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考点02 整式的运算-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）
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这是一份考点02 整式的运算-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用），文件包含考点02整式的运算原卷版docx、考点02整式的运算解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
考点二 整式的运算
知识点整合
整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．
考向一 整式加减
典例引领
1．（2020·四川外国语大学附属外国语学校七年级期中）已知，，先化简，再求值，其中，与互为相反数．
【答案】，103
【分析】
将A、B表示的代数式代入，然后根据去括号法则和合并同类项法则化简，然后根据绝对值和乘方的非负性即可求出x和y的值，代入即可．
【详解】
解：∵，
∴
=
=
=
∵与互为相反数
∴＋=0，≥0，≥0
∴，
解得：x=-1，y=3
∴原式=
=
=103
【点睛】
此题考查的是整式的化简求值题和非负性的应用，掌握去括号法则、合并同类项法则和绝对值和乘方的非负性是解题关键．
2．（2020·四川省成都市玉林中学七年级期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，14
【分析】
根据整式混合运算的性质分析，即可得到答案．
【详解】
原式
；
当，时，
．
【点睛】
本题考查了整式混合运算的知识；解题的关键是熟练掌握整式四则混合运算的性质，从而完成求解．
3．（2020·渑池县教育体育局教研室七年级期中）已知，．
（1）当时，求的值；
（2）若的值与的取值无关，求的值．
【答案】（1）6；（2）
【分析】
（1）先化简多项式，再代入求值；
（2）合并含y的项，因为2A-B的值与y的取值无关，所以y的系数为0．
【详解】
解：（1）
=
当时，原式，
（2）由（1）知，，
若的值与的取值无关，则，．
【点睛】
本题主要考查整式的加减，掌握整式的加减运算方法，会化简求值，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值．
4．（2020·明光市明湖学校七年级期末）先化简，再求值：，其中
【答案】，．
【分析】
原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式=
=，
把代入得：
原式= = ．
【点睛】
此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2020·苏州市吴江区青云中学七年级月考）化简求值，其中．
【答案】，49
【分析】
先去括号，再合并同类项，最后带入求解即可．
【详解】
将代入原式中
原式
【点睛】
本题考查了整式的化简运算问题，掌握整式求值方法、去括号法则、合并同类项是解题的关键．
变式拓展
1．（2019·广东广州市第二中学七年级期中）先化简，再求值：
，其中、满足．
【答案】，34
【分析】
原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【详解】
解：
=
=
∵，
∴x=-1，y=2，
则原式==34．
【点睛】
此题考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2020·湖南七年级期中）已知x、y两数在数轴上表示如图．
（1）试在数轴上找出表示，的点，并用“<”连接x，y，，．
（2）化简：．
【答案】（1）图见解析，；（2）
【分析】
（1）根据数轴可得，且，进而问题可求解；
（2）由（1）可直接进行化简绝对值即可．
【详解】
解：（1）由题意可知：，且，
数轴如下：
从而可知；
（2）由，可知：
，
．
【点睛】
本题主要考查数轴、绝对值及整式的加减，熟练掌握数轴、绝对值及整式的加减是解题的关键．
3．（2020·江苏七年级期中）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即；
步骤3：计算与的和，即；
步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；
步骤5：计算与的差就是校验码，即．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为______，校验码的值为______．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程．
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．
【答案】（1）73，7；（2）3，过程见解析；（3）4、0或9、5或2、6
【分析】
（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解；
