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单元检测卷十 概率
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这是一份单元检测卷十 概率，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测卷十 概率
(时间:100分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止,用X表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量X的数学期望E(X)是( )
A.115 B.125
C.135 D.145
2.(2019广东潮州二模,7)一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,且X服从二项分布,则X的方差为( )
A.3 B.2.1
C.0.3 D.0.21
3.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为( )
A.13 B.25
C.12 D.35
4.(2019福建宁德模拟,7)8张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5、6、7、8,从中随机取出2张,记事件A=“所取2张卡片上的数字之和为偶数”,事件B=“所取2张卡片上的数字之和小于9”,则P(B|A)=( )
A.16 B.13
C.12 D.23
5.(2019江西九江模拟,6)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a,从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直的概率为( )
A.16 B.14
C.13 D.12
6.设随机变量X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
7.将5本不同的书全发给4名同学,每名同学至少有一本书的概率是( )
A.1564 B.15128
C.24125 D.48125
8.一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次,令第i次得到的数为ai,若存在正整数k使得∑i=1kai=4的概率p=mn,其中m,n是互质的正整数,则log5m-log4n的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.若干个人站成排,其中不是互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
10.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有( )
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
11.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是( )
A.P(B)=25
B.P(B|A1)=511
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
12.已知随机变量X服从正态分布N(100,102)(参考数值:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.997 4),则下列选项正确的是( )
A.E(X)=100
B.D(X)=100
C.P(X≥90)=0.841 3
D.P(X≤120)=0.998 7
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019江西南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校联考,14)若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动,则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是 .
14.口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 .
15.(2019河北唐山模拟,6)甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为 .
16.抛一枚均匀硬币,正、反面出现的概率都是12,反复这样的抛掷,数列{an}定义如下:an=1(第n次抛掷出现正面),-1(第n次抛掷出现反面),若Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),则事件“S8=2”的概率为 ;事件“S2≠0且S8=2”的概率为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)(2019江西上饶三模,19)目前共享单车基本覆盖市区,根据统计,市区所有人骑行过共享单车的人数已占60%,骑行过共享单车的人数中,有30%是学生(含大中专、高职及中学生),若市区人口按40万计算,学生人数约为9.6万.
(1)任选出一名学生,求他(她)骑行过共享单车的概率;
(2)随着单车投放数量增加,乱停乱放成为城市管理的问题,如表是本市某组织累计投放单车数量x与乱停乱放单车数量y之间关系图表:
累计投放
单车数量x
100 000
120 000
150 000
200 000
230 000
乱停乱放
单车数量y
1 400
1 700
2 300
3 000
3 600
计算y关于x的线性回归方程(其中b^精确到0.000 1,a^值保留三位有效数字),并预测当x=26 000时,单车乱停乱放的数量;
(3)已知信州区、广丰区、上饶县、经开区四区中,其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准,在“大美上饶”活动中,检查组随机抽取两个区调查单车乱停乱放数量,X表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”,求X的分布列和数学期望.
参考公式和数据:回归直线方程y^=b^x+a^中的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x,
∑i=15xiyi=2 117 000 000,∑i=15xi2=1 398×108
18.(12分)(2019北京西城区模拟,16)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”,收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据,得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组,从年龄在40岁(含40岁)以上的客户中抽取10位归为B组,将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图,其中“+”表示A组的客户,“☉”表示B组的客户.
注:“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(1)记A,B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m,n,根据图中数据,试比较m,n的大小(结论不要求证明);
(2)从A,B两组客户中随机抽取2位,求其中至少有一位是A组的客户的概率;
(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”.从A,B两组客户中,各随机抽取1位,记“驾驶达人”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ).
19.(12分)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列,
(1)求a,b,c的值及居民用水量介于2~2.5的频数;
(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应定为多少立方米?(精确到小数点后2位)
(3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的用水量,将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X,求其分布列及其均值.
