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单元检测卷八 解析几何
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这是一份单元检测卷八 解析几何，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测卷八 解析几何
(时间:100分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.7
2.(2019云南师范大学附中模拟,8)已知直线l与双曲线x2-y22=1交于A,B两点,以AB为直径的圆C的方程为x2+y2+2x+4y+m=0,则m=( )
A.-3 B.3 C.5-22 D.22
3.(2019湖南湖北八市十二校一调联考,8)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点,且直线l与圆x2-px+y2-34p2=0交于C、D两点.若|AB|=2|CD|,则直线l的斜率为( )
A.±22 B.±32 C.±1 D.±2
4.(2019江西名校(临川一中、南昌二中)2019联考,7)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P满足|PA||PB|=2,当P、A、B不共线时,三角形PAB面积的最大值是( )
A.22 B.2
C.223 D.23
5.设F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,点P为双曲线C右支上一点,|F1F2|=10,PF2⊥F1F2,|PF2|=163,O为坐标原点,则OA·OP=( )
A.-293 B.163 C.15 D.-15
6.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|的值为( )
A.4 B.25 C.42 D.3
7.(2019黑龙江齐齐哈尔市二模,9)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为9π16,则直线AF2的方程是( )
A.3x+2y-3=0
B.2x+3y-2=0
C.4x+3y-4=0
D.3x+4y-3=0
8.(2019四川南充三模,8)已知直线x+y=1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于P,Q两点,且OP⊥OQ(其中O为坐标原点),若椭圆的离心率e满足33≤e≤22,则椭圆长轴的取值范围是( )
A.[5,6] B.52,62
C.54,32 D.52,3
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知三个数1,a,9成等比数列,则圆锥曲线x2a+y22=1的离心率为( )
A.5 B.33 C.102 D.3
11.已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为y=±33x,则下列结论正确的是( )
A.C的方程为x23-y2=1
B.C的离心率为3
C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点
D.直线x-2y-1=0与C有两个公共点
12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足|PA||PB|=12.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是( )
A.C的方程为(x+4)2+y2=9
B.在x轴上存在异于A,B的两定点D,E,使得|PD||PE|=12
C.当A,B,P三点不共线时,射线PO是∠APB的平分线
D.在C上存在点M,使得|MO|=2|MA|
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△AOB的面积取最小值时,直线l的方程为 .
14.(2019届河北唐山摸底)已知直线l:kx-y-k+2=0与圆C:x2+y2-2y-7=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为 .
15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F斜率为3的直线l'与抛物线C交于点M(M在x轴的上方),过M作MN⊥l于点N,连接NF交抛物线C于点Q,则|NQ||QF|= .
16.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p= ,1|AF|+1|BF|= .
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线3x-4y+15=0相切.
(1)若直线l:y=-2x+5与圆O交于M,N两点,求|MN|;
(2)已知A(-9,0),B(-1,0),设P为圆O上任意一点,证明:|PA||PB|为定值.
18.(12分)(2019河南洛阳模拟,20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=33,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.
19.(12分)(2019湖南益阳,20)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线上,且|MF|=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,过该点的切线为l0,过点F作切线l0的垂线,垂足为Q,则点Q是否在定直线上,若是,求定直线的方程;若不是,说明理由.
20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,点-3,12在椭圆上,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,点M(t,2)(t≠0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线MA,MB与椭圆C的另一交点分别为P,Q,证明:直线PQ过定点.
21.(12分)(2019河北衡水模拟,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为13,点P在椭圆C上,且△PF1F2的面积的最大值为22.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得|GM|=|GN|,求点G的横坐标的取值范围.
22. (12分) (2019山西晋城高三三模,19)已知△ABC的周长为6,B,C关于原点对称,且B(-1,0).点A的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程;
(2)若D(-2,0),直线l:y=k(x-1)(k≠0)与Γ交于E,F两点,若1kDE,λk,1kDF成等差数列,求λ的值.
参考答案与解析
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.答案A
解析直线方程即y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线l⊥PM时,d有最大值,结合两点之间距离公式可得d的最大值为(2-2)2+(3-0)2=3.故选A.