（2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解；
（3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解．
【详解】
（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y，
∴a=7+7+3=17，
b=9+8+5=22，
则“步骤3”中的c的值为3×17+22=73，校验码Y的值为80-73=7．
故答案为：73，7；
（2）依题意有：
a=m+1+2=m+3，
b=6+0+0=6，
c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15，
d=c+X=3m+15+6=3m+21，
∵d为10的整数倍，
∴3m的个位数字只能是9，
∴m的值为3；
（3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有：
a=p+9+2=p+11，
b=6+1+q=q+7，
c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40，
∵校验码是8，
则3p+q的个位是2，
∵|p-q|=4，
∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6．
故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6．
【点睛】
本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键．
4．（2020·吉林农安县第三中学、农安三中七年级月考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】
先去小括号，再去中括号，最后合并同类项，最后把x、y的值代入计算即可．
【详解】
，
当，时，
原式
．
【点睛】
本题考查了整式的加减－化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
5．（2020·湖北七年级期中）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表：
进价（元）
售价（元）
乒乓球拍
30
乒乓球
1
某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球
（1）该乒乓球队共需花费________元（结果用含a，b式子表示）；
（2）今年“十一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案：
方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球；
方案二：每购买100个乒乓球就赠送1副乒乓球拍．
①全部按方案一购买比全部按方案二购买多花多少钱（结果用含a，b式子表示）？
②若，，请你为该乒乓球队设计一个省钱的购买方案，计算说明理由．
【答案】（１）（570+），（２）①元，②购买100个乒乓球（赠送1副乒乓球拍），然后按照方案一购买14副乒乓球拍（赠送28个乒乓球），理由见解析．
【分析】
（1）分别计算乒乓球拍与乒乓球花费，再求和即可，
（2）①按方案一求出球队花出费用，按方案二求出球队花出费用，两者求差即可，
②利用方案一与方案二的差的代数式求值即可确定哪种方案省钱．
【详解】
（１）
乒乓球拍花费：15（）=（450+15）元，
乒乓球花费：120（）=（）元，
该乒乓球队共需花费=450+15+=（570+）元，
（２）
①方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球，
15（）+（120-2×15）（）=（540+）元，
方案二：每购买100个乒乓球就赠送1副乒乓球拍，
14（）+120（）=（540+）元，
全部按方案一购买比全部按方案二购买多花：540+-（540+）=元，
②当，时，
方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球，
540+=540+75+18=633元，
方案二：每购买100个乒乓球就赠送1副乒乓球拍，
540+=540+70+24=634元，
方案三：按照方案二购买100个乒乓球（赠送1副乒乓球拍），然后按照方案一购买14副乒乓球拍（赠送28个乒乓球），
100（1+0.2）+14（30+5）=610元，
∵610＜633＜634
∴选方案三划算．
【点睛】
本题考查列代数式的问题，利用方案设计列出代数式，会整式的加减运算，会求代数式的值，会利用代数式的值定方案是解题关键．
6．（2020·江西七年级期中）已知，．
（1）当时，求的值；
（2）若（1）中式子的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】（1）-3；（2）．
【分析】
（1）利用整体思想将原式化简，根据非负数的意义求出，，然后代入即可求值；
（2）结合（1）中的化简结果，根据式子的值与的取值无关，即可求的值．
【详解】
解：（1）
，
，
当时，，，
∴，，
原式；
（2），