20.(12分) 交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率就越高,具体浮动情况如表:
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素
浮动比率
A1
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
A2
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
A3
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
A4
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
A5
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故
上浮10%
A6
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计如下表:
类型
A1
A2
A3
A4
A5
A6
数量
20
10
10
30
20
10
以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:
(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,a=950(元),记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求X的分布列与数学期望;
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5 000元,一辆非事故车盈利10 000元:
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求该销售商获得利润的期望值.
21.(12分)(2019四川广元适应性统考,19)随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14,12;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12,14;两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望E(ξ).
22.(12分) 某公司年会举行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球,抽奖时从中依次摸出3个小球.若所得的小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色互不相同,则获得二等奖,奖金为200元;若所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.
(1)求小张在这次活动中获得的奖金数X的概率分布列及数学期望;
(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.
参考答案与解析
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.答案A
解析X的可能取值为2,3,P(X=3)=25×14+25×14=15,P(X=2)=1-P(X=3)=45,∴E(X)=45×2+15×3=115,故选A.
2.答案B
解析∵x~N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,
∴P(x>110)=0.2,∴P(90
3.答案B
解析基本事件总数n=C62C42C22=90,每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m=C31C31C21C21C11C11=36,所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为3690=25.
4.答案C
解析事件AB为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”,以(a,b)为一个基本事件,则事件AB包含的基本事件有(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6),(3,5),共6个,由古典概型的概率公式可得P(AB)=6C82=314,事件A为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”,则所取的两个数全是奇数或全是偶数,由古典概型的概率公式可得P(A)=2C42C82=37,因此,P(B|A)=P(AB)P(A)=314×73=12,故选C.
5.答案B
解析基本事件总数为4×3=12,当m⊥n时,b=2a,满足m⊥n的基本事件有(2,4),(3,6),(4,8),共3个,故所求概率为312=14,故选B.
6.答案B
解析∵X~N(1,1),∴μ=1,σ=1,μ+σ=2.
∵P(μ-σ
7.答案A
解析将5本不同的书分给4名同学,共有45=1 024种分法,其中每名同学至少一本的分法有C52A44=240种,则所求概率为2401 024=1564,故选A.
8.答案B
解析当k=1时,概率为14;当k=2时,4=1+3=2+2=3+1,概率为3×142;当k=3时,4=1+1+2=1+2+1=2+1+1,概率为3×143;当k=4时,4=1+1+1+1,概率为144.所以p=14+316+364+1256=64+48+12+1256=125256=5344,所以n=44,m=53,所以log5m-log4n=3-4=-1.故选B.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.答案BCD
解析排头只能有一人,因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥,而B,C,D选项中,甲、乙站位不一定在同一位置,可以同时发生,因此它们都不互斥.故选BCD.
10.答案ACD
解析因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;
又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,
D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;
因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.
11.答案BD
解析易见A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确,P(B|A1)=511,故B正确,
P(B)=P(B·A1)+P(B·A2)+P(B·A3)=510×511+210×411+310×411=922,故A不正确,事件B与事件A1不相互独立,故C不正确,故选BD.
12.答案ABC
解析∵随机变量X服从正态分布N(100,102),
∴曲线关于x=100对称,根据题意可得,P(90
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.答案57
解析从5名男同学和2名女同学中选出3人,有C73=35种选法.选出的男女同学均不少于1名,有C51·C22+C52·C21=25种选法.故选出的同学中男女生均不少于1名的概率为2535=57.
14.答案23
解析基本事件总数n=C42=6,摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为23.
15.答案47250
解析因为甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,
所以仅甲及格的概率为45×1-35×1-710=24250;仅乙及格的概率为1-45×35×1-710=9250;仅丙及格的概率为1-45×1-35×710=14250;三人中只有一人及格的概率为24250+9250+14250=47250.
16.答案732 13128
解析事件S8=2表示反复抛掷8次硬币,其中出现正面的次数是5次.
其概率P=C85125·123=732.
事件“S2≠0,S8=2”表示前两次全正或全负,
则概率为C63128+C65128=13128.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.解(1)骑行单车的学生人数为40×60%×30%=7.2,故任选一学生骑行过单车的概率为7.29.6=34.