2.答案A
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由根据圆的方程可知C(-1,-2),C为AB的中点,根据双曲线中点差法的结论kAB=b2a2×x0y0=21×-1-2=1,由点斜式可得直线AB的方程为y=x-1,将直线AB方程与双曲线方程联立x2-y22=1,y=x-1,解得x=-3,y=-4,或x=1,y=0,
所以|AB|=42,由圆的直径|AB|=D2+E2-4F=22+42-4m=42,可解得m=-3,故选A.
3.答案C
解析由题设可得x-p22+y2=p2,故圆心在焦点上,故CD=2p,AB=4p,设直线l的方程为x=ty+p2,设A(x1,y1)B(x2,y2)代入y2=2px(p>0)得y2-2pty-p2=0,所以y1+y2=2pt,y1y2=-p2,则AB=(1+t2)(4p2t2+4p2)=2p(1+t2)=4p,即1+t2=2,也即t=±1.故选C.
4.答案A
解析以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系;则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),
∵|PA||PB|=2,∴(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,当点P到AB(x轴)的距离最大时,三角形PAB的面积最大,此时面积为12×2×22=22,故选A.
5.答案D
解析由题得a2+b2=25,b2a=163,∴a=3,b=4.所以双曲线的方程为x29-y216=1,所以点P的坐标为5,163或5,-163,所以OA·OP=(-3,0)·5,±163=-15.故选D.
6.答案A
解析由x2+y2-4x+2y+1=0,
得(x-2)2+(y+1)2=4,
∴圆心C(2,-1),半径r=2.
由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),
∴2m-1-1=0,
∴m=1,点A(-2,1).
∵AC=20,CB=r=2,
∴切线的长|AB|=20-4=4.
7.答案D
解析设内切圆半径为r,则πr2=9π16,∴r=34,∵F1(-c,0),
∴内切圆圆心为-c+34,0,由|AB|=3知A-c,32,又F2(c,0),所以AF2方程为3x+4cy-3c=0,由内切圆圆心到直线AF2距离为r,即|3(-c+34)-3c|32+(4c)2=34,得c=1,所以AF2方程为3x+4y-3=0,故选D.
8.答案A
解析联立x+y=1,x2a2+y2b2=1,得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∴Δ=4a4-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0,化为a2+b2>1.
则x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2-a2b2a2+b2.
∵OP⊥OQ,
∴OP·OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-1)(x2-1)
=2x1x2-(x1+x2)+1=0,
∴2×a2-a2b2a2+b2-2a2a2+b2+1=0.
化简得a2+b2=2a2b2.∴b2=a22a2-1.
∵椭圆的离心率e满足33≤e≤22,
∴13≤e2≤12,
∴13≤a2-b2a2≤12,
13≤1-12a2-1≤12,化为5≤4a2≤6,解得5≤2a≤6.
满足Δ>0.
∴椭圆长轴的取值范围是[5,6].故选A.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.答案AB
解析∵x2+y2-4x=0,∴(x-2)2+y2=4.
过P点所作的圆的两条切线相互垂直,
∴点P,圆心C,两切点构成正方形,
则PC=22,即(x-2)2+y2=8.
∵点P在直线y=k(x+1)上,
则圆心距d=|2k-0+k|1+k2≤22,
得-22≤k≤22.故选AB.
10.答案BC
解析由三个数1,a,9成等比数列,得a2=9,即a=±3;当a=3,圆锥曲线为x23+y22=1,曲线为椭圆,则e=13=33;当a=-3时,曲线为y22-x23=1,曲线为双曲线,e=52=102,
则离心率为33或102.
11.答案AC
解析对于选项A:由已知y=±33x,可得y2=13x2,从而设所求双曲线方程为13x2-y2=λ,又由双曲线C过点(3,2),从而13×32-(2)2=λ,即λ=1,从而选项A正确;
对于选项B:由双曲线方程可知a=3,b=1,c=2,从而离心率为e=ca=23=233,所以B选项错误;
对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=ex-2-1,从而选项C正确;对于选项D:联立x-2y-1=0,x23-y2=1,整理,得y2+22y+2=0,由Δ=(22)2-4×2=0,知直线与双曲线C只有一个交点,选项D错误.故选AC.