又式子的值与的取值无关，
∴．
【点睛】
本题考查了整式的加减化简求值，解决本题的关键是掌握整式的加减运算．
7．（2020·江西七年级期中）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中，如图所示．
（1）若以点C为原点，写出点A，B所对应的数；
（2）若点O是原点，且，求的值；
（3）若原点O在B，C两点之间，求的值．
【答案】（1）A点对应的数为：-310，则点B对应的数是-110；（2）-290或-330；（3）310．
【分析】
（1）数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数，可表示出A、B所对应的数；
（2）分O点在AB之间和O点在B点右侧时，两种情况讨论即可；
（3）若原点在BC之间，得出a
解：（1）∵AB=200，BC=110，
∴ 若点C为原点，则点B对应的数是-110，
AC = 200 + 110 = 310，
∴A点对应的数为：-310；
（2）①若O点在AB之间时，则B对应的数为20，A对应的数为：20-200=-180，C点对应的数为：20+110=130，
∴a+b-c=-180+20-130=-290；
②若O点在B点右侧时，则点B对应的数是-20，则点A对应的数为-20-200=-220，则点C对应的数为110- 20= 90，
则a+b-c=-220+（-20）-90=-330；
（3）若原点在BC之间，则a
则
=-（a+b）+ 2c-[-（b-c）]
= -a-b+ 2c+b-c
= -a+c
=|a|+c
= AC
= 200 + 110
= 310．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，用数轴表示则更容易解决问题．
8．（2020·河南七年级期中）已知代数式中不含的项，试求k的值．
【答案】
【分析】
不含项即是合并同类项后项的系数应为0，由此得到关于k的方程解之即可．
【详解】
原式
由于不含项，所以
所以．
【点睛】
此题考查合并同类项，当同类项的系数和为0时，即不含该项．
9．（2020·浙江七年级期中）（1）的算术平方根为3，4是的一个平方根，求
（2）若代数式的值与y的取值无关（a为某一确定的数），求当时这个代数式的值．
【答案】（1）-22；（2）9
【分析】
（1）根据算术平方根和平方根的定义算出x和y，再代入计算；
（2）将代数式化简，根据取值y无关得到a值，再将x=-2代入计算．
【详解】
解：（1）∵的算术平方根为3，4是的一个平方根，
∴x-1=9，y+2=16，
∴x=10，y=14，
∴2x-3y=-22；
（2）由题意可得：
=
=
∵与y的值无关，
∴a-4=0，
∴a=4，
将代入，
原式==9．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根以及整式的加减—化简求值，解题的关键是理解题意，掌握代数式取值与y值无关的意义．
10．（2020·江西七年级期中）如果关于x、y的两个单项式和是同类项（其中）
（1）求a、b的值；
（2）如果这两个单项式的和为0，求的值．
【答案】（1）a=4，b=3；（2）．
【分析】
（1）直接利用同类项的定义得出a，b的值；
（2）利用两个单项式的和为0，得出m-2n的值，进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵关于x、y的两个单项式和是同类项（其中xy≠0），
∴a=4，b=3；
（2）∵=0，
∴2m-4n=0，
∴m-2n=0，
∴==．
【点睛】
此题主要考查了合并同类项及乘方计算，正确把握同类项的定义是解题关键．
考向二 整式乘除
典例引领
1．（2020·吉林农安县第三中学、农安三中八年级月考）已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a-b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关 ．
【答案】（1）9；（2）27；（3）c=2a+b；
【分析】
（1）根据幂的乘方直接解答即可；
（2）根据同底数幂的乘除法进行解答即可；
（3）根据已知条件直接得出答案即可．
【详解】
解：（1）∵5a=3，
∴（5a）2=32=9；
（2）∵5a=3，5b=8，5c=72，
∴5a-b+c==27；
（3）c=2a+b；
理由：，
∴c=2a+b
故答案为：c=2a+b．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2．（2020·霍林郭勒市第五中学八年级月考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】原式；当，时，原式=4.
【分析】
根据多项式乘多项式的运算法则对代数式进行化简运算，然后再合并同类项即可，最后再将a和b的值带入即可得到最终结果.
【详解】
原式
，
当，时，
原式
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，以及多项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键.