(2)由题意得x=160 000,y=2 400,b^=2 117×106-5×16×24×1061 398×108-5×256×108=197118×1102≈0.016 7,
a^=2 400-0.016 7×160 000=-272,故所求回归方程为y^=0.016 7x-272,当x=26 000时,y^≈162,即单车投放累计26 000辆时,乱停乱放的单车数量为162.
(3)X的取值为0,1,2,
P(X=0)=C22C42=16;P(X=1)=C21C21C42=23;P(X=2)=C22C42=16,
X的分布列为
X
0
1
2
P
16
23
16
E(X)=0×16+1×23+2×16=1.
18.解(1)m
所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A组的客户的概率是2938.
(3)依题意ξ的可能取值为0,1,2.
则P(ξ=0)=C91C81C101C101=1825;
P(ξ=1)=C11C81+C91C21C101C101=1350;
P(ξ=2)=C11C21C101C101=150.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
1825
1350
150
所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×1825+1×1350+2×150=310,即E(ξ)=310.
19.解(1)∵前四组频数成等差数列,
∴所对应的频率也成等差数列,
设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,∴0.5(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,
解得d=0.1,a=0.3,b=0.4,c=0.5.
居民月用水量介于2~2.5的频率为0.25.
居民月用水量介于2~2.5的频数为0.25×100=25人.
(2)由题图和(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8,∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,
应定为ω=2.5+0.10.3≈2.83(立方米).
(3)将频率视为概率,设A代表居民月用水量,
由题图知:P(A≤2.5)=0.7,
由题意X~B(3,0.7),
P(X=0)=C30×0.70×0.33=0.027,
P(X=1)=C31×0.32×0.7=0.189,
P(X=2)=C32×0.3×0.72=0.441,
P(X=3)=C33×0.73=0.343.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
∵X~B(3,0.7),
∴E(X)=np=2.1.
20.解(1)由题意可知,X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a,
由统计数据可知:P(X=0.9a)=15,P(X=0.8a)=110,P(X=0.7a)=110,P(X=a)=310,P(X=1.1a)=15,P(X=1.3a)=110,∴X的分布列为
X
0.9a
0.8a
0.7a
a
1.1a
1.3a
P
15
110
110
310
15
110
∴E(X)=0.9a×15+0.8a×110+0.7a×110+a×310+1.1a×15+1.3a×110=9.810a=931.
(2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为310,三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=C3031001-3103+C3131011-3102=0.784.
②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,Y的可能取值为-5 000,10 000,P(Y=-5 000)=310,P(Y=10 000)=710,∴Y的分布列为
Y
-5 000
10 000
P
310
710
E(Y)=-5 000×310+10 000×710=5 500.∴该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100E(Y)=550 000(元)=55(万元).
21.解(1)甲、乙两人所付费用相同,即为2,4,6元,
都付2元的概率为p1=14×12=18,
都付4元的概率为p2=12×14=18,
都付6元的概率为p3=14×14=116,
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率p=p1+p2+p3=18+18+116=516.
(2)依题意,ξ的可能取值为4,6,8,10,12,P(ξ=4)=18,
P(ξ=6)=14×14+12×12=516,
P(ξ=8)=14×14+12×14+12×14=516,
P(ξ=10)=14×14+12×14=316,
P(ξ=12)=14×14=116,
所以ξ的分布列为
ξ
4
6
8
10
12
P
18
516
516
316
116
E(ξ)=4×18+6×516+8×516+10×316+12×116=152.
22.解(1)小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为100,200,300.
P(X=300)=C33C63=120,
P(X=200)=C31C21C11C63=620=310,
P(X=100)=C32C31+C22C41C63=9+420=1320,或P(X=100)=1-P(X=200)-P(X=300)=1320
所以奖金数X的概率分布列为
X
100
200
300
P
1320
310
120
奖金数X的数学期望E(X)=100×1320+200×310+300×120=140(元).
(2)设3个人中获二等奖的人数为Y,则Y~B3,310,
所以P(Y=k)=C3k310k7103-k(k=0,1,2,3),设“该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖”为事件A,
则P(A)=P(Y=2)+P(Y=3)=C32×3102×710+C33×3103=27125.
则该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为27125.
