考点03 因式分解-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点三 因式分解

知识点整合

1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.

（2）公式法：

运用平方差公式：.

运用完全平方公式：.

3．分解因式的一般步骤：

（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;

（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：

为两项时，考虑平方差公式；

为三项时，考虑完全平方公式；

为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;

（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.

考向一 因式分解与化简求值

典例引领

1．（2019·葫芦岛市第七高级中学）已知，求的值．

【答案】1.

【解析】

【分析】

先由已知条件得到x2+4x=1，再利用因式分解得方法得到原式=2x2（x2+4x）-4x2-8x+1，利用整体代入计算后得到原式=-2x2-8x+1，然后利用同样的方法计算即可．

【详解】

解：由已知，得，则

=

=

=

＝2-1

=1

【点睛】

本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决证明问题．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．

2．（2020·浙江七年级其他模拟）已知a2﹣3a+1＝0．

（1）判断a＝0是否成立？请说明理由．

（2）求6a﹣2a2的值．

（3）求a+的值．

【答案】（1）a＝0不成立；理由见解析；（2）2；（3）3

【分析】

（1）将a＝0代入方程即可求出答案．

（2）将a2﹣3a＝﹣1整体代入原式即可求出答案．

（3）将等式两边同时除以a即可求出答案．

【详解】

解：（1）将a＝0代入a2﹣3a+1＝0，

∴左边＝1≠0＝右边，故a＝0不成立．

（2）∵a2﹣3a＝﹣1，

∴原式＝﹣2（a2﹣3a）＝2．

（3）∵a2﹣3a＝﹣1，a≠0，

∴a+＝3．

【点睛】

本题考查代数式求值，灵活地对代数式进行变形并应用整体代入的思想方法是解题关键．

3．（2014·广东）已知且，求代数式的值．

【答案】2.

【解析】

试题分析：将原式分解因式，进而将已知代入求出即可．

试题解析：：∵a-b=1且ab=2，

∴a3b-2a2b2+ab3=ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）2=2×12=2；

4．（2020·全国八年级单元测试）下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．

解：设x2-4x=y，

原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）

=y2+8y+16 （第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2-4x+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．

A．提取公因式

B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式

D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．

【答案】（1）C；（2）不彻底，（x-2）4；（3）（x-1）4

【分析】

（1）根据分解因式的过程直接得出答案；

（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；

（3）将（x2-2x）看作整体进而分解因式即可．

【详解】

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；

故选：C；

（2）该同学因式分解的结果不彻底，

原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4；

故答案为：不彻底，（x-2）4；

（3）（x2-2x）（x2-2x+2）+1

=（x2-2x）2+2（x2-2x）+1

=（x2-2x+1）2

=（x-1）4．

【点睛】

此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．

5．（2017·黑龙江中考模拟）已知 a+b=3，ab = 2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3 的值．

【答案】，18

【分析】

先把分解因式，再整体代入求值即可．

【详解】

解：

．

将，代入得，

原式．

【点睛】

本题考查的是利用因式分解求代数式的值，掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法是解题的关键．

6．（2018·河北中考模拟）阅读下列材料，解答下列问题：

材料1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程．

公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法．如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式．但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：

x2+2ax﹣3a2

＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2

＝（x+a）2﹣（2a）2

＝（x+3a）（x﹣a）

材料2．因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则

原式＝A2+2A+1＝（A+1）2

再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）根据材料1，把c2﹣6c+8分解因式；

（2）结合材料1和材料2完成下面小题：

①分解因式：（a﹣b）2+2（a﹣b）+1；

②分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+3．

【答案】（1）(c-4)(c-2)；（2）①（a-b+1）2；②（m+n-1）（m+n-3）.

【解析】

【分析】

（1）根据材料1，可以对c2-6c+8分解因式；

（2）①根据材料2的整体思想可以对（a-b）2+2（a-b）+1分解因式；

②根据材料1和材料2可以对（m+n）（m+n-4）+3分解因式．

【详解】

（1）c2-6c+8

=c2-6c+32-32+8

=（c-3）2-1

=（c-3+1）（c-3+1）

=(c-4)(c-2)；

（2）①（a-b）2+2（a-b）+1

设a-b=t，

则原式=t2+2t+1=（t+1）2，

则（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2；

②（m+n）（m+n-4）+3

设m+n=t，

则t（t-4）+3

=t2-4t+3

=t2-4t+22-22+3

=（t-2）2-1

=（t-2+1）（t-2-1）

=（t-1）（t-3），

则（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）．

【点睛】

本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．

变式拓展

1．（2020·福建厦门一中九年级二模）先化简，再求值÷，其中x＝3．

【答案】，

【分析】

根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

【详解】

解：÷

＝

＝

＝，

当x＝3时，原式＝＝．

【点睛】

本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，分式通分约分等计算方法是解决本题的关键．

2．（2020·全国八年级单元测试）阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．

解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①

所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②

所以c2＝a2+b2．③

所以△ABC是直角三角形．④

请据上述解题回答下列问题：

（1）上述解题过程，从第　   　步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为　   　；

（2）请你将正确的解答过程写下来．

【答案】（1）③，忽略了a2﹣b2＝0的可能；（2）见解析

【分析】

（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a2-b2，没有考虑a2-b2是否为0；
（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．

【详解】

解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a2﹣b2＝0的可能；

（2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），

移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，

因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，

则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；

所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

故答案为：③，忽略了a2﹣b2＝0的可能．

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

3．（2017·津市灵泉乡中学九年级一模）先化简，再求值.