3．（2020·江西八年级期中）规定，求：
（1）求
（2）若，求的值．
【答案】（1）16；（2）
【分析】
（1）直接利用已知，将原式按定义式变形得出答案；
（2）直接利用已知将原式变形得出等式，再利用同底数幂相等指数相等列方程求出答案即可．
【详解】
解：（1）＝＝16；
（2）∵，
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查了新定义运算以及同底数幂的乘法运算，正确的将原式按照定义式变形是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则时应注意：底数必须相同；指数是1时，不要误以为没有指数．
4．（2020·哈尔滨市第三十九中学八年级期中）如图，哈市某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a-b）米的长方形地块，角上有四个边长为a米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（a>b）
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
（2）若a=20，b=10，求出当时绿化的总面积；
（3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项绿化任务.已知甲队每小时可绿化6平方米，乙队每小时绿化4平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？
【答案】（1）（）平方米；（2）500平方米；（3）50小时．
【分析】
（1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论；
（2）把把a=20，b=10代入（1）的代数式即可得到结论；
（3）设甲队至多工作x小时，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）
答：绿化的总面积为（）平方米；
（2）把a=20，b=10代入得：
（平方米）
答：当时绿化的总面积为500平方米；
（3）设甲队至多工作x小时
∵要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间
∴甲队至多工作的时间=乙队的工作时间
∴乙队的工作时间为x小时
∴
答：甲队至多工作50小时．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式拓展
5．（2020·广西八年级期中）计算/化简求值
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，
【答案】（1）；（2），12
【分析】
（1）根据多项式除以单项式的法则计算即可；
（2）原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用平方差公式展开，合并同类项得到最简结果，将m与n的值代入计算即可求出值．
【详解】
（1）
（2）
当时，
原式
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
6．（2020·台州市书生中学八年级期中）观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x2−1
(x−1)(x2+x+1)=x3−1
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1
…
（1）根据以上规律，则(x−1)(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ．
（2）你能否由此归纳出一般性规律：(x−1)(xn−1+xn−2+…+x+1)= ．
（3）根据上述的规律，求1+2+22+…+238+239的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据规律可得出（x-1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）结果；
（2）由规律得出x的指数为n，即可得出答案；
（3）1+2+22+…+234+235的可以写成（2-1）（20+21+22++…+238+239），根据规律计算即可．
【详解】
解：（1）由规律得：（x-1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x8-1；
（2）（x-1）（xn-1+…+x2+x+1）=xn-1；
（3）1+2+22+…+238+239=（2-1）（20+21+22++…+238+239）
=240-1，
故答案为x8-1，xn-1．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多1，是解题的关键．
7．（2020·宜春市宜阳学校七年级期中）如图，大小两个正方形的边长分别为．
（1）用含的代数式表示阴影部分的面积；
（2）如果，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）14．
【分析】
（1）依据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白部分的面积，即可用含、的代数式阴影部分的面积；
（2）把，，代入代数式，即可求阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）大小两个正方形的边长分别为、，
阴影部分的面积为：
；
（2），，
．
所以阴影部分的面积是14．
【点睛】
本题考查了列代数式和求代数式的值，理清题意，熟悉相关性质是解题的关键．
8．（2020·江苏七年级期中）已知A=，B=
（1）求2A-3B；
（2）试比较A、B的大小关系（写出比较过程）．
【答案】（1）；（2）A＜B．
【分析】
（1）将A、B代入2A-3B然后再运用整式的运算法则计算即可；
（2）运用作差法比较即可．
【详解】
解：（1）2A-3B
=2（）-3（）
=
=；
（2）∵A-B=
=
=＜0
∴A＜B．
【点睛】
本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
9．（2020·全国七年级课时练习）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长．
（1）设2019年4月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含，的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
2020年4月份
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【答案】（1）；（2）比值为0.2
【分析】
（1）用2019年的销售总额减去线上销售额再乘以即可；
（2）根据2020年销售总额与线上线下销售额的关系得到，再列式比较即可得到答案.
【详解】
解：（1）与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长，
该超市2020年4月份线下销售额为元．
故答案为：．
（2）依题意，得：，
解得：，
．
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2.
【点睛】
此题考查整式与实际问题的应用，一元一次方程与实际问题，列代数式，整式的除法计算，正确理解题意是解题的关键.