单元检测卷十 概率
(时间:100分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止,用X表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量X的数学期望E(X)是( )
A.115 B.125
C.135 D.145
2.(2019广东潮州二模,7)一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,从试验田中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,且X服从二项分布,则X的方差为( )
A.3 B.2.1
C.0.3 D.0.21
3.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组,分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为( )
A.13 B.25
C.12 D.35
4.(2019福建宁德模拟,7)8张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5、6、7、8,从中随机取出2张,记事件A=“所取2张卡片上的数字之和为偶数”,事件B=“所取2张卡片上的数字之和小于9”,则P(B|A)=( )
A.16 B.13
C.12 D.23
5.(2019江西九江模拟,6)从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a,从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(2,-1)垂直的概率为( )
A.16 B.14
C.13 D.12
6.设随机变量X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
7.将5本不同的书全发给4名同学,每名同学至少有一本书的概率是( )
A.1564 B.15128
C.24125 D.48125
8.一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次,令第i次得到的数为ai,若存在正整数k使得∑i=1kai=4的概率p=mn,其中m,n是互质的正整数,则log5m-log4n的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.若干个人站成排,其中不是互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
10.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有( )
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
11.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是( )
A.P(B)=25
B.P(B|A1)=511
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
12.已知随机变量X服从正态分布N(100,102)(参考数值:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.997 4),则下列选项正确的是( )
A.E(X)=100
B.D(X)=100
C.P(X≥90)=0.841 3
D.P(X≤120)=0.998 7
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2019江西南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校联考,14)若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动,则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是 .
14.口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 .
15.(2019河北唐山模拟,6)甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为 .
16.抛一枚均匀硬币,正、反面出现的概率都是12,反复这样的抛掷,数列{an}定义如下:an=1(第n次抛掷出现正面),-1(第n次抛掷出现反面),若Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),则事件“S8=2”的概率为 ;事件“S2≠0且S8=2”的概率为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)(2019江西上饶三模,19)目前共享单车基本覆盖市区,根据统计,市区所有人骑行过共享单车的人数已占60%,骑行过共享单车的人数中,有30%是学生(含大中专、高职及中学生),若市区人口按40万计算,学生人数约为9.6万.
(1)任选出一名学生,求他(她)骑行过共享单车的概率;
(2)随着单车投放数量增加,乱停乱放成为城市管理的问题,如表是本市某组织累计投放单车数量x与乱停乱放单车数量y之间关系图表:
累计投放
单车数量x
100 000
120 000
150 000
200 000
230 000
乱停乱放
单车数量y
1 400
1 700
2 300
3 000
3 600
计算y关于x的线性回归方程(其中b^精确到0.000 1,a^值保留三位有效数字),并预测当x=26 000时,单车乱停乱放的数量;
(3)已知信州区、广丰区、上饶县、经开区四区中,其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准,在“大美上饶”活动中,检查组随机抽取两个区调查单车乱停乱放数量,X表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”,求X的分布列和数学期望.
参考公式和数据:回归直线方程y^=b^x+a^中的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x,
∑i=15xiyi=2 117 000 000,∑i=15xi2=1 398×108
18.(12分)(2019北京西城区模拟,16)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”,收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据,得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组,从年龄在40岁(含40岁)以上的客户中抽取10位归为B组,将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图,其中“+”表示A组的客户,“☉”表示B组的客户.
注:“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(1)记A,B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m,n,根据图中数据,试比较m,n的大小(结论不要求证明);
(2)从A,B两组客户中随机抽取2位,求其中至少有一位是A组的客户的概率;
(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”.从A,B两组客户中,各随机抽取1位,记“驾驶达人”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ).
19.(12分)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列,
(1)求a,b,c的值及居民用水量介于2~2.5的频数;
(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应定为多少立方米?(精确到小数点后2位)
(3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的用水量,将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X,求其分布列及其均值.
20.(12分) 交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率就越高,具体浮动情况如表:
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素
浮动比率
A1
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
A2
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
A3
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
A4
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
A5
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故
上浮10%
A6
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计如下表:
类型
A1
A2
A3
A4
A5
A6
数量
20
10
10
30
20
10
以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:
(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,a=950(元),记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求X的分布列与数学期望;
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5 000元,一辆非事故车盈利10 000元:
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求该销售商获得利润的期望值.
