2021高考数学（文）大一轮复习习题 升级增分训练 三角函数与平面向量 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 升级增分训练 三角函数与平面向量 word版含答案，共8页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。

A．
解析：选A 依题意，(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))2≥eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))2，
化简得eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))≥－2，
又根据三角形中，两边之差小于第三边，
可得|eq \(OA,\s\up7(―→))|－|eq \(OB,\s\up7(―→))|＜|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))|，
两边平方可得(|eq \(OA,\s\up7(―→))|－|eq \(OB,\s\up7(―→))|)2＜(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))2，
化简可得eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＜4，∴－2≤eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＜4．
2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))且|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|，则向量eq \(BA,\s\up7(―→))在eq \(BC,\s\up7(―→))方向上的投影为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：选A 由2eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))可知O是BC的中点，
即BC为△ABC外接圆的直径，
所以|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(OB,\s\up7(―→))|＝|eq \(OC,\s\up7(―→))|，由题意知|eq \(OA,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝1，
故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°．
所以向量eq \(BA,\s\up7(―→))在eq \(BC,\s\up7(―→))方向上的投影为|eq \(BA,\s\up7(―→))|·cs∠ABC＝1×cs 60°＝eq \f(1,2)．故选A．
3．(2017·石家庄质检)设α，β∈，且满足sin αcs β－cs αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )
A． B．
C． D．
解析：选C ∵sin αcs β－cs αsin β＝1，
即sin(α－β)＝1，α，β∈，
∴α－β＝eq \f(π,2)，又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π，))
则eq \f(π,2)≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin (α－2β)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－α＋\f(π,2)))＋sin(α－2α＋π)
＝cs α＋sin α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
∵eq \f(π,2)≤α≤π，∴eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
∴－1≤eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))≤1，
即所求取值范围为．故选C．
4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a，b为单位向量，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是( )
A．1 B．eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
解析：选D ∵向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，
∴|c－(a＋b)|＝|a－b|≥|c|－|a＋b|，
∴|c|≤|a＋b|＋|a－b|≤eq \r(2|a＋b|2＋|a－b|2)＝eq \r(22a2＋2b2)＝2eq \r(2)．
当且仅当|a＋b|＝|a－b|，
即a⊥b时，(|a＋b|＋|a－b|)max＝2eq \r(2)．
∴|c|≤2eq \r(2)．∴|c|的最大值为2eq \r(2)．
5．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝sin2eq \f(ωx,2)＋eq \f(1,2)sin ωx－eq \f(1,2)(ω＞0)，x∈R．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)，1))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,8))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(5,8)))
解析：选D f(x)＝eq \f(1－cs ωx,2)＋eq \f(1,2)sin ωx－eq \f(1,2)
＝eq \f(1,2)(sin ωx－cs ωx)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))．
因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，
所以eq \f(T,2)＞2π－π，
即eq \f(π,ω)＞π，所以0＜ω＜1．
当x∈(π，2π)时，
ωx－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπ－\f(π,4)，2ωπ－\f(π,4)))，
若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，
则ωπ－eq \f(π,4)＜kπ＜2ωπ－eq \f(π,4)(k∈Z)，
即eq \f(k,2)＋eq \f(1,8)＜ω＜k＋eq \f(1,4)(k∈Z)．
当k＝0时，eq \f(1,8)＜ω＜eq \f(1,4)；
当k＝1时，eq \f(5,8)＜ω＜eq \f(5,4)．
所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时，
0＜ω≤eq \f(1,8)或eq \f(1,4)≤ω≤eq \f(5,8)．
6．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：选B 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)ω＋φ＝k1π，k1∈Z，,\f(π,4)ω＋φ＝k2π＋\f(π,2)，k2∈Z，))
则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝eq \f(π,4)或φ＝－eq \f(π,4)．
若ω＝11，则φ＝－eq \f(π,4)，
此时f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(11x－\f(π,4)))，f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(3π,44)))上单调递增，
在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,44)，\f(5π,36)))上单调递减，
不满足f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调；若ω＝9，则φ＝eq \f(π,4)，
此时f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9x＋\f(π,4)))，满足f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调递减，故选B．
7．(2016·贵州适应性考试)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a2＋c2＝ac＋b2，b＝eq \r(3)，且a≥c，则2a－c的最小值是________．
解析：由a2＋c2－b2＝2accs B＝ac，
所以cs B＝eq \f(1,2)，则B＝60°，又a≥c，
则A≥C＝120°－A，
所以60°≤A＜120°，
eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，
则2a－c＝4sin A－2sin C
＝4sin A－2sin(120°－A)
＝2eq \r(3)sin(A－30°)，
当A＝60°时，2a－c取得最小值eq \r(3)．
答案：eq \r(3)
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs B－bcs A＝eq \f(1,2)c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为______．
解析：由acs B－bcs A＝eq \f(1,2)c及正弦定理，
得sin Acs B－sin Bcs A＝eq \f(1,2)sin C
＝eq \f(1,2)sin(A＋B)＝eq \f(1,2)(sin Acs B＋cs Asin B)，
整理得sin Acs B＝3cs Asin B，
即tan A＝3tan B，
易得tan A＞0，tan B＞0，