10．（2020·重庆七年级期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：．
（1）已知．
①求的值；
②若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围；
（2）当时，对任意有理数都成立，请直接写出满足的关系式．
学习参考：①，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．
【答案】（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n
【分析】
（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．
【详解】
解：（1）①由题意得，
解得，
②由题意得，
解不等式①得p＞-1．
解不等式②得p≤，
∴-1＜p≤，
∵恰好有3个整数解，
∴2≤＜3．
∴42≤a＜54；
（2）由题意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），
∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，
∵对任意有理数x，y都成立，
∴m=2n．
【点睛】
本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
考点二 整式的运算
知识点整合
整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．
考向一 整式加减
典例引领
1．（2020·四川外国语大学附属外国语学校七年级期中）已知，，先化简，再求值，其中，与互为相反数．
【答案】，103
【分析】
将A、B表示的代数式代入，然后根据去括号法则和合并同类项法则化简，然后根据绝对值和乘方的非负性即可求出x和y的值，代入即可．
【详解】
解：∵，
∴
=
=
=
∵与互为相反数
∴＋=0，≥0，≥0
∴，
解得：x=-1，y=3
∴原式=
=
=103
【点睛】
此题考查的是整式的化简求值题和非负性的应用，掌握去括号法则、合并同类项法则和绝对值和乘方的非负性是解题关键．
2．（2020·四川省成都市玉林中学七年级期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，14
【分析】
根据整式混合运算的性质分析，即可得到答案．
【详解】
原式
；
当，时，
．
【点睛】
本题考查了整式混合运算的知识；解题的关键是熟练掌握整式四则混合运算的性质，从而完成求解．
3．（2020·渑池县教育体育局教研室七年级期中）已知，．
（1）当时，求的值；
（2）若的值与的取值无关，求的值．
【答案】（1）6；（2）
【分析】
（1）先化简多项式，再代入求值；
（2）合并含y的项，因为2A-B的值与y的取值无关，所以y的系数为0．
【详解】
解：（1）
=
当时，原式，
（2）由（1）知，，
若的值与的取值无关，则，．
【点睛】
本题主要考查整式的加减，掌握整式的加减运算方法，会化简求值，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值．
4．（2020·明光市明湖学校七年级期末）先化简，再求值：，其中
【答案】，．
【分析】
原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式=
=，
把代入得：
原式= = ．
【点睛】
此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2020·苏州市吴江区青云中学七年级月考）化简求值，其中．
【答案】，49
【分析】
先去括号，再合并同类项，最后带入求解即可．
【详解】
将代入原式中
原式
【点睛】
本题考查了整式的化简运算问题，掌握整式求值方法、去括号法则、合并同类项是解题的关键．
变式拓展
1．（2019·广东广州市第二中学七年级期中）先化简，再求值：
，其中、满足．
【答案】，34
【分析】
原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【详解】
解：
=
=
∵，
∴x=-1，y=2，
则原式==34．
【点睛】
此题考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2020·湖南七年级期中）已知x、y两数在数轴上表示如图．
（1）试在数轴上找出表示，的点，并用“<”连接x，y，，．
（2）化简：．
【答案】（1）图见解析，；（2）
【分析】
（1）根据数轴可得，且，进而问题可求解；
（2）由（1）可直接进行化简绝对值即可．
【详解】
解：（1）由题意可知：，且，
数轴如下：
从而可知；
（2）由，可知：
，
．
【点睛】
本题主要考查数轴、绝对值及整式的加减，熟练掌握数轴、绝对值及整式的加减是解题的关键．
3．（2020·江苏七年级期中）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即；
步骤3：计算与的和，即；
步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；
步骤5：计算与的差就是校验码，即．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为______，校验码的值为______．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程．