21.(12分)(2019四川广元适应性统考,19)随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14,12;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12,14;两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望E(ξ).
22.(12分) 某公司年会举行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球,抽奖时从中依次摸出3个小球.若所得的小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色互不相同,则获得二等奖,奖金为200元;若所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.
(1)求小张在这次活动中获得的奖金数X的概率分布列及数学期望;
(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.
参考答案与解析
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.答案A
解析X的可能取值为2,3,P(X=3)=25×14+25×14=15,P(X=2)=1-P(X=3)=45,∴E(X)=45×2+15×3=115,故选A.
2.答案B
解析∵x~N(90,σ2),且P(x<70)=0.2,
∴P(x>110)=0.2,∴P(90
3.答案B
解析基本事件总数n=C62C42C22=90,每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m=C31C31C21C21C11C11=36,所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为3690=25.
4.答案C
解析事件AB为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”,以(a,b)为一个基本事件,则事件AB包含的基本事件有(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6),(3,5),共6个,由古典概型的概率公式可得P(AB)=6C82=314,事件A为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”,则所取的两个数全是奇数或全是偶数,由古典概型的概率公式可得P(A)=2C42C82=37,因此,P(B|A)=P(AB)P(A)=314×73=12,故选C.
5.答案B
解析基本事件总数为4×3=12,当m⊥n时,b=2a,满足m⊥n的基本事件有(2,4),(3,6),(4,8),共3个,故所求概率为312=14,故选B.
6.答案B
解析∵X~N(1,1),∴μ=1,σ=1,μ+σ=2.
∵P(μ-σ
7.答案A
解析将5本不同的书分给4名同学,共有45=1 024种分法,其中每名同学至少一本的分法有C52A44=240种,则所求概率为2401 024=1564,故选A.
8.答案B
解析当k=1时,概率为14;当k=2时,4=1+3=2+2=3+1,概率为3×142;当k=3时,4=1+1+2=1+2+1=2+1+1,概率为3×143;当k=4时,4=1+1+1+1,概率为144.所以p=14+316+364+1256=64+48+12+1256=125256=5344,所以n=44,m=53,所以log5m-log4n=3-4=-1.故选B.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.答案BCD
解析排头只能有一人,因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥,而B,C,D选项中,甲、乙站位不一定在同一位置,可以同时发生,因此它们都不互斥.故选BCD.
10.答案ACD
解析因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;
又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,
D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;
因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.
11.答案BD
解析易见A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确,P(B|A1)=511,故B正确,
P(B)=P(B·A1)+P(B·A2)+P(B·A3)=510×511+210×411+310×411=922,故A不正确,事件B与事件A1不相互独立,故C不正确,故选BD.
12.答案ABC
解析∵随机变量X服从正态分布N(100,102),
∴曲线关于x=100对称,根据题意可得,P(90
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.答案57
解析从5名男同学和2名女同学中选出3人,有C73=35种选法.选出的男女同学均不少于1名,有C51·C22+C52·C21=25种选法.故选出的同学中男女生均不少于1名的概率为2535=57.
14.答案23
解析基本事件总数n=C42=6,摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为23.
15.答案47250
解析因为甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,
所以仅甲及格的概率为45×1-35×1-710=24250;仅乙及格的概率为1-45×35×1-710=9250;仅丙及格的概率为1-45×1-35×710=14250;三人中只有一人及格的概率为24250+9250+14250=47250.
16.答案732 13128
解析事件S8=2表示反复抛掷8次硬币,其中出现正面的次数是5次.
其概率P=C85125·123=732.
事件“S2≠0,S8=2”表示前两次全正或全负,
则概率为C63128+C65128=13128.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.解(1)骑行单车的学生人数为40×60%×30%=7.2,故任选一学生骑行过单车的概率为7.29.6=34.