12.答案BC
解析设点P(x,y),则|PA||PB|=12=(x+2)2+y2(x-4)2+y2,化简整理得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,故A错误;
当D(-1,0),B(2,0)时,|PD||PE|=12,故B正确;
对于C选项,cos∠APO=AP2+PO2-AO22AP·PO,cos∠BPO=BP2+PO2-BO22BP·PO,要证PO为角平分线,只需证明cos∠APO=cos∠BPO,即证AP2+PO2-AO22AP·PO=BP2+PO2-BO22BP·PO,化简整理即证PO2=2AP2-8,设P(x,y),则PO2=x2+y2,2AP2-8=2x2+8x+2y2=(x2+8x+y2)+(x2+y2)=x2+y2,则证cos∠APO=cos∠BPO,故C正确;
对于D选项,设M(x0,y0),由|MO|=2|MA|可得x02+y02=(x0+2)2+y02,整理得3x02+3y02+16x0+16=0,而点M在圆上,故满足x2+y2+8x=0,联立解得x0=2,y0无实数解,故D错误.故答案为BC.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.答案2x+3y-12=0
解析设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得3a+2b=1≥26ab,即ab≥24,当且仅当3a=2b,即a=6,b=4时等号成立,又S△AOB=12ab,所以当a=6,b=4时△AOB的面积最小,此时直线l的方程为x6+y4=1,即2x+3y-12=0.
14.答案26
解析kx-y-k+2=0,化为y-2=k(x-1),直线过定点E(1,2),E(1,2)在圆x2+y2-2y-7=0内,当E是AB中点时,|AB|最小,由x2+y2-2y-7=0得x2+(y-1)2=8,圆心C(0,1),半径22,|AB|=28-|EC|2=28-2=26,故答案为26.
15.答案2
解析由抛物线定义可得MF=MN,又斜率为3的直线l'倾斜角为π3,MN⊥l,所以∠NMF=π3,即三角形MNF为正三角形,因此NF倾斜角为2π3,由y2=2px,y=-3(x-p2),解得x=p6或x=3p2(舍),即xQ=p6,|NQ||QF|=p6-(-p2)p2-p6=2.
16.答案2 1
解析由题意知p2=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.
(方法一)将x=1代入,解得|AF|=|BF|=2,
从而1|AF|+1|BF|=1.
(方法二)设AB的方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),y2=4x,整理,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.
从而1|AF|+1|BF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(1)解由题意知,圆心O到直线3x-4y+15=0的距离d=159+16=3,
∵圆O与直线相切,∴r=d=3,∴圆O方程为x2+y2=9.
圆心O到直线l:y=-2x+5的距离d1=54+1=5,
∴|MN|=29-d12=4.
(2)证明设P(x0,y0),则x02+y02=9,
∴|PA||PB|=(x0+9)2+y02(x0+1)2+y02=x02+18x0+81+y02x02+2x0+1+y02=18x0+902x0+10=3,
即|PA||PB|为定值3.
18.解(1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以c=1,
又因为e=ca=1a=33,所以a=3,
所以b2=2,所以椭圆的标准方程为x23+y22=1.
(2)(i)当直线BD的斜率k存在且k≠0时,
直线BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程x23+y22=1,
并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.
设B(x1,y1),D(x2,y2),
则x1+x2=-6k23k2+2,x1x2=3k2-63k2+2,|BD|=1+k2·|x1-x2|=(1+k2)·(x1+x2)2-4x1x2=43(k2+1)3k2+2.易知AC的斜率为-1k,
所以|AC|=43(1k2+1)3×1k2+2=43(k2+1)2k2+3.