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．
【答案】（1）73，7；（2）3，过程见解析；（3）4、0或9、5或2、6
【分析】
（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解；
（2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解；
（3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解．
【详解】
（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y，
∴a=7+7+3=17，
b=9+8+5=22，
则“步骤3”中的c的值为3×17+22=73，校验码Y的值为80-73=7．
故答案为：73，7；
（2）依题意有：
a=m+1+2=m+3，
b=6+0+0=6，
c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15，
d=c+X=3m+15+6=3m+21，
∵d为10的整数倍，
∴3m的个位数字只能是9，
∴m的值为3；
（3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有：
a=p+9+2=p+11，
b=6+1+q=q+7，
c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40，
∵校验码是8，
则3p+q的个位是2，
∵|p-q|=4，
∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6．
故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6．
【点睛】
本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键．
4．（2020·吉林农安县第三中学、农安三中七年级月考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】
先去小括号，再去中括号，最后合并同类项，最后把x、y的值代入计算即可．
【详解】
，
当，时，
原式
．
【点睛】
本题考查了整式的加减－化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
5．（2020·湖北七年级期中）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表：
进价（元）
售价（元）
乒乓球拍
30
乒乓球
1
某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球
（1）该乒乓球队共需花费________元（结果用含a，b式子表示）；
（2）今年“十一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案：
方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球；
方案二：每购买100个乒乓球就赠送1副乒乓球拍．
①全部按方案一购买比全部按方案二购买多花多少钱（结果用含a，b式子表示）？
②若，，请你为该乒乓球队设计一个省钱的购买方案，计算说明理由．
【答案】（１）（570+），（２）①元，②购买100个乒乓球（赠送1副乒乓球拍），然后按照方案一购买14副乒乓球拍（赠送28个乒乓球），理由见解析．
【分析】
（1）分别计算乒乓球拍与乒乓球花费，再求和即可，
（2）①按方案一求出球队花出费用，按方案二求出球队花出费用，两者求差即可，
②利用方案一与方案二的差的代数式求值即可确定哪种方案省钱．
【详解】
（１）
乒乓球拍花费：15（）=（450+15）元，
乒乓球花费：120（）=（）元，
该乒乓球队共需花费=450+15+=（570+）元，
（２）
①方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球，
15（）+（120-2×15）（）=（540+）元，
方案二：每购买100个乒乓球就赠送1副乒乓球拍，
14（）+120（）=（540+）元，
全部按方案一购买比全部按方案二购买多花：540+-（540+）=元，
②当，时，
方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球，
540+=540+75+18=633元，
方案二：每购买100个乒乓球就赠送1副乒乓球拍，
540+=540+70+24=634元，
方案三：按照方案二购买100个乒乓球（赠送1副乒乓球拍），然后按照方案一购买14副乒乓球拍（赠送28个乒乓球），
100（1+0.2）+14（30+5）=610元，
∵610＜633＜634
∴选方案三划算．
【点睛】
本题考查列代数式的问题，利用方案设计列出代数式，会整式的加减运算，会求代数式的值，会利用代数式的值定方案是解题关键．
6．（2020·江西七年级期中）已知，．
（1）当时，求的值；
（2）若（1）中式子的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】（1）-3；（2）．
【分析】
