2021高考数学（文）大一轮复习习题 升级增分训练 定点、定值、证明问题 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 升级增分训练 定点、定值、证明问题 word版含答案，共5页。试卷主要包含了已知椭圆C，设椭圆C1，椭圆C等内容，欢迎下载使用。

(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O到直线AB的距离为定值 ，并求出该定值．
解：(1)由题意知，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，eq \r(b2＋c2)＝2，
又a2＝b2＋c2，
所以a＝2，c＝eq \r(3)，b＝1，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±eq \f(2\r(5),5)，此时，原点O到直线AB的距离为eq \f(2\r(5),5)．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．
则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－eq \f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4m2－4,1＋4k2)，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝eq \f(m2－4k2,1＋4k2)，
由OA⊥OB，得kOA·kOB＝－1，
即eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝eq \f(5m2－4－4k2,1＋4k2)＝0，
即m2＝eq \f(4,5)(1＋k2)，满足Δ＞0．
所以原点O到直线AB的距离为eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(2\r(5),5)．
综上，原点O到直线AB的距离为定值eq \f(2\r(5),5)．
2．(2017·湖南省东部六校联考)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是4＋2eq \r(3)．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足eq \(AB,\s\up7(―→))⊥eq \(BC,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))∥eq \(OC,\s\up7(―→))，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE．
解：(1)由e＝eq \f(\r(3),2)，知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以c＝eq \f(\r(3),2)a，
因为△PF1F2的周长是4＋2eq \r(3)，
所以2a＋2c＝4＋2eq \r(3)，
所以a＝2，c＝eq \r(3)，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C1的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)证明：由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，
设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，
因为eq \(AB,\s\up7(―→))⊥eq \(BC,\s\up7(―→))，所以可设C(2，y1)，
所以eq \(AD,\s\up7(―→))＝(x0＋2，y0)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(2，y1)，
由eq \(AD,\s\up7(―→))∥eq \(OC,\s\up7(―→))可得(x0＋2)y1＝2y0，
即y1＝eq \f(2y0,x0＋2)．
所以直线AC的方程为：eq \f(y,\f(2y0,x0＋2))＝eq \f(x＋2,4)．
整理得y＝eq \f(y0,2x0＋2)(x＋2)．
又点P在直线DE上，
将x＝x0代入直线AC的方程可得y＝eq \f(y0,2)，
即点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(y0,2)))，
所以P为DE的中点，
所以PD＝PE．
3．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，其左焦点到点P(2，1)的距离为eq \r(10)．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)因为左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为eq \r(10)，
所以eq \r(2＋c2＋1)＝eq \r(10)，解得c＝1．
又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，解得a＝2，
所以b2＝a2－c2＝3．
所以所求椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))
消去y，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，
化简，得3＋4k2－m2＞0．
所以x1＋x2＝eq \f(－8mk,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4m2－3,3＋4k2)．
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝eq \f(3m2－4k2,3＋4k2)．
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，
则kAD·kBD＝－1，
所以eq \f(y1,x1－2)·eq \f(y2,x2－2)＝－1，
所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，
所以eq \f(3m2－4k2,3＋4k2)＋eq \f(4m2－3,3＋4k2)＋eq \f(16mk,3＋4k2)＋4＝0．
化为7m2＋16mk＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－eq \f(2k,7)，满足3＋4k2－m2＞0．
当m＝－2k时，
l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；
当m＝－eq \f(2k,7)时，l：y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,7)))，直线过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,7)，0))．
综上可知，直线l过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,7)，0))．
4．(2016·南昌一模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2eq \r(2)－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2＝k3k4．
①求k1k2的值；
②求|OB|2＋|OC|2的值．
解：(1)设椭圆C的右焦点为F2(c,0)，
则c2＝a2－b2(c＞0)．
由题意可得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x－c)2＋y2＝a2，
∴圆心到直线x＋y＋2eq \r(2)－1＝0的距离
d＝eq \f(|c＋2\r(2)－1|,\r(2))＝a．(*)
∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，
∴b＝eq \r(3)c，a＝2c，把a＝2c代入(*)式得c＝1，b＝eq \r(3)，a＝2，
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则D(－x1，－y1)，
于是k1k2＝eq \f(y2＋y1,x2＋x1)·eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(y\\al(2,2)－y\\al(2,1),x\\al(2,2)－x\\al(2,1))
＝eq \f(\f(3,4)4－x\\al(2,2)－\f(3,4)4－x\\al(2,1),x\\al(2,2)－x\\al(2,1))＝－eq \f(3,4)．
②由①及题意知，k3k4＝k1k2＝－eq \f(3,4)，故y1y2＝－eq \f(3,4)x1x2．
∴eq \f(9,16)xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＝yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝eq \f(3,4)(4－xeq \\al(2,1))·eq \f(3,4)(4－xeq \\al(2,2))，
即xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＝16－4(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2))＋xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)，
∴xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝4．
又2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),4)＋\f(y\\al(2,1),3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,2),4)＋\f(y\\al(2,2),3)))＝eq \f(x\\al(2,1)＋x\\al(2,2),4)＋eq \f(y\\al(2,1)＋y\\al(2,2),3)，
故yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＝3．
∴|OB|2＋|OC|2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝7．