所以|AC|+|BD|=43(k2+1)13k2+2+12k2+3=203(k2+1)2(3k2+2)(2k2+3)≥203(k2+1)2(3k2+2)+(2k2+3)22
=203(k2+1)225(k2+1)24=1635.
当k2=1,即k=±1时,上式取等号,
故|AC|+|BD|的最小值为1635.
(ii)当直线BD的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=1033>1635.
综上,|AC|+|BD|的最小值为1635.
19.解(1)由抛物线的定义可知,|MF|=m+p2=2,①
又M(2,m)在抛物线上,所以2pm=4,②
由①②联立解得p=2,m=1,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)①当x0=0,即点P为原点时,易知点Q在直线y=0上;
②当x0≠0,即点P不在原点时,
由(1)得,x2=4y,则y'=12x,
所以在点P处的切线的斜率为12x0,
所以在点P处的切线l0的方程为y-y0=12x0(x-x0),
又x02=4y0,
所以y-y0=12x0(x-x0)可化为y=12x0x-y0.
又过点F与切线l0垂直的方程为y-1=-2x0x,
联立方程y=12x0x-y0,y-1=-2x0x,
消去x,得y=-14(y-1)x02-y0.(*)
因为x02=4y0,
所以(*)可化为y=-yy0,即(y0+1)y=0,
由y0>0,可知y=0,即垂足Q必在x轴上.
所以点Q必在直线y=0上,
综上,点Q必在直线y=0上.
20.(1)解由题意知ca=32,3a2+14b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明 易知A(0,1),B(0,-1),则直线MA的方程为y=1tx+1,直线MB的方程为y=3tx-1.
联立y=1tx+1,x24+y2=1,得4t2+1x2+8tx=0,
于是xP=-8tt2+4,yP=t2-4t2+4,
同理可得xQ=24tt2+36,yQ=36-t2t2+36,
又由点M(t,2)(t≠0)及椭圆的对称性可知定点在y轴上,
设为N(0,n),则直线PN的斜率k1=t2-4t2+4-n-8tt2+4,直线QN的斜率k2=36-t2t2+36-n24tt2+36,令k1=k2,则t2-4t2+4-n-8tt2+4=36-t2t2+36-n24tt2+36,化简得t2-4-n(t2+4)-8t=36-t2-n(t2+36)24t,
解得n=12,
所以直线PQ过定点0,12.
21.解(1)由已知得ca=13,12×2c×b=22,c2=a2-b2,
解得a2=9,b2=8,c2=1,
故椭圆C的方程为x29+y28=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为E(x0,y0),点G(m,0),使得|GM|=|GN|,则GE⊥MN.
由y=kx+2,x29+y28=1,消y得(8+9k2)x2+36kx-36=0,由Δ>0,得k∈R.
∴x1+x2=-36k9k2+8,∴x0=-18k9k2+8,y0=kx0+2=169k2+8.
∵GE⊥MN,∴kGE=-1k,即169k2+8-0-18k9k2+8-m=-1k,
∴m=-2k9k2+8=-29k+8k.当k>0时,9k+8k≥29×8=122当且仅当9k=8k,即k=223时,取等号,∴-212≤m<0;
当k<0时,9k+8k≤-122当且仅当9k=8k,即k=-223时,取等号,∴0
故|BC|=2,则|AB|+|AC|=4>|BC|=2,故点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(不含左、右两顶点),
故Γ的方程为x24+y23=1(x≠±2).
(2)依题意,2·λk=1kDE+1kDF,
故2λ=kkDE+kkDF.
联立y=k(x-1),3x2+4y2-12=0,
整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2.
故kkDE+kkDF=k(x1+2)y1+k(x2+2)y2=k(x1+2)k(x1-1)+k(x2+2)k(x2-1)
=2+3x1-1+3x2-1=2+3(x1+x2-2)(x1-1)(x2-1)=2+3(x1+x2-2)x1x2-(x1+x2)+1=2+38k23+4k2-24k2-123+4k2-8k23+4k2+1
=2+3(8k2-6-8k2)4k2-12-8k2+3+4k2=2+2=4=2λ,则λ=2.
