考点02 相交线与平行线-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点二 相交线与平行线

知识点整合

知识框架图

一、相交线

1．三线八角

（1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．

∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．

（2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如图：

2．垂直

（1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．

（2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．

3．点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．

4．邻补角

（1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

（2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．

（3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．

5．对顶角

（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．

（2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．

二、平行线

1．定义

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．

2．平行线的判定

（1）定义．

（2）同位角相等，两直线平行．

（3）内错角相等，两直线平行．

（4）同旁内角互补，两直线平行．

（5）平行于同一直线的两直线互相平行．

（6）垂直于同一直线的两直线互相平行．

3．平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等．

（2）两直线平行，内错角相等．

（3）两直线平行，同旁内角互补．

4．平行线间的距离

（1）定义

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．

（2）性质

两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．

典例引领

1．（2020·达拉特旗第八中学八年级月考）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．

详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．

     故选A．

点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

2．（2018·陕西九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（　　）

A．112° B．110° C．108° D．106°

【答案】D

【解析】

分析：由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．

详解：∵∠AGE=32°，

∴∠DGE=148°，

由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°．

∵AD∥BC，

∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．

 故选D．

点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

3．（2018·陕西九年级专题练习）已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　）

A．80° B．70° C．85° D．75°

【答案】A

【解析】

【分析】如图，先根据三角形外角的性质求出∠4的度数，再根据平行线的性质求出∠5的度数，最后根据邻补角的定义进行求解即可得.

【详解】如图，

∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，

∴∠4=∠3+∠B=100°，

∵a∥b，

∴∠5=∠4=100°，

∴∠2=180°﹣∠5=80°，

故选A．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，结合图形灵活运用相关的知识解决问题是关键.

4．（2020·广东英德市·七年级期末）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=_____．

【答案】60°

【解析】

【分析】

先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．

【详解】

∵DA⊥CE，

∴∠DAE=90°，

∵∠1=30°，

∴∠BAD=60°，

又∵AB∥CD，

∴∠D=∠BAD=60°，

故答案为60°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

5．（2020·广西玉州区·七年级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为_____．

【答案】55°

【分析】

过点E作EF∥AB，则EF∥CD，可得∠ABE＝∠BEF, ∠DEF＝∠CDE.先根据角平分线的定义，得出∠ABE＝∠CBE＝20°，∠ADE＝∠CDE＝35°，进而求得∠E的度数．

【详解】

过点E作EF∥AB，则EF∥CD，

∴∠ABE＝∠BEF, ∠DEF＝∠CDE.

∵AB∥CD，

∴∠BCD＝∠ABC=40°，∠BAD＝∠ADC＝70°，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC=20°，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC=35°，

∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=20°+35°=55°.

故答案为55°．

【点睛】

此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确做出辅助线是解题的关键．本题也考查了数形结合的数学思想.

6．（2020·重庆江北嘴实验学校八年级月考）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．

【答案】证明见解析.

【解析】

分析：可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；

详证明：∵AD=BC，∴AC=BD，
在△ACE和△BDF中，

，
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A=∠B，
∴AE∥BF；

点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是用SSS证明△ACE≌△BDF．

7．（2019·上海静安区·七年级期中）（1）如图示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC=∠A+∠C的理由．

（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系； ②请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠1+∠2-∠E=180°．

【分析】

（1）过点E作EF∥AB，由两直线平行，内错角相等，得到∠A=∠1，由平行的传递性得到EF // CD，再由平行线的性质得到∠2=∠C，由角的和差即可得到结论；

（2）过点E作EF∥AB，类似可得到结论．

【详解】

解：（1）过点E作EF∥AB，

∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）．

∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的传递性），

∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

∵∠AEC=∠1+∠2（图上可知），

∴∠AEC=∠A+∠C（等量代换） ；

（2）∠1+∠2-∠E=180°．理由如下：

过点E作EF∥AB，∴∠4+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的传递性），∴∠FEC=∠2（两直线平行，内错角相等），即∠3+∠4=∠2，∴∠4=∠2-∠3（等式性质），

∴∠2-∠3+∠1=180°（等量代换），

即∠1+∠2-∠AEC=180°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．

变式拓展

1．（2016·山西九年级专题练习）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A．132° B．134° C．136° D．138°

【答案】B

【解析】

过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．

解：

过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，

∵∠C=44°，∠AEC为直角，

∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，

∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，

故选B．

“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．

2．（2020·全国八年级单元测试）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　）

A．44° B．40° C．39° D．38°

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．

【详解】∵∠A=54°，∠B=48°，

∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，

∴∠DCB=×78°=39°，

∵DE∥BC，

∴∠CDE=∠DCB=39°，

故选C．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质．

3．（2020·新疆和田地区·九年级二模）如图，直线被所截，且，则下列结论中正确的是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线的性质进行判断即可得.

【详解】如图，∵a//b，

∴∠1=∠5，∠3=∠4，

∵∠2+∠5=180°，∴无法得到∠2=∠5，即得不到∠1=∠2，

由已知得不到 、，

所以正确的只有B选项，

故选B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

4．（2020·甘肃省临夏市第一中学七年级期末）如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC＝________°.

【答案】40

【解析】

根据平行线的性质，先求出∠BEF和∠CEF的度数，再求出它们的差就可以了．

解：∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=70°；
又∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，
∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；
故应填40．

“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．

5．（2019·河南平舆县·七年级期中）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°.有下列结论：①∠BOE＝(180－a)°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF.其中正确的结论是________(填序号)．

【答案】①②③

【解析】

【分析】

根据垂直定义、角平分线的性质、直角三角形的性质求出∠POE、∠BOF、∠BOD、∠BOE、∠DOF等角的度数，即可对①②③④进行判断．

【详解】

①∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠ABO=a°，
∴∠COB=180°﹣a°=（180﹣a）°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COB=（180﹣a）°．故①正确；
②∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°﹣（180﹣a）°=a°，
∴∠BOF=∠BOD，
∴OF平分∠BOD所以②正确；
③∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠POE=90°﹣∠EOC=a°，
∴∠POE=∠BOF； 所以③正确；
∴∠POB=90°﹣a°，
而∠DOF=a°，所以④错误．
故答案为①②③．

【点睛】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；解答此题要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中线段和角的关系，再进行解答．

6．（2018·全国八年级单元测试）如图，已知四边形ABCD中，BC⊥AB，CF平分∠DCB，∠DCF＋∠BAE＝90°，试判断AE与CF的位置关系，并说明理由．

【答案】平行

【解析】

【分析】

由∠DCF＋∠BAE＝90°，CF平分∠DCB，可知∠BCF+∠BAE=90°，再由BC⊥AB可知∠DCF＋∠BFC=90°，进而可知∠BAE=∠DCF，根据平行线的判定即可.

【详解】

平行，理由如下：

∵CF平分∠DCB，

∴∠BCF=∠DCF，

∵∠DCF＋∠BAE＝90°

∴∠BCF+∠BAE=90°

∵BC⊥AB

∴∠BCF+∠BFC=90°

∴∠BAE=∠BFC

∴AE//CF（同位角相等，两直线平行）

故AE与CF是平行关系.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键

7．（2020·清远市清新区太平镇初级中学）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．

【答案】20°

【分析】

依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．

【详解】

∵∠EFG=90°，∠E=35°，

∴∠FGH=55°，

∵GE平分∠FGD，AB∥CD，

∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，

∵∠FHG是△EFH的外角，

∴∠EFB=55°﹣35°=20°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．