(2)由题意得x=160 000,y=2 400,b^=2 117×106-5×16×24×1061 398×108-5×256×108=197118×1102≈0.016 7,
a^=2 400-0.016 7×160 000=-272,故所求回归方程为y^=0.016 7x-272,当x=26 000时,y^≈162,即单车投放累计26 000辆时,乱停乱放的单车数量为162.
(3)X的取值为0,1,2,
P(X=0)=C22C42=16;P(X=1)=C21C21C42=23;P(X=2)=C22C42=16,
X的分布列为
X
0
1
2
P
16
23
16
E(X)=0×16+1×23+2×16=1.
18.解(1)m
所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A组的客户的概率是2938.
(3)依题意ξ的可能取值为0,1,2.
则P(ξ=0)=C91C81C101C101=1825;
P(ξ=1)=C11C81+C91C21C101C101=1350;
P(ξ=2)=C11C21C101C101=150.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
1825
1350
150
所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×1825+1×1350+2×150=310,即E(ξ)=310.
19.解(1)∵前四组频数成等差数列,
∴所对应的频率也成等差数列,
设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,∴0.5(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,
解得d=0.1,a=0.3,b=0.4,c=0.5.
居民月用水量介于2~2.5的频率为0.25.
居民月用水量介于2~2.5的频数为0.25×100=25人.
(2)由题图和(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8,∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,
应定为ω=2.5+0.10.3≈2.83(立方米).
(3)将频率视为概率,设A代表居民月用水量,
由题图知:P(A≤2.5)=0.7,
由题意X~B(3,0.7),
P(X=0)=C30×0.70×0.33=0.027,
P(X=1)=C31×0.32×0.7=0.189,
P(X=2)=C32×0.3×0.72=0.441,
P(X=3)=C33×0.73=0.343.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
∵X~B(3,0.7),
∴E(X)=np=2.1.
20.解(1)由题意可知,X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a,
由统计数据可知:P(X=0.9a)=15,P(X=0.8a)=110,P(X=0.7a)=110,P(X=a)=310,P(X=1.1a)=15,P(X=1.3a)=110,∴X的分布列为
X
0.9a
0.8a
0.7a
a
1.1a
1.3a
P
15
110
110
310
15
110
∴E(X)=0.9a×15+0.8a×110+0.7a×110+a×310+1.1a×15+1.3a×110=9.810a=931.
(2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为310,三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=C3031001-3103+C3131011-3102=0.784.
②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,Y的可能取值为-5 000,10 000,P(Y=-5 000)=310,P(Y=10 000)=710,∴Y的分布列为
Y
-5 000
10 000
P
310
710
E(Y)=-5 000×310+10 000×710=5 500.∴该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100E(Y)=550 000(元)=55(万元).
21.解(1)甲、乙两人所付费用相同,即为2,4,6元,
都付2元的概率为p1=14×12=18,
都付4元的概率为p2=12×14=18,
都付6元的概率为p3=14×14=116,
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率p=p1+p2+p3=18+18+116=516.
(2)依题意,ξ的可能取值为4,6,8,10,12,P(ξ=4)=18,
P(ξ=6)=14×14+12×12=516,
P(ξ=8)=14×14+12×14+12×14=516,
P(ξ=10)=14×14+12×14=316,
P(ξ=12)=14×14=116,
所以ξ的分布列为
ξ
4
6
8
10
12
P
18
516
516
316
116
E(ξ)=4×18+6×516+8×516+10×316+12×116=152.
22.解(1)小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为100,200,300.
P(X=300)=C33C63=120,
P(X=200)=C31C21C11C63=620=310,
P(X=100)=C32C31+C22C41C63=9+420=1320,或P(X=100)=1-P(X=200)-P(X=300)=1320
所以奖金数X的概率分布列为
X
100
200
300
P
1320
310
120
奖金数X的数学期望E(X)=100×1320+200×310+300×120=140(元).
(2)设3个人中获二等奖的人数为Y,则Y~B3,310,
所以P(Y=k)=C3k310k7103-k(k=0,1,2,3),设“该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖”为事件A,
则P(A)=P(Y=2)+P(Y=3)=C32×3102×710+C33×3103=27125.
则该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为27125.
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