单元检测卷八 解析几何
(时间:100分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.7
2.(2019云南师范大学附中模拟,8)已知直线l与双曲线x2-y22=1交于A,B两点,以AB为直径的圆C的方程为x2+y2+2x+4y+m=0,则m=( )
A.-3 B.3 C.5-22 D.22
3.(2019湖南湖北八市十二校一调联考,8)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点,且直线l与圆x2-px+y2-34p2=0交于C、D两点.若|AB|=2|CD|,则直线l的斜率为( )
A.±22 B.±32 C.±1 D.±2
4.(2019江西名校(临川一中、南昌二中)2019联考,7)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P满足|PA||PB|=2,当P、A、B不共线时,三角形PAB面积的最大值是( )
A.22 B.2
C.223 D.23
5.设F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,点P为双曲线C右支上一点,|F1F2|=10,PF2⊥F1F2,|PF2|=163,O为坐标原点,则OA·OP=( )
A.-293 B.163 C.15 D.-15
6.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|的值为( )
A.4 B.25 C.42 D.3
7.(2019黑龙江齐齐哈尔市二模,9)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为9π16,则直线AF2的方程是( )
A.3x+2y-3=0
B.2x+3y-2=0
C.4x+3y-4=0
D.3x+4y-3=0
8.(2019四川南充三模,8)已知直线x+y=1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于P,Q两点,且OP⊥OQ(其中O为坐标原点),若椭圆的离心率e满足33≤e≤22,则椭圆长轴的取值范围是( )
A.[5,6] B.52,62
C.54,32 D.52,3
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知三个数1,a,9成等比数列,则圆锥曲线x2a+y22=1的离心率为( )
A.5 B.33 C.102 D.3
11.已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为y=±33x,则下列结论正确的是( )
A.C的方程为x23-y2=1
B.C的离心率为3
C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点
D.直线x-2y-1=0与C有两个公共点
12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足|PA||PB|=12.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是( )
A.C的方程为(x+4)2+y2=9
B.在x轴上存在异于A,B的两定点D,E,使得|PD||PE|=12
C.当A,B,P三点不共线时,射线PO是∠APB的平分线
D.在C上存在点M,使得|MO|=2|MA|
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△AOB的面积取最小值时,直线l的方程为 .
14.(2019届河北唐山摸底)已知直线l:kx-y-k+2=0与圆C:x2+y2-2y-7=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为 .
15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F斜率为3的直线l'与抛物线C交于点M(M在x轴的上方),过M作MN⊥l于点N,连接NF交抛物线C于点Q,则|NQ||QF|= .
16.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p= ,1|AF|+1|BF|= .
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线3x-4y+15=0相切.
(1)若直线l:y=-2x+5与圆O交于M,N两点,求|MN|;
(2)已知A(-9,0),B(-1,0),设P为圆O上任意一点,证明:|PA||PB|为定值.
18.(12分)(2019河南洛阳模拟,20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=33,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,求|AC|+|BD|的最小值.
19.(12分)(2019湖南益阳,20)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线上,且|MF|=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,过该点的切线为l0,过点F作切线l0的垂线,垂足为Q,则点Q是否在定直线上,若是,求定直线的方程;若不是,说明理由.
20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,点-3,12在椭圆上,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,点M(t,2)(t≠0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线MA,MB与椭圆C的另一交点分别为P,Q,证明:直线PQ过定点.
21.(12分)(2019河北衡水模拟,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为13,点P在椭圆C上,且△PF1F2的面积的最大值为22.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得|GM|=|GN|,求点G的横坐标的取值范围.
22. (12分) (2019山西晋城高三三模,19)已知△ABC的周长为6,B,C关于原点对称,且B(-1,0).点A的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程;
(2)若D(-2,0),直线l:y=k(x-1)(k≠0)与Γ交于E,F两点,若1kDE,λk,1kDF成等差数列,求λ的值.
参考答案与解析
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.答案A
解析直线方程即y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线l⊥PM时,d有最大值,结合两点之间距离公式可得d的最大值为(2-2)2+(3-0)2=3.故选A.
