲、乙都未被选中的情况有C43种,所以甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有C63-C43=20-4=16种,故选A.
2.答案B
解析从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,符合条件的编号有14,05,11,05,09,因为05出现了两次,所以选出来的第4个个体的编号为09.
3.答案D
解析∵x4+1x2+2x5=x2+1x10,
∴Tr+1=C10r(x2)10-r1xr=C10rx20-3r,
当r=5时,T6=C105x5=252x5.故选D.
4.答案B
解析由题得,诗词达人有8人,诗词能手有16人,诗词爱好者有16人,分层抽样抽选10名学生,所以诗词能手有16×14=4人.
5.答案A
解析分两种情况,若选两个国内媒体一个国外媒体,有C62C31A22=90种不同提问方式;若选两个外国媒体一个国内媒体,有C61C32A33=108种不同提问方式,所以共有90+108=198种提问方式,故选A.
6.答案A
解析由频率分布直方图可知[20,25)的频率为0.1,[25,30)的频率为0.3,[30,35]的频率为0.35.
因为0.1+0.3<0.5<0.1+0.3+0.35,所以中位数x0∈(30,35).由0.1+0.3+(x0-30)·0.07=0.5,得x0≈31.43,故选A.
7.答案B
解析令x=0,得a0=1;令x=1,得(1+m)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=243,所以1+m=3,即m=2;令x=-1,得(1-2)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,故选B.
8.答案A
解析由题意可得x=15(10+20+30+40+50)=30,y=15(62+a+75+81+89)=15(a+307),因为回归直线方程y^=0.67x+54.9,过样本点的中心,所以15(a+307)=0.67×30+54.9,解得a=68.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.答案ACD
解析由题意得这6个月中使用“微信支付”的总次数为5.83+4.76+6.21+4.87+4.89+5.34=31.9万人次,使用“支付宝支付”的总次数为3.46+4.13+3.24+5.45+3.06+4.36=23.7万人次,故A选项正确;因为该折线图反映了消费次数,与消费金额无关,故B选项错误;由上表可得4月份使用“微信支付”和“支付宝支付”的总次数为4.87+5.45=10.32万人次,是这6个月中使用“微信支付”和“支付宝支付”的总次数最多的,故C选项正确;2月份平均每天使用“微信支付”的次数为4.7628=0.17万人次,5月份平均每天使用“微信支付”的次数为4.8931≈0.158万人次,故D选项正确.
10.答案AC
解析当x=0时,a0=1,当x=1,a0+a1+a2+…+a8=(1+m)8,则a1+a2+…+a8=(1+m)8-1,所以(1+m)8-1=255,解得m=1或-3.
故选AC.
11.答案BC
解析对于C8m-1和3C8m,有0≤m-1≤8且0≤m≤8,则有1≤m≤8,若C8m-1>3C8m,则有8!(m-1)!(9-m)!>3×8!m!(8-m)!,
变形可得m>27-3m,解得m>274,
综合可得274 故选BC.
12.答案AD
解析A.线性回归方程y^=b^x+a^必过样本中心点(x,y),故A正确;
B.命题“∀x≥1,x2+3≥4”的否定是“∃x≥1,x2+3<4”,故B错误;
C.相关系数|r|越小,表明两个变量的相关性越弱,越C错误;
D.列联表中计算K2=13.079,对照临界值知13.079>6.635,所以有99%的把握认为这两个变量间有关系,故D正确.故选AD.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.答案204
解析根据题意,分3种情况讨论:①个位数字为0,在前面5个数位中任选2个,安排2个数字4,有C52=10种情况,将剩下的3个数字全排列,安排在其他的数位,有A33=6种情况,则此时有10×6=60个偶数,②个位数字为2,0不能在首位,有4种情况,在剩下的4个数位中任选2个,安排2个数字4,有C42=6种情况,将剩下的2个数字全排列,安排在其他的数位,有A22=2种情况,则此时有4×6×2=48个偶数,③个位数字为4,0不能在首位,有4种情况,将剩下的4个数字全排列,安排在其他的数位,有A44=24种情况,则此时有4×24=96个偶数,共有60+48+96=204个偶数.
14.答案80
解析因为参加笔试的400人中择优选出100人参加面试,所以每个人被择优选出的概率P=100400=14.因为随机调查24名笔试者的成绩,所以估计能够参加面试的人数为24×14=6,观察题中表格可知,分数在[80,85)的有5人,分数在[85,90]的有1人,故面试的分数线大约为80分.
15.答案(1)3　(2)6 000
解析(1)由题意,根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,解得a=3.
(2)由直方图得(3+2.0+0.8+0.2)×0.1×10 000=6 000.
16.答案(-1)n　9
解析令t=x+1,则(t-1)n=a0+a1t+a2t2+…+antn,则a0=(-1)n,a4=Cnn-4(-1)n-4,a5=Cnn-5(-1)n-5.
∵a4+a5=0,故Cnn-4=Cnn-5,即Cn4=Cn5,解得n=9.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.解(1)A城市满意度评分的平均值小于B城市满意度评分的平均值;A城市满意度评分的方差大于B城市满意度评分的方差.
(2)2×2列联表如下:

认可
不认可
合计
A城市
5
15
20
B城市
10
10
20
合计
15
25
40

K2的观测值k=40×(5×10-10×15)220×20×15×25=83≈2.667<3.841,所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为城市拥堵与认可共享单车有关.
18.解(1)因为x=15(13+14+15+16+17)=15,所以∑i=15(xi-x)2=(-2)2+(-1)2+12+22=10.
由k=log2y得k=log2(C1·2C2x)=log2C1+C2x,
所以C2=∑i=15(xi-x)(ki-k)∑i=15(xi-x)2=110,log2C1=k-C2x=1.2-110×15=-0.3,所以C1=2-0.3≈0.8,所以y=0.8×2x10.
当x=18时,2018年人均可支配年收入y=0.8×21.8=0.8×3.5=2.8(万).
(2)由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200 000×7%=14 000(人).
一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7 000人、4 200人、2 800人,2018年人均可支配收入比2017年增长0.8×21.8-0.8×21.70.8×21.7=20.1-1=0.1=10%,
所以2018年该市特别困难的中学生有2 800×(1-10%)=2 520(人).
很困难的学生有4 200×(1-20%)+2 800×10%=3 640(人),一般困难的学生有7 000×(1-30%)+4 200×20%=5 740(人).
所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5 740×1 000+3 640×1 500+2 520×2 000=1 624(万).
19.解(1)根据列联表可以求得K2的观测值:k=80(25×30-10×15)235×40×40×40=807≈11.42>6.635,故有99%的把握认为满意程度与年龄有关.
(2)据题意,该8名员工的贡献积分及按甲乙两种方案所获补贴情况为:
积分
2
3
6
7
7
11
12
12
方案
甲
2 400
3 100
5 200
5 900
5 900
8 700
9 400
9 400
方案
乙
3 000
3 000
5 600
5 600
5 600
9 000
9 000
9 000

由表可知,“A类员工”有5名,
设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,恰好抽到3名“A类员工”的概率为P,则P=C53C31C84=37.
20.解(1)由样本数据得(4i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为
r=∑i=116(xi-x)(i-8.5)∑i=116(xi-x)2∑i=116(i-8.5)2=-2.780.212×16×18.439
≈-0.18.
由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
(2)(ⅰ)由于x=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.
(ⅱ)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115(16×9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
∑i=116xi2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.
21.解(1)t=110(1+2+3+…+9+10)=5.5,∑i=110(ti-t)2=(t1-t)2+…+(t10-t)2=(1-5.5)2+(2-5.5)2+…+(10-5.5)2=2×(4.52+3.52+2.52+1.52+0.52)=82.5,
b^=∑i=110(ti-t)(yi-y)∑i=110(ti-t)2=13282.5=1.6,
a^=y-b^ t=10.8-1.6×5.5=2,
所以回归方程y^=1.6t+2.
(2)由(1)知b^=1.6>0,
故2003年至2012年我国产业差值逐年增加,平均每年增加1.6万亿元.令1.6t+2=34,解得t=20.故预测在2022年我国产业差值为34万亿元.
(3)结合折线图,2007年产业差值为10.8万亿元,除去2007年(t=5时)产业差值外的9年的产业差值平均值为19×(10×10.8-10.8)=10.8.又因为∑i=110(yi-y)2=211.6,所以除去2007年(t=5时)产业差值外的9年的产业差值的方差为19×[211.6-(10.8-10.8)2]≈23.5.
22.解(1)x=15(2+4+6+8+10)=6,y=15(3+6+7+10+12)=7.6,
∑i=15xi2=4+16+36+64+100=220,∑i=15xiyi=6+24+42+80+120=272,
b^=∑i=15xiyi-5x y∑i=15xi2-5x2=272-5×6×7.6220-5×62=4440=1.1,
∴a^=7.6-6×1.1=1,
∴回归直线方程为y^=1.1x+1,故当x=20时,y=23.
(2)可以判断,落在直线2x-y-4=0右下方的点满足2x-y-4>0,
故符合条件的点的坐标为(6,7),(8,10),(10,12),共有10种取法,满足条件的有6种,所以P=610=35.