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北师大版八年级下册1 平行四边形的性质精品ppt课件
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这是一份北师大版八年级下册1 平行四边形的性质精品ppt课件，共19页。PPT课件主要包含了作业布置，∴AB∥DF等内容，欢迎下载使用。
求证: OA=OC, OB = OD.
证明: ∵四边形 ABCD是平行四边形,AB= CD (平行四边形的对边相等),
AB//CD (平行四边形的定义) .
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴ OA= OC, OB= OD.
已知:如图6--4, ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
定理:平行四边形的对角线互相平分
例2. 如图6-1-29所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F. （1）求证：OE=OF；（2）若AB=6，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长.
（1）证明：在 ABCD中，∵AC与BD相交于点O，∴OA=OC，AB∥CD. ∴∠OAE=∠OCF. 在△OAE和△OCF中，∠OAE=∠OCF, OA=OC, ∠AOE=∠COF，∴△OAE≌△OCF（ASA）. ∴OE=OF.
（2）解：∵△OAE≌△OCF，∴CF=AE. ∴BE+CF=AB=6. 又∵EF=2OE=4，∴四边形BCFE的周长=BE+BC+CF+EF=6+4+5=15.
【例3】如图6-1-28， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.（1）求证：OF=OE；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求ABCD的周长.
（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，DC∥AB.∴∠FDO=∠EBO.在△DFO和△BEO中，∠FDO=∠EBO, OD=OB, ∠FOD=∠EOB，∴△DFO≌△BEO（ASA）.∴OF=OE.
（2）解:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC.∵EF⊥AC，∴AE=CE.∵△BEC的周长是10，∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10.∴ ABCD的周长=2（BC+AB）=20.
例4.如图6-1-38，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EO⊥AC. （1）若△ABE的周长为10 cm，求 ABCD的周长；（2）若∠ABC=78°，AE平分∠BAC，试求∠DAC的度数.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. ∵OE⊥AC， ∴AE=CE. 故△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BC=10（cm）.根据平行四边形的对边相等，得 ABCD的周长为2×10=20（cm）.
（2）∵AE=CE，∴∠EAC=∠ECA.∵∠ABC=78°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=∠ECA.∴3∠ACE+78°=180°.∴∠ACE=34°.∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE=34°.
1.如图6-1-18，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD. ∴∠BAC=∠DCA. ∴180°-∠BAC=180°-∠DCA， 即∠EAB=∠FCD. ∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA=∠DFC=90°. 在△BEA和△DFC中， ∴△BEA≌△DFC（AAS）. ∴AE=CF.
∠BEA=∠DFC∠EAB=∠FCDAB=CD
2. 如图6-1-19，在 ABCD中，E是BC边上一点，连接DE，使得DE=AD，作∠DAF=∠CDE.求证：（1）△DAF≌△EDC；（2）AE平分∠BAF.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠ADE=∠DEC. 在△DAF和△EDC中，∴△DAF≌△EDC（ASA）.
∠DEA=∠EDCAD=DE∠ADF=∠DEC
（2）∵△DAF≌△EDC，∴∠AFD=∠C. ∵DE=AD，∴∠AEF=∠DAE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠DAE=∠AEB,∠B+∠C=180°.∴∠AEB=∠AEF. ∵∠AFE+∠AFD=180°，∴∠B=∠AFE. 在△BAE和△FAE中，
∴△BAE≌△FAE（AAS）.
∴∠BAE=∠FAE，即AE平分∠BAF.
∠B=AFE∠AEB=AEFAE=AE
3. 如图6-1-20，在 ABCD中，AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，PQ∥AD，若AD=5 cm，AP=8 cm，求△ABP的面积.
解: ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//CB.
∴∠DAB+∠CBA=180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
在△APB中，∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=90°.
∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB.
∵AB//CD，∴∠PAB=D∠PA.
∴∠DAP=∠DPA. ∴△ADP是等腰三角形.
∴AD=DP=5(cm).
4. 如图6-1-36，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=AC，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE，分别交BD,CD于点F，G. 求证：△ADB≌△CEA.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠ABC+∠BAD=180°.又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠BAD=∠ACE. ∵CE=BC，∴CE=AD，在△ADB和△CEA中，AD=CE,∠BAD=∠ACE,AB=CA，∴△ADB≌△CEA（SAS）.
5. 如图6-1-37，在 ABCD中，AB=5，AC=4，AD=3. （1）求 ABCD的面积；（2）求BD的长.
6. 如图6-1-39，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F. （1）求证：CF=CD；（2）若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由.
在△BAE和△CFE中，∠BAE=∠CFE, ∠EBA=∠ECF, BE=CE，
∴AB∥CD，AB=CD.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA.