2.答案A
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由根据圆的方程可知C(-1,-2),C为AB的中点,根据双曲线中点差法的结论kAB=b2a2×x0y0=21×-1-2=1,由点斜式可得直线AB的方程为y=x-1,将直线AB方程与双曲线方程联立x2-y22=1,y=x-1,解得x=-3,y=-4,或x=1,y=0,
所以|AB|=42,由圆的直径|AB|=D2+E2-4F=22+42-4m=42,可解得m=-3,故选A.
3.答案C
解析由题设可得x-p22+y2=p2,故圆心在焦点上,故CD=2p,AB=4p,设直线l的方程为x=ty+p2,设A(x1,y1)B(x2,y2)代入y2=2px(p>0)得y2-2pty-p2=0,所以y1+y2=2pt,y1y2=-p2,则AB=(1+t2)(4p2t2+4p2)=2p(1+t2)=4p,即1+t2=2,也即t=±1.故选C.
4.答案A
解析以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系;则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),
∵|PA||PB|=2,∴(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,当点P到AB(x轴)的距离最大时,三角形PAB的面积最大,此时面积为12×2×22=22,故选A.
5.答案D
解析由题得a2+b2=25,b2a=163,∴a=3,b=4.所以双曲线的方程为x29-y216=1,所以点P的坐标为5,163或5,-163,所以OA·OP=(-3,0)·5,±163=-15.故选D.
6.答案A
解析由x2+y2-4x+2y+1=0,
得(x-2)2+(y+1)2=4,
∴圆心C(2,-1),半径r=2.
由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),
∴2m-1-1=0,
∴m=1,点A(-2,1).
∵AC=20,CB=r=2,
∴切线的长|AB|=20-4=4.
7.答案D
解析设内切圆半径为r,则πr2=9π16,∴r=34,∵F1(-c,0),
∴内切圆圆心为-c+34,0,由|AB|=3知A-c,32,又F2(c,0),所以AF2方程为3x+4cy-3c=0,由内切圆圆心到直线AF2距离为r,即|3(-c+34)-3c|32+(4c)2=34,得c=1,所以AF2方程为3x+4y-3=0,故选D.
8.答案A
解析联立x+y=1,x2a2+y2b2=1,得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
∴Δ=4a4-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0,化为a2+b2>1.
则x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2-a2b2a2+b2.
∵OP⊥OQ,
∴OP·OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-1)(x2-1)
=2x1x2-(x1+x2)+1=0,
∴2×a2-a2b2a2+b2-2a2a2+b2+1=0.
化简得a2+b2=2a2b2.∴b2=a22a2-1.
∵椭圆的离心率e满足33≤e≤22,
∴13≤e2≤12,
∴13≤a2-b2a2≤12,
13≤1-12a2-1≤12,化为5≤4a2≤6,解得5≤2a≤6.
满足Δ>0.
∴椭圆长轴的取值范围是[5,6].故选A.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.答案AB
解析∵x2+y2-4x=0,∴(x-2)2+y2=4.
过P点所作的圆的两条切线相互垂直,
∴点P,圆心C,两切点构成正方形,
则PC=22,即(x-2)2+y2=8.
∵点P在直线y=k(x+1)上,
则圆心距d=|2k-0+k|1+k2≤22,
得-22≤k≤22.故选AB.
10.答案BC
解析由三个数1,a,9成等比数列,得a2=9,即a=±3;当a=3,圆锥曲线为x23+y22=1,曲线为椭圆,则e=13=33;当a=-3时,曲线为y22-x23=1,曲线为双曲线,e=52=102,
则离心率为33或102.
11.答案AC
解析对于选项A:由已知y=±33x,可得y2=13x2,从而设所求双曲线方程为13x2-y2=λ,又由双曲线C过点(3,2),从而13×32-(2)2=λ,即λ=1,从而选项A正确;
对于选项B:由双曲线方程可知a=3,b=1,c=2,从而离心率为e=ca=23=233,所以B选项错误;
对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=ex-2-1,从而选项C正确;对于选项D:联立x-2y-1=0,x23-y2=1,整理,得y2+22y+2=0,由Δ=(22)2-4×2=0,知直线与双曲线C只有一个交点,选项D错误.故选AC.