（1）利用整体思想将原式化简，根据非负数的意义求出，，然后代入即可求值；
（2）结合（1）中的化简结果，根据式子的值与的取值无关，即可求的值．
【详解】
解：（1）
，
，
当时，，，
∴，，
原式；
（2），
又式子的值与的取值无关，
∴．
【点睛】
本题考查了整式的加减化简求值，解决本题的关键是掌握整式的加减运算．
7．（2020·江西七年级期中）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中，如图所示．
（1）若以点C为原点，写出点A，B所对应的数；
（2）若点O是原点，且，求的值；
（3）若原点O在B，C两点之间，求的值．
【答案】（1）A点对应的数为：-310，则点B对应的数是-110；（2）-290或-330；（3）310．
【分析】
（1）数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数，可表示出A、B所对应的数；
（2）分O点在AB之间和O点在B点右侧时，两种情况讨论即可；
（3）若原点在BC之间，得出a
解：（1）∵AB=200，BC=110，
∴ 若点C为原点，则点B对应的数是-110，
AC = 200 + 110 = 310，
∴A点对应的数为：-310；
（2）①若O点在AB之间时，则B对应的数为20，A对应的数为：20-200=-180，C点对应的数为：20+110=130，
∴a+b-c=-180+20-130=-290；
②若O点在B点右侧时，则点B对应的数是-20，则点A对应的数为-20-200=-220，则点C对应的数为110- 20= 90，
则a+b-c=-220+（-20）-90=-330；
（3）若原点在BC之间，则a
则
=-（a+b）+ 2c-[-（b-c）]
= -a-b+ 2c+b-c
= -a+c
=|a|+c
= AC
= 200 + 110
= 310．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，用数轴表示则更容易解决问题．
8．（2020·河南七年级期中）已知代数式中不含的项，试求k的值．
【答案】
【分析】
不含项即是合并同类项后项的系数应为0，由此得到关于k的方程解之即可．
【详解】
原式
由于不含项，所以
所以．
【点睛】
此题考查合并同类项，当同类项的系数和为0时，即不含该项．
9．（2020·浙江七年级期中）（1）的算术平方根为3，4是的一个平方根，求
（2）若代数式的值与y的取值无关（a为某一确定的数），求当时这个代数式的值．
【答案】（1）-22；（2）9
【分析】
（1）根据算术平方根和平方根的定义算出x和y，再代入计算；
（2）将代数式化简，根据取值y无关得到a值，再将x=-2代入计算．
【详解】
解：（1）∵的算术平方根为3，4是的一个平方根，
∴x-1=9，y+2=16，
∴x=10，y=14，
∴2x-3y=-22；
（2）由题意可得：
=
=
∵与y的值无关，
∴a-4=0，
∴a=4，
将代入，
原式==9．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根以及整式的加减—化简求值，解题的关键是理解题意，掌握代数式取值与y值无关的意义．
10．（2020·江西七年级期中）如果关于x、y的两个单项式和是同类项（其中）
（1）求a、b的值；
（2）如果这两个单项式的和为0，求的值．
【答案】（1）a=4，b=3；（2）．
【分析】
（1）直接利用同类项的定义得出a，b的值；
（2）利用两个单项式的和为0，得出m-2n的值，进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵关于x、y的两个单项式和是同类项（其中xy≠0），
∴a=4，b=3；
（2）∵=0，
∴2m-4n=0，
∴m-2n=0，
∴==．
【点睛】
此题主要考查了合并同类项及乘方计算，正确把握同类项的定义是解题关键．
考向二 整式乘除
典例引领
1．（2020·吉林农安县第三中学、农安三中八年级月考）已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a-b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关 ．
【答案】（1）9；（2）27；（3）c=2a+b；
【分析】
（1）根据幂的乘方直接解答即可；
（2）根据同底数幂的乘除法进行解答即可；
（3）根据已知条件直接得出答案即可．
【详解】
解：（1）∵5a=3，
∴（5a）2=32=9；
（2）∵5a=3，5b=8，5c=72，
∴5a-b+c==27；
（3）c=2a+b；
理由：，
∴c=2a+b
故答案为：c=2a+b．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2．（2020·霍林郭勒市第五中学八年级月考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】原式；当，时，原式=4.
【分析】
根据多项式乘多项式的运算法则对代数式进行化简运算，然后再合并同类项即可，最后再将a和b的值带入即可得到最终结果.
【详解】
原式
，
当，时，
原式
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，以及多项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键.
