高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 升级增分训练 三角函数与平面向量 Word版含答案

升级增分训练    三角函数与平面向量

1．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2，且|＋|≥||，那么·的取值范围是(　　)

A．

解析：选A　依题意，(＋)2≥(－)2，

化简得·≥－2，

又根据三角形中，两边之差小于第三边，

可得||－||＜||＝|－|，

两边平方可得(||－||)2＜(－)2，

化简可得·＜4，∴－2≤·＜4．

2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2＝＋且||＝||，则向量在方向上的投影为(　　)

A．  B．

C．－  D．－

解析：选A　由2＝＋可知O是BC的中点，

即BC为△ABC外接圆的直径，

所以||＝||＝||，由题意知||＝||＝1，

故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°．

所以向量在方向上的投影为||·cos∠ABC＝1×cos 60°＝．故选A．

3．(2017·石家庄质检)设α，β∈，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选C　∵sin αcos β－cos αsin β＝1，

即sin(α－β)＝1，α，β∈，

∴α－β＝，又

则≤α≤π，

∴sin(2α－β)＋sin (α－2β)

＝sin＋sin(α－2α＋π)

＝cos α＋sin α＝sin，

∵≤α≤π，∴≤α＋≤，

∴－1≤sin≤1，

即所求取值范围为．故选C．

4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a，b为单位向量，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是(　　)

A．1  B．

C．2  D．2

解析：选D　∵向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，

∴|c－(a＋b)|＝|a－b|≥|c|－|a＋b|，

∴|c|≤|a＋b|＋|a－b|≤＝＝2．

当且仅当|a＋b|＝|a－b|，

即a⊥b时，(|a＋b|＋|a－b|)max＝2．

∴|c|≤2．∴|c|的最大值为2．

5．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω＞0)，x∈R．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是(　　)

A．  B．∪

C．  D．∪

解析：选D　f(x)＝＋sin ωx－

＝(sin ωx－cos ωx)＝sin．

因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，

所以＞2π－π，

即＞π，所以0＜ω＜1．

当x∈(π，2π)时，

ωx－∈，

若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，

则ωπ－＜kπ＜2ωπ－(k∈Z)，

即＋＜ω＜k＋(k∈Z)．

当k＝0时，＜ω＜；

当k＝1时，＜ω＜．

所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时，

0＜ω≤或≤ω≤．

6．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)

A．11  B．9

C．7  D．5

解析：选B　由题意得

则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－．

若ω＝11，则φ＝－，

此时f(x)＝sin，f(x)在区间上单调递增，

在区间上单调递减，

不满足f(x)在区间上单调；若ω＝9，则φ＝，

此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减，故选B．

7．(2016·贵州适应性考试)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a2＋c2＝ac＋b2，b＝，且a≥c，则2a－c的最小值是________．

解析：由a2＋c2－b2＝2accos B＝ac，

所以cos B＝，则B＝60°，又a≥c，

则A≥C＝120°－A，

所以60°≤A＜120°，

＝＝＝＝2，

则2a－c＝4sin A－2sin C

＝4sin A－2sin(120°－A)

＝2sin(A－30°)，

当A＝60°时，2a－c取得最小值．

答案：

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为______．

解析：由acos B－bcos A＝c及正弦定理，

得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C

＝sin(A＋B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)，

整理得sin Acos B＝3cos Asin B，

即tan A＝3tan B，

易得tan A＞0，tan B＞0，

∴tan(A－B)＝＝

＝≤＝，

当且仅当＝3tan B，

即tan B＝时，tan(A－B)取得最大值，

此时B＝．

答案：

9．(2016·浙江高考)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2．若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．

解析：由于e是任意单位向量，可设e＝，

则|a·e|＋|b·e|＝＋

≥

＝＝|a＋b|．

∵|a·e|＋|b·e|≤，∴|a＋b|≤，

∴(a＋b)2≤6，∴|a|2＋|b|2＋2a·b≤6．

∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·b≤6，

∴a·b≤，∴a·b的最大值为．

答案：

10．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)．

(1)若α∈且f(α)＝2，求α；

(2)先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，求θ的最小值．

解：(1)f(x)＝sin x＋cos x

＝2

＝2sin．

由f(α)＝2，得sin＝，

即α＋＝2kπ＋

或α＋＝2kπ＋，k∈Z．

于是α＝2kπ－或α＝2kπ＋，k∈Z．

又α∈，

故α＝．

(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，

得到y＝2sin的图象，

再将y＝2sin图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，

得到y＝2sin的图象．

由于y＝sin x的图象关于直线x＝kπ＋(k∈Z)对称，

令2x－2θ＋＝kπ＋，

解得x＝＋θ＋，k∈Z．

由于y＝2sin的图象关于直线x＝对称，

令＋θ＋＝，

解得θ＝－＋，k∈Z．

由θ＞0可得，

当k＝1时，θ取得最小值．

11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A＝sin2B＋sin2C－sin Bsin C．

(1)求角A；

(2)若a＝2，求b＋c的取值范围．

解：(1)由正弦定理及sin2A＝sin2B＋sin2C－sin Bsin C，知a2＝b2＋c2－bc，

所以cos A＝＝．

又0＜A＜，所以A＝．

(2)由(1)知A＝，

所以B＋C＝，

所以B＝－C．

因为a＝2，

所以＝＝，

所以b＝4sin B，c＝4sin C，

所以b＋c＝4sin B＋4sin C＝4sin＋4sin C

＝2(cos C＋sin C)＝4sin．

因为△ABC是锐角三角形，

所以0＜B＝－C＜，

所以＜C＜，

所以＜C＋＜，

所以＜sin≤1，

所以6＜4sin≤4．

故b＋c的取值范围为(6,4]．

12．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos B＝2c－b．

(1)若cos(A＋C)＝－，求cos C的值；

(2)若b＝5，·＝－5，求△ABC的面积；

(3)若O是△ABC外接圆的圆心，且·＋·＝m，求m的值．

解：(1)由2acos B＝2c－b，

得2sin Acos B＝2sin C－sin B，

即2sin Acos B＝2sin(A＋B)－sin B，

整理得2cos Asin B＝sin B．

∵sin B≠0，

故cos A＝，

则A＝60°．

由cos(A＋C)＝－cos B＝－，

知cos B＝，

所以sin B＝．

所以cos C＝cos(120°－B)＝－cos B＋sin B＝．

(2)·＝·(－)

＝·－2

＝||·||·cos A－||2

＝bc－b2＝－5，

又b＝5，解得c＝8，

所以△ABC的面积为

bcsin A＝×5×8×＝10．

(3)由·＋·＝m，

可得··＋··＝m2，(*)

因为O是△ABC外接圆的圆心，

所以·＝2，·＝2，

又||＝，

所以(*)可化为·c2＋·b2＝m·，

所以m＝2(cos Bsin C＋sin Bcos C)＝2sin(B＋C)

＝2sin A＝．