12.答案BC
解析设点P(x,y),则|PA||PB|=12=(x+2)2+y2(x-4)2+y2,化简整理得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,故A错误;
当D(-1,0),B(2,0)时,|PD||PE|=12,故B正确;
对于C选项,cos∠APO=AP2+PO2-AO22AP·PO,cos∠BPO=BP2+PO2-BO22BP·PO,要证PO为角平分线,只需证明cos∠APO=cos∠BPO,即证AP2+PO2-AO22AP·PO=BP2+PO2-BO22BP·PO,化简整理即证PO2=2AP2-8,设P(x,y),则PO2=x2+y2,2AP2-8=2x2+8x+2y2=(x2+8x+y2)+(x2+y2)=x2+y2,则证cos∠APO=cos∠BPO,故C正确;
对于D选项,设M(x0,y0),由|MO|=2|MA|可得x02+y02=(x0+2)2+y02,整理得3x02+3y02+16x0+16=0,而点M在圆上,故满足x2+y2+8x=0,联立解得x0=2,y0无实数解,故D错误.故答案为BC.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.答案2x+3y-12=0
解析设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得3a+2b=1≥26ab,即ab≥24,当且仅当3a=2b,即a=6,b=4时等号成立,又S△AOB=12ab,所以当a=6,b=4时△AOB的面积最小,此时直线l的方程为x6+y4=1,即2x+3y-12=0.
14.答案26
解析kx-y-k+2=0,化为y-2=k(x-1),直线过定点E(1,2),E(1,2)在圆x2+y2-2y-7=0内,当E是AB中点时,|AB|最小,由x2+y2-2y-7=0得x2+(y-1)2=8,圆心C(0,1),半径22,|AB|=28-|EC|2=28-2=26,故答案为26.
15.答案2
解析由抛物线定义可得MF=MN,又斜率为3的直线l'倾斜角为π3,MN⊥l,所以∠NMF=π3,即三角形MNF为正三角形,因此NF倾斜角为2π3,由y2=2px,y=-3(x-p2),解得x=p6或x=3p2(舍),即xQ=p6,|NQ||QF|=p6-(-p2)p2-p6=2.
16.答案2 1
解析由题意知p2=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.
(方法一)将x=1代入,解得|AF|=|BF|=2,
从而1|AF|+1|BF|=1.
(方法二)设AB的方程为y=k(x-1),联立y=k(x-1),y2=4x,整理,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.
从而1|AF|+1|BF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(1)解由题意知,圆心O到直线3x-4y+15=0的距离d=159+16=3,
∵圆O与直线相切,∴r=d=3,∴圆O方程为x2+y2=9.
圆心O到直线l:y=-2x+5的距离d1=54+1=5,
∴|MN|=29-d12=4.
(2)证明设P(x0,y0),则x02+y02=9,
∴|PA||PB|=(x0+9)2+y02(x0+1)2+y02=x02+18x0+81+y02x02+2x0+1+y02=18x0+902x0+10=3,
即|PA||PB|为定值3.
18.解(1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以c=1,
又因为e=ca=1a=33,所以a=3,
所以b2=2,所以椭圆的标准方程为x23+y22=1.
(2)(i)当直线BD的斜率k存在且k≠0时,
直线BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程x23+y22=1,
并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.
设B(x1,y1),D(x2,y2),
则x1+x2=-6k23k2+2,x1x2=3k2-63k2+2,|BD|=1+k2·|x1-x2|=(1+k2)·(x1+x2)2-4x1x2=43(k2+1)3k2+2.易知AC的斜率为-1k,
所以|AC|=43(1k2+1)3×1k2+2=43(k2+1)2k2+3.