∵E为BC的中点，∴BE=CE.
∴△BAE≌△CFE（AAS）.
∴BA=CF. ∴CF=CD.
求证: OA=OC, OB = OD.
证明: ∵四边形 ABCD是平行四边形,AB= CD (平行四边形的对边相等),
AB//CD (平行四边形的定义) .
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴ OA= OC, OB= OD.
已知:如图6--4, ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
定理:平行四边形的对角线互相平分
例2. 如图6-1-29所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F. （1）求证：OE=OF；（2）若AB=6，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长.
（1）证明：在 ABCD中，∵AC与BD相交于点O，∴OA=OC，AB∥CD. ∴∠OAE=∠OCF. 在△OAE和△OCF中，∠OAE=∠OCF, OA=OC, ∠AOE=∠COF，∴△OAE≌△OCF（ASA）. ∴OE=OF.
（2）解：∵△OAE≌△OCF，∴CF=AE. ∴BE+CF=AB=6. 又∵EF=2OE=4，∴四边形BCFE的周长=BE+BC+CF+EF=6+4+5=15.
【例3】如图6-1-28， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.（1）求证：OF=OE；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求ABCD的周长.
（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，DC∥AB.∴∠FDO=∠EBO.在△DFO和△BEO中，∠FDO=∠EBO, OD=OB, ∠FOD=∠EOB，∴△DFO≌△BEO（ASA）.∴OF=OE.
（2）解:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC.∵EF⊥AC，∴AE=CE.∵△BEC的周长是10，∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10.∴ ABCD的周长=2（BC+AB）=20.
例4.如图6-1-38，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EO⊥AC. （1）若△ABE的周长为10 cm，求 ABCD的周长；（2）若∠ABC=78°，AE平分∠BAC，试求∠DAC的度数.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. ∵OE⊥AC， ∴AE=CE. 故△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BC=10（cm）.根据平行四边形的对边相等，得 ABCD的周长为2×10=20（cm）.
（2）∵AE=CE，∴∠EAC=∠ECA.∵∠ABC=78°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=∠ECA.∴3∠ACE+78°=180°.∴∠ACE=34°.∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE=34°.
1.如图6-1-18，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD. ∴∠BAC=∠DCA. ∴180°-∠BAC=180°-∠DCA， 即∠EAB=∠FCD. ∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA=∠DFC=90°. 在△BEA和△DFC中， ∴△BEA≌△DFC（AAS）. ∴AE=CF.
∠BEA=∠DFC∠EAB=∠FCDAB=CD
2. 如图6-1-19，在 ABCD中，E是BC边上一点，连接DE，使得DE=AD，作∠DAF=∠CDE.求证：（1）△DAF≌△EDC；（2）AE平分∠BAF.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠ADE=∠DEC. 在△DAF和△EDC中，∴△DAF≌△EDC（ASA）.
∠DEA=∠EDCAD=DE∠ADF=∠DEC
（2）∵△DAF≌△EDC，∴∠AFD=∠C. ∵DE=AD，∴∠AEF=∠DAE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠DAE=∠AEB,∠B+∠C=180°.∴∠AEB=∠AEF. ∵∠AFE+∠AFD=180°，∴∠B=∠AFE. 在△BAE和△FAE中，
∴△BAE≌△FAE（AAS）.
∴∠BAE=∠FAE，即AE平分∠BAF.
∠B=AFE∠AEB=AEFAE=AE
3. 如图6-1-20，在 ABCD中，AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，PQ∥AD，若AD=5 cm，AP=8 cm，求△ABP的面积.
解: ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//CB.
∴∠DAB+∠CBA=180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
在△APB中，∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=90°.
∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB.
∵AB//CD，∴∠PAB=D∠PA.
∴∠DAP=∠DPA. ∴△ADP是等腰三角形.
∴AD=DP=5(cm).
4. 如图6-1-36，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=AC，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE，分别交BD,CD于点F，G. 求证：△ADB≌△CEA.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠ABC+∠BAD=180°.又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠BAD=∠ACE. ∵CE=BC，∴CE=AD，在△ADB和△CEA中，AD=CE,∠BAD=∠ACE,AB=CA，∴△ADB≌△CEA（SAS）.
5. 如图6-1-37，在 ABCD中，AB=5，AC=4，AD=3. （1）求 ABCD的面积；（2）求BD的长.
6. 如图6-1-39，在 ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F. （1）求证：CF=CD；（2）若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由.
在△BAE和△CFE中，∠BAE=∠CFE, ∠EBA=∠ECF, BE=CE，
∴AB∥CD，AB=CD.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA.
∵E为BC的中点，∴BE=CE.
∴△BAE≌△CFE（AAS）.
∴BA=CF. ∴CF=CD.
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