∴tan(A－B)＝eq \f(tan A－tan B,1＋tan Atan B)＝eq \f(2tan B,1＋3tan2 B)
＝eq \f(2,\f(1,tan B)＋3tan B)≤eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
当且仅当eq \f(1,tan B)＝3tan B，
即tan B＝eq \f(\r(3),3)时，tan(A－B)取得最大值，
此时B＝eq \f(π,6)．
答案：eq \f(π,6)
9．(2016·浙江高考)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2．若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤eq \r(6)，则a·b的最大值是________．
解析：由于e是任意单位向量，可设e＝eq \f(a＋b,|a＋b|)，
则|a·e|＋|b·e|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a·a＋b,|a＋b|)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b·a＋b,|a＋b|)))
≥eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a·a＋b,|a＋b|)＋\f(b·a＋b,|a＋b|)))
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b·a＋b,|a＋b|)))＝|a＋b|．
∵|a·e|＋|b·e|≤eq \r(6)，∴|a＋b|≤eq \r(6)，
∴(a＋b)2≤6，∴|a|2＋|b|2＋2a·b≤6．
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·b≤6，
∴a·b≤eq \f(1,2)，∴a·b的最大值为eq \f(1,2)．
答案：eq \f(1,2)
10．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f(x)＝eq \r(2)sin x＋eq \r(6)cs x(x∈R)．
(1)若α∈且f(α)＝2，求α；
(2)先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝eq \f(3π,4)对称，求θ的最小值．
解：(1)f(x)＝eq \r(2)sin x＋eq \r(6)cs x
＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))
＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))．
由f(α)＝2，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)，
即α＋eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,4)
或α＋eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z．
于是α＝2kπ－eq \f(π,12)或α＝2kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z．
又α∈，
故α＝eq \f(5π,12)．
(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，
得到y＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，
再将y＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，
得到y＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－2θ＋\f(π,3)))的图象．
由于y＝sin x的图象关于直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)对称，
令2x－2θ＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，
解得x＝eq \f(kπ,2)＋θ＋eq \f(π,12)，k∈Z．
由于y＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－2θ＋\f(π,3)))的图象关于直线x＝eq \f(3π,4)对称，
令eq \f(kπ,2)＋θ＋eq \f(π,12)＝eq \f(3π,4)，
解得θ＝－eq \f(kπ,2)＋eq \f(2π,3)，k∈Z．
由θ＞0可得，
当k＝1时，θ取得最小值eq \f(π,6)．
11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＝sin2B＋sin2C－sin Bsin C．
(1)求角A；
(2)若a＝2eq \r(3)，求b＋c的取值范围．
解：(1)由正弦定理及sin2A＝sin2B＋sin2C－sin Bsin C，知a2＝b2＋c2－bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)．
又0＜A＜eq \f(π,2)，所以A＝eq \f(π,3)．
(2)由(1)知A＝eq \f(π,3)，
所以B＋C＝eq \f(2π,3)，
所以B＝eq \f(2π,3)－C．
因为a＝2eq \r(3)，
所以eq \f(2\r(3),sin\f(π,3))＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
所以b＝4sin B，c＝4sin C，
所以b＋c＝4sin B＋4sin C＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－C))＋4sin C
＝2eq \r(3)(cs C＋eq \r(3)sin C)＝4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))．
因为△ABC是锐角三角形，
所以0＜B＝eq \f(2π,3)－C＜eq \f(π,2)，
所以eq \f(π,6)＜C＜eq \f(π,2)，
所以eq \f(π,3)＜C＋eq \f(π,6)＜eq \f(2π,3)，
所以eq \f(\r(3),2)＜sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))≤1，
所以6＜4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))≤4eq \r(3)．
故b＋c的取值范围为(6,4eq \r(3)]．
12．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acs B＝2c－b．
(1)若cs(A＋C)＝－eq \f(5\r(3),14)，求cs C的值；
(2)若b＝5，eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝－5，求△ABC的面积；
(3)若O是△ABC外接圆的圆心，且eq \f(cs B,sin C)·eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(cs C,sin B)·eq \(AC,\s\up7(―→))＝meq \(AO,\s\up7(―→))，求m的值．
解：(1)由2acs B＝2c－b，
得2sin Acs B＝2sin C－sin B，
即2sin Acs B＝2sin(A＋B)－sin B，
整理得2cs Asin B＝sinB．
∵sin B≠0，
故cs A＝eq \f(1,2)，
则A＝60°．
由cs(A＋C)＝－cs B＝－eq \f(5\r(3),14)，
知cs B＝eq \f(5\r(3),14)，
所以sin B＝eq \f(11,14)．
所以cs C＝cs(120°－B)＝－eq \f(1,2)cs B＋eq \f(\r(3),2)sin B＝eq \f(3\r(3),14)．
(2)eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))·(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))
＝eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))2
＝|eq \(AC,\s\up7(―→))|·|eq \(AB,\s\up7(―→))|·cs A－|eq \(AC,\s\up7(―→))|2
＝eq \f(1,2)bc－b2＝－5，
又b＝5，解得c＝8，
所以△ABC的面积为
eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×5×8×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)．
(3)由eq \f(cs B,sin C)·eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(cs C,sin B)·eq \(AC,\s\up7(―→))＝meq \(AO,\s\up7(―→))，
可得eq \f(cs B,sin C)·eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AO,\s\up7(―→))＋eq \f(cs C,sin B)·eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AO,\s\up7(―→))＝meq \(AO,\s\up7(―→))2，(*)
因为O是△ABC外接圆的圆心，
所以eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))2，eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→))2，
又|eq \(AO,\s\up7(―→))|＝eq \f(a,2sin A)，
所以(*)可化为eq \f(cs B,sin C)·c2＋eq \f(cs C,sin B)·b2＝eq \f(1,2)m·eq \f(a2,sin2A)，
所以m＝2(cs Bsin C＋sin Bcs C)＝2sin(B＋C)
＝2sin A＝eq \r(3)．