考点02 等腰三角形与直角三角形-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点二 等腰三角形与直角三角形

知识点整合

一、等腰三角形

1．等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．

2．等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二、等边三角形

1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．

2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．

3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

三、直角三角形与勾股定理

1．直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

性质：（1）直角三角形两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

2．勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

考向一 等腰三角形的性质判定

1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．

2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．学-科网

3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．

4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a．

5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．

6．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．

7．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．

典例引领

1．（2020·全国八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是(     )秒

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4

【答案】D

【详解】

解：设运动的时间为x，

在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，

点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，

当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，

解得x=4．

故选D．

【点睛】

此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．

2．（2019·山西九年级专题练习）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°

【答案】B

【分析】

先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．

【详解】

∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，

∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．

∵CE是△ABC的角平分线，

∴∠ACE=∠ACB=35°．

故选B．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．

3．（2017·山西九年级专题练习）如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE

4．（2016·陕西九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（   ）

A．80° B．60° C．50° D．40°

变式拓展

1．（2019·甘肃永登县·八年级期中）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接AD，若，则______．

2．（2018·河南平舆县·八年级期中）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=900，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则DF的长为 __________________．

4．（2017·山西九年级专题练习）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．

求证：△BDE是等腰三角形．

5．（2020·天津和平区·九年级二模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．

（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；

②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．

考向二 等边三角形的性质与判定

1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．

2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．

3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．

4 . 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．

典例引领

1．（2020·渑池县教育体育局教研室八年级期中）如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（    ）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°

【答案】C

【解析】

试题解析：过E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC=4，AE=2，

∴EC=2=AE，

∴AM=BM=2，

∴AM=AE，

∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，

∴AD⊥BC，

∵EM∥BC，

∴AD⊥EM，

∵AM=AE，

∴E和M关于AD对称，

连接CM交AD于F，连接EF，

则此时EF+CF的值最小，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∵AM=BM，

∴∠ECF=∠ACB=30°，

故选C．

2．（2020·全国八年级期中）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

【答案】D

【解析】

因为△ABC是等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC.

因为BD＝CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠1=∠CBE.

因为∠CBE+∠ABE=60°，所以∠1+∠ABE=60°.

因为∠2=∠1+∠ABE，所以∠2=60°.

故选D.

变式拓展

1．（2019·湖南长沙市·长郡中学八年级开学考试）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下五个结论：①；②；③；④；⑤平分.一定成立的结论有______________；

2．（2018·山西九年级专题练习）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝____.

3．（2020·河南九年级专题练习）已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形.

4．（2018·陕西九年级专题练习）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF

（1）求证：AE=CF；

（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．

考向三 直角三角形与勾股定理

1 . 在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．

2．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．

3．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．

典例引领

1．（2020·河南平顶山市·平顶山四十三中八年级月考）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）

A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对

【答案】C

【详解】

设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+=7+．故选C

2．（2020·无锡市第一女子中学八年级期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为

A． B．3 C．1 D．

【答案】A

【分析】

首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可

【详解】

∵AB=3，AD=4，∴DC=3

∴根据勾股定理得AC=5

根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，

∴D′C=DC=3，DE=D′E

设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，

在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，

解得：x=

故选A.

3．（2019·山西九年级专题练习）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．

变式拓展

1．（2020·山东博山区·九年级二模）如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.

2．（2019·山西九年级专题练习）如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．

3．（2020·芜湖市南瑞实验学校九年级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

4．（2020·全国八年级单元测试）阅读下列题目的解题过程：

已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．

解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）

∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）

∴c2=a2+b2 （C）

∴△ABC是直角三角形

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　   　；

（2）错误的原因为：　   　；

（3）本题正确的结论为：　   　．

5．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，

（1）求证：△AOC≌△BOD；

（2）若AD=3，BD=1，求CD．

6．（2019·河南郑州市·郑州外国语中学八年级期中）如图，△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE.

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系,并证明；

（3）在（2）的条件下，若BD=6，CF=8，求AD的长.