所以|AC|+|BD|=43(k2+1)13k2+2+12k2+3=203(k2+1)2(3k2+2)(2k2+3)≥203(k2+1)2(3k2+2)+(2k2+3)22
=203(k2+1)225(k2+1)24=1635.
当k2=1,即k=±1时,上式取等号,
故|AC|+|BD|的最小值为1635.
(ii)当直线BD的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=1033>1635.
综上,|AC|+|BD|的最小值为1635.
19.解(1)由抛物线的定义可知,|MF|=m+p2=2,①
又M(2,m)在抛物线上,所以2pm=4,②
由①②联立解得p=2,m=1,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)①当x0=0,即点P为原点时,易知点Q在直线y=0上;
②当x0≠0,即点P不在原点时,
由(1)得,x2=4y,则y'=12x,
所以在点P处的切线的斜率为12x0,
所以在点P处的切线l0的方程为y-y0=12x0(x-x0),
又x02=4y0,
所以y-y0=12x0(x-x0)可化为y=12x0x-y0.
又过点F与切线l0垂直的方程为y-1=-2x0x,
联立方程y=12x0x-y0,y-1=-2x0x,
消去x,得y=-14(y-1)x02-y0.(*)
因为x02=4y0,
所以(*)可化为y=-yy0,即(y0+1)y=0,
由y0>0,可知y=0,即垂足Q必在x轴上.
所以点Q必在直线y=0上,
综上,点Q必在直线y=0上.
20.(1)解由题意知ca=32,3a2+14b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明 易知A(0,1),B(0,-1),则直线MA的方程为y=1tx+1,直线MB的方程为y=3tx-1.
联立y=1tx+1,x24+y2=1,得4t2+1x2+8tx=0,
于是xP=-8tt2+4,yP=t2-4t2+4,
同理可得xQ=24tt2+36,yQ=36-t2t2+36,
又由点M(t,2)(t≠0)及椭圆的对称性可知定点在y轴上,
设为N(0,n),则直线PN的斜率k1=t2-4t2+4-n-8tt2+4,直线QN的斜率k2=36-t2t2+36-n24tt2+36,令k1=k2,则t2-4t2+4-n-8tt2+4=36-t2t2+36-n24tt2+36,化简得t2-4-n(t2+4)-8t=36-t2-n(t2+36)24t,
解得n=12,
所以直线PQ过定点0,12.
21.解(1)由已知得ca=13,12×2c×b=22,c2=a2-b2,
解得a2=9,b2=8,c2=1,
故椭圆C的方程为x29+y28=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为E(x0,y0),点G(m,0),使得|GM|=|GN|,则GE⊥MN.
由y=kx+2,x29+y28=1,消y得(8+9k2)x2+36kx-36=0,由Δ>0,得k∈R.
∴x1+x2=-36k9k2+8,∴x0=-18k9k2+8,y0=kx0+2=169k2+8.
∵GE⊥MN,∴kGE=-1k,即169k2+8-0-18k9k2+8-m=-1k,
∴m=-2k9k2+8=-29k+8k.当k>0时,9k+8k≥29×8=122当且仅当9k=8k,即k=223时,取等号,∴-212≤m<0;
当k<0时,9k+8k≤-122当且仅当9k=8k,即k=-223时,取等号,∴0
故|BC|=2,则|AB|+|AC|=4>|BC|=2,故点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(不含左、右两顶点),
故Γ的方程为x24+y23=1(x≠±2).
(2)依题意,2·λk=1kDE+1kDF,
故2λ=kkDE+kkDF.
联立y=k(x-1),3x2+4y2-12=0,
整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2.
故kkDE+kkDF=k(x1+2)y1+k(x2+2)y2=k(x1+2)k(x1-1)+k(x2+2)k(x2-1)
=2+3x1-1+3x2-1=2+3(x1+x2-2)(x1-1)(x2-1)=2+3(x1+x2-2)x1x2-(x1+x2)+1=2+38k23+4k2-24k2-123+4k2-8k23+4k2+1
=2+3(8k2-6-8k2)4k2-12-8k2+3+4k2=2+2=4=2λ,则λ=2.
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