3．（2020·江西八年级期中）规定，求：
（1）求
（2）若，求的值．
【答案】（1）16；（2）
【分析】
（1）直接利用已知，将原式按定义式变形得出答案；
（2）直接利用已知将原式变形得出等式，再利用同底数幂相等指数相等列方程求出答案即可．
【详解】
解：（1）＝＝16；
（2）∵，
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查了新定义运算以及同底数幂的乘法运算，正确的将原式按照定义式变形是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则时应注意：底数必须相同；指数是1时，不要误以为没有指数．
4．（2020·哈尔滨市第三十九中学八年级期中）如图，哈市某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a-b）米的长方形地块，角上有四个边长为a米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（a>b）
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
（2）若a=20，b=10，求出当时绿化的总面积；
（3）在（2）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项绿化任务.已知甲队每小时可绿化6平方米，乙队每小时绿化4平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？
【答案】（1）（）平方米；（2）500平方米；（3）50小时．
【分析】
（1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论；
（2）把把a=20，b=10代入（1）的代数式即可得到结论；
（3）设甲队至多工作x小时，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）
答：绿化的总面积为（）平方米；
（2）把a=20，b=10代入得：
（平方米）
答：当时绿化的总面积为500平方米；
（3）设甲队至多工作x小时
∵要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间
∴甲队至多工作的时间=乙队的工作时间
∴乙队的工作时间为x小时
∴
答：甲队至多工作50小时．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式拓展
5．（2020·广西八年级期中）计算/化简求值
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，
【答案】（1）；（2），12
【分析】
（1）根据多项式除以单项式的法则计算即可；
（2）原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用平方差公式展开，合并同类项得到最简结果，将m与n的值代入计算即可求出值．
【详解】
（1）
（2）
当时，
原式
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
6．（2020·台州市书生中学八年级期中）观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x2−1
(x−1)(x2+x+1)=x3−1
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1
…
（1）根据以上规律，则(x−1)(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ．
（2）你能否由此归纳出一般性规律：(x−1)(xn−1+xn−2+…+x+1)= ．
（3）根据上述的规律，求1+2+22+…+238+239的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据规律可得出（x-1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）结果；
（2）由规律得出x的指数为n，即可得出答案；
（3）1+2+22+…+234+235的可以写成（2-1）（20+21+22++…+238+239），根据规律计算即可．
【详解】
解：（1）由规律得：（x-1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x8-1；
（2）（x-1）（xn-1+…+x2+x+1）=xn-1；
（3）1+2+22+…+238+239=（2-1）（20+21+22++…+238+239）
=240-1，
故答案为x8-1，xn-1．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多1，是解题的关键．
7．（2020·宜春市宜阳学校七年级期中）如图，大小两个正方形的边长分别为．
（1）用含的代数式表示阴影部分的面积；
（2）如果，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）14．
【分析】
（1）依据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白部分的面积，即可用含、的代数式阴影部分的面积；
（2）把，，代入代数式，即可求阴影部分的面积．
【详解】
解：（1）大小两个正方形的边长分别为、，
阴影部分的面积为：
；
（2），，
．
所以阴影部分的面积是14．
【点睛】
本题考查了列代数式和求代数式的值，理清题意，熟悉相关性质是解题的关键．
8．（2020·江苏七年级期中）已知A=，B=
（1）求2A-3B；
（2）试比较A、B的大小关系（写出比较过程）．
【答案】（1）；（2）A＜B．
【分析】
（1）将A、B代入2A-3B然后再运用整式的运算法则计算即可；
（2）运用作差法比较即可．
【详解】
解：（1）2A-3B
=2（）-3（）
=
=；
（2）∵A-B=
=
=＜0
∴A＜B．
【点睛】
本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
9．（2020·全国七年级课时练习）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长．
（1）设2019年4月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含，的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
2020年4月份
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【答案】（1）；（2）比值为0.2
【分析】
（1）用2019年的销售总额减去线上销售额再乘以即可；
（2）根据2020年销售总额与线上线下销售额的关系得到，再列式比较即可得到答案.
【详解】
解：（1）与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长，
该超市2020年4月份线下销售额为元．
故答案为：．
（2）依题意，得：，
解得：，
．
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2.
【点睛】
此题考查整式与实际问题的应用，一元一次方程与实际问题，列代数式，整式的除法计算，正确理解题意是解题的关键.
10．（2020·重庆七年级期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：．
（1）已知．
①求的值；
②若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围；
（2）当时，对任意有理数都成立，请直接写出满足的关系式．
学习参考：①，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．
【答案】（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n
【分析】
（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．
【详解】
解：（1）①由题意得，
解得，
②由题意得，
解不等式①得p＞-1．
解不等式②得p≤，
∴-1＜p≤，
∵恰好有3个整数解，
∴2≤＜3．
∴42≤a＜54；
（2）由题意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），
∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，
∵对任意有理数x，y都成立，
∴m=2n．
【点睛】
本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
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