÷（x－），其中x=2+，y=2－

【答案】，

【解析】解：原式＝

把x=2+，y=2－代入，

原式＝

4．（2019·河北九年级一模）阳阳同学在思考奇数的时候发现①32﹣12＝9﹣1＝8：②52﹣32＝25﹣9＝16；……

（1）第⑤个式子是　   　；

（2）如果用n表示正整数，请总结一下阳阳同学发现的一般性结论（用含有n的式子表示）；

（3）请说明这个结论的正确性．

【答案】(1) 112﹣92＝121﹣81＝40;(2)见解析.

【分析】

（1）仔细观察找出各等式的规律，进而得出第⑤个式子即可；
（2）仔细观察找出各等式的规律，然后根据规律解题即可；
（3）根据整式的混合计算证明即可．

【详解】

解：（1）①32﹣12＝9﹣1＝8：②52﹣32＝25﹣9＝16；……

∴第⑤个式子是112﹣92＝121﹣81＝40；

故答案为：112﹣92＝121﹣81＝40;

（2）从而可得到规律为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；

（3）证明如下：

（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n．

【点睛】

此题主要考查了数字变化规律，利用各式子左边是平方差形式，右边是4的倍数进而得出规律是解题关键．

5．（2020·浙江七年级其他模拟）（1）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2．

（2）先化简，再求值：，其中x=2020．

【答案】（1）2m(x﹣y)2；（2），．

【分析】

（1）原式先提取公因式，再运用完全平方公式分解；

（2）括号内先通分化简，再计算除法，然后把x的值代入化简后的式子计算即可．

【详解】

解：（1）2mx2﹣4mxy+2my2

=2m(x2﹣2xy+y2)

=2m(x﹣y)2；

（2）

=

=

=，

当x=2020时，原式=．

【点睛】

本题考查了多项式的因式分解和分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法和分式的混合运算法则是解题的关键．

6．（2019·广东九年级一模）先化简，再求值：，其中为不等式组的最大整数解．

【答案】,

【分析】

先化简分式，然后解不等式组求出x的值代入化简后的分式即可．

【详解】

解：原式

，

，

为不等式组的最大整数解，

，

当时，原式．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，解不等式组，掌握运算法则是解题关键．

7．（2020·河北九年级一模）完全平方公式是初中数学的重要公式之一：，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式，

发现：

应用：

(1)写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解；

(2)若，请用m，n表示a、b；

拓展：如图在直角三角形ABC中，BC=1，，延长CA至D，使AD=AB，求BD的长（参考上面提供的方法把结果进行化简）

【答案】（1）见解析；（2）a=m2+2n2，b=2mn；拓展：BD=（+）．

【分析】

（1）依照样例进行解答即可；

（2）把等式右边按照完全平方公式进行计算，然后再根据无理数相等的性质进行解答即可；

拓展：先根据勾股定理求得AB长，继而利用勾股定理求出BD2，再结合上面的方法进行因式分解求得BD长即可．

【详解】

（1）4+2=3+2+1=（）2+2+12=（+1）2；

（2）(n+m)2=m2+2mn+2n2=m2+2n2+2mn，

又，

所以a=m2+2n2，b=2mn；

拓展：由勾股定理得AC2+BC2=AB2，BC=1，，

所以AB2=12+（）2=1+3=4，

∴AB=2，

又AB=AD，

所以AD=2，CD=2+，

BD2=BC2+CD2=12+(2+）2=1+4+4+3=8+4；

8+4=6+4+2=（）2+4+（）2=（+）2，

所以BD2=（+）2，

所以BD=±（+），

因为BD为三角形的一边，

所以-（+）不合题意舍去，

所以BD=（+）．

【点睛】

本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，勾股定理等知识，弄清题意，灵活运用相关知识是解题的关键．

8．（2020·辽宁九年级其他模拟）先化简，再求值，其中．

【答案】；

【分析】

根据运算法则先通分括号内式子，利用完全平方公式、平方差公式进行计算化简，再通过运算法则化简0指数幂、三角函数值、绝对值、负指数幂运算求出的值代入即可求解．

【详解】

原式

∵

∴原式

【点睛】

本题主要考察了分式的化简求值、因式分解、0指数幂、三角函数值、